二次函数的日常应用实例
二次函数的日常应用实例
二次函数作为高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。本文将介绍二次函数在现实生活中的几个常见应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
1. 物体运动的轨迹分析
二次函数可以描述物体在空间中的运动轨迹。例如，当一个投掷物体从地面上抛出时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。假设一个物体从地面上以初始速度v向上抛出，重力加速度为g。物体的高度h 可以用二次函数h(t) = -0.5gt^2 + vt + h_0来表示，其中t表示时间，
h_0表示初始高度。通过解析二次函数，可以分析物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等参数。
2. 抛物线形状的建筑设计
在建筑设计中，抛物线形状经常被应用于拱门、扶手、悬臂等结构中。这些结构的形状可以用二次函数来描述。通过对二次函数进行合适的平移、缩放和旋转，可以根据设计要求来创建出各种形态的抛物线结构。抛物线结构不仅具有美观的外观，还具有稳定性和均衡负荷的优势。
3. 经济学中的消费模型
在经济学中，二次函数常常被用来建立消费模型，帮助研究者了解人们的消费行为。例如，假设一个人的收入为x，他的消费支出为y。那么，他的消费行为可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来模拟。通过研
究二次函数的系数a、b、c，可以分析消费者的倾向、边际消费率以及
其对价格变化的敏感度等信息，为企业和政府制定经济政策提供指导。
4. 高精度测量中的误差修正
在科学实验和测量中，我们经常需要对测量误差进行修正。二次函
数被广泛应用于误差修正的算法中。假设我们进行一次测量，得到的
结果为y，而真实值为x。我们可以构建一个二次函数y = ax^2 + bx + c 来表示测量值与真实值之间的关系。通过测量多组数据并利用最小二
乘法求解系数a、b、c，我们可以对测量结果进行校正，提高测量精度。
5. 经典力学中的力学模型
二次函数在经典力学中也有重要的应用。例如，胡克定律描述了弹
簧的弹性变形与施加力之间的关系。弹簧的伸长量可以用二次函数来
表示，即F = kx^2，其中F表示施加的力，k表示弹簧的弹性系数，x
表示伸长量。这一模型帮助我们理解弹簧的行为，并在工程设计和力
学分析中得到广泛应用。
总结起来，二次函数在现实生活中具有广泛的应用场景，包括物体
运动轨迹的分析、建筑设计、经济学中的消费模型、测量误差修正以
及经典力学中的力学模型等。通过深入理解和应用二次函数，我们可
以更好地理解和解决实际问题，发现数学的美和实用性。因此，在学
习数学的过程中，我们应该注重与实际应用的结合，提高数学知识的
实用性和应用能力。
函数在日常生活中的应用
函数在日常生活中的应用 函数不仅在我们的学习中应用广泛，日常生活中也有充分的应用。在此举出一些例子并作适当分析。 当人们在社会生活中从事买卖活动或其他生产时，其中常涉及到变量的线性依存关系，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。总之，函数渗透在我们生活中的各个方面，我们也经常遇到此类函数问题，这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，用函数解决。如： 1.一次函数的应用： 购物时总价与数量间的关系，是最基本的一次函数的应用，由函数解析式可以清楚地了解到其中的正比例关系，在单价一定的条件下，数量越大，总价越大。此类问题非常基本，却也运用最为广泛。 2.二次函数的应用： 当某一变量在因变量变化均匀时变化越来越快，常考虑用二次函数解决。如细胞的分裂数量随时间的变化而变化、利润随销售时间的增加而增多、自由落体时速度随时间的推移而增大、计算弹道轨迹等。二次函数的解析式及其图像可简明扼要地阐述出我们需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起点等。 3.反比例函数的应用: 反比例函数在生活中应用广泛，其核心为一个恒定不变的量。如木料的使用，当木料一定时长与宽的分别设置即满足相应关系。还有总量一定的分配问题，可应用在公司、学校等地方。所分配的数量及分配的单位即形成了这样的关系。 4.三角函数的应用： 实际生活中，我们常常可以遇到三角形，而三角函数又蕴含其中。如建筑施工时某物体高度的测量，确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性以及河宽的测量都可以利用三角函数方便地测出。 在日常生活中，我们往往需要将各种函数结合起来灵活运用，以解决复杂的问题。要时刻将函数的解析式与其图形联系起来，以得到最简单的解决办法。
中考--概率,二次函数应用
中考----概率，函数应用 一、简答题 1、某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可以随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“化开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元，小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下： (1)求“紫气东来”奖券出现的频率； (2)请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物券，哪种方式更合算？说明理由． 2、某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种的品牌电脑中各选购一种型号的电脑. （1）写出所有选购方案（利用树状图或列表来表示）； （2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？ （3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如下表）： 恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台？ 3、某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图，根据图中信息回答下列问题：（1）求a的值；（2）用列举法求以下事件的概率：从上网时间在6～10小时的5名学生中随机选取2人，其中至少有1人的上网时间在8～10小时。
