高三三月月考数学试卷(含答案)

杨浦高级中学高三三月月考数学试卷

.03

一. 填空题

1. 抛物线2

y x =的焦点坐标为

2. 已知全集{2,1,0,1,2}U =--，集合2

{|,,}1

A x x x Z n Z n ==

∈∈-，则U C A = 3. 如果131

lim 3(1)3

n n n n a +→∞=++，则a 的取值范围是

4. 关于x 的方程：4|42|3x

x

?-=的解为

5. 不等式1

00

1

lg 2011

1x

x x

-≥-的解集为

6. 向量a 、b 、c 在正方形网格中的位置如图所示， 若c a b λμ=+（,R λμ∈），则

λ

μ

= 7. 已知数列{}n a 满足11a =，12n

n n a a +=（*n N ∈），则2n a =

8. 在10

(2)x y z ++的展开式中，325

x y z 的系数为

9.（理）在极坐标中，将圆2ρ=沿着极轴正方形平移两个单位后，再绕极点逆时针旋转4

π 弧度，则所得的曲线的极坐标方程为

（文）一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92，则其高h =

10. 5位好朋友相约乘坐迪士尼乐园的环园小火车，小火车的车厢共有4节，设每一位乘客 进入每节车厢是等可能的，则这5位好朋友无人落单（即一节车厢内，至少有5人中的2 人）的概率是

11. 已知定义在R 上的函数()y f x =对于任意的x 都满足(2)()f x f x +=，当11x -≤<

时，3

()f x x =，若函数2()()log ||g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是

12.（理）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b （,0a b ≠），不 得分的概率为

2

a b

+，若他投篮一次得分ξ的数学期望74E ξ>，则a 的取值范围是

（文）设全集{(,)|,}U x y x y R =∈，34120(,)|280,,260x y P x y x y x y R x y ?+->?????

=--<∈??????

-+>???

，

222{(,)|,}Q x y x y r r R +=+≤∈，若U Q C P ?恒成立，则实数r 的最大值是

13.（理）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任

意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”

或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

① 1

0i ；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z z z z ++；④ 对于复数0z ，若1

2z z ，则12z z

z z ??；

其中，真命题的序号为

（文）已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），若12

31n

n n n n a a a a a +??=??+?当为偶数当为奇数

，若

61a =，则m 所有可能的取值构成的集合为

14.（理）符号

1n i

i a =∑表示数列{}n a 的前n 项和（即121...n

i

n i a

a a a ==+++∑），已知数列{}n a

满足10a =，11n n n a a a +≤≤+（*

n N ∈），记1

1

(1)

k n

a k n k S a -==

-∑（01a <<），若20160S =，

则当

2016

1

k

a k a

=∑取最小值时，2016a =

（文）在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”，类似的， 我们在复数集C 上，也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”，定义如下：对于任

意两个复数111z a b i =+，222z a b i =+（1212,,,a a b b R ∈），12z z ，当且仅当“12a a >”

或者“12a a =，12b b >”，按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

① 1

0i

；② 若12z z ，23z z ，则13z z ；③ 若12z z ，则对任意z C ∈，都有 12z z z z ++；④ 对于复数0z ，若1

2z z ，则12z z

z z ??；

其中，真命题的序号为

二. 选择题

15. 在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第 一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分 别成等差数列且公差互为相反数，若样本容量为160，则中 间一组（即第五组）的频数为（ ）

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

16. 已知F 为双曲线2

2

:3C x my m -=（0m >）的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线 的距离为（ ）

A.

B. 3

C.

D. 3m

17. 将函数sin y x x =+（x R ∈）的图像向左平移m （0m >）个单位长度后所得 到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ） A.

