数列综合
数列综合 1．【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2 2．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 3．【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.
4．【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5． （1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
5．【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．
6．【2018年高考全国I 卷文数】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n
=
． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．
7．【2018年高考全国III 卷文数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．
8．【2018年高考全国II 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n S ，并求n S 的最小值．
9．【2017年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=?6．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．
10．【2017年高考全国II 卷文数】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，
11221,1,2a b a b =-=+=.
（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .
11．【2017年高考全国III 卷文数】设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=L .
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列21n a n ????+??
的前n 项和.
最新8 数列综合
8数列综合
第八讲数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.（宁夏）已知?Skip Record If...?成等比数列，且曲线?Skip Record If...?的顶点是 ?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?等于（B） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．?Skip Record If...? 2.(江西)已知等差数列?Skip Record If...?的前?Skip Record If...?项和为?Skip Record If...?，若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．7 3.（辽宁卷）在等比数列?Skip Record If...?中,?Skip Record If...?,前?Skip Record If...?项和为?Skip Record If...?,若数列?Skip Record If...?也是等比数列,则?Skip Record If...?等于 A．?Skip Record If...? B.?Skip Record If...? C. ?Skip Rec ord If...? D.?Skip Record If...? 【解析】因数列?Skip Record If...?为等比，则?Skip Record If...?，因数列?Skip Record If...?也是等比数列， 则?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?，所以?Skip Record If...?，故选择答案C。 4.（湖南）设集合?Skip Record If...?，?Skip Record If...?都是?Skip Record If...?的含两个元素的子集，且满足：对任意的?Skip Record If...?，?Skip Record If...? （?Skip Record If...?，?Skip Record If...?），都有?Skip Record If...?（?Skip Record If...?表示两个数?Skip Record If...?中的较小者），则?Skip Record If...?的最大值是（B） A．10 B．11 C．12 D．13
数列的综合应用
数列的综合应用 导学目标： 1.通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用． 自主梳理 1．数列的综合应用 数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会． (1)数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法． (2)转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题． (3)由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的． (4)分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n 求a n 时，要对______________进行分类讨论． 2．数列的实际应用 数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型． (1)建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n 还是求S n . (2)分期付款中的有关规定 ①在分期付款中，每月的利息均按复利计算； ②在分期付款中规定每期所付款额相同； ③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值； ④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和． 自我检测 1．(原创题)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝10，则S 11的值为 ( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44 2．(2017·汕头模拟)在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 6 a 16 等于 ( ) A.23 B.32 C ．－16 D ．－56 3．若{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，把{a n }的每一项都减去2后，得到一个新数列{b n }，设{b n }的前n 项和为S n ，对于任意的n ∈N *，下列结论正确的是 ( ) A ．b n ＋1＝3b n ，且S n ＝1 2(3n －1) B ．b n ＋1＝3b n －2，且S n ＝1 2(3n －1) C ．b n ＋1＝3b n ＋4，且S n ＝1 2(3n －1)－2n D ．b n ＋1＝3b n －4，且S n ＝1 2 (3n －1)－2n
江苏省淮安中学高二数学《数列的综合应用(1)》学案
江苏省淮安中学高二数学学案 一、考点要求：抓住基本数列的关系，使所求与已知建立联系，将未知向已知转化，灵活运用公式与性质，解决一些问题。 二、课前检测 1、互不相等的三个数，a 、b 、c 成等差数列，x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，则222,,x b y 三个数 （1）、成等差非等比数列 （2）、 成等比非等差数列 （3）、成等差又成等比数列 （4）、既不成等差又不成等比数列 2、已知a ，b ，a+b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列,且0＜ log m ab ＜1，则m 的取值范围为 3、在等差数列{a n }中，若a 10＝0 ，则有等式12n a a a +++ ＝1219n a a a -++ （n ＜19 ,n∈N +)成立，类比以上性质，在等比数列{b n }中，若b 9＝1 ，则有 成立。 三、 典型例题 例题1、已知数列｛a n ｝，其中a 1=1,a n =3n-1a n-1((n≥2，n∈N *)，数列｛b n ｝的前n 项和S n =log 3( 9 n n a )( n∈N *). （1）求数列｛a n ｝的通项公式； （2）求数列｛b n ｝的通项公式； （3）求数列｛|b n |｝的前n 项和T n . 例题2、已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 。 例题3、 121()2OP OP OP =+ 若,且P 点的横坐标为12，设函数()x f x =的图象上两点111222(,),(,)P x y p x y （1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值；