4、某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）： 求：（1）该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？ （2）该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围． （3）从该班中任选一人，其跳绳次数达到或超过校平均次数的概率是多少？ 5、利民种子培育基地用A 、B 、C 三种型号的玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过试验知道，C 型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图(图1、图2)： (1)C 型号种子的发芽数是_________粒； (2)通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广？(精确到1%) (3)如果将所有已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到C 型号发芽种子的概率． 6、如图，某购物中心设立了一个可以自由转动的转盘。并规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品，下表是活动中的一组统计数据：
日常生活中的二次函数应用
日常生活中的二次函数应用日常生活中，我们处处都能看到二次函数的应用。无论是建筑、经济、物理，还是人们的日常活动，都离不开二次函数。本文将从不同的角度介绍二次函数在日常生活中的应用，展示二次函数的重要性和广泛性。 一、建筑中的二次函数应用 建筑领域是二次函数应用最为广泛的领域之一。首先，建筑中的拱门常常采用二次函数的形状。通过调整二次函数的参数，可以得到不同形状的拱门，满足不同建筑需求。其次，建筑结构中的抛物线也是二次函数的典型应用。比如，大型体育馆的屋顶通常采用抛物线形状，以便更好地分散荷载。此外，二次函数还被广泛应用于建筑的设计过程中，比如地基的折线设计以及楼梯的设计等。 二、经济中的二次函数应用 经济学中，二次函数被广泛用于描述成本、收益、销量等与价格、产量相关的指标。例如，企业的成本函数通常是一个二次函数，可以帮助企业预测生产成本与产量之间的关系，从而作出合理的经营决策。此外，二次函数还可以描述市场需求和供给的关系，帮助经济学家和企业家预测市场的变化趋势，制定相应的市场策略。 三、物理中的二次函数应用 在物理学中，二次函数被广泛用于描述各种运动过程。例如，自由落体运动的位移与时间之间的关系可以用二次函数表示。当物体
受到重力加速度的作用时，其高度与时间的关系可以用二次函数方程描述。此外，抛体运动中的轨迹也是二次函数的典型应用。通过分析二次函数的参数，可以预测抛体的飞行轨迹和最高点等相关信息。 四、日常生活中的其他二次函数应用 除了建筑、经济和物理以外，日常生活中还有许多其他领域也离不开二次函数的应用。比如，音乐中的音高与音量之间的关系可以用二次函数描述，帮助音乐家调整音乐的表现力。此外，二次函数还可以被应用于旅行路径的优化，比如飞机、汽车等交通工具的飞行/行驶路径规划，帮助人们更快、更省时地到达目的地。 结语 总之，二次函数在日常生活中具有广泛的应用。不论是建筑、经济、物理还是日常活动，都离不开二次函数的帮助。通过了解和应用二次函数，我们可以更好地理解和解释周围发生的事物，并且能够更好地做出相应的决策。因此，学习和掌握二次函数的相关知识对于我们的日常生活和未来的发展都具有重要意义。
函数在现实生活中的应用
数学教学中的生活教育反思 ――函数在现实生活中的应用 钱学恒 一，不同函数在生活中的运用 1，一次函数在生活中的运用 一元一次函数在我们的日常生活中应用十分广泛。当人们在社会生活中从事买卖特别是消费活动时，若其中涉及到变量的线性依存关系，则可利用一元一次函数解决问题。 例如，当我们购物、租用车辆、入住旅馆时，经营者为达到宣传、促销或其他目的，往往会为我们提供两种或多种付款方案或优惠办法。这时我们应三思而后行，深入发掘自己头脑中的数学知识，做出明智的选择。俗话说：“从南京到北京，买的没有卖的精。”我们切不可盲从，以免上了商家设下的小圈套，吃了眼前亏。 下面，我就为大家讲述我亲身经历的一件事。 我们再去超市中经常会遇到“选择性优惠”，很多人在面对不同的优惠方式时往往会中了商家的圈套，选择了那一种不值的优惠方式，但是，运用一次函数的知识可以很好地解决这个问题。 比如，有一次在美廉美超市购物，在快结账的出口的地方经常有一些促销的商品，有一次看见了一块醒目的牌子吸引了我，上面说购买茶壶、茶杯可以优惠，这似乎很少见。更奇怪的是，居然有两种优惠方法：（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款）。其下还有前提条件是：购买茶壶3
