离散数学重点复习题

A、判断题（正确的划√，错误的划×）

1．若无向连通图G 的所有顶点的度数均为偶数，则G 为欧拉图。（）2．同构的两个图所含边数可以不同。（）

3．K5 是非平面图。（）

4．极大可平图必为连通图。（）

1．画出4 K 的所有非同构的生成子图。

2．已知ｎ阶ｍ边的无向图G 为ｋ个连通分支（ｋ≥2）的森林，证明m =ｎ－ｋ。

3. 对于任何具有p(p≥2)个连通分支的平面图G，有n－m＋r =p＋1。(其中n、m 和r 分别是G 的阶数、边数和面数)

B、判断题（正确的划√，错误的划×）

1．同构的两个图所含顶点数相同。（）

2．完全图Kn (n≥3) 都是欧拉图。（）

3．K3, 3 是非平面图。（）

4．在图的运算时，缩边与删边得到的结果一致。（）

1. 画出所有7 阶非同构的无向树。

2. 证明任何连通图G 都有生成树．

3. 对于任何具有p(p≥2)个连通分支的平面图G，有n－m＋r =p＋1。(其中n、m 和r 分别是G 的阶数、边数和面数)

A 判断：1（√）2（×）3（√）4（√）

1

2.证明：G 为ｋ个连通分支（ｋ≥2）的森林，

设G 的连通分支为G1，G2…… Gk，

Gi 的顶点数、边数分别为ni，mi，对每个Gi 都为树，则有mi=ni-1。所以

B 判断：1（√）2（×）3（√）4（×）

1. 答案：（共11 个）

2 证明：如果G 中无回路，则G 是树，即为生成树．

如果G 中有回路Γ，记删除Γ上一条边e 后所得的图为1 G ，则1 G 是连通的．

如果1 G 中无回路，则是G 的生成树．如果1 G 中有回路1 Γ，记删除1 Γ上的一条边1 e 后所得图为2 G ，则2 G 是连通的．

如果2 G 中无回路，则2 G 是G 的生成树．

如果2 G 中有回路，则重复上述的做法．

因G 的边数是有限的，故经过有限次上述过程后必得到G 的一棵生成树．

3）证明：设G 的连通分支为G1，G2…… Gp，并设ni，mi，ri 为Gi 的顶点数、边数和面

数，i＝1，2……p,由欧拉公式得ni-mi+ri=2, i＝1，2……p, 而

=>n-m+r=p+1

2. 设G为群, 若?x ∈G,都有x 2 = e，证明G为Abel群.

3. 设G 是有限群，K 是G 的子群，H 是K 的子群，证明

[G:H]=[G:K][K:H].

4. 设G 为整数加群〈Z，+〉，在G 内定义* 运算如下：?a, b∈G, a*b=a+b-2, 证明G

关于*运算构成群。

5. 设H是群G的子群，x∈G，令xHx ?1 ={xhx ?1 h /∈H} ，证xHx ?1也是G的子群。

6. R 为环，令C={x| x∈R 且?a∈R,有ax＝xa}．证明C 为R 的子环。

3 证：由拉格朗日定理有

|G|=[G:K]|K|, |K|=[K:H]|H|,

代入得|G|=[G:K][K:H]|H|

再根据拉格朗日定理有|G|=[G:H]|H|，比较两个等式，命题得证。

4 证：显然* 运算是Z 上二元运算。

“先证* 运算是可结合的”?a,b,c∈Z,有

(a*b)*c=a*b+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4;

a*(b*c)=a+b*c-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4;

从而(a*b)*c=a*(b*c)

“再证2 是Z 中关于* 运算的单位元”

?a∈Z, a*2=a+2-2=a；2*a=2+a-2=a .

“最后证?a∈Z,4-a 是a 在中的逆元”

事实上，(4-a)*a=（4-a）+a-2=2; a*(4-a)=a+(4-a)-2=2. 综上可知，Z 关于*运算构成群.

5 证： e 是xHx-1中的元素,因此xHx-1非空。

任取xhx-1,xkx-1∈xHx-1,h,k∈H,则有

(xhx-1)(xkx-1)-1=(xhx-1)(xk-1x-1)=x(hk-1)x-1

因为H 为子群,hk-1 属于H,从而x(hk-1)x-1 属于xHx-1.

由子群判定定理,命题得证。