高三数列综合专题复习
高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题 1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *. (1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列???? ??1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值． 2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1 ，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．
3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列； (2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ； (3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围． [思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1
2020届高考数学(文)二轮总复习专题训练：1.2.3数列的综合应用 Word版含答案
1.2.3 数列的综合应用 1．已知数列{a n }为等差数列，满足OA →＝a 3OB →＋a 2 013OC → ，其中A ，B ，C 在一条直线上，O 为直线AB 外一点，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 015的值为( ) A.2 0152 B.2 015 C.2 016 D.2 013 解析：依题意有a 3＋a 2 013＝1， 故S 2 015＝a 3＋a 2 013 2·2 015＝2 015 2 .故选A. 答案：A 2．(2019·葫芦岛一模)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1，且a 5＝b 5，则( ) A ．a 3＋a 7＞b 4＋b 6 B.a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7＜b 4＋b 6 D.a 3＋a 7＝b 4＋b 6 解析：数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q ＞1， 由a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， a 3＋a 7≤ b 4＋b 6， 由于q ＞1可得a 3＋a 7＜b 4＋b 6，故选C. 答案：C 3．(2019春·龙凤区校级月考)在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 9＞0，S 10＜0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 9a 9 中最大的是( ) A.S 1a 1 B.S 8a 8 C.S 5a 5 D.S 9a 9 解析：依题意，数列{a n }是等差数列，其前n 项和是S n ， S 9＞0，S 10＜0，所以? ?? ?? 9a 5＞0， a 5＋a 6＜0， 所以a 5＞0，a 6＜0，所以公差d ＜0， 所以当6≤n ≤9时S n a n ＜0，当1≤n ≤5时S n a n ＞0. 又因为当1≤n ≤5时，S n 单调递增，a n 单调递减，
数列综合练习题以及答案解析
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
数列的综合应用
第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2 n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( ) A ．－1或2 B ．0或2 C ．2 D ．1 解析：选C 由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ， 解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)， 又b n ＋1b n －1＝b 2 n ＝2b n (n ≥2)， 所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时. 若a 6＝ 1，则m 所有可能的取值为( ) A ．{4,5} B ．{4,32} C ．{4,5,32} D ．{5,32} 解析：选C a n ＋1＝????? a n 2 ，当a n 为偶数时， 3a n ＋1，当a n 为奇数时， 注意递推的条件是a n (而不是n )为偶 数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32. 3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________． 解析：由题意知等差数列{a n }的公差d ＝ a 3－a 1 2 ＝2，则a 4＝8，a 5＝10，设所加的数为x ， 依题意有(8＋x )2 ＝(2＋x )(10＋x )，解得x ＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N * )等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2， 所以由题意可得 2 1－2n 1－2 ≥100，即2n ≥51，
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
数列（理） 考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。 （1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列； （2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。 （1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列； （2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。 （1）证明数列 {}n b 是等比数列； （2）求数列{}n c 的通项公式； （3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 （1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由； （3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 （1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值； （2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 （3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。 （1）求n S ； （2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
数列综合应用(放缩法)
