无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较

先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞

n x ＝0，lim n →∞

y ＝0．

考虑n n

n y x ∞→lim

可能出现各种情形：

0lim ≠=∞→c y x n

n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n

n n y x ， n x ＝21

n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n

n n y x l i m ， n x n 1=，21

n y n =

n n n y x ∞→lim 不存在 n

n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1

n ， n

n n y x

∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝

[1(1)]n

n +-，n y ＝21

，这时

n n

x y ＝[1(1)]n

n +-

可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。

定义3.10 设l i m n →∞

n x ＝0，lim n →∞

n y ＝0．

(1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n n x y ≤B ，则称n x 与n y 是同阶的无穷小量； (2)若lim

n →∞

x y ＝1，则称n x 与n y 为等价的无穷小量，记为n x ～n y ；

(3)若lim

n →∞

x y ＝0，则称n x 为较n y 高阶的无穷小量，或称n y 是较n x 低阶的无穷

小最．记为 n x ＝o(n y )．自然地，符号)1(o x n =，就表示n x 为无穷小量。

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ，

使得当n N >时，

有 0

n n x y ≤B ， ?则当n 充分大后，其绝对值互相被一常数倍限制着，

即 ||n x ≤B ||n y ，||n y ≤

||n x ，它们趋向于0的速度可以用常数倍来度量

n x 是比n y 高阶的无穷小量?n x ＝o(n y )?lim

n →∞

x y ＝0 ?

n n

y x α=或n n n y x α=其中0l i m =∞

→n n α

?0>?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<||

这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。

n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim

n →∞

x y ＝1 ?

n n

y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α

?n n n n y y x α+=

?)(n n n n n y o y y x ==-α，这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更

y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||

几个常用结论： 1、若 lim

n →∞

x y ＝0a ≠ ? n x 与n y 是同阶的 ? n x ＝()n O y 且)(n n x O y =

|||||||a a y x n n <- 或

|3||2||a y x a n n << 由 2||3||a y x n n < 得n x ＝()n O y

由|

||2||a x y a n n <<得)(n n x O y = 2、n x ＝()n o y ? n x ＝()n O y n x ＝()n o y ?l i m

n →∞

n n x y ＝0 ? ||n n

y ≤M ? n x ＝()n O y

3、?=)1(o x n )1(O x n =

＝a 0≠，其中α是某个正常数，则称n x 是α阶无穷小量，这时 n x ＝

α＋n α )1(1o n n αα=是较1n α高阶的无穷小量，我们把a

当x a →时()f x 与()g x 是同阶的无穷小量?若存在A >0，

B >0以及0δ>, 当0||x a δ<-<时，有 A ≤()

|()

f x

g x ≤B 当x a →时()f x 与()g x 是等价的无穷小量?lim x a →()

()

f x

g x ＝

1， ?()f x ～()g x （x a →）

当x a →时()f x 是较()g x 高阶的无穷小量? lim x a →()

()

f x

g x ＝

0 ?()f x ＝(o ()g x )（x a →）．

若存在0δ>，使得()

()

