高等数学 第一章 函数极限与连续 教案
【教学内容】§1.1 函数
【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】
一、组织教学，引入新课
极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。 二、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系
（3）实数的性质： ??
?????
封闭性
有序性
稠密性连续性
2、实数的绝对值
（1）绝对值的定义：,0
,0x x x x x ≥?=?-
（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质
练习：解下列绝对值不等式：① 53x -<，② 12x +≥ 3、区间
（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间
设a 与b 均为实数，且a b <，则
数集{x a x b ≤≤}为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ] 数集{x a x b <<}为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ） 数集{x a x b ≤<}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作[a ，b ） 数集{x a x b <≤}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作（a ，b ] 区间长度：b a - ② 无限区间
数集{x a x ≤<+∞}记作[a ，+∞）， 数集{x a x <<+∞}记作（a ，+∞） 数集{x x a -∞<≤}记作（-∞，a ]， 数集{x x a -∞<<}记作（-∞，a ） 实数集R 记作（-∞，+∞） （3）邻域
① 邻域：设a 与δ均为实数，且0δ>，则开区间（a δ-，a δ+）为点a 的δ邻域 记作(,)U a δ，其中点a 为邻域的中心，δ为邻域的半径。 ② 去心邻域：在的δ邻域中去掉点a 后，称为点a 的去心邻域，记作(,)U a δ。
（二）、函数的概念 1、函数的定义：
设有一非空实数集D ，如果存在一个对应法则f ，使得对于每一个D x ∈，都有一个惟一的实数y 与之对应，则称对应法则f 是定义在D 上的一个函数. 记作()y f x =，其中x 为自变量，y 为因变量，习惯上y 称是的函数。
定义域：使函数()y f x =有意义的自变量的全体，即自变量x 的取值范围D
函数值：当自变量x 取定义域D 内的某一定值0x 时，按对应法则f 所得的对应值0y 称 为函数()y f x =在0x x =时的函数值，记作00()y f x =。
值 域：当自变量x 取遍D 中的一切数时，所对应的函数值y 构成的集合，记作M ， 即{}D x x f y y M ∈==),( 函数的二要素： 定义域、对应法则
【例1.1】 设1
1
)(+=
x x f ，求（1）)1(-x f ；（2）??
??????? ??x f f 1． 答：（1）x x x f 1
1)1(1)1(=+-=
-；
（2）1
21
11
111++=++=??
?
??+=??
??????? ??x x x x
x x f x f f 【例1.2】 设34)1(2-+=+x x x f ，求)(x f ，??
? ??x f 1.
答： 62)(2-+=x x x f ，??? ??x f 1=)621(16121222
x x x x x -+=-??
? ??+???
??．
【例2】 判断下列每组的两个函数是否相同
（1）22ln ,ln y x y x ==， （2）
,y x y ==【例3】求下列函数的定义域：
（1）x x x f ---=421
)(2
； （2）)(x f =???≤<-≤≤2
1,
110,1x x ．
答：（1）]4,2()2,2()2,( ---∞=y D ；（2）函数)(x f 的定义域是[0，2]． 2、函数的表示法
（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法
分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数
例如：绝对值函数,0,0x x y x x x ≥?==?-
sgn 0,01,0
x y x x x >??
===??-
取整函数[],1y x n n x n ==≤<+ 现行出租车的收费标准：{}7.5,03
()7.5 1.53,3x p x x x
<≤??=?
+-
其中{}x 表示不小于x 的最小整数
（2）列表法：将一系列自变量x 的数值与对应的函数值y 列成表格表示函数的方法 （3）图形法：用图形表示函数的方法
说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 3、函数的性质 （1）单调性
定义：设函数)(x f y =的定义域为D ，区间I ?D ，若对I 内的任意两点21,x x ，当21x x ?时，
)()(21x f x f ?，则称)(x f y =在I 上单调增加；若当21x x ?时，有)()(21x f x f ?，则称)(x f 在I 上单调减少，区间I 称为单调区间. 说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。 （2）奇偶性
定义：设函数)(x f y =在D 上有定义，若对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称 )(x f y =为偶函数；若有)()(x f x f -=-，则称)(x f y =为奇函数. 性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。
偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.