12π B. 6π C. 3

π

D. 56π 18. 在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点 从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ） A. 76R π B. 2R π C. 73R π D. 83

R π

三. 解答题

19. 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面是边长为6的正方形ABCD ，8PA =，PA ⊥面

ABCD ，点M 是CD 的中点，点N 是PB 的中点，连接AM 、AN 、MN ；

（理）（1）求证：AB MN ⊥； （2）求二面角N AM B --的大小； （文）（1）求证：AB MN ⊥；

（2）求异面直线AM 与PB 所成角的大小；

20. 已知向量11

(,sin )22a x x =+

和向量(1,())b f x =，且a ∥b ； （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；

（2）（理）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若(2)16

f A π

-=，BC =，

求△ABC 面积的最大值；

（文）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若有(2)16

f A π

-

=，BC =

sin B =

，求AC 的长度；

21. 某地拟模仿如图建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示，曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t ，曲线BC 是抛物线2

30y ax =-+（0a >）的一部分，CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径；

（1）若要求20CD =

米，30)AD =米，求t 与a 的值；

（2）当010t <≤时，若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过45米，求a 的取值范围；

22. 已知111212122

212

.....................m m m m mm a a a a a a a a a ??

?

?

?

?

??

，每一行都是首项为1的等差数列，第m 行的公差为m d ， 且每一列也是等差数列，设第m 行的第k 项为mk a （,1,2,3,..,m k n =，3n ≥，*n N ∈）；

（1）证明：1d 、2d 、3d 成等差数列，并用m 、1d 、2d 表示m d （3m n ≤≤）； （2）当11d =，23d =时，将数列{}m d 分组如下：（1d ），（2d ，3d ，4d ），（5d ，6d ，7d ，

8d ，9d ），…（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()m c （0m c >），

求数列{2}m c

m d 的前n 项和n S ；

（3）在（2）的条件下，设20N ≤且*N N ∈，当n N >时，求使得不等式1

(6)50

n n S d -> 恒成立的所有N 的值；

23. 如图，圆O与直线20

x++=相切于点P，与x正半轴交于点A，与直线y=

在第一象限的交点为B，点C为圆O上任一点，且满足OC xOA yOB

=+，以x、y为坐标的动点(,)

D x y的轨迹记为曲线Γ；

（1）求圆O的方程及曲线Γ的方程；

（2）若两条直线

1:l y kx

=和

2

1

:

l y x

k

=-分别交曲线Γ于点E、F和M、N，求四边

形EMFN面积的最大值，并求此时的k的值；

（3）（理）根据曲线Γ的方程，研究曲线Γ的对称性，并证明曲线Γ为椭圆；

（2）（文）已知曲线Γ的轨迹为椭圆，研究曲线Γ的对称性，并求椭圆Γ的焦点坐标；

参考答案

一. 填空题

1. 1(,0)4

2. {0}

3. (4,2)-

4. 4log 3x =

5. 2(0,](1,)3

+∞

6. 4

7. 2n

8. 20160

9.（理）4cos()4

π

ρθ=- （文）4

10.

31

256

11. 1(0,](5,)5+∞ 12.（理）52(,)123a ∈ （文）125

13.（理）① ② ③ （文）{4,5,32} 14.（理）1007 （文）① ② ③

二. 选择题

15. C 16. A 17. B 18. C

三. 解答题

19.（1）证明略；（2）；（文）；

20.（1）函数()f x 的最小正周期为2π，最大值为2；（2）（理）4

；（文）2AC =； 21.（1）10t =，190a =

；（2）2125

a ≥； 22.（1）证明略，12(2)(1)m d m d m d =-+-；

（2）1

(23)26n n S n +=-?+；（3）5,6,7,8,...,20N =；

23.（1）22:1O x y +=，22

:1x y xy Γ++=（,[33

x y ∈-）；

（2）当1k =±时，四边形EMFN 面积最大值为

3

； （3）（理）曲线Γ关于直线y x =，y x =-和原点对称，证明略；

（文）曲线Γ关于直线y x =±和原点对称，焦点坐标为1(,)33F -，2()33

F -；