f x

g x 在0||x a δ<-<有界 ?()f x ＝

(O ()g x ) (x a →)．

例判别下列等式是否正确

)1(sin O x =（0→x ）

， )1(sin o x =（0→x ）， )(sin x O x =（0→x ）

， )(sin x o x =（0→x ）解 0sin lim 0

=→x

x ?)1(sin o x =（0→x ）

x ?)(sin x O x =（0→x ）

而 0sin lim 0≠→x

x x ，故)(sin x o x =（0→x ）是不正确的。

二、几个常用的等价无穷小关系

利用两个重要极限和函数的连续性，我们立即可以得到在自变量0→x 的趋向下，几个常用的等价无穷小关系

x x ~sin （0→x ） 1sin lim

0=→x x

x x ~t a n （0→x ） =→x x x tan lim

01cos 1

sin lim 0=→x

x x x x x ~a r c s i n （0→x ） =→x x x arcsin lim

01sin lim 0=→y y

x x ~a r c t a n （0→x ） =→x

x x arctan lim

01tan lim 0=→y y

221~

c o s 1x x -（0→x ） =-→202

x x )1l n (lim 01ln )1ln(lim 1

0==+→e x x x x e x ~1-（

0→x ）

=-→x

e x x 1

lim 0=-→y y y ln 1lim

11))1(1ln(1lim 1=-+-→y y y x

)1(lim 01)1ln()1ln(1lim

)1ln(0=++-+→x x x e x x αα 意义：1、用直线代替曲线，以简单代替复杂。

（在0=x 附近，可以用直线x y =代替曲线x y s i n =）

(在0=x 附近，可以用直线1-=x y 代替曲线x y ln =） 2、作无穷小等价代换，使许多复杂的极限都变得简单。

注 1 在求极限过程中我们直接用x 4代换了x 4sin ，用x 2

代换了11-+x ，是因为

=-+→114sin lim 0x x x =-+→1121)2

14(44sin lim 0x x

x x x x x x x x 214lim

x x x x cos )cos 1(sin lim

0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，所以

问题2 ~t a n x x s i n (0→x )，两者都是x 的一阶无穷小。但它们之差x x s i n t a n -却是x 的三阶无穷小。是否两个x 的一阶等价无穷小之差总是x 的三阶无穷小？

试考察例子： 3233)(x x x x f ++=， 3232)(x x x x g ++=，当0→x 时)(x f 和)(x g 都是x 的一阶等价无穷小，但 =-→2

即 )()(x g x f -是x 的二阶无穷小。

问题3 两个同价无穷小之差是否一定是一个更高阶的无穷小。

试考察例子： 32335)(x x x x f ++=， 3232)(x x x x g ++= 当0→x 时)(x f 和)(x g 都是x 的一阶无穷小，

但 24)()(x x x g x f +=-仍是x 的一阶无穷小。

若)(x f 和)(x g 是等价无穷小量，则)()(x g x f -是比其自身更高阶无穷小量。事实上 0)()

(lim 1)

()()(lim

=-=-→→x f x g x f x g x f x x x x

例5 求极限0lim x →22ln(12)

sin x ～x (0)x →，所以 0lim x →22ln(12)tan x x

+＝0lim x →2

22x x ＝2

总起来说，无穷小量的比较是用它们趋向于0的速度快慢来衡量的．这个观念是分析中十分重要的观念，现在还不能很好体会．以后学多了，便会逐步加深理解．

无穷小量的阶是无止尽的．换句话说，任一无穷小量都存在比它更高阶的无穷小量，也存在比它更低阶的无穷小量．

下面的数列中，后者是比前者更高阶的无穷小量；而且，相邻的两个无穷小量之间还可插入无穷小量，使得后者是比前者更高阶的无穷小量． …{1ln ln n }，{1ln n }， {1n }， {1n e }， {1!n }，{1

当0x x →时，若()f x 是比()g x 更高阶的无穷小量，则

1()f x 是比1

()

g x 更高阶的无穷大量。因此完全类似地可以讨论无穷大量的比较，在这里不再叙述了.

无穷大量与无穷小量极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 1 1<-，也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 1 1<-时，有： E x >-11。定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+→x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别；例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(,ΛΛ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠Θ时，)(x f 为有限数。例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法

