高中数学必修四向量练习题(附解析)

向量专项练习参考答案

一、选择题

1．(文)(2014·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

[答案] A

[解析] 设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评] 1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1

y 2

不等价． 2．证明共线(或平行)问题的主要依据：

(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)． |

(2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线． 要注意向量平行与直线平行是有区别的．

(理)(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n ＝( )

A ．－2

B ．2

C ．－12

D ．12

[答案] C

[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－1

2.

2．(2014·山东青岛期中)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b

|b |＝0成立的是( )

A ．a ＝－13b

B ．a ∥b $

C ．a ＝2b

D ．a ⊥b

[答案] A

[解析] 由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b

|b |表示与b 反向的单位向量，则a 与b 反向．而当a ＝－1

3b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D 都不正确，故选A.

[警示] 由于对单位向量、相等向量以及共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a

|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面内的所有单位向量的起点都移到原点，则单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须相同，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．

3．(2015·广州执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →

，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →

＝( )

A ．(－2,7)

B ．(－6,21)

C ．(2，－7)

D ．(6，－21)

[答案] B

[解析] 由条件知，PC →＝2PQ →－PA →

＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →

＝(－4,14)， "

∴BC →＝BP →＋PC →

＝(－6,21)．

4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →

＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( )

A ．平行四边形

B ．矩形

C ．梯形

D ．菱形 [答案] C

[解析] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →

， ∴四边形ABCD 为梯形．

5．(文)(2014·德州模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →

，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则x ＋y ＝( )

A ．－1

B ．1

C ．0

D ．2 |

[答案] B

[解析] 如图，设AB →＝λAC →

，

则OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.

[点评] 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．

(理)(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →

＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )

A ．直线

B ．双曲线

C ．圆

D ．椭圆

>

[答案] B

[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →

.

则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )??

????

x ＝λ，

1＝λy ?xy ＝1，故选B.

6．(2014·湖北武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →

＝( )

B ．OG →

D ．FO →

[答案] D

[解析] 由平行四边形法则和图示可知，选D.

@

二、填空题

7．已知a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈???

?－π2，π2，若a ∥b ，则tan α＝________. [答案] －3

3

[解析] ∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α

－3，∴2cos 2α＝－3sin α，

∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－1

2，

∵α∈???

?－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33.

8．(文)(2014·宜春质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →

，则λ＋μ＝________.

)

[答案] 1

2

[分析] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →

.

[解析] 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →

＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.

[点评] 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．

(理)(2014·河北二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π

3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP →＝λAB →＋μAC →

，则λμ＝________.

[答案] 10

49

[解析] 由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →

－AB →

)＝0，

∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →

2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，① ∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，②

由①②联立解得???

λ＝2

7μ＝5

7

，即λμ＝27×57＝10

49.

—

9．(文)已知G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →

＝αAB →，AF →＝βAC →

，则1α＋1β＝______.

[答案] 3

[解析] 连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →

)，设EG →＝λGF →，

∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →

＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，

∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →

，

∴?????

α1＋λ

＝13，λβ1＋λ＝13，∴?????

1α＝3

1＋λ，1β＝3λ1＋λ，

∴1α＋1

β＝3.

*

三、解答题 @

10．(文)已知O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →

，求 (1)t 为何值时，点P 在x 轴上点P 在y 轴上点P 在第四象限

(2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析] (1)OP →＝OA →＋tOB →

＝(t ＋2,3t －1)． 若点P 在x 轴上，则3t －1＝0，∴t ＝1

3； 若点P 在y 轴上，则t ＋2＝0，∴t ＝－2；

若点P 在第四象限，则?

????

t ＋2>03t －1<0，∴－2

3.

(2)OA →＝(2，－1)，PB →

＝(－t －1，－3t ＋4)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →

.

∴?

????

－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解． ∴ 四边形OABP 不可能为平行四边形．

同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．

(理)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π

4，求当|m |取最小值时实数t 的值；

(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π

4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．

[解析] (1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝32

2， ∴|m |＝

a ＋t b

2＝

5＋t 2＋2t a ·b ＝t 2＋32t ＋5＝

t ＋32

2

2＋

12，

∴当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为2

2.