常见导数不等式构造新函数
常见导数不等式构造新函数 ①含导数式)()()()(''x g x f x g x f +可构造函数：)()()(x g x f x F =； ②含导数式)()()()(''x g x f x g x f -可构造函数：)()()(x g x f x F =； ③含导数式)()('x af x f +可构造函数：ax e x f x F )()(=； ④含导数式)()('x af x f -可构造函数：ax e x f x F )()(=； ⑤含导数式)()('x f x f +可构造函数：x e x f x F )()(=； ⑥含导数式)()('x f x f -可构造函数：x e x f x F )()(=
例题：
1.函数)(x f 的定义域为R ，,2)1(=-f 对42)(,2)(,'+??∈?x x f x f R x 则的解集为（ ） A （1,1-） B （+∞-,1） C （2,∞-） D （+∞,2）
2.定义域为R 的可导函数)(x f y =
的导数为)('x f ，满足)()('x f x f ?且1)0(=f ，则不等式1)(?x e x f 的解集为（ ）
A(0,∞-) B （+∞,0） C （2,∞-） D （+∞,2）
3.定义在（+∞,0）的函数)(x f 非负数可导，且满足)()('x f x xf ?，
若m,n ),0(+∞∈且n m ?,则必有（ ）
A )()(m mf n nf ?
B )()(n mf m nf ?
C )()(n nf m mf ?
D )()(m nf n mf ?
4.设()()x g x f ,是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0 A ．()()+∞-,30,3 B ．()()3,00,3 - C ．()()+∞-∞-,33, D 、()()3,03, -∞- 5、)(x f 是定义在非零实数集上的函数，)(x f '为其导函数，且0 >x 时，0)()(<-'x f x f x ，记5log )5(log 2.0)2.0(2)2(22222.02.0f c f b f a ===，，，则 （ ） （A ）、b a c << （B ） c a b << （C ） c b a << （D ） a b c << 6、已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ??????==--= ? ? ???????，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a b c << B. b c a << C. a c b << D. c a b << 7、设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且0)2(=f ,当0>x 时,有2()()0xf x f x x '-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(-2,0) ∪(2,+∞) B ．(-2,0) ∪(0,2) C ．(-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-∞,-2)∪(0,2) 8、已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则 A ． 2(2)(3)(log )a f f f a << B ．2(3)(log )(2)a f f a f << C. 2(log )(3)(2)a f a f f << D ．2(log )(2)(3)a f a f f << 专题2.3构造函数法解不等式问题（小题） 在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个'()f x ，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是()f x 本身的单调性，而是包含()f x 的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是'()f x 的形式，则我们要构造的则是一个包含()f x 的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现'()f x ，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。 例如：'()0f x >，则我们知道原函数()f x 是单调递增的，若'()10f x +>，我们知道()()g x f x x =+这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。 既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如()g x 的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含()g x ，则也能大致将那个函数看成是原函数，例如'()()g x m x x =，或者()m x 的导函数中包含一个能判断符号的式子和()g x 相乘或相除的形式，我们也可以将()m x 大致看成()g x 的原函数。构造函数模型总结： 关系式为“加”型： （1）'()()0f x f x +≥构造''[()][()()] x x e f x e f x f x =+（2）'()()0xf x f x +≥构造''[()]()() xf x xf x f x =+（3）'()()0xf x nf x +≥构造''11'[()]()()[()()] n n n n x f x x f x nx f x x xf x nf x --=+=+（注意对x 的符号进行讨论） 关系式为“减”型 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<< -x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ， 即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-++ +=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-++ +x x ∴111) 1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要 证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 2 1)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f =F 用导数证明函数不等式的四种常用方法 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法. 例1 证明不等式：)0)1ln(>+>x x x （. 证明 设)0)(1ln()(>+-=x x x x f ，可得欲证结论即()(0)(0)f x f x >>，所以只需证明函数()f x 是增函数. 而这用导数易证： 1()10(0)1 f x x x '=- >>+ 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()f x g x x a >>(或()()()f x g x x a ≥≥)，只需证明()()0()f x g x x a ->>(或()()0()f x g x x a -≥≥). 设()()()()h x f x g x x a =->(或()()()()h x f x g x x a =-≥)，即证()0()h x x a >>(或()0()h x x a ≥≥). 若()0h a =，则即证()()()h x h a x a >>(或()()()h x h a x a ≥≥). 接下来，若能证得函数()h x 是增函数即可，这往往用导数容易解决. 例2 证明不等式：)1ln(+≥x x . 证明 设()ln(1)(1)f x x x x =-+>-，可得欲证结论即()0(1)f x x >>-. 显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证)1)(1ln()(->+-=x x x x f 的最小值是0，而这用导数易证： 1()1(1)11 x f x x x x '=-=>-++ 所以函数()f x 在(1,0],[0,)-+∞上分别是减函数、增函数，进而可得 min ()(1)0(1)f x f x =-=>- 所以欲证结论成立. 