若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时必有X x n >，而 0cos =n n x x 与(1)式矛盾。 ∴ +∞→x 时，x x y cos =，非无穷大。 4.无穷大运算的结论： (1)有界变量与无穷大量之和是无穷大量； (2)两个无穷大量之积是无穷大量； (3)有限个无穷大量之积是无穷大量。二、无穷小量： 1.概念：定义2.10 以零为极限的变量称为无穷小量。例如：021lim =∞→n n ，则称 ∞→n 时，变量 n n y 21 =是无穷小量。注无穷小量非很小的数，但零是可作为无穷小量的唯一的数。 2.两个重要结论：结论1 定理2.9 A y =lim ，?α+=A y ，0lim =α。例如： ?56lim =+∞→x x x ，Θx x x 5656+=+，而：05lim =∞→x x ，∴65 6lim =+∞→x x x 。结论2 定理2.10 若：0lim =α，且：0,>≤M M y ，?0lim =y α 推论若：C 为常数，0lim =α?0lim =αC 。例如：?1 sin lim 0=→x x x 0lim 0=→x x Θ，11sin ≤x ，∴01 sin lim 0=→x x x 。三、无穷大量与无穷小量的关系：定理2.11 若：∞=y lim ，? 01lim =y ；若：)0(,0lim ≠=αα?∞=α 1 lim 。例如：∞=+∞ →x x e lim ，? 01 lim =+∞→x x e 。注无穷大、无穷小与极限过程有关。四、无穷小的阶(无穷小的比较)： 1.概念：定义2.11 设βα,是关于同一过程的无穷小，α β lim 也是关于同一过程的极限，若：0lim =α β ，则称β是比α较高阶的无穷小，记：)(αβο=；

《数学分析》14无穷小量与无穷大量

§５无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim 0n n a →∞ =. 我们称之为无穷小数列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsin 0,x x →= 20 lim 0,x x →= 我们给这类函数一个名称——“无穷小量”。既然有“无穷小量”，与之对应的也应有“无穷大量”，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量”有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。一、无穷小量 1．定义１：设f 在某0 0()U x 内有定义。若0 lim ()0x x f x →=，则称f 为当0x x →时的无穷小量。记作： 0()0(1)()f x x x =→. （类似地可以定义当00,,,,x x x x x x x + - →→→+∞→-∞→∞时的无穷小量）。例：(1,2,),sin ,1cos k x k x x =- 都是当0x →时的无穷小量；是当1x - →时的无穷小量； 21sin , x x x 是x →∞时的无穷小量。 2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数g 在某0 0()U x 内有界，则称g 为当0x x →时的有界量，记作： 0()(1)()g x O x x =→. 例如：sin x 是当x →∞时的有界量，即sin (1)()x O x =→∞; 1 sin x 是当0x →时的有界量，即1 sin (1)(0) O x x =→. 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若0()0(1)()f x x x =→，则0()(1)()f x O x x =→. 区别：“有界量”与“有界函数”。一般在谈到函数f 是有界函数或函数f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点x ，都有|()|f x M ≤。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（２）性质性质１两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

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§５无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小（大）量及其阶的概念。会利用它们求某些函数的极限。教学要求：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征： lim a n 0 . 我们称之为无穷小数 n 列。通过前面几节对函数极限的学习。我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。例如： limsin x 0, lim x 2 0,L x 0 x 0 我们给这类函数一个名称——“无穷小量” 。既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ” 有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。一、无穷小量 1．定义１：设 f 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义。若 lim f ( x) 0 ，则称 f 为当 x x 0 时的无穷小量。记作： x x 0 f (x) 0(1)(x x 0 ) . （类似地可以定义当 x x 0 , x x 0 , x , x , x 时的无穷小量）。例： x k ( k 1,2, ),sin x ,1 cos x 都是当 x 0 时的无穷小量； 1 x 是当 x 1 时的无穷小量； L 1 sin x , 是 x 时的无穷小量。 x 2 x 2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２（有界量）若函数 g 在某 U 0 (x 0 ) 内有界，则称 g 为当 x x 0 时的有界量，记作： g( x) O (1)(x x 0 ) . 例如： sin x 是当 x 时的有界量，即 sin x O (1)(x ) ; sin 1 是当 x 0 时的有界量，即 1 x O(1)(x 0) . sin x 注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f (x) 0(1)(x x 0 ) ，则 f ( x) O (1)(x x 0 ) . 区别：“ 有界量 ”与“ 有界函数 ”。一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味着存在Ｍ >０， f 在定义域内每一点 x ，都有 | f (x) | M 。这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关” ，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。（２）性质性质１两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