【例4】 判断下列函数的奇偶性．
（1）)1,0(,2
≠>+=-a a a a y x x ； (2)x x
y -+=11ln ；
（3）242)(x x x f -=； （4）1)(3-=x x f ． 答：(1) 偶函数； (2) 奇函数； （3）偶函数； （4）非奇非偶函数．
（3）有界性
定义：设函数的定义域为D ，区间I ?D ，若存在一个正数M ，使得对任意的x I ∈，恒有 M x f ≤)(，则称函数y=f(x)在区间I 上有界。若不存在一个正数M ，则称函数 )(x f y =在区间I 上无界.
说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。 例如：sin y x =与cos y x =都在（+∞∞-,）内有界.
1
y x
=
在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界 （4）周期性
定义：设函数)(x f y =在D 上有定义，若存在一个非零的实数T ，对于任意的D x ∈，恒
有)()(x f T x f =+，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数.
最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期 说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期 例如：x y sin =的周期是2π，x y tan =的周期是π，)sin(?+=wx A y 的周期是
w
π
2. 函数c y =,（c 为常数）是周期函数，但不存在最小正周期, （三）、反函数
1、定义：设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一 的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为 因变量y 的函数，称此函数为)(x f y =的反函数，记作)(1y f x -= 说明：)(1y f x -=的定义域为M ，值域为D.
因习惯上自变量、因变量分别用x 、y 表示，则)(x f y =的反函数表示为)(1x f y -= 例如：x y =的反函数是2x y =)0(>x ，
其定义域就是x y =的值域[)+∞,0，值域是x y =的定义域[)+∞,0 2、性质：函数y=f(x)和其反函数)(1
x f y -=的图象关于直线x y =对称
3、反函数的存在性：
一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数
【例5】 求下列函数的反函数
（1）21,(,)y x x =-∈-∞+∞； （2）1,(,)x y e x =+∈-∞+∞
（四）、初等函数 1、基本初等函数
（1）常数函数c y =（c 为常数），其图形为一条平行或重合于x 轴的直线. （2）幂函数αx y =（α为实数）,其在第一象限内的图形
（3）指数函数x a
y=（1
,0≠
?a
a），定义域为R，值域为)
,0(+∞，
（4）对数函数)1
,0
(
log≠
?
=a
a
x
y
a
，定义域)
,0(+∞，值域为R，图形如图1-3（b）所示.
（5）三角函数x
y sin
=，x
y cos
=，x
y tan
=，x
y cot
=，x
y sec
=，x
y csc
=.
其中正弦函数x
y sin
=和余弦函数x
y cos
=的定义域都为R，值域都为[]1,1-，正切函数x
y tan
=的定义域为
?
?
?
?
?
∈
+
≠
∈Z
k
k
x
R
x
x,
,
π
π
且，值域为R
（6）反三角函数x
y arcsin
=，x
y arccos
=，y=
其中x
y arcsin
=与x
y arccos
=的定义域都为[]1,1-，值域分别为?
?
?
??
?
-
2
2
π
π
，和[]π,0
y=arcanx的定义域R，值域为?
?
?
?
?
-
2
,
2
π
π
，
（a）
2、复合函数 （1）定义：
设函数)(u f y =的定义域为f D ，函数)(x u ?=的值域为?M ，若φ?≠f D M ，则将
[])(x f y ?=称为)(u f y =与)(x u ?=复合而成的复合函数，u 称为中间变量，x 为自变量.
例如：函数1,ln 2+==x u u y ，因为12+=x u 的值域[)+∞,1包含在u y ln =的定义域 （0，+∞）内，所以)1ln(2+=x y 是u y ln =与12+=x u 复合而成的复合函数. （2）注意：
① 并不是任何两个函数都可以复合的.
