高考解析几何压轴题精选(含答案)
1. 设抛物线2
2(0)y px p =>的焦点为F ,点(0,2)A .若线段F A 的中点B 在抛物线上,
则B 到该抛物线准线的距离为_____________。(3分)
2 .已知m >1,直线2
:02
m l x my --=,椭圆22
2
:
1x C y m
+=,1,2F F 分别为椭圆C 的左、
右焦点. (Ⅰ)当直线l 过右焦点2F 时,求直线l 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点,12AF F V ,12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段G H 为直径的圆内,求实数m 的取值范围.(6分)
3已知以原点O 为中心,)
0F
为右焦点的双曲线C 的离心率2
e =
。
(I ) 求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程;
(II )
如题(20)图,已知过点()11,M x y 的直线111:44l x x y y +=与过点()22,N x y (其中2x x ≠)的直
线222:44l x x y y +=的交点E 在
双曲线C 上,直线MN 与两条渐近线分别交与G 、H 两点,求O G H ?的面积。(8分)
4.如图,已知椭圆222
2
1(0)x y a b a b +=>>2
,以该椭圆上的点和椭圆的左、右
焦点12,F F 为顶点的三角形的周长为1)+.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线1PF 、2
PF 的斜率分别为1k 、2k ,证明12·1k k =;(Ⅲ)是否存在常数λ,使得·
AB CD AB CD λ+=恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.(7分)
5.在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆
15
9
2
2
=+
y
x
的左、右顶点为A 、B ,右焦点
为F 。设过点T (m t ,)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ,其中
m>0,0,021<>y y 。 (1)设动点P 满足42
2
=-PB
PF ,求点P 的轨迹;
(2)设3
1,221=
=x x ,求点T 的坐标;
(3)设9=t ,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)。(6分)
6.如图,设抛物线2
:x y C =的焦点为F ,动点P 在直线02:=--y x l 上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.
(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.(6分)
7.设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点,点N (1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB 的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由. (此题不要求在答题卡上画图)(6分)
8.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,长轴A 1A 2的长为4,左准线l 与x 轴的交点为M ,|MA 1|∶|A 1F 1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点P 为l 上的动点,求∠F 1PF 2最大值.(6分)
9.设F 1,F 2是椭圆
14
9
2
2
=+
y
x
的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1| : |PF 2|=2 : 1,则
三角形?PF 1F 2的面积等于______________.(3分)
10.在平面直角坐标系XOY 中,给定两点M (-1,2)和N (1,4),点P 在X 轴上移动,当M P N ∠取最大值时,点P 的横坐标为___________________。(3分)
11.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上,另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .(3分)
12.已知0C :12
2
=+y x 和1C :
)0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x 。试问:当且仅当a ,b 满足什
么条件时,对1C 任意一点P ,均存在以P 为顶点、与0C 外切、与1C 内接的平行四边形?并证明你的结论。(4分)
13. 设曲线C 1:12
2
2=+y
a
x (a 为正常数)与C 2:y 2=2(x+m)在x 轴上方公有一个公共点P 。
(1)实数m 的取值范围(用a 表示);
(2)O 为原点,若C 1与x 轴的负半轴交于点A ,当0 1时,试求⊿OAP 的面积的最 大值(用a 表示)。(5分) 14.已知点)2,0(A 和抛物线42+=x y 上两点C B ,使得BC AB ⊥,求点C 的纵坐标的取值范围.(4分) 15.一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ,且OA =a . 拆叠纸片,使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合,这样的每一种拆法,都留下一条直线折痕,当A /取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.(6分) 16.(04,14)在平面直角坐标系xoy 中,给定三点4 (0,),(1,0),(1,0)3A B C -,点P 到直 线BC 的距离是该点到直线AB ,AC 距离的等比中项。 (Ⅰ)求点P 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线L 经过A B C ?