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第周第学时教案授课教师：贾其鑫

第周第学时教案授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量定义：1.13 如果在x 的某一变化过程中，1() y f x =是无穷小量，则在该变化过程中，()f x 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim ()f x =∞ 如果在x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大（函数）, 就称函数 f (x )为当x →x 0(或x →∞)时的无穷大. 记为 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x →x 0(或x →∞)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作 ∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞ →)(lim x f x ). 讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x ??M >0, ?δ>0, 当0<|x -0x |<δ时, 有 |f (x )|>M . 正无穷大与负无穷大: +∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim ) ( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→1 1lim 1x x . 证因为?M >0, ?M 1= δ, 当0<|x -1|<δ 时, 有 M x >-|11| , 所以∞=-→1 1lim 1x x . 提示: 要使M x x >-=-| 1|1|11| , 只要M x 1|1|<-.

无穷小量与无穷大量

§1.3 无穷小量与无穷大量一、无穷小量与无穷大量的概念在实际问题中，经常会遇到以零为极限的变量。例单摆离开铅直位置并摆动, 由于受到空气阻力和机械摩擦力作用, 它的振幅随时间增加而逐渐减少并趋近于零; 又如在电容器放电时, 电压也是随时间的增加而逐渐减少趋近于零. 还有一些变量在变化过程中, 绝对值无限增大. 下面我们给出这两种变量的定义: 【定义1】如果lim ()0x X f x →=，则称函数()f x 是当x X →时的无穷小量，简称无穷小．若lim ()x X f x →=∞，则称()f x 为当x X →时的无穷大量，简称无穷大．也就是说, 无穷小是以0为极限的函数,无穷大是绝对值无限增大的函数. 例如, 当0x →时，2 ,sin x x , 当1x →时，2(1),ln x x -是无穷小,当x →∞时， 1x 是无穷小. 当0x →时，1x 是无穷大, 当x →∞时，2 x 是无穷大. “x X →”表示自变量的某个变化过程，可以是“x →∞、x →-∞、x →+∞、 0x x →、0x x -→、0x x +→”中的任何一种．在自变量的同一变化过程中的无穷小具有如下性质: 【性质1】有限个无穷小的代数和是无穷小. 【性质2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 由以上两个性质立得以下两性质: 【性质3】常数与无穷小的乘积是无穷小. 【性质4】有限个无穷小的乘积是无穷小.

【例1】求 0 1lim sin .x x x → 【分析】当0x →时, 1x →∞, 1 sin x 的取值在区间[1,1]-上波动, 无极限, 不能用积的极限法则计算, 应考虑无穷小的性质. 【解】当0x →时，x 是无穷小量, 又因为1 sin 1x ≤，所以1sin x 是有界变量；．根据性质2有0 1 lim sin 0.x x x →= 二、无穷大量与无穷小量的关系无穷小与无穷大有如下关系: 【定理1】在自变量的同一变化过程中, 如果()f x 为无穷大, 则 1 () f x 为无穷小；反之, 如果()f x 为无穷小, 且()0f x ≠, 则 1 () f x 为无穷大. 简言之, 同一过程中的无穷大的倒数为无穷小, 非零无穷小的倒数是无穷大. 【例2】求 1 1 lim 1 x x x →+-. 【解】当1x →时, 10x -→, 12x +→, 不能用商的极限法则. 考虑其倒数的极限, 有1 1lim 01x x x →-=+, 即当1x →时, 11x x -+是无穷小, 由定理1， 1 1 x x +-是无穷大, 因此 1 1 lim 1 x x x →+=∞-. 三、无穷小量的比较我们通常用速度来描述及比较物体运动的快慢, 那么, 怎样描述及比较无穷小量收敛速度的快慢呢? 例如，当0x →时，3x 、2x 、2 x 都是无穷小，而它们的比值的极限有各种不同情况： 2200003333lim lim ,lim 0,lim 2223x x x x x x x x x x →→→→====∞