如u y arcsin =与22x u +=就不能复合.
因为22x u +=的值域为[)+∞,2，而u y a r c s i n
=的定义域为[]1,1-，所以对于任意的x 所
对应的u ，都使u y arcsin =无意义；
② 复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合.
【例6】 指出下列复合函数的复合过程
（1）
3
12+=x y ； （2）2
tan ln x y =. 解：（1）
312+=x y 是由3u y =与 12+=x u 复合而成的； （2）2tan
ln x
y =是有νtan ,ln ==u u y , 2
x =ν复合而成的. 【例7】 已知()f x 的定义域为[]1,1-，求)(ln x f 的定义域.
解： 由1ln 1≤≤-x 得
e x e ≤≤1， 所以)(ln x
f 的定义域为??
????e e ,1. 3、初等函数
（1）定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式 表示的函数，称为初等函数.
（2）说明：分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数.
【例8】 已知1100112)(>≤<≤??
?
??-=x x x x x f x ，
求)2(-f ， )0(f ，)21
(f ，)2(f ，并作出函数图形
解： 4
12)2(2==--=x x
f ； 12)0(0===x x f ；
2
1
)
1()2
1(2
1=
-==x x f ； 11)2(2===x f （五）、建立函数关系举例
运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算.
【例9】从边长为a 的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x ， 周长为P ， 面积为A ，试分别将P 和A 表示为x 的函数. 解： 设矩形的另一条边长为
060tan 2?-x a =2
)
(3x a - 该矩形周长P =a x x x a 3)32(2)(3+-=+-， ),0(a x ∈ 矩形面积22
3232)(3x ax x x a A -=?-=
， ),0(a x ∈. 【例10】电力部门规定，居民每月用电不超过30度时，每度电按0.5元收费，当用电超过 30度但不超过60度时，超过的部分每度按0.6元收费,当用电超过60度时,超过部 分按每度0.8元收费。
试建立居民月用电费G 与月用电量W 之间的函数关系. 解： 当300≤≤w 时，G=05W
当6030≤
所示??
?
??>-≤<-≤≤==60
158.060303
6.03005.0)(w w w w w w w f G
【教学内容】§1.2 极限
【教学目的】理解并掌握极限的概念与性质 【教学重点】极限的概念与性质 【教学难点】极限概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】
一、组织教学，引入新课 二、讲授新课 （一）、数列的极限 1、数列
（1）定义：按正整数顺序排成的一列数为数列，记作{}n x
数列中的每一个数为数列的项，第n 项为通项 （2）通项公式：第n 项与项数n 之间的关系式
例如：（1）数列1，21，31，41……，n 1,……的通项为1n x n =，简记为数列1n ??????
（2）数列
21，32，43，54……，1+n n ,……的通项为1n n x n =+，简记为数列1n n ????+??
说明：数列可以看作是定义在正整数集上的函数，记作(),n x f n n N +=∈ （3）分类：
① 按项数分为???有穷数列：项数有限
无穷数列：项数无限
② 按是否有界分为
{}{}{}{}0,,0,,n n n n n n x M n x M x x M n x M x ?>?≤??
?>??有界数列：对数列，若存在对都有则为有界数列
无界数列：对数列，若对都存在一个使〉，则为无界数列
③ 按是否有极限分为???收敛数列发散数列
2、数列的极限
（1）定义：若当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一确定的常数A ，则称常数A 数 列{}n x 的极限（或数列{}n x 收敛于A ），记作A x n n =∞
→lim （∞→n 时，A x n →.）
说明：① 并非所有数列都有极限。如数列n n x 2=， n n x )1(-=.
② 没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散. ③ 一个常数数列的极限等于这个常数本身，即c c n =∞
→lim （c 为常数）
④ 当n 无限增大时，数列虽无极限，却有一定的变化趋势，如数列n n x 2=，称
其极限为正无穷大，记作lim 2n n →∞
=+∞。
【例1】 观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限.