只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。由此，我不禁想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？我便很自然的联想到了函数关系式，决心应用所学的函数知识，运用解析法将此问题解决。 设某顾客买茶杯x只，付款y元，(x>3且x∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72. 接着比较y1y2的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0时，0.5x-12>0,即x>24; 当d=0时，x=24; 当d<0时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜. 可见，利用一元一次函数来指导购物，即锻炼了数学头脑、发散了思维，又节省了钱财、杜绝了浪费，真是一举两得啊！ 2，二次函数在生活中的运用 由于二次函数拥有一个极点，通过这个点可以求出这个函数的最大值或者最小值来解决一些问题。 比如说，建粮仓的问题，列如：一个农场打算建一个粮仓，但是由于原料有限，必须利用有限的资源来达到最大的效益，下面是一些数据：
二次函数的日常应用实例
二次函数的日常应用实例 二次函数作为高中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用领域。本文将介绍二次函数在现实生活中的几个常见应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。 1. 物体运动的轨迹分析 二次函数可以描述物体在空间中的运动轨迹。例如，当一个投掷物体从地面上抛出时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。假设一个物体从地面上以初始速度v向上抛出，重力加速度为g。物体的高度h 可以用二次函数h(t) = -0.5gt^2 + vt + h_0来表示，其中t表示时间， h_0表示初始高度。通过解析二次函数，可以分析物体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等参数。 2. 抛物线形状的建筑设计 在建筑设计中，抛物线形状经常被应用于拱门、扶手、悬臂等结构中。这些结构的形状可以用二次函数来描述。通过对二次函数进行合适的平移、缩放和旋转，可以根据设计要求来创建出各种形态的抛物线结构。抛物线结构不仅具有美观的外观，还具有稳定性和均衡负荷的优势。 3. 经济学中的消费模型 在经济学中，二次函数常常被用来建立消费模型，帮助研究者了解人们的消费行为。例如，假设一个人的收入为x，他的消费支出为y。那么，他的消费行为可以用二次函数y = ax^2 + bx + c来模拟。通过研
究二次函数的系数a、b、c，可以分析消费者的倾向、边际消费率以及 其对价格变化的敏感度等信息，为企业和政府制定经济政策提供指导。 4. 高精度测量中的误差修正 在科学实验和测量中，我们经常需要对测量误差进行修正。二次函 数被广泛应用于误差修正的算法中。假设我们进行一次测量，得到的 结果为y，而真实值为x。我们可以构建一个二次函数y = ax^2 + bx + c 来表示测量值与真实值之间的关系。通过测量多组数据并利用最小二 乘法求解系数a、b、c，我们可以对测量结果进行校正，提高测量精度。 5. 经典力学中的力学模型 二次函数在经典力学中也有重要的应用。例如，胡克定律描述了弹 簧的弹性变形与施加力之间的关系。弹簧的伸长量可以用二次函数来 表示，即F = kx^2，其中F表示施加的力，k表示弹簧的弹性系数，x 表示伸长量。这一模型帮助我们理解弹簧的行为，并在工程设计和力 学分析中得到广泛应用。 总结起来，二次函数在现实生活中具有广泛的应用场景，包括物体 运动轨迹的分析、建筑设计、经济学中的消费模型、测量误差修正以 及经典力学中的力学模型等。通过深入理解和应用二次函数，我们可 以更好地理解和解决实际问题，发现数学的美和实用性。因此，在学 习数学的过程中，我们应该注重与实际应用的结合，提高数学知识的 实用性和应用能力。
函数在生活中的应用
函数在生活中的应用 一．一次函数在生活中的应用 一次函数在我们日常的生活中应用十分广泛。在人们进行各种社会活动时，尤其是消费活动，如果涉及到线性变量时，一次函数就派上用场了。如：我们常常打的电话，不同时间收费不同，是按照：时间×价位；还有在购物时商品的总价钱：单价×数量。 例子：现在许多商家都推出了选择性优惠的购物方案，如：买一送一和到一定数量减价之类。 小明去某家商场买茶壶，商场有这两种优惠方案。（1）卖一送一（即买一只茶壶送一只茶杯）；（2）打九折（即按购买总价的90% 付款。）。其下还有前提条件是：购买茶壶3只以上（茶壶20元/个，茶杯5元/个）。小明想到：这两种优惠办法有区别吗？到底哪种更便宜呢？ 小明在纸上写道： 设某顾客买茶杯x 只，付款y 元，(x>3且x ∈N)，则 用第一种方法付款y1=4×20+(x-4)×5=5x+60; 用第二种方法付款y2=(20×4+5x)×90%=4.5x+72. 接着比较y1y2的相对大小. 设d=y1-y2=5x+60-(4.5x+72)=0.5x-12. 然后便要进行讨论： 当d>0时，0.5x-12>0,即x>24; 当d=0时，x=24; 当d<0时，x<24. 综上所述，当所购茶杯多于24只时，法（2）省钱；恰好购买24只时，两种方法价格相等；购买只数在4—23之间时，法（1）便宜. 。 可见，有了一次函数使我们的购物甚至社会活动都变得更加简便了。 二．二次函数在生活中的应用 我们在生活中所看见的投篮，飞机飞行轨迹都和二次函数息息相关。二次函数在建筑学上也有相当大的作用，如：造桥的时候要考虑到桥拱的弧度。。 有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．（如下图） （1）求B 、D 点的坐标 （2）求抛物线的解析式 （3）若洪水来时，水位以每小时0.5m 的速度上升，则水过警戒线后几小时淹 没到拱桥顶端M 处？ 解：（1）由64=AB ，34=CD ，4=ON 得 坐标：)0,62(B ，)4,32(D （2）设抛物线的解析式为c ax y +=2 把B 、D 点坐标代入得：? ??+=+=c a c a 22)32(4)62(0 解得：31-=a ，8=c ，所以解析式为：83 12+-=x y