的内心(设为D ),且与P 点的轨迹恰好有3个公共点,求L 的斜率k 的取值范围。(5分) 17.过抛物线2x y =上的一点A (1,1)作抛物线的切线,分别交x 轴于D ,交y 轴于B.点C 在抛物线上,点E 在线段AC 上,满足 1λ=EC AE ;点F 在线段BC 上,满足 2λ=FC BF , 且121=+λλ,线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时,求点P 的轨迹方程.(6分) 18.参数方程练习题(13分) 1.直线12+=x y 的参数方程是( )。 A.???+==1 22 2t y t x B. ???+=-=1412t y t x C. ???-=-=121t y t x D. ???+==1sin 2sin θθy x 2.方程???? ? =+ =2 1y t t x 表示的曲线是( )。 A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分 3.参数方程???+-=+=θ θ 2cos 1sin 22y x (θ为参数)化为普通方程是( )。 A.042=+-y x B. 042=-+y x C. 042=+-y x ]3,2[∈x D. 042=-+y x ]3,2[∈x 4.直线l :02=++kx y 与曲线C :θρcos 2=相交,则k 的取值范围是( )。 A.4 3- ≤k B. 4 3- ≥k C. R k ∈ D. R k ∈但 0≠k 5.圆的方程为???+=+-=θ θsin 23c os 21y x ,直线的方程为?? ?-=-=1 612t y t x ,则直线与圆的位置关系是 ( )。 A.过圆心 B.相交而不过圆心 C.相切 D.相离 6.参数方程?? ??? -==1 112 t t y t x (t 为参数)所表示的曲线是( )。 A B C D 7.曲线C :?? ? +-==θ θ sin 1cos y x (θ为参数)的普通方程为 ;如果曲线C 与直线 0=++a y x 有公共点,那么实数a 的取值范围为 。 8.(2011广东) 已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θ θπθ?=?≤=??和?? ??? ==t y t x 24 5(t R ∈),它们的交点坐标为 。 9.已知x 、y 满足4)2()1(2 2 =++-y x ,求y x S -=3的最大值和最小值。 答案:1. 解析:利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为 2,B 点坐标为 ( 14 2,)所以点B ,本题主要考察抛物线的定义及几何 性质,属容易题 2.(Ⅰ)解:因为直线:l 2 02 m x my -- = 经过20)F , 所以 2 2 m = ,得 2 2m =,又因为1m > ,所以m =,故直线l 的方程为02 x - - =。 (Ⅱ)解:设1122(,),(,)A x y B x y 。 由2 2222 1 m x m y x y m ?=+????+=??,消 去x 得 2 2 210 4 m y m y ++ -= 则由 2 2 28( 1)804 m m m ?=--=-+>,知2 8m <,且有2 12121,2 8 2 m m y y y y +=- = - 。 由于12(,0),(,0),F c F c -,故O 为12F F 的中点,由2,2AG G O BH H O == ,可知 1121( , ),( , ),3 3 3 3 x y x y G h 2 2 2 1212() () 9 9 x x y y GH --= + 设M 是G H 的中点,则 12 1 2 ( ,)6 6 x x y y M ++,由题意 可 知 2, M O GH <即 2 2 2 2 12 12 1212() () 4[( )( )]6 699 x x y y x x y y ++--+< + 而 22 12121212()()22m m x x y y my my y y +=+++ 22 1(1()82m m =+-)所以2 1 082 m -< 即24m <又因为1m >且0?>所以12m <<。所以m 的取值范围是(1,2)。 3.【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为c a = 2 a =,又22a c +=1), 所以可解得a =2c =,所以22 2 4b a c =-=,所以椭圆的标准方程为 2 2 18 4 x y + =; 所以椭圆的焦点坐标为(2±,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所 以该双曲线的标准方程为 2 2 14 4 x y - =。 4. 5.(1)设点P (x ,y ),则:F (2,0)、B (3,0)、A (-3,0)。 由42 2 =-PB PF ,得2222 (2)[(3)]4,x y x y -+--+= 化简得92 x = 。 故所求点P 的轨迹为直线92 x = 。 (2)将3 1,221==x x 分别代入椭圆方程,以及0,021<>y y 得:M (2,53 )、N ( 13 ,209 - ) 直线MTA 方程为: 035230 3 y x -+= +-,即113 y x = +, 直线NTB 方程为: 32010 3 9 3y x --= - --,即 5 5 62y x =-。联立方程组,解得:7 103x y =?? ?= ?? , 所以点T 的坐标为10(7, )3 。 (3)点T 的坐标为(9,)m 直线MTA 方程为: 030 93 y x m -+=-+,即(3)12 m y x =+,直线NTB 方程为: 030 93 y x m --= --, 即(3)6 m y x =-。分别与椭圆 15 9 2 2 =+ y x 联立方程组,同时考虑到123,3x x ≠-≠, 解得:2 2 2 3(80)40( , )8080m m M m m -++、2 2 2 3(20)20(,)2020m m N m m -- ++。 (方法一)当12x x ≠时,直线MN 方程为:2 22 22 2222 203(20) 202040203(80)3(20) 80208020m m y x m m m m m m m m m m -+ -++=--+-++++ 令0y =,解得:1x =。