（1）1
21-=n n x （2）n n x n
1
+= （3）n
n x )3(1
-= （4）4=n x
解：（1）1
21-=
n n x 的项依次为1，21，41，81……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0，
所以 121
lim -∞→n x =0
（2）n n x n 1+=的项依次为2，23，34，45
……，当n 无限增大时，n x 无限接近于1，
所以n
n x 1
lim +=∞→=1；
（3）n
n x )
3(1
-=
的项依次为31-，91，271-，……，当n 无限增大时，n x 无限接近于0， 所以n
x )
3(1
lim -=
∞
→=0； （4）4=n x 为常数数列，无论n 取怎样的正整数，n x 始终为4，所以44lim =∞
→n .
（2）收敛数列的性质
① 唯一性：收敛数列的极限是唯一的
② 有界性：收敛数列一定有界。即有界是收敛的必要条件，无界数列一定发散。 （3）数列极限的存在准则 ① 夹逼准则：
设有三个数列{}{}{}n n n x y z 、、满足条件：
,(1,2.
)n n n x y z n ≤≤=，且lim lim n n n n x z A →∞
→∞
==
则{}n y 收敛，且lim n n y A →∞
=
例如：
2n n →∞
++
+，22
2
11
1
lim(
)12
n n n n n
→∞
+++
+++ ② 单调有界准则：单调有界数列必有极限 （二）、函数的极限
1、当∞→x 时，函数)(x f y =的极限 （1）当∞→x 时，函数)(x f y =的极限
设函数)(x f y =在a x >时有定义（0a >），如果当自变量x 的绝对值无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当∞→x 时，函数
)(x f y =的极限，记作()A x f x =∞
→lim （或当∞→x 时，A x f →)(）.
（2）当x →+∞时，函数)(x f y =的极限
设函数)(x f y =在x a >时有定义（0a >），如果当自变量x 无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →+∞时，函数)(x f y =的极限，记作()lim x f x A →+∞
=（或当x →+∞时，A x f →)(）
（3）当x →-∞时，函数)(x f y =的极限
设函数)(x f y =在x a <-时有定义（0a >），如果0x x <且无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →-∞时，函数)(x f y =的极限，记作()lim x f x A →-∞
=（或当x →-∞时，A x f →)(）
（4）定理：A x f x =∞
→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞
→+∞
→)(lim )(lim .
说明：只有当lim ()x f x →+∞
与lim ()x f x →-∞
都存在且相等时lim ()x f x →∞
才存在。
【例2】 讨论下列函数当∞→x 时的极限.
（1）x
y 1=
； （2）x
y 2= ； （3）x y arctan =. 解：（1）当x 无限增大时，x
1无限接近于0， 所以x x 1
lim ∞→=0；
（2）+∞=+∞
→x
x 2lim ，02lim =-∞
→x
x ， 所以x
x 2lim ∞
→不存在.
（3）2
arctan lim π
=
+∞
→x x ，2
arctan lim π
-
=-∞
→x x ，所以x x arctan lim ∞
→不存在.
2、当0x x →时，函数)(x f y =的极限 （1）当0x x →时，函数)(x f y =的极限
设函数)(x f y =在0x 的某去心邻域0
0(,)N x δ内有定义，如果当x 无限趋近于0x 时，
)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数)(x f 的极限，记
作()A x f x x =→0
lim 或当0x x →，)(x f →A
（2）当0x x -→ 及0x x +
→时，函数)(x f y =的极限
设函数)(x f y =在（00,x x δ-）（或（δ+00,x x ））内有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）近旁无限接近于0x ，记作-→0x x （+
→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于
一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作A x f x x =-
→)(lim 0
或A x f =-)0(0，（A x f x x =+
→)(l i m
0或A x f =+)0(0）.