二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习 一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤： 1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式表示它们的关系→用数学方法求解→检验结果的合理性； 最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。 （1）利用二次函数解决利润最大问题 此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。 例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0) ①求M型服装的进价 ②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。 （2）利用二次函数解决面积最值 例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF 问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少 2、用二次函数解抛物线形问题
常见情形 具体方法 抛物线 形建筑 物问题 几种常见的抛物线形建筑物 有拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、 拱形门窗等 （1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状 的图形放到坐标系之中； （2）从已知和图象中获得求二次函数表达式所需 条件； （3）利用待定系数法求出抛物线的表达式； （4）运用已求出抛物线的表达式去解决相关问 题。 运动路 线（轨 迹）问题 运动员空中跳跃轨迹、球类飞 行轨迹、喷头喷出水的轨迹等 牢记（1）解决这类问题的关键首先在于建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运用已知的条件利用待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把哪一点当作原点建立坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可 解； （3）一般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建立坐标系，这样得出的二次函 数的表达式最为简单。 巧记实际问题要解决，正确建模是关键；根据题意的函数，提取配方定顶点； 抛物线有对称轴，增减特性可看图；线轴交点是顶点，顶点纵标最值出。 练习 1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么 2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为。这辆汽车能否顺利通过大门若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由. 3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润最大的月利润是多少元 （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元 4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。（1）试求a 的值； （2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现试销量y（件）与每件售价x（元）满足关系式y=–10x+800.设每天销售利润为W(元)，求每天销售利润W(元) 与每件售价x（元）之间的函数关系式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大最大利润是多少
生活中的数学(十一)—生活中的二次函数
生活中的数学（十一）—生活中的二次函数 二次函数在中学数学中占据重要的地位，同时也是进行数学研究的一个重要的工具，它贯穿整个中学数学的数与学。从最浅显的直观的利用图象解方程、解不等式、求最值，到利用数形结合的思想研究一元二次方程中根的分布问题，再进而用二次函数来解决现实生活中的实际问题，无不体现二次函数的重要性和它独特的魅力。在中考中，二次函数的实际应用同样是一个考察的重难点，而很多学生在考试中暴露出一个问题：用数学解决实际问题的能力不足。所以，我们需要进一步研究二次函数在实际生活中的应用和对实际生活的影响，从而培养学生解决实际问题的能力。 1.在桥梁建筑方面的应用 抛物线在桥梁建筑方面有着广泛的应用。在实际生活中，由于各种不同的需要，大多数的桥梁建筑都运用了二次函数的性质，将其形状设计为抛物线的形式。所以，我们在现实生活中能够找到很多具有抛物线特征的建筑物，如下图所示： 图1-1 图1-2 同时，在现实生活中也存在许多与建筑、设计有关的二次函数的数学问题。下面，我们用以下几个例子来进行说明。