此时必过点D (1,0);当12x x =时,直线MN 方程为:1x =,与x 轴交点为D (1,0)。 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1,0)。 6.(1)设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(012 1120x x x x x x ≠和, ∴切线AP 的方程为:;022 00=--x y x x 切线BP 的方程为:;022 11=--x y x x 解得P 点的坐标为:101 0,2 x x y x x x P P =+= 所以△APB 的重心G 的坐标为 P P G x x x x x =++= 3 10, ,3 43 )(3 3 2 1 02 101 02 12010p P P G y x x x x x x x x x y y y y -= -+= ++= ++= 所以2 43G G p x y y +-=,由点P 在直线l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为: ).24(3 1,02)43(2 2 +-= =-+--x x y x y x 即 (2)方法1:因为).4 1,(),4 1,2 ( ),4 1,(2 11101 02 00- =- +=- =x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外,则.0||≠FP ∴41) 1 )(1(cos 102 01001 0x x x x x x x x AFP += -- +?+= = ∠ 同理有41)1)(1(cos 102 11011 0x x x x x x x x BFP += -- +?+= ?= ∠ ∴∠AFP=∠PFB. 7.(Ⅰ)解法1:依题意,可设直线AB 的方程为λ=++-=2 2 3,3)1(y x x k y 代入,整 理得 .0)3()3(2)3(2 22=--+--+λk x k k x k ① 设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根, ∴,0])3(3)3([42 2>--+=?k k λ ② 且,3 )3(22 21+-= +k k k x x 由N (1,3)是线段AB 的中点,得 .3)3(,12 2 2 1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1,代入②得,λλ即,12>的取值范围是(12,+∞). 于是,直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2:设),,(),,(2211y x B y x A 则有 .0))(())((33212121212 2222 121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ λ 依题意,.)(3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ ∵N (1,3)是AB 的中点, ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而 又由N (1,3)在椭圆内,∴,1231322=+?>λ ∴λ的取值范围是(12,+∞). 直线AB 的方程为y -3=-(x -1),即x+y -4=0. (Ⅱ)解法1:∵CD 垂直平分AB ,∴直线CD 的方程为y -3=x -1,即x -y+2=0, 代入椭圆方程,整理得 .04442=-++λx x 又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根, ∴).2 3 ,21(,2 32,2 1)(2 1,10043043- = +=- =+= -=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432 -= -?- +=λx x k CD ④ 将直线AB 的方程x+y -4=0,代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤ 同理可得 .)12(2||1||212 -= -?+= λx x k AB ⑥ ∵当12>λ时,||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ 假设存在λ>12,使得A 、B 、C 、D 四点共圆,则CD 必为圆的直径,点M 为圆心. 点M 到直线AB 的距离为 .2 232 | 4232 1|2 | 4|00= -+-= -+= y x d ⑦ 于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得 .|2| 2 3 2 12 2 9|2 | ||||2 2 2 2 2 CD AB d MB MA =-= -+ = +==λλ 故当λ>12时,A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心,2 | |CD 为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:) A 、 B 、 C 、 D 共圆?△ACD 为直角三角形,A 为直角?|AN|2=|CN|·|DN|, 即 ).2||)( 2 ||( ) 2 ||( 2 d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知,⑧式左边,2 12 -= λ 由④和⑦知,⑧式右边,2 12 2 92 3 )2 232 )3(2)( 2 232 )3(2( -= - -= - -+ -=λλλλ ∴⑧式成立,即A 、B 、C 、D 四点共圆. 解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB , ∴直线CD 方程为13-=-x y ,代入椭圆方程,整理得 .04442 =-++λx x ③ 将直线AB 的方程x+y -4=0,代入椭圆方程,整理得 .016842 =-+-λx x ⑤ 解③和⑤式可得 .2 3 1,2 12 24,32,1-± -= -± =λλx x 不妨设)2 3 3, 2 31( ),2 3 3, 2 31( ),122 13,122 11(-+ -+ ----- --- -+ λλλλλλD C A ∴)2 12 33, 2 3123( -- -+ -+ -+ =λλλλCA )2 12 33, 2 3123( -- -- -- -+=λλλλDA 计算可得0=?DA CA ,∴A 在以CD 为直径的圆上. 