（3）定理 A x f x x =→)(lim 0
的充要条件是=-→)(lim 0
x f x x A x f x x =+
→)(lim 0
. 说明：定义中并不要求)(x f 在点0x 处有定义；
lim ()x x f x →存在当且仅当0lim ()x x f x -→与0
lim ()x x f x +
→都存在且相等 例如：函数x y 2=，当x 从1的左、右两旁无限趋近于1时，曲线x y 2=上的点M 与M ＇都
无限接近于点N(1,2)，即函数x y 2=的值无限接近于常数2，所以22lim 1
=→x
x .
【例3】 考察当1-→x 时，函数11
2+-=x x y 的变化趋势，并求1-→x 时的极限.
解： 从函数)1(11
1
2-≠-=+-=
x x x x y 的图形可知，当x 从左、右两旁同时无限趋近于-1时， 函数)1(111
2-≠-=+-=
x x x x y 的值无限趋近于常数2-， 所以().21lim 11
lim
1
21-=-=+--→-→x x x x x 【例4】讨论下列函数当0→x 时的极限.
（1）??
?
??<-=>==0
100
1
)sgn()(x x x x x f ； （2）???<-≥+=010
1)(x x x x x f .
解：（1）因为11lim )sgn(lim 0
==++→→x x x ，1)1(lim )sgn(lim 0
-=-=-
-→→x x x ， 所以 )sgn(lim 0
x x →不存在.
（2）因为1)1(lim )(lim 0
=+=++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 0
=-=-
-→→x x f x x ， 所以 1)(lim 0
=→x f x .
（四）、极限的四则运算 1、极限的四则运算
定理：设A x f x x =→)(lim 0
，B x g x x =→)(lim 0
,则
（1）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)(lim )(lim )()(lim 0
；
（2）CA x f C x f C x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0
，（C 为常数）；
（3）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0
；
（4）B
A
x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )
(lim )()(lim 0
00(B 0≠)
说明：（1）上述运算法则对于∞→x 时的情形也是成立的
（2）法则(1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形. （3）对于数列极限也是有类似的四则运算法则.
【例5】 求下列极限
（1）)32(lim 2
1++→x x x ； （2）1
2
32lim 22-+-→x x x x
【例6】 求下列极限
（1）24
lim 22--→x x x ； （2）)1311(lim 31x
x x ---→. 【例7】求下列函数极限.
（1）24543lim 22++--∞→x x x x x ； （2）1
233
2lim 232---+∞→x x x x x .
【例8】 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比q 满足1 【教学内容】§1.3 两个重要极限 【教学目的】理解并掌握极限的概念与运算 【教学重点】极限的概念与运算 【教学难点】极限概念的理解及运算 【教学时数】2学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 二、讲授新课 （一）、重要极限1sin lim 0=→x x x 1、列表考察当0→x 时， x sin 的变化趋势. 从上表可以看出，当0→x 时，x 的值无限趋近于1， 所以1sin lim 0=→x x x 说明：极限的正确性可用极限存在准则证明 2、特点：0 型 1)() (sin lim ) (0=∞→→x x x x x ?? 【例1】求下列极限 （1）x x x 32sin lim 0→； （2）x x x 1 sin lim ∞→. 【例2】证明：1tan lim 0=→x x x . 证： x x x t a n l i m 0→=)cos 1sin (lim 0x x x x ?→=x x x x x cos 1lim sin lim 00→→?=1 【例3】 求下列极限 （1）20cos 1lim x x x -→； （2）x x x 3tan 5sin lim 0→； （3）x x x -→ππsin lim . 解：（1）212 2sin 22sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim 02 2020=??