注 欲证函数不等式()()()(,f x g x x I I >≥∈是区间)，只需证明()()()0(f x g x x I ->≥∈. 第 1 页 共 6 页 构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方； 函数、导数和不等式 1i.(北京卷8)某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高.m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可 分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答 案． 解答：解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 2ii(北京卷14) 已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2．若同时满足条件： ①x∈R，f(x)＜0或g(x)＜0； ②x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)＜0． 则m的取值范围是________． iii 3(全国卷10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝（） （A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1 求导函数可得y′=3（x+1)(x-1） 令y′＞0，可得x＞1或x＜-1；令y′＜0，可得-1＜x＜1； ∴函数在（-∞，-1），（1，+∞）上单调增，（-1，1）上单调减 ∴函数在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值 ∵函数y=x^3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点 ∴极大值等于0或极小值等于0 ∴1-3+c=0或-1+3+c=0 ∴c=-2或2 4iv (福建卷9)若函数y=2x 图像上存在点（x ，y ）满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤??--≤??≥? ，则实数m 的最大值为（ ）A ． 12 B.1 C. 32 D.2 解：约束条件 x +y ?3≤0 x ?2y ?3≤0 x ≥m 确定的区域为如图阴影部分，即△ABC 的边与其内部区域， 分析可得函数y=2x 与边界直线x+y=3交与点（1，2）， 若函数y=2x 图象上存在点（x ，y ）满足约束条件， 即y=2x 图象上存在点在阴影部分内部， 则必有m≤1，即实数m 的最大值为1， 故选B ． 5v .（湖北卷9）函数f （x ）=xcosx 2在区间[0,4]上的零点个数为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 f(x)=xcosx2，0<=x<=4，0<=x2<=16<5.5π x=0是零点之一 cos2x=0，cosx=0，x=π/2或者x=3π/2或者x=5π/2或者x=7π/2或者x=9π/2 所以：零点共有6个 6vi （江苏卷13）已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：72分 总得分________ 1．(12分)(2011·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC 的三内角A 、B 、C 所对应的边长分别为a 、b 、c ，平面向量m ＝(cos A ，cos C )，n ＝(c ，a )，p ＝(2b,0)，且m ·(n －p )＝0. (1)求角A 的大小； (2)当|x |≤A 时，求函数f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ?? ?? x －π6的值域． 解：(1)m ·(n －p )＝(cos A ，cos C )·(c －2b ，a ) ＝(c －2b )cos A ＋a cos C ＝0 ?(sin C －2sin B )cos A ＋sin A cos C ＝0?－2sin B cos A ＋sin B ＝0. ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12?A ＝π3 . (2)f (x )＝sin x cos x ＋sin x sin ? ????x －π6＝1 2 sin x cos x ＋32sin 2x ＝14sin2x ＋32·1－cos2x 2＝34＋1 4sin2x － 34cos2x ＝34＋12sin ? ?? ?? 2x －π3. ∵|x |≤A ，A ＝π3，∴－π3≤x ≤π3－π≤2x －π3≤π3∴－1≤sin ? ????2x －π3≤32?3－24≤34＋12sin ? ????2x －π3≤3 2. ∴函数f (x )的值域为[3－24，3 2 ]． 第5讲 导数与函数零点、不等式证明、恒成立问题 高考定位 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题. 真 题 感 悟 1.(2016·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝ln x －x ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)证明当x ∈(1，＋∞)时，1 解得x0＝ln c－1 ln c ln c. 当x 第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． [解](1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0， 所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)＞0时，x＞e－2；当f′(x)＜0时，0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝x ln x－2x＋3(x＞0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)＞0，得x＞e；由g′(x)＜0，得0＜x＜e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， 构造法解导数不等式问题 一．知识梳理 常见的构造函数方法有如下法则构造函数 1.利用和差函数求导法则构造函数 （1）对于不等式()()() 00<>'+'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F +=。 （2）对于不等式()()() 00<>'-'或x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F -=。 特别地，对于不等式()() ()0≠<>'k k k x f 或，可构造函数()()kx x f x F -=。 2. 利用积商函数求导法则构造函数 （3）对于不等式()()()()() 00<>'+'或x g x f x g x f ，可构造函数()()()x g x f x F =。 （4）对于不等式()()()()() 00<>'-'或x g x f x g x f ，可构造函数()()() x g x f x F =。 ！ （5）对于不等式()()() 00<>+'或x f x f x ，可构造函数()()x xf x F =。 （6）对于不等式()()() 00<>-'或x f x f x ，可构造函数()()()0≠= x x x f x F 。 （7）对于不等式()()() 00<>+'或x nf x f x ，可构造函数()()x f x x F n =。 （8）对于不等式()()() 00<>-'或x nf x f x ，可构造函数()()()0≠= x x x f x F n 。 （9）对于不等式()()() 00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x f e x F x =。 （10）对于不等式()()() 00<>+'或x f x f ，可构造函数()()x e x f x F = 。 （11）对于不等式()()() 00<>+'或x kf x f ，可构造函数()()x f e x F kx =。 （12）对于不等式()()() 00<>-'或x kf x f ，可构造函数()()kx e x f x F = 。 （13）对于不等式()()() 00tan <>'+或x x f x f ，可构造函数()()x xf x F sin =。 函数、导数与不等式综合题 1 已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >>.（1）若)(x f 在[)0,+∞上是减函数，求 a 与 b 的关系；（2）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（3）解不等式ln x x x x 2 21- -???? ??-+≤ln2–1. 解：.（1）()1a a b ax f x ax b ax b --'= -= ++. ………………1分 0,0,0x a b >>≥, ()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤. 当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>∴+>--≥≤, 即()0f x '≤. ()f x ∴在[0,)+∞上是减函数时，b a ≥. ………………………4分 （2）由（1）知，（i ）当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =；……5分 当b a <时， ()a b ax f x ax b --'= +， ∴当0a b x a -< ≤时，()0f x '>，当a b x a ->时()0f x '<， 即在[0, )a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，………………7分 ∴a b x a -= 时()f x 取最大值， 最大值为max ()( )ln a b a b f x f a a a --==- ， 即max ln (), ()ln ().b b a f x a b a b a a ?? =?-- 专题四 集合、函数与导数、不等式（文） 2011年 1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则=?（M N ） 2．函数0)y x =≥的反函数为 5．下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A ．1a b >+ B ．1a b >- C ．22a b > D ．33a b > 10．设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2 f -= 21． 已知函数{}32()3(36)124f x x ax a x a a R =++---∈ （I ）证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）； （II ）若0()f x x x =在处取得极小值，0(1,3)x ∈，求a 的取值范围。 2010年卷1 2、设全集U ＝（1，2，3，4，5），集合M ＝（1，4），N ＝（1，3，5）， 则N ?（C ，M ） 7.已知函数f (x )= lg x .若a ≠b ，且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是 10.设a =log 3，2，b =ln2，c =12 5-,则 （A ）a ＜b ＜c (B)b ＜c ＜a (C)c ＜a ＜b (D)c ＜b ＜a 13.不等式2232 x x x -++>0的解集是 . 21. 已知函数f (x )=3a x 4-2(3a +2)x 2+4x . (Ⅰ)当a =16 时，求f (x )的极值; (Ⅱ)若f (x )在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围. 2009年卷1 2. 设集合A=｛4，5，6，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=A B ， 则集合［u （A B ）中的元素共有 (A) 3个 （B ） 4个 （C ）5个 （D ）6个 3.不等式111x x +?-的解集为 6.已知函数()f x 的反函数为()()10g x x ＝＋2lgx ＞，则(1)(1)f ＋g ＝ 10.如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π中心对称，那么φ的最小值为 21. 已知函数42()36f x x x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点， 求l 的方程 2008年卷1 1.函数y =1x x -+的定义域为 2. 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 4.曲线y =x 3－2x +4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 8.若函数y ＝f (x )的图像与函数y =1n 1+x 的图像关于直线y ＝x 对称，则f (x )＝ 21.已知函数f (x)=x 3+a x 2+x+1,a ∈R. （Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间； （Ⅱ）设函数f(x)在区间（－21,33 -）内是减函数，求α的取值范围. 2007年卷1 导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集为 A． B． C． D． 2．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得 成立的的取值范围是（） A． B． C． D． 3．定义在上的偶函数的导函数，若对任意的正实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（） A． B． C． D． 4．已知函数定义在数集上的偶函数，当时恒有，且，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 5．定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（） A． B． C． D． 6．设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（） A． B． C． D． 7．已知偶函数满足，且，则的解集为 A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( ) A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式 的解集为（） A． B． C． D． 10．定义在上的函数f(x)满足，则不等式的解集为A． B． C． D． 11．已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数．若 ，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 12．已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且对于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有（） A． e2017f(－2017) 导 数 的 应 用 --------利用导数证明不等式 教学目标：1、进一步熟练并加深导数在函数中的应用并学会利用导数证明不等式 2、培养学生的分析问题、解决问题及知识的综合运用能力； 教学重点：利用导数证明不等式 教学难点：利用导数证明不等式 教学过程： 一、复习回顾 1、利用导数判断函数的单调性； 2、利用导数求函数的极值、最值； 二、新课引入 引言：导数是研究函数性质的一种重要工具．例如：求函数的单调区间、求函数的最大（小）值、求函数的值域等等．