又B 为A 关于CD 的对称点,∴A 、B 、C 、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明AC ⊥AD ) 8.解:(Ⅰ)设椭圆方程为 ()222 2 10x y a b a b + =>>,半焦距为c ,则 ( )2 1112 222 2 2 ,224 2,1 1. 4 3 a M A a A F a c c a a a c c a a b c a b c x y = -=-?-=-??? =??=+???∴===+ =由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设 0011221211021122 12 0001212123 5 0, 2 2tan 115 15 tan arctan 15 y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π =- =- <∠<∠<∴∠-∴∠== ≤ = ++= ±∠∠∠ 设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。 当即=,取到最大值,此时最大, 故的最大值为 8.90o 9. 3 32 10.设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a 、2b 、2c ,则由其方程知a =3,b =2,c =5,故,|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又已知[PF 1|:|PF 2|=2:1,故可得|PF l |=4,|PF 2|=2.在△PF l F 2中,三边之长分别为2,4,25,而22+42=(25)2,可见△PF l F 2是直角三角形,且两直角边的长为2和4,故△PF l F 2的面积=4. 11. 解:经过M 、N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线y=3-x 上,设圆心为 S (a ,3-a ),则圆S 的方程为:2 2 2 ()(3)2(1)x a y a a -+-+=+ 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当 M P N ∠取最大值时,经过M ,N ,P 三点的圆S 必与X 轴相切于点P ,即圆S 的方程中的 a 值必须满足22 2(1)(3),a a +=-解得 a=1或a=-7。 即对应的切点分别为' (1,0)(7,0)P P -和,而过点M ,N ,'p 的圆的半径大于过点M , N ,P 的圆的半径,所以'M P N M P N ∠>∠,故点P (1,0)为所求,所以点P 的横坐标为1。 12.解:设正方形的边AB 在直线172-=x y 上,而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11y x C 、),(22y x D ,则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程 联立,得.1122,12 +± =?+=b x b x x 令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2212212212+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点(6,,5),它到直线b x y +=2的距离为5 | 17|,b a a += ∴②. ①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802min 2=∴=a a 13.利用极坐标解决:以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程 为 2 2 22 2 sin cos 1 b a θθρ + =------(1) 显知此平行四边形ABCD 必为菱形,设A ),(1θρ,则B )90,(2θρ+? 代入(1)式相加: 2 2 2 2 2 1 111 1b a + =+ ρρ 由于该菱形必与单位圆相切,故原点到AB 的距离为1, ∴2 221111ρρρρ+? =,从而 11 1 2 2 2 1 =+ ρρ,∴ 1112 2 =+ b a 14. 解:(1)由?????+==+) (21 2 2 22 m x y y a x 消去 y 得:0222222=-++a m a x a x ① 设222222)(a m a x a x x f -++=,问题(1)化为方程①在x ∈(-a ,a )上有唯一解或等根. 只需讨论以下三种情况: 1°△=0得:2 12 += a m ,此时x p =-a 2,当且仅当-a <-a 2<a ,即0<a <1时适合; 2°f (a )f (-a )<0,当且仅当-a <m <a ; 3°f (-a )=0得m =a ,此时x p =a -2a 2,当且仅当-a <a -2a 2<a ,即0<a <1时适合. f (a )=0得m =-a ,此时x p =-a -2a 2,由于-a -2a 2<-a ,从而m ≠-a . 综上可知,当0<a <1时,2 12 += a m 或-a <m ≤a ; 当a ≥1时,-a <m <a . (2)△OAP 的面积p ay S 2 1= ∵0<a < 2 1,故-a <m ≤a 时,0<m a a a 2122-++-<a , 由唯一性得 m a a a x p 2122-++-= 显然当m =a 时,x p 取值最小.由于x p >0,从而y p =22 1a x p - 取值最大,此时 2 2a a y p -=,∴2a a a S -=. 当2 12 += a m 时,x p =-a 2,y p =21a -,此时2 12 1a a S -= . 下面比较2a a a -与2 121a a -的大小: 令2 212 1a a a a a -=-,得3 1= a 故当0<a ≤31时,2 a a a -≤ 2 12 1a a -,此时2 12 1a a S max -= . 当 2 13 1<