==-→→→x x x x x x x x x x x （2）x x x 3tan 5sin lim 0→=x x x x x 33tan 355sin 5lim 0?? →=x x x x x x 33tan lim 55sin lim 3500→→=3 5 （3）x x x -→ππsin lim =0sin() lim x x x πππ-→--=1 （二）、重要极限e x x x =+∞→)11(lim 1、列表考察当∞→x 时，函数x )1 1(+的变化趋势. 从上表可以看出，当x →∞，x x )1(+的值都无限趋近于 590457182818284.2=e 所以e x x x =+∞→)1 1(lim 说明：极限的正确性可用极限存在准则证明 若令t x =1 ，则当∞→x 时，0→t ，所以上式可改写成：e t t t =+→1 0)1(lim 2、特点：1∞型 e x x x x x =+∞→→) (1) ()] (1[lim 0 ?? 【例4】 求下列极限 （1）x x x )21(lim +∞→； （2）()5 301lim +→-x x x ； （3）2 11lim +∞→??? ??-+x x x x . 解：（1）x x x )21(lim +∞→=2 2 2 )21(lim ??????+∞→x x x =2 22)21(lim ????????+∞→x x x =2 e （2）() 530 1lim +→-x x x = ()[]()531011lim x x x x -??????? -+--→=()[]()50 3 101lim 1lim x x x x x -???????-+→--→=3-e （3） 2 1 1 lim + ∞ → ? ? ? ? ? - +x x x x = 2 1 2 1 lim + ∞ → ? ? ? ? ? - + x x x = 3 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 lim? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - ∞ →x x x x = 3 2 2 1 2 11 2 1 lim . 2 1 1 1 lim? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + ∞ → - ∞ → -x x x x x =2e 【教学内容】§1.4 无穷小与无穷大 【教学目的】理解并掌握无穷小与无穷大的概念与性质 【教学重点】无穷小的性质及比较 【教学难点】无穷小的性质及比较 【教学时数】4学时 【教学过程】 一、组织教学，引入新课 二、讲授新课 (一)、无穷小 1、无穷小的定义 在自变量x 的某一变化过程中，若函数)(x f 的极限为零，则称此函数为在自变量x 的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小. 例如：函数2)1()(-=x x f ，因0)1(lim 21 =-→x x ，则函数2)1()(-=x x f 是当1→x 时的无穷小. 函数()x x f 1= ，因01 lim =∞→x x ，则函数()x x f 1=是当∞→x 时的无穷小. 说明：（1）必须指明自变量的变化趋势. （2）常数中只有“0”可以看成无穷小 2、无穷小的性质： （1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小； （2）有限个无穷小的代数和为无穷小； 说明：必须是有限个。如 2 1n n →∞ ++ =+ （3）有限个无穷小的乘积为无穷小. 【例1】求下列极限 （1）x x x sin lim ∞→； （2）2 2 lim (3cos )x x x x x →∞+++ 解：（1） 因01lim =∞→x x ，1sin ≤x ， 所以0sin lim =∞→x x x （2） 因2 2lim 0x x x x →∞+=+，3cos 4x +≤， 所以22 lim (3cos )0x x x x x →∞++=+ 3、无穷小与极限的关系 定理：在自变量的某一变化过程中，函数)(x f 的极限为A 的充要条件是)(x f 可以表示 成A 与一个同一变化过程中的无穷小量)(x α之和. 即 () ()x A x f A x f x x x α+=?=∞→→)()(lim 0 (二)、无穷大 1、无穷大的定义 在自变量x 的某一变化过程中，函数)(x f 的绝对值无限增大，则函数)(x f 称为在自变量x 的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为() ∞=∞→→)(lim 0x f x x x 例如：函数1()f x x = ，因∞=→x x 1lim 0，则1 ()f x x =是0→x 时的无穷大。 函数2()f x x =，因+∞=∞ →2lim x x ，所以2 ()f x x =是当∞→x 时的无穷大。 函数()ln f x x =，因-∞=-→x x ln lim 0 .所以()ln f x x =是当-→0x 时的无穷大。 说明：（1）这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在 （2）必须指明自变量的变化趋势. 2、无穷小与无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，若)(x f 为无穷大，则) (1x f 为无穷小；反之，若 )(x f 为 不恒等于零的无穷小，则) (1x f 为无穷大. 