数列综合应用（1） ————用放缩法证明与数列和有关的不等式 一、备考要点 数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中， 是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生 综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．解决 这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条： 一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 二、典例讲解 1．先求和后放缩 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足 12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11 +=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和 为n B ，求证：2 1 ③．放缩后为差比数列，再求和 例4．已知数列{}n a 满足：11=a ， )3,2,1()21(1 =+=+n a n a n n n ．求证： 1 1213-++-≥>n n n n a a ④．放缩后为裂项相消，再求和 例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中， 若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数）， 则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的 总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的 逆序数63=a ． （1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （2）令n n n n n a a a a b 11+++=，证明： 32221+<++ 专题限时训练 (小题提速练) (建议用时：45分钟) 一、选择题 1．设数列{}a n 满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n －2 a n ＋1 (n ∈N *)，若数列{}a n 是常数列，则a ＝( ) A ．－2 B.－1 C.0 D.(－1)n 解析：因为数列{a n }是常数列，所以a ＝a 2＝a 21－2a 1＋1＝a 2 －2 a ＋1 ，即a (a ＋1)＝a 2－2，解得a ＝－2.故选A. 答案：A 2．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1 n B.a n ＝ 2n ＋1 C ．a n ＝2 n ＋2 D.a n ＝3n 解析：由已知2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2， 可得 1 a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1 ， 所以??????1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1 a 1 ＝2－1＝1 的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1 n . 答案：A 3．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，若S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B.9 C.10 D.11 解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，∴S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100， 解得n ＝10. 答案：C 4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 1 3(a 5＋a 7＋a 9)＝( ) A ．－5 B.－15 C.5 D.15 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . 专题二 数列综合问题 一、引言 数列综合问题包括数列章内知识的综合、数列与其他知识的综合两部分． 数列章内知识的综合主要涉及一般数列的通项与前n 项和的关系、等差数列和等比数列综合问题；数列与其他知识的综合主要指数列与函数、不等式等知识的交汇问题．考试大纲对这一部分的考试要求是，能运用数列、等差数列和等比数列的有关知识求解数列章内知识的综合问题，能综合运用数列、函数、方程和不等式的知识灵活地解决数列与其他章节知识的交汇问题． 数列综合问题，历来是高考的重点，两类数列与函数、方程、不等式的交汇问题历来是高考的热点，并且选择题、填空题、解答题三种题型都有可能涉及．这类试题一般较为灵活，尤其是解答题，常常承担把关的任务，因此往往具有一定的难度． 二、典型问题选讲 例1设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）． A.2(81)7 n - B.1 2(81)7 n +- C.3 2(81)7 n +- D.4 2(81)7 n +- 例2已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（ ）． A ．(1]-∞-， B ．(0)(1)-∞+∞， ， C ．[3)+∞， D ．(1][3)-∞-+∞， ， 例3已知数列{}n a 满足：434121,0,,,n n n n a a a a n *--===∈ N 则2009a =___________；2014a =______________． 例4 已知数列{}n a 满足11a =，1212(1)(2)n n a a a n a n -=++ +-≥，则{}n a 的通项公式 __________________n a =． 分 例5等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设()n n S b n n *= ∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 成等比数列． 例6（2006湖北）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在函数32y x =-的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 3+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N * ∈都成立的最小 正整数m ． 数列的综合应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 11 =+ 1、等差数列{}n a 中,若124a a +=, 91036a a +=,则10S =______. 2. 设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若 11a =,21179 d -<<-, 则当n S 取最大值时,n 的值为_ __. 3.在等差数列{}n a 中，S n 是它的前n 项的和，且8776,S S S S ><，给出下列命题：①此数列公差0 6.5数列的综合应用 考点一 等差数列与等比数列的综合问题 『典例』 (2011·江苏高考)设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________． 『解析』 因为a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，又a 1＝1，所以a 3＝q ，a 5＝q 2，a 7＝q 3.因为a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，所以a 4＝a 2＋1，a 6＝a 2＋2. 法一： 因为1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，所以???? ? 1≤a 2≤a 3≤a 4，a 4≤a 5≤a 6， a 7≥a 6， 即???? ? a 2 ≤q ≤a 2 ＋1， a 2 ＋1≤q 2 ≤a 2 ＋2，解得 33≤q ≤ 3，故q 的最小值为 3 3. q 3 ≥a 2 ＋2， 法二： a 6＝a 2＋2≥3，即a 6的最小值为3.又a 6≤a 7，所以a 7的最小值为3即q 3≥3，解得a ≥ 3 3.故q 的最小值为3 3. 『答案』 33 『备课札记』 『类题通法』 解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 『针对训练』 在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ， 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项 数列的综合运用 考纲要求 能运用数列的等差关系式或等比关系解决实际问题. 