例1.一座单行隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为m 8，宽为m 2，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面m 6，建立如图1-3所示的坐标系。 （1）求抛物线的解析式； （2）一辆货车高m 4，宽m 2，能否从该隧道内通过，为什么？ （3）如果隧道内设双行道如图1-4所示，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 图1-3 图1-4 解 （1）由题意可知抛物线经过点)(2,0A ，()6,4P ，()2,8B 。 设抛物线的方程为c ax ++=bx y 2，将A 、P 、D 三点的坐标代入抛物线方程。解得抛物线方程为： 224 1y 2++-=x x . （2）令4=y ，则有 422x 4 1-2=++x , 解得 224x 224x 21-=+=，, 而
剖析二次函数的实际意义
剖析二次函数的实际意义 二次函数是高中数学中的重要概念之一，它在数学、物理等诸多领 域中都具有广泛的应用。本文将从几个具体实例出发，深入剖析二次 函数的实际意义。 一、二次函数在物理世界中的应用 1. 抛物线的轨迹：抛体在自由落体运动中的轨迹是一个抛物线，而 可以用二次函数来描述其运动规律。例如，将一个物体从地面上抛出，并忽略空气阻力，其高度与时间的关系可用二次函数表示。这样，我 们可以通过二次函数提供的数学模型，预测抛体的高度随时间变化的 规律。 2. 自然界的现象：二次函数也可以用来描述自然界中的一些现象。 例如，落叶下落的轨迹可以用二次函数进行近似；喷泉的水柱高度随 时间变化也可以用二次函数表示。这些现象通常在物理学或工程学的 研究中得到广泛应用。 二、二次函数在经济学中的应用 1. 成本函数：在经济学中，二次函数经常被用来描述成本函数。例如，生产某种商品的成本可能与生产的数量成二次关系。通过分析二 次函数的相关特性，我们可以确定最优生产数量，帮助企业实现成本 最小化。 2. 物价变动：二次函数还可以用来描述物价的变动。例如，某种商 品的需求量或供给量与价格的关系可能是二次函数。通过研究二次函
数的顶点、开口方向等特性，我们可以对市场供求关系进行准确的分 析和预测。 三、二次函数在工程学中的应用 1. 经典力学：在机械工程学中，二次函数经常用于描述物体的运动 轨迹。例如，弹簧振子的运动可以由二次函数进行模拟；摆锤的摆动 规律也可以用二次函数表示。通过分析二次函数的参数，我们可以了 解物体的运动特性，从而进行工程设计与优化。 2. 信号处理：二次函数在信号处理中也有广泛应用。例如，音频和 视频信号的压缩算法中，使用了二次函数进行信号的逼近。此外，滤 波器的设计与实现也常涉及到二次函数模型的使用。 总结起来，二次函数在物理学、经济学和工程学等领域中有着广泛 的应用。通过研究二次函数的实际意义，我们可以更好地理解和应用 数学知识，从而推动科学和技术的发展。同时，对于学生来说，深入 了解二次函数的实际意义，也有助于提高数学学习的兴趣和应用能力。
一次函数与二次函数的联立方程
一次函数与二次函数的联立方程数学中，一次函数和二次函数是常见的两种函数类型。在解决实际问题时，常常需要利用一次函数和二次函数构建联立方程来求解未知数的值。本文将以解决实际问题为背景，介绍一次函数与二次函数的联立方程的应用。 一次函数可以表示为y = ax + b的形式，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。而二次函数则可以表示为y = cx² + dx + e的形式，其中c、d、e为常数，x为自变量，y为因变量。利用这两种函数的特性，我们可以通过联立方程求解出未知数的值。 一次函数与二次函数的联立方程的应用非常广泛，下面通过两个实例来详细说明。 实例一：甲乙两地相距120公里，两车同时出发，乙车的速度是甲车的1.5倍。经过一段时间后，两车相遇，求乙车行驶的时间。 解析：甲车和乙车的速度之间存在比例关系，根据题目中的条件我们可以列出两个方程来建立联立方程。 首先，设乙车的速度为x，则甲车的速度为1.5x。 乙车的行驶时间可以表示为：t = 120 / x。 甲车的行驶时间可以表示为：t = 120 / (1.5x)。 解得：120 / x = 120 / (1.5x)。 通过解方程，我们可以求得x的值，进而得到乙车的行驶时间。
实例二：某商品原价为x元，现打6折出售。如果购买该商品后可 以获得20元的优惠券。如果购买该商品后还需要支付120元，则求原 价x。 解析：根据题目中的条件，我们可以列出两个方程来建立联立方程。 首先，商品的打折后的价格可以表示为：0.6x。 商品的价格减去20元的优惠券可以表示为：0.6x - 20。 再加上120元支付的费用，即为购买商品后需要支付的总费用： 0.6x - 20 + 120 = 120。 解得：0.6x = 20。 通过解方程，我们可以求得x的值，进而得到商品的原价。 通过以上两个实例，我们可以看到，一次函数与二次函数的联立方 程可以帮助我们解决实际问题中的未知数。这种方法在各种应用场景 中都有广泛的运用，例如经济学、物理学等。 总结：一次函数与二次函数的联立方程是数学问题中的常见解题方法。通过建立联立方程，我们可以从数学的角度解决实际问题中的未 知数。在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的函数 形式，并利用已知条件构建方程。然后通过解方程找到未知数的值， 从而得到问题的解答。
二次函数复习平移与缩放的计算步骤与实例
二次函数复习平移与缩放的计算步骤与实例二次函数是数学中重要的函数之一，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，而x和y则为变量。在学习二次函数时，平移和缩放是常见的操作，它们可以使得函数图像在坐标平面内发生变化。本文将介绍平移与缩放的计算步骤，并通过实例进行说明。 一、平移的计算步骤与实例 平移是指将函数图像在坐标平面内沿着x轴或y轴方向移动一定的距离。当进行x轴方向的平移时，常数b和c保持不变，而a不变。当进行y轴方向的平移时，a和c保持不变，而b不变。 下面以平移为例进行计算。 实例1：将函数y=x^2-3平移到y=x^2+2上。 解：首先，我们可以观察到两个函数有关系：y=x^2-3，y=x^2+2。我们可以将它们的表达式进行比较，发现函数y=x^2+2是函数y=x^2-3向上平移了5个单位。 计算步骤如下： 第一步：求出平移的距离。由于y=x^2+2相对于y=x^2-3向上平移了5个单位，所以平移的距离为5。 第二步：确定平移的方向。在本例中，由于函数向上平移了5个单位，所以平移的方向为上方向。