【例2】求1 22 3lim 2+--∞→x x x x . 解： 因为2312lim 2--+∞→x x x x =2223112lim x x x x x --+∞→=) 231(lim ) 1 2(lim 22x x x x x x --+∞→∞→=00 0100=--+ 所以∞=+--∞→1 22 3lim 2x x x x . 结论：??? ????>∞ <==++++++++----∞→m n m n m n b a b x b x b x b a x a x a x a m m m m n n n n x 0lim 111011 10 )0,0(00≠≠b a 1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 第一章光滑圆柱形结合的极限与配合 §1-1 基本术语及其定义 一、孔和轴 孔——通常指工件各种形状的内表面，包括圆柱形内表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形包容面。 轴——通常指工件各种形状的外表面，包括圆柱形外表面和其它由单一尺寸形成的非圆柱形被包容面。 二、尺寸的术语及其定义 1．尺寸 尺寸——用特定单位表示长度大小的数值。长度包括直径、半径、宽度、深度、高度和中心距等。 尺寸由数值和特定单位两部分组成。例如30 mm。 注：机械图样中，尺寸单位为mm时，通常可以省略单位。 2．基本尺寸（D，d） 基本尺寸——由设计给定，设计时可根据零件的使用要求，通过计算、试验或类比的方法，并经过标准化后确定基本尺寸。 注：孔的基本尺寸用“D”表示；轴的基本尺寸用“d”表示。 3．实际尺寸（Da，da） 实际尺寸——通过测量获得的尺寸。 由于存在加工误差，零件同一位置的实际尺寸不一定相等。4．极限尺寸 极限尺寸——允许尺寸变化的两个界限值。 允许的最大尺寸称为最大极限尺寸； 允许的最小尺寸称为最小极限尺寸。 三、偏差与公差的术语及其定义 1．偏差 偏差——某一尺寸（实际尺寸、极限尺寸等）减其基本尺寸所得的代数差。 分类： （1）极限偏差——极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为极限偏差。 （2）实际偏差——实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。 （1）极限偏差 上偏差——最大极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： ES=Dmax － D 轴： es=dmax －d 下偏差——最小极限尺寸减其基本尺寸所得的代数差。 孔： EI=Dmin －D 轴： ei=dmin －d （2）实际偏差 实际尺寸减其基本尺寸所得的代数差称为实际偏差。合格零件的实际偏差应在规定的上、下偏差之间。 【例1－1】某孔直径的基本尺寸为φ50mm，最大极限尺寸为φ50.048mm，最小极限尺寸为φ50.009mm，求孔的上、下偏差。 【例1－2】计算轴φ60mm -0.012+0.018的极限尺寸。若该轴加工后测得实际尺寸为φ60.012mm，试判断该零件尺寸是否合格。 第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x 第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤ 课 题：2.3函数的极限(二) 教学目的： 1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等 于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有 时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 极限配合和技术测量基础 授课教案 教学计划说明： 本课程主要介绍光滑圆柱形结合的极限与配合、技术测量的基本知识及常用计量器具、形状和位置公差、表面粗糙度、螺纹结合的公差和检测等。考虑到学生学过机械制图有一定的基础，况且本课程学时较少，内容较多故主要讲授了前三章内容。 课题：绪论 教学时数： 2 学时 授课时间： 教学方法： 讲授法 教学目的与要求： 理解互换性的概念 明确本课程的任务 教学重点与难点： 强调本课程的地位与作用,激发学生的学习兴趣 新授内容： 绪论 一、互换性概述 1．互换性的概念 互换性——指机械工业中，制成的同一规格的一批零件或部件，不需作任何挑选、调整或辅助加工，就能进行装配，并能满足机械产品的使用性能要求的一种特性。 互换性的优势：使用和维修方面 加工和装配方面 设计方面 互换性包括：几何参数（如尺寸、形状等）的互换 机械性能（如硬度、强度等）的互换 2．几何量的误差、公差和测量 零件的几何量误差——零件在加工过程中，由于机床精度、计量器具精度、操作工人技术水平及生产环境等诸多因素的影响，其加工后得到的几何参数会不可避免地偏离设计时的理想要求，而产生误差。 几何量误差主要包含：尺寸误差 形状误差 位置误差 表面微观形状误差——表面粗糙度 几何参数的公差——零件几何参数允许的变动量，它包括尺寸公差、形状公差、位置公差等。 