无穷小量与无穷大量之间关系的应用

无穷小量与无穷大量之间关系的应用【摘要】结合教学中的体会，从无穷小量与无穷大量之间的相互关系入手，进一步认识无穷小量与无穷大量.学会利用二者之间的关系，解决一些实际问题，达到提高教学质量的目的. 【关键词】无穷大量；无穷小量【基金项目】中国矿业大学2012年青年教师校级教学改革资助项目（2001245）. 一、前言不论是在《高等数学》还是在《数学分析》中，都把无穷小量与无穷大量当作重点内容介绍，这是因为此部分内容为后续课程的学习提供了基础，例如用等价无穷小替换求极限、判定级数的收敛性等.从教材的编排上看，《高等数学》和《数学分析》中都是先讲无穷小量，后讲无穷大量.但是对无穷的概念的认识过程看，人类是先认识无穷大，后认识无穷小.所以在文献[1]中，作者按照人们认识无穷的进程，提出了自己的观点，认为先认识清楚无穷大，再认识无穷小.教材中这样安排，主要都是考虑教学的目的. 相对于无穷小与无穷大的比较，一般的教材中都讲无穷小的比较，在求极限时可以用等价无穷小代替等.在文献[2]

中，作者给出了无穷大的比较.在求极限的过程中，同样可以用等价无穷大相互之间替换求函数的极限.在文献[3]中，作者阐述了无穷小的哲学问题，指出了人们对无穷小认识的一些错误，提出了正确的观点，证明了认识无穷小的过程是符合实践――认识――再实践――再认识的自然辩证法. 从教科书和一些文献中，我们能很清楚地认识无穷大量和无穷小量及其性质，也能解决一些实际问题.但我们不能把二者割裂开来独立地去认识.现有的教材中只轻描淡写地说无穷大量和无穷小量符合倒数关系，先讲无穷小量，无穷大量的所有结论利用二者之间的倒数关系可以得到.这就使得学生产生一种误解，认为认识了无穷小量，就等于认识了无穷大量，而不会利用二者之间的关系灵活解决实际问题.本论文正是从解决上述问题出发，利用无穷大量和无穷小量之间的关系进一步认识二者，从而能更好地解决在实际应用中的一些问题.目的是改正教学过程中出现的错误和打消学生的疑惑，提高教学质量，这也符合人们认识自然的实践、认识、再实践、再认识的自然辩证法.

无穷小量和无穷大量

§1-3 无穷小量和无穷大量牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的“无穷小数”由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为．．．0的变量．．．，即称变量y 为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 小于预先给出的任何正数。例如，数列1,) n n →∞和当0x →时的函数,sin ,tan n x x x 等都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量 [0)(≡x α是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（∞→n 或x →?）中的无穷小量就简记成)1(o [读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o ”是牛顿当初用过的记号.定理1-1→? =x f x C lim ()??1()()()f x C o x =+→?. (充分必要条件) 特别，函数()f x 在点c 连续??()()(1)()f x f c o x c =+→（※）证若lim ()x f x C →?=，则lim[()]0x f x C →? -=，即 ()(1)()-=→?f x C o x 或 ()(1)()f x C o x =+→? 反之，若()(1)()f x C o x =+→?，则特别，当函数)(x f 在点c 连续时，因为lim ()()x c f x f c →=，所以有结论(※).例如，当x c →时， (1)=+n n x c o ， sin sin (1)=+x c o ， cos cos (1)=+x c o 1.无穷小量的运算规则利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若)1(o 是某一个极限过程(n →∞或x →?)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有⑴11()()O o o ?[其中O 是有界变量（*），特别它可以是常数]； ⑵111()()()o o o ±=，111()()()o o o ?=. 它们与常量的运算规则是不同的．．．．．．．．．．．．．．！ 2.无穷小量的比较在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量α看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量β与基本无穷小量α相比较.若有极限（*）记号O 读作“大欧”，也不能读作“零”。