第三步：确定平移的类型。由于函数y=x^2+2是在y=x^2-3的基础上进行平移的，所以属于x轴方向的平移。 第四步：确定平移后的函数表达式。由于是沿x轴方向的平移，所以平移后的函数表达式为y=x^2-3+5，即y=x^2+2。 通过以上计算步骤，我们可以得到平移后的函数表达式y=x^2+2。 二、缩放的计算步骤与实例 缩放是指函数图像在坐标平面内按比例变化的操作。当进行x轴方向的缩放时，常数a保持不变，而b和c发生变化。当进行y轴方向的缩放时，常数b保持不变，而a和c发生变化。 下面以缩放为例进行计算。 实例2：将函数y=x^2扩大2倍。 解：我们可以观察到，函数y=x^2与函数y=2x^2之间的关系，即函数y=x^2扩大了2倍。 计算步骤如下： 第一步：求出缩放的比例。由于函数y=x^2相对于函数y=2x^2进行了2倍的扩大，所以缩放的比例为2。 第二步：确定缩放的方向。在本例中，由于函数y=x^2相对于 y=2x^2进行了扩大，所以缩放的方向为上方向。 第三步：确定缩放的类型。由于函数y=x^2相对于y=2x^2进行了扩大，所以属于x轴方向的缩放。
日常生活中一元二次方程的应用
日常生活中一元二次方程的应用 当今社会正处在市场经济的时代，我们的日常生活中经常会遇到各种经营、销售、利润、房产等问题．我们知道数学来源于生活，又应用于我们的生活，新课程的改革实验也要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，下面我们就最近所学的“一元二次方程在日常生活中应用“看两个实例，以求对同学们有所帮助． 问题1：联华超市将进货单价为40元的商品如果按50元销售，就能卖出500个，但如果这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，如果你是超市的经理的话，为了赚得8000元的利润，你觉得售价应定为多少？这时应进货多少个？ 分析：我们知道商品的定价和进货量应该根据市场的行情而定，如果定价过高，超越了消费者心理承受力的话，恐怕消费者无人问津，销售商只能自认倒霉了；定价过低的话，利润过低、甚至亏本的话，销售商也就划不来的．上述问题中如果销售价按照单价50元的话，每个利润是10元，可以卖出500个，共可获利5000元，无法完成利润8000元的目标，所以只有提高单价并控制适当的单价，才可以完成获得利润5000元任务． 解：设该种商品的单价为（50+x ）元，则每个的利润是[]40)50(-+x 元，销售数量为（500-10x ）个，由题意得方程：[]8000)10500(40)50(=--+x x ； 整理得：0300402=+-x x ；解之得：101=x ，302=x 故这个商品的单价可定为60元时，其进货量为500-10×10=400个；当这个商品的单价定为80元时，其进货量为500-10×30=200个． 注：如果同学们以后学了二次函数内容的话，还可以知道当单价定为70元时，获得的最大利润为8100元． 问题2：某地开发区为改善居民的住房条件，每年要建一批新的住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积=该区人口总数 该区住房总面积，单位平方米/人）． 该开发区2002年至2004年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果如图所示，
体育运动中的二次函数
体育运动中的二次函数 体育运动中的二次函数 二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面介绍几个利用二次函数来解决的与体育运动有关的问题，相信你一定会感兴趣！ 一、跳绳运动中的二次函数 例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2.5m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是 1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A．1.5m B．1.625m C．1.66m D．1.67m 分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标
为1.5时对应点的纵坐标． 解：设函数表达式为y=Ax2+Bx+C，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得 A—B+C=1，A= —1/6， C=1.5，解得B=1/3， 9A+3B+C=1．C=1.5． 所以函数表达式为y= — 6 1 x2+ 3 1 x+ 2 3 ．当x=1.5时，y=1.625．答案：B． 二、篮球比赛中的二次函数 例2 某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球 出手时离地面高 9 20 米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米． ⑴建立如图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？ ⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为 3.1米，那么他能否获得成功？
初三函数的应用