只有将零件的误差控制在相应的公差内，才能保证互换性的实现。二、本课程的任务 了解 ?国家标准中有关极限与配合等方面的基本术语及其定义 ?有关测量的基本知识 ?形位公差的基本内容 ?表面粗糙度的评定标准及基本的检测方法 ?普通螺纹公差的特点 熟悉或理解 ?极限与配合标准的基本规定 ?常用计量器具的读数原理 ?形位公差代号的含义 ?螺纹标记的组成及其含义 掌握 ?极限与配合方面的基本计算方法及代号的标注和识读?常用计量器具的使用方法 ?形位公差代号的标注方法 ?表面粗糙度符号、代号的标注方法 作业布置： P1 一 教后感： 第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。 一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域： （1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥ 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ） 随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ； （3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？ 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____ 多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。 1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+- 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 教案 1 一、新课导入： 极限配合与技术测量主要内容包括极限与配合、形位公差、表面粗糙度和技术测量，主要学习和研究互换性，围绕零件的制造误差和公差概念及其使用要求之间的关系，合理的解决生产成本、产品质量与效益之间的矛盾。 二、新授内容： 第一章概述 第一节互换性 （一）互换性基本概念： 所谓互换性是指在制成同一规格的零件中，不需要作任何挑选或附加加工（如选配或钳工加工）就可以组装成部件或整机，并能达到设计要求。 举例说明：自行车手机电脑零部件的互换性。 （二）互换性的种类： 根据零件的互换范围不同： a)完全互换性：零、部件在装配时，不需要作任何选择或附加加工。 b)不完全互换性：零、部件在装配时，允许进行附加加工、选择与调 整。 完全互换性在机器制造中被广泛采用。 （三）分组装配法：为了解决加工困难和装配精度要求之间的矛盾。 把零件的互换性范围限制在同一组内的方法，称为分组装配法。属于不完全互换性。 第二节加工误差和公差 （一）加工误差： 1、加工误差的定义：零件的实际尺寸和理论上的绝对准确尺寸之差。 2、加工误差的分类： a)尺寸误差； b)形状误差； c)位置误差； d)表面粗糙度误差； e)波纹度误差。（未标准化） （二）公差： 1、公差的定义：零件的尺寸、几何形状、几何位置关系及表面粗糙度参 数值允许变动的范围。 2、公差的分类： a)尺寸公差； b)形状公差； c)位置公差； d)表面粗糙度公差； 第三节极限与配合标准 (一)标准化和标准： a)标准化：制定标准和贯彻执行技术标准为主要内容的全部活动过程。 b)标准：指为产品和工程上的规格、技术要求及其检测方法方面等所作的 技术规定。 （二）国家有关标准： 标准分为：国家标准行业标准地方标准企业标准 第四节技术测量概念 （一）技术测量的意义和对象： a)技术测量是实现互换性的必要条件。 b)所谓技术测量就是把被测出的量值与具有计量单位的标准量进行比较 从而确定被测量的量值。 c)技术测量的对象：长度、角度、表面粗糙度和形位公差。 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b ) 答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D). 【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .高等数学函数极限与连续习题及答案
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限
极限与配合第一章教案
第一章函数与极限复习提纲
大一高数第一章--函数、极限与连续
(完整版)高中数学《函数的极限》教案
极限配合与技术测量基础教案
高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点
第一章 函数与极限的练习解答
考研数学高数公式：函数与极限解读
1第一章 函数与极限答案
高数第一次课随堂练习函数与极限
(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2
(整理)多元函数的极限与连续习题.
高数同济7版教案第一章函数与极限
(完整版)公差与配合教案.
大学高等数学函数极限和连续
高等数学第一章函数极限与连续教案
答案高等数学第一章函数与极限试题