数学分析答案无穷小量与无穷大量的阶)

习题 3.3 无穷小量与无穷大量的阶 1. 确定a 与α，使下列各无穷小量或无穷大量等价于(～) a x α： (1) u (x ) = x x x 543 32-+, (x →0，x →∞)； (2) u (x ) = x x x x 524 3 23+- (x →0，x →∞)； (3) u (x ) = x 3 + x 2 3 (x →0+，x →+∞)； (4) u (x ) = x x x ++ (x →0+，x →+∞)； (5) u (x ) = 13+x - 123 +x (x →0，x →+∞)； (6) u (x ) = x 2 1+ - x (x →+∞)； (7) u (x ) = - 3 2 x (x →0+)； (8) u (x ) = 1+x x - e 2x (x →0+)； (9) u (x ) = ln cos x - arc tan x 2 (x →0)； (10) u (x ) = x tan 1+ - 1-sin x (x →0)。解（1）)(x u ～)0(23→x x ；)(x u ～)(5∞→x x 。（2）)(x u ～)0(21→--x x ；)(x u ～ ) (3 1∞→x x 。（3）)(x u ～)0(3 2 +→x x ；)(x u ～)(2 3 +∞→x x 。（4）)(x u ～)0(81 +→x x ；) (x u ～)(21 +∞→x x 。（5）)(x u ～)0(65→x x ；)(x u ～ )(321 +∞→x x 。（6）)(x u ～ )(2 11 +∞→-x x 。（7）)(x u ～)0(21 +→x x 。（8）)(x u ～)0(2+→-x x 。

无穷大量与无穷小量&极限的运算法则

第五讲 Ⅰ 授课题目： §2.4无穷大量与无穷小量；§2.5极限的运算法则。 Ⅱ 教学目的与要求： 1、理解无穷大与无穷小的概念，弄清无穷大与无穷小的关系； 2、掌握极限的运算法则。 Ⅲ 教学重点与难点： 1、无穷大与无穷小的概念、相互关系； 2、用极限的运算法则求极限。 Ⅳ 讲授内容： §2.4无穷大量与无穷小量一、无穷大的概念：引例：讨论函数 1 1 )(-==x x f y ，当 1→x 时的变化趋势。当 1→x 时， 1 1 -x 越来越大(任意大)，即：+∈?R E ，要 E x >-11?E x 11<-，也即：+∈?R E ，01>?E ，当 E x 11<-时，有：E x >-1 1 。定义2.9：+∈?R E ，变量y 在其变化过程中，总有一时刻，在那个时刻以后，E y >成立，则称变量y 是无穷大量，或称变量y 趋于无穷大，记：∞=y lim 。如：∞=-→11 lim 1 x x ，-∞=+ →x x lg lim 0，+∞=-→ tgx x 2 lim π。注 1. 若：∞=y lim ，则习惯地称此时)(x f y =的极限为无穷(大)； 2.无穷大不能与很大的数混淆； 3.无穷大与无界变量的区别；例如：x x f y sin 1 )(= = 当)2,1,0(, ±±==k k x π时，∞→)(x f ，无界，但非无穷大，πk x ≠ 时，)(x f 为有限数。例1 函数 ?),(cos 内是否有界在+∞-∞=x x y 又当 +∞→x 时，此函数是否为无穷大？为什么？解用反证法若：当+∞→x 时，x x y cos =非无穷大， )1(,cos ,,0,0M x x X x X M >>>?>?有时当则，取2 2π π+ =n x n ，当n 充分大时

