中考圆知识点总结复习(教学课件)
圆
一、圆的概念
集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念:
1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线);
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内?d r
2、点在圆上?d r
=?点B在圆上;
3、点在圆外?d r
>?点A在圆外;
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离?d r
>?无交点;
2、直线与圆相切?d r
=?有一个交点;
3、直线与圆相交?d r
四、圆与圆的位置关系
外离(图1)?无交点?d R r
>+;
外切(图2)?有一个交点?d R r
=+;
相交(图3)?有两个交点?R r d R r
-<<+;
内切(图4)?有一个交点?d R r
=-;
内含(图5)?无交点?d R r
<-;
A
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB是直径②AB CD
⊥③CE DE
=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:在⊙O中,∵AB∥CD
∴弧AC=弧BD
六、圆心角定理
圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:①AOB DOE
∠=∠;②AB DE
=;
③OC OF
=;④弧BA=弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即:∵AOB
∠和ACB
∠是弧AB所对的圆心角和圆周角
∴2
AOB ACB
∠=∠
2、圆周角定理的推论:
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧;
即:在⊙O中,∵C
∠、D
∠都是所对的圆周角
∴C D
∠=∠
推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直
角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。
即:在⊙O中,∵AB是直径或∵90
C
∠=?
∴90
C
∠=?∴AB是直径
推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
即:在△ABC中,∵OC OA OB
==
B
D
B A
B A
O
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=?
注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙O 中, ∵四边ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=? 180B D ∠+∠=?
DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理
切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长
相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =;PO 平分BPA ∠
十一、圆幂定理
1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。
即:在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ?=? 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径
所成的两条线段的比例中项。
即:在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =?
2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段
长的比例中项。
即:在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线
D
B
A
∴ 2PA PC PB =?
3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。
即:在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线
∴PC PB PD PE ?=?
十二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图:12O O 垂直平分AB 。
即:∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB
十三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式:
(1)公切线长:12Rt O O C ?
中,2
21
AB CO =
(2)外公切线长:2CO 是半径之差; 内公切线长:2CO 是半径之和
十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ?
中进行:::2OD BD OB =;
(2)正四边形
同理,四边形的有关计算在Rt OAE ?
中进行,::OE AE OA =
(3)正六边形
同理,六边形的有关计算在Rt OAB ?
中进行,::2AB OB OA =.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:(1)弧长公式:180
n R
l π=;
l
O
(2)扇形面积公式: 21
3602
n R S lR π=
= n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积
2、圆柱:
(1)圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=222rh r ππ+
(2)圆柱的体积:2V r h π=
3、圆锥侧面展开图
(1)S S S =+侧表底=2Rr r ππ+
(2)圆锥的体积:21
3
V r h π=
十六、内切圆及有关计算。
(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。
(2)△ABC 中,∠C=90°,AC=b ,BC=a ,AB=c ,则内切圆的半径r=2
c
b a -+ 。
(3)S △ABC =)(2
1
c b a r ++,其中a ,b ,c 是边长,r 是内切圆的半径。
(4
如图,BC 切⊙O 于点B ,AB 为弦,∠ABC 叫弦切角,∠ABC=∠D 。 C
C 1
D 1
考点一:与圆相关概念的应用
利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中准确理解与圆有关的概念,注意分清它们之间的区别和联系.
1.运用圆与角(圆心角,圆周角),弦,弦心距,弧之间的关系进行解题
【例1】已知:如图所示,在△ABO中,∠AOB=90°,∠B=25°,以O为圆心,OA长为半径的圆交AB于D,求弧AD的度数.
【例2】如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOC=100°,则∠ABC的度数为().
A. 30°B. 45°C. 50°D.
60°
2.利用圆的定义判断点与圆,直线与圆、圆与圆的位置关系
【例3】已知⊙O的半径为3cm,A为线段OM的中点,当OA满足:
(1)当OA=1cm时,点M与⊙O的位置关系是 .
(2)当OA=时,点M与⊙O的位置关系是 .
(3)当OA=3cm时,点M与⊙O的位置关系是 .
【例4】⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是().
A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定
【例5】两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是______________.
3.正多边形和圆的有关计算
【例6】已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面积.
4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算
【例7】如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点
E,则阴影部分的面积为(结果保留).
5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算
【例8】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .
考点二:圆中计算与证明的常见类型
1.利用垂径定理解题
垂径定理及其推论中的三要素是:直径、平分、过圆心,它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等,从而可以应用相关定理完成其论证或计算.
【例1】在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30°,且分直径为1∶5两部分,AB=6,则弦CD 的长为 .