初三函数的应用 函数是数学中的重要概念之一，也是初中数学的重点内容之一。它在解决实际问题中起到了重要的作用。本文将介绍初三阶段学生学习函数的一些应用方法和实例。 一、函数的概念及基本性质 函数是一个对应关系，它将自变量的取值映射到因变量的值上。函数的定义域、值域、图像等是初中阶段需要了解的基本性质。初三阶段主要学习了一次函数和二次函数的相关知识。 二、函数的图像及性质 1. 一次函数的图像 一次函数的图像是一条直线，其斜率决定了直线的倾斜程度。在解决实际问题中，可以通过画出函数的图像来帮助分析问题。 【实例】小明从家里出发骑自行车上学，已知骑行速度为每小时10公里，写出他骑行的距离与时间的函数关系。 解：设小明骑行的时间为x小时，距离为y公里。根据题目可知，小明的骑行速度是10公里/小时，即 y = 10x。可以画出一次函数的图像，横轴表示时间，纵轴表示距离，图像是一条直线，斜率为10。 2. 二次函数的图像 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向、顶点坐标等是需要掌握的知识。
【实例】某旅游公司进行一项促销活动，根据调查数据，当旅游线路的价格为5000元时，每天可以销售出30个旅游线路；当价格为8000元时，每天可以销售出15个旅游线路。写出价格与销售量的函数关系。 解：设价格为x元，销售量为y个。根据题目可知，价格为5000元时销售量为30个，价格为8000元时销售量为15个。可以列出二次函数的方程 y = ax^2 + bx + c，将两组数据代入方程得到一个二元一次方程组，解方程组可以得到二次函数的具体表达式。可以画出二次函数的图像，横轴表示价格，纵轴表示销售量，图像是一个开口向下的抛物线。 三、函数的应用举例 函数在解决实际问题中的应用非常广泛，包括数学、物理、经济等方面。 1. 数学方面的应用 函数在数学建模中起到了重要的作用。例如，在几何问题中，可以通过函数来表示物体的运动轨迹；在数列问题中，可以通过函数来表示数列的通项公式。 【实例】某数列的前两项分别为2和4，且从第3项开始，每一项都是前两项的和。写出该数列的通项公式。
初中数学中的二次函数应用
初中数学中的二次函数应用 二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。在我们的日常生活中，我们可能并不经常意识到二次函数的存在和应用，但实际上，它在许多领域都发挥着重要的作用。本文将探讨初中数学中的二次函数应用，并介绍一些实际问题中的解决方法。 一、二次函数的图像与实际意义 二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数。当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。图像的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在实际问题中有着重要的意义。 例如，我们可以利用二次函数来研究物体的抛射运动。当我们把一个物体抛出时，它的运动轨迹就是一个抛物线。通过分析抛物线的图像，我们可以了解物体的最高点、最远点和落地点等信息。这对于预测物体的落点和设计弹道有着重要的意义。 二、二次函数在经济学中的应用 在经济学中，二次函数也有着广泛的应用。例如，我们可以利用二次函数来研究成本和收益的关系。假设某个企业的生产成本可以表示为二次函数，我们可以通过分析二次函数的图像，找到最小成本点，从而确定最佳生产量。 此外，二次函数还可以用来研究市场需求和供给的关系。假设某个商品的需求量可以表示为二次函数，我们可以通过分析二次函数的图像，找到顶点，从而确定最佳价格和销售量。这对于企业的利润最大化和市场调节有着重要的意义。 三、二次函数在建筑设计中的应用
二次函数在建筑设计中也有着重要的应用。例如，我们可以利用二次函数来研 究拱桥的设计。拱桥的形状可以用二次函数来描述，通过分析二次函数的图像，我们可以确定拱桥的最高点和最宽处，从而保证拱桥的结构稳定和美观。 此外，二次函数还可以用来研究建筑物的抗震性能。通过分析二次函数的图像，我们可以确定建筑物的最大位移和最大应力，从而评估建筑物的抗震能力，为建筑设计提供科学依据。 四、二次函数的解决方法 在解决实际问题时，我们需要运用二次函数的解决方法。一种常见的方法是利 用二次函数的顶点公式。顶点公式可以帮助我们快速找到二次函数的顶点，从而确定抛物线的最高点或最低点。 另一种方法是利用二次函数的因式分解法。通过将二次函数进行因式分解，我 们可以将二次函数转化为一次函数的乘积，从而更容易求解问题。 总之，初中数学中的二次函数应用广泛。通过学习二次函数的图像与实际意义，我们可以将数学与实际问题相结合，提高问题解决能力。同时，掌握二次函数的解决方法，可以帮助我们更好地解决实际问题，为日后的学习和工作打下坚实的基础。
例谈二次函数在日常生活中的应用
例谈二次函数在日常生活中的应用 作者：吴欢欢 来源：《新课程学习·中》2011年第03期 摘要：二次函数应用问题是整个中学数学的重点和难点，如何提高学生的学习效率值得思考。本文结合日常生活中的二次函数应用，浅谈这一问题，以期对当前教学有所借鉴。 关键词：二次函数；日常生活；最值 二次函数是中学数学重要内容之一，二次函数的相关知识及其实际应用问题是中学生数学学习的重点和难点问题。这个问题既考查学生对函数本身知识的掌握程度，又考查学生的数学建模能力，也就是将实际问题转化为数量关系，进而转化为函数关系的能力及用函數知识解决问题的综合应用能力。要掌握这些能力，需要长久的训练过程，首先需要对二次函数在日常生活中的应用有所了解。数学来源于生活，在我们的生活中存在大量的二次函数知识的应用，下面笔者就这一问题进行论述，并辅以具体事例说明求解这一问题的方法： 一、生活中的最值问题 求解最值问题是二次函数在生活中最常见的应用，也最能体现二次函数的实际应用价值。这类问题在生活中的分布很广，学生较为熟悉和感兴趣，具体包括生活中的一些几何问题中的最值和利润最值等。