无穷小量与无穷大量的比较

§5 无穷小量与无穷大量的比较先看数列的情形．设,n n x y 是无穷小量，即：lim n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0．考虑n n n y x ∞→lim 可能出现各种情形： 0lim ≠=∞→c y x n n n ， n c x n =，n y ＝1n ； 0lim =∞→n n n y x ， n x ＝21 n ，n y ＝1n ； ∞=∞→n n n y x l i m ， n x n 1=，21 n y n = n n n y x ∞→lim 不存在 n n n y x ∞→lim 是有界量，n x ＝(1)n n -，n y ＝1 n ， n n n y x ∞→lim 是无界量，但非无穷大，n x ＝ [1(1)]n n +-，n y ＝21 n ，这时 n n x y ＝[1(1)]n n +- 可见，有些无穷小量可以比较，但有些不能。定义3.10 设l i m n →∞ n x ＝0，lim n →∞ n y ＝0． (1)若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0

n x 与n y 是同阶无穷小量?若存在A >0，B >0及正整数N ，使得当n N >时，有 0 ?ε，N ?，当N n >时，n n y x ε<|| 这表明n x 趋于0的速度比n y 快得多。 n x 与n y 为等价无穷小量?n x ～n y ?lim n →∞ n n x y ＝1 ? n n n y x α=-1，其中0l i m =∞→n n α ?n n n n y y x α+= ?)(n n n n n y o y y x ==-α，这表明：1、n 充分大时，n x 于n y 几乎相等。 2、两个等价无穷小量之差是比其自身更高阶的无穷小量还要引进一个记号： n x ＝()n O y ? 如果 n n x y 是有界的，即||n n x y ≤M )1(O x n = ? 如果M x n ≤||

§1-3-无穷小量和无穷大量

§1-3 无穷小量和无穷大量 17 §1-3 无穷小量和无穷大量牛顿-莱布尼茨的微积分中说的“无穷小数”同我们现在说的“无穷小量”是不同的。当时说的“无穷小数”由于理论基础上的缺陷, 所以当时就陷入了没有结果的争论之中。这也是当时像罗尔（Rolle,M. 1652--1719）这样的一些数学家们不接受微积分的原因之一。近代微积分的奠基人柯西从严处理了微积分的基本概念, 并把“无穷小量”说成是极限为．．．0的变量．．．，即称变量y 为无穷小量，若它在无限变化过程中，总有那么一个时刻，在这个时刻以后，能够使绝对值y 小于预先给出的任何正数。例如，数列 1,) n n →∞和当0x →时的函数,sin ,tan n x x x 等都是无穷小量。无穷小量在微积分中起的作用相当于常量数学中的“零”。可是，它不是常量[0)(≡x α是一个特例]，所以又不同于“零”。在某个极限过程（∞→n 或x →?）中的无穷小量就简记成)1(o [读作“小欧”，不能读作零]。小欧“o ”是牛顿当初用过的记号. 定理1-1 →? =x f x C lim ()??1()()()f x C o x =+→?. (充分必要条件) 特别，函数()f x 在点c 连续??()()(1)()f x f c o x c =+→ （※）证若lim ()x f x C →? =，则lim[()]0x f x C →? -=，即 ()(1)()-=→?f x C o x 或 ()(1)()f x C o x =+→? 反之，若()(1)()f x C o x =+→?，则 []lim ()lim (1)0x x f x C o C C →? →? =+=+= 特别，当函数)(x f 在点c 连续时，因为lim ()()x c f x f c →=，所以有结论(※).例如，当 x c →时， (1)=+n n x c o ， sin sin (1)=+x c o ， cos cos (1)=+x c o 1.无穷小量的运算规则利用极限的运算规则，容易证明无穷小量的下述运算规则：若 )1(o 是某一个极限过程(n →∞或x →?)中的无穷小量，根据极限的运算规则，则有 ⑴ 11() ()O o o ?[其中O 是有界变量（*），特别它可以是常数]； ⑵ 111()()()o o o ±=，111()()()o o o ?=. 它们与常量的运算规则是不同的．．．．．．．．．．．．．．！ 2.无穷小量的比较在某一个极限过程中，把某一个不取0值的无穷小量α看作“基本无穷小量”，而把另一个无穷小量β与基本无穷小量α相比较.若有极限（*）记号O 读作“大欧”，也不能读作“零”。