然而，不等式是历年高考重点考查的内容之一.尤其是在解答题中对其的考查，更是学生感到比较棘手的一个题.因而在解决一些不等式问题时，如能根据不等式的特点，恰当地构造函数，运用导数证明或判断该函数的单调性, 出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题．然后用函数单调性去解决不等式的一些相关问题，可使问题迎刃而解. 因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题． 下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用． 三、新知探究 1、利用导数得出函数单调性来证明不等式 例1：当x>0时,求证：x 2x 2 -＜ln(1+x) . 证明：设f(x)= x 2x 2-－ln(1+x) (x>0), 则f '(x)=2x 1x -+． ∵x>0,∴f '(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减， 所以x>0时,f(x) 导数选择题之构造函数法解不等式的一类题 一、单选题 1．定义在R 上的函数f(x)的导函数为f ′(x)，若对任意实数x ，有f(x)>f ′(x)，且f(x)+2018为奇函数，则不等式f(x)+2018e x <0的解集为 A ． (?∞,0) B ． (0,+∞) C ． (?∞,1e ) D ． (1e ,+∞) 2．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，f(?1)=0，当x <0时，f′(x)< f(x)x ，则使得f(x)>0成 立的x 的取值范围是（ ） A ． (?∞,?1)∪(0,1) B ． (?∞,?1)∪(?1,0) C ． (0,1)∪(1,+∞) D ． (?1,0)∪(0,+∞) 3．定义在R 上的偶函数f(x)的导函数f′(x)，若对任意的正实数x ，都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立，则使x 2f(x)?f(1) 导数中的不等式证明 【考点点睛】 放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。 命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法 命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用 在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界. 命题角度3 切线法 【典例5】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数()2 x f x e x =-. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x +--≥+. 【解析】（1）()2x f x e x =-，()2x f x e x '=-， 由题设得()()12,11f e f e '=-=-， ………﹝导数的几何意义的应用﹞ 所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()()211y e x e =--+-，即()21y e x =-+； （2）令()()g x f x '=，则()2x g x e '=-， 函数导数与不等式专题 2 函数导数与不等式专题 一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题 1．（2013年高考四川）已知函数 22,0()ln ,0 x x a x f x x x ?++<=?>?,其中a 是实数. 设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12 x x <. (1)指出函数()f x 的单调区间; (2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,证明:211x x -≥; (3)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围. 2．（2014届江西省新余）已知函数x (=， f ln ) x b x ax g． x =a R) ( ) (2∈ - （1）若曲线)(x f与)(x g在公共点)0,1(A处有相同的切线，求实数a、b的值； （2）当1=b时，若曲线)(x f与)(x g在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一； （3）若0>a，1=b，且曲线)(x f与)(x g总存在公切线，求正实数a的最小值． 3 4 二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题 3．（2014届云南省师大附中）已知函数2()f x x ax =-，()ln g x x =． （1）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设()()()h x f x g x =+有两个极值点12,x x ，且110,2x ??∈ ??? ，求证：12 3()()ln 24h x h x ->-； 导数不等式构造法 例1、（2013辽宁）设函数()()()()()2 2 2,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时， （ ） A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值 例2、定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，()0,x ?∈+∞，()2log 3f f x x -=????，则方程()()2f x f x '-=的解所在区间是（ ） A ．10,2?? ?? ? B ．1,12?? ??? C ．()1,2 D ．()2,3 例3、已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且()()x f x a g x =（0 a >且1a ≠）， ()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ??????????的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 例4、已知函数()f x 的导函数()2sin f x x '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以 4π为公差的等差数列，若234()()()3f a f a f a π++=，则 20142 a a =（ ） A ．2016 B ．2015 C ．2014 D ．2013 例1、【答案】D 【解析】由已知，2[()]x e x f x x '=(1)。在已知2 ()2()x e x f x xf x x '+=中令2x =， 并将2(2)8e f =代入，得(2)0f '=；因为2()2()x e x f x xf x x '=-，两边乘以x 后令32()()2[()](2)x g x x f x e x f x '==-。 求导并将（1）式代入，2()2x x x e x g x e e x x -'=-?=，显然(0,2)x ∈时，()0g x '<，()g x 减；(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 增；并且由（2）式知(2)0g =，所以(2)0g =为()g x 的最小值，即()0g x ≥， 所以3 ()0x f x '≥，在0x >时得()0f x '≥，所以()f x 为增函数，故没有极大值也没有极小值。 例2、 例3、A 例4、D 例5、若函数()y f x =对任意)2,2(ππ- ∈x 满足()()cos sin 0,f x x f x x '+>则下列不等式成立的是 A ．)4()3(2ππ-<-f f B ．)4()3(2ππf f 构造函数法解不等式问题(学生版)
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