考情分析 1.数列的综合应用常以递推关系为背景，考查等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式． 2.常与其他知识的交汇命题，考查学生的转化化归能力如与函数、不等式、解析几何等交汇考查． 3.各种题型都有可能出现. 教学过程 基础梳理 1．等比数列与等差数列比较表 2. (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 3．数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是S n与S n＋1之间的递推关系． 双基自测 1．某学校高一、高二、高三共计2 460名学生，三个年级的学生人数刚好成等差数列，则该校高二年级的人数是 ( ) A．800 B．820 C．840 D．860 2．(教材习题改编)有一种细菌和一种病毒，每个细菌 在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( ) A．6秒钟B．7秒钟 C．8秒钟D．9秒钟 3．若a，b，c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 4．5·12汶川大地震后，山东天成书业公司于2008年8月向北川中学捐赠《三维设计》系列丛书三万册，计划以后每年比上一年多捐5 000册，则截至到2012年，这5年共捐________万册． 5．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π 3 ，公差为 π 36 ，则这个 多边形的边数为________． 典例分析考点一、等差数列与等比数列的综合应用 [例1] (2010·福建高考)数列{a n}中，a1＝1 3 ，前n项和S n满足S n＋1－S n＝ ? ? ? ? ?1 3 n+1(n ∈N*) (1)求数列{a n}的通项公式a n以及前n项和S n； (2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差数列，求实数t的值． 变式1．(2012·北京东城区综合练习)在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N*)，公比q ∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当S1 1 ＋ S2 2 ＋ S3 3 ＋…＋ S n n 最大时，求n 的值． 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 【巩固练习】 一、选择题 1．已知函数2 2 ()n n f n n n =-???当为奇数时当为偶数时 ，且()(1)n a f n f n ＝＋＋ ，则123100a a a a ?＋＋＋＋等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10200 2．如果数列{}n a 满足12=2=1a a ，，且()11 11 2n n n n n n a a a a n a a -+-+--=≥，则这个数列的第10项等于( ) A. 101 2 B. 912 C.110 D.1 5 3．数列{}n a 中，1(1)n a n n =+，其前n 项和为9 10 ，则在平面直角坐标系中，直线(1)=0n x y n +++在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若70a ＞，80a ＜，则下列结论正确的是( ) A ．78S S ＜ B ．1516S S ＜ C ．130S ＞ S 13＞0 D ．150S ＞ 5．数列{}n a 是等差数列，若11 10 1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n ＝( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21 二、填空题 6. 已知数列{}n a 中22n n a =+，求前n 项和n S = . 7．求数列 114?，147 ?，…，1(32)(31)n n -+，…的前n 项和n S = . 8．已知函数()232f x x x ＝ －，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(n ，n S )(n∈N * )均在函数f(x)的图象上，13n n n b a a += ，T n 是数列{}n b 的前n 项和，则使得20 n m T <对所有n *∈N 都成立的最小正整数m 等于________． 9．设函数()21123n n f x a a x a x a x -?＝＋＋＋＋，若已知1 (0)2 f =，且数列{a n }满足()2*1()n f n a n ∈N ＝，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 10．已知函数()2log f x x ＝，若数列{}n a 的各项使得()()()1222+4n f a f a f a n ，，，，， 成等差数列，则数列{}n a 的前n 项和n S ＝________. 三、解答题 11. 求下列各数列的前n 项和n S ： ⑴ 12，34，5 8 ，…，212n n -，； ⑵ 1，3a ，25a ，…，()1(21)n n a a --∈R ，； ⑶ 222212...1(2)3(4)(1)n n ----，，，，，， . 数列的综合运用（一） 一、选择题 1.已知数列{}n a 中，1(1)21n n n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前12和12S =（ ） A.76 B.78 C.80 D.82 2.在 ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若b =，则a c +的最大值为（ ） A. 3 2 B.3 C. D.9 二、填空题 3.在等差数列{}n a 中，12a =，36a =，若将1a ，4a ，5a 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为 . 4.已知数列{}n a 中，11a =，22a =，122(3)n n n a a a n --=+≥，则1260a a a +++= . 三、解答题 5.在数1和2之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =，n ∈N +. （1）求数列{}n A 的前n 项和n S ； （2）求2446222tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=?+?++? 的值. 6.已知数列1 {2 }n n a -?的前n 项和12n n S =- . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设||n n a b n =，求数列1 {}n b 的前n 项和. 7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-；正项数列{}n b 满足11n n n n b b b b ---=（2n ≥，n ∈n ∈N +），11b =. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 8.若数列{}n a 满足11a =，13(n n a a n +=∈N +). （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知等差数列{}n b 的各项均为正数，其前n 项和为n T ，且315T =，又11a b +，22a b +， 33a b +成等比数列，求n T . 9.已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2 1l o g n n n b a a =+，12n n S b b b =+++ ，求使1 2470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.1-2-2 数列递推关系综合应用 解析版
专题二数列综合问题
数列的综合应用教案
高三数学一轮复习精品教案1：数列的综合应用教学设计
2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)
导学案032数列的综合运用
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题
巩固练习数列求和数列的综合应用提高 (1)
数列的综合运用(一)