A. 2B. 4C. 4D. 2
2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题
“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理,在解与圆有关的问题时,常常
添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定理.
【例2】如图,在⊙O的内接△ABC中,CD是AB边上的高,求证:∠ACD=∠OCB.
3.利用圆内接四边形的对角关系解题
圆内接四边形的对角互补,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示了确定四
点共圆的方法.
【例3】如图,四边形ABCD为圆内接四边形,E为DA延长线上一点,若∠C=45°,
AB=2,则点B到AE的距离为________.
4. 判断圆的切线的方法及应用
判断圆的切线的方法有三种:
(1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线;
(2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线;
(3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例4】如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30°,BC=3
4,D是线段BC的中点.
(1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线.
【例5】如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切.
B
O
A
P
C
【例6】 如图,半圆O 为△ABC 的外接半圆,AC 为直径,D 为劣弧上一动点,P 在CB 的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP 是半圆O 的切线.
题库
一. 选择题:
1. ⊙O 的半径为R ,点P 到圆心O 的距离为d ,并且d ≥R ,则P 点 [ ] A.在⊙O 内或圆周上 B.在⊙O 外
C.在圆周上
D.在⊙O 外或圆周上
2. 由一已知点P 到圆上各点的最大距离为5,最小距离为1,则圆的半径为[ ] A 、2或3 B 、3 C 、4 D 、2 或4
3.如图,⊙O 中,ABDC 是圆内接四边形,∠BOC=110°,则∠BDC 的度数是[ ]
° ° ° °
4.在⊙O 中,弦AB 垂直并且平分一条半径,则劣弧AB 的度数等于[ ] ° ° ° °
5.直线a上有一点到圆心O 的距离等于⊙O 的半径,则直线a与⊙O 的位置关系是[ ] A、相离 B、相切 C、相切或相交 D、相交 6、如图,PA切⊙O 于A,PC交⊙O 于点B、C ,若PA =5,PB =B C,则PC的长是[ ] A、10 B、5 C、25 D、35
7.如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上,则雕塑的最高点到地面的距离为[ ] A .
232+ B.233+ C.2
2
2+ D. 223+
8、已知两圆的圆心距是9,两圆的半径是方程2x 2
-17x+35=0的两根,则两圆有[ ]条切线。
A 、 1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条
D E B A C O 9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm ,则梯形的腰长为[ ]
A、10cm B、12cm C、14cm D、16cm
10、如图,⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点,且A O 1、A O 2分别是两圆的切线,A 是切点,若⊙O 1的半径r=3,⊙O 2的半径R=4,则公共弦AB 的长为[ ] A 、2 B 、 C 、3 D 、
11、水平放置的排水管(圆柱体)截面半径是1cm ,水面宽也是1cm ,则截面有水部分(弓形)的面积是[ ] A 、
B 、
C 、
D 、
或
二. 填空题:
长的一条弦所对的圆周角为90°,则此圆的直径为 。 13.在⊙O 中,AB 是直径,弦CD 与AB 相交于点E ,若 ,则CE=DE (只需填一个适合的条件)。 14.在圆内接四边形ABCD 中,∠A ∶∠B ∶∠C=5∶2∶1,则∠D= 。 15.若三角形的外心在它的一条边上,那么这个三角形是 。
16.如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于E 点,AB=120°,CD=70°则∠AEB= 。
17.已知两个圆的半径分别为8 cm 和3 cm ,两个圆的圆心距为7 cm ,则这两个圆的外公切线长为 。 18.如图,⊙O 中,弦AB ⊥弦CD 于E ,OF ⊥AB 于F ,OG ⊥CD 于G ,若AE=8cm ,EB=4cm ,则OG= cm 。
19. 已知圆锥的母线长为5厘米,底面半径为3厘米,则它的侧面积为 。 四.解答题
20.如图在△ABC 中,∠C=90°,点O 为AB 上一点,以O 为圆心的半圆切AC 于E ,交AB 于D ,AC=12,BC=9,求AD 的长。
21.如图在⊙O 中,C 为ACB 的中点,CD 为直径,弦AB 交CD 于点P ,又PE ⊥
CB 于E ,若BC=10,且CE ∶EB=3∶2,求AB 的长.
22.已知:如图,A 是以EF 为直径的半圆上的一点,作AG ⊥EF 交EF 于G ,又B 为AG 上一点,EB 的延长线
交半圆于点K , 求证:EK EB AE ?=2
23.已知:如图,△ABC 内接于⊙O ,AE 是⊙O 的直径,CD 是△ABC 中AB 边上的高, 求证:AC ·BC=AE ·CD