如：“现有60米的篱笆要围成一个矩形场地，怎么样才能使得篱笆围成的矩形的面积最大？”对这样的问题，学生很容易通过建立二次函数，然后按照较为固定的方法，采用取极值来得出答案。但是，在这个过程中，学生容易忽视一个问题，即实际生活中很多应用并不是定点取极值，如果不注意这种现实需要，往往会产生错解。处理这种问题，不但需要学生对二次函数的解题方法有很清晰的掌握，而且对自变量和因变量的总体限定要有足够的意识，而且这种意识要贯穿到整个解题过程中进行反复验证。在具体教学中，教师要多借助图像来使问题形象化，而不是仅仅通过算式来体现。通过直观图表达，学生就能够积累丰富的经验，避免抽象化带来的思维局限。在使用二次函数的过程中，自变量的设置也非常关键，比如下面的例子： 某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个所占地面积为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条邻边的长。（1）长方形的面积是1152平方米；（2）长方形的面积是1800平方米；（3）长方形的面积是2000平方米。
二次函数利润问题
二次函数利润问题 第一篇：二次函数利润问题 1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台． （1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？ （3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？ 解：（1）根据题意，得y=（2400-2000-x）（8+4×），即； （2）由题意，得 整理，得x2-300x+20000=0，解这个方程，得x1=100，x2=200，要使百姓得到实惠，取x=200，所以，每台冰箱应降价200元； （3）对于当时，y最大值=（2400-2000-150）（8+4×）=250×20=5000，所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000元。 ． 2、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？
根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？ 解：（1）y=（210-10x）（50+x-40）=-10x2+110x+2100（0≤x≤15且x为整数）； （2）配方法，有y=-10（x-5.5）2+2402.5∵a=-10<0 ∴当x=5.5时，y有最大值2402.5 ∵0≤x≤15，且x为整数 当x=5时，50+x=55，y=2400 当x=6时，50+x=56，y=2400 ∴当售价定为每件55或56元时，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元； （3）当y=2200时，-l0x2+110x+2100=2200 解得x1=1，x2=10。 ∴当x=1时，50+x=5 1当x=10时，50+x=60 ∴当售价定为每件51或60元时，每个月的利润恰为2200元 当51元≤售价≤60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价为51，52，53，54，55，56，57，58，59或60元时，每个月的利润不低于2200元）。 3、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售 经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个； （1）假设销售单价提高x元，那么销售每个篮球所获得的利润是元；这种篮球每月的销售量是______________________个；（用含x的代数式表示）（4分） （2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？（8分） 解：（1）.(10+x)（500-10x） （2）.500-10x
初中数学_应用《二次函数》解决实际问题教学设计学情分析教材分析课后反思
《应用二次函数解决实际问题》的教学设计首先创设问题情境，激发学生的学习兴趣，同时也让学生切实体会到数学来源于生活。接着给出几道关于二次函数的练习题，巩固二次函数最值的求法，为后面解决实际问题做准备。 接下来就是解决商品何时利润最大问题，在解决商品利润问题时我先让学生回顾了有关利润的公式。采用小组合作探究的方式分组讨论实施。这是为了给学生提供充分从事数学活动的机会，在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法。这里要给学生充分的时间进行探究。在各小组充分讨论后进行全班交流，归纳出方法和注意的问题。 最后是归纳总结、加深印象环节。在小结中，引导学生总结出从数学的角度解决实际问题的过程：有实际问题抽象转化成数学问题，然后运用所学的数学知识得到问题的解，再由结论反过来解释或解决新的实际问题。 本节课在知识上由简单到复杂，教学从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，让学生体会解决现实生活问题的快乐。掌握数学建模思想在实际问题中的应用；体现数学的实际应用价值。这是一次有效的教学知识探究活动，使学生的学习激情得到释放，教师通过电脑多媒体稍加点拨，适可而止，把更多的思考空间留给了学生，学生利用学案同时也得到充分的展示，更好的完成本节的学习任务。 教学设计： 创设情境、引出课题
通过欣赏生活中的抛物线图片走近我们的日常生活，激发学生的学习欲望，引出课题。 复习准备 复习二次函数的基本知识，为探究生活中的实际问题做准备。 实际案例、自主探究 本问题设计的是利润最大问题，设计了四个常见的重点问题，在教师的引导下，学生自主研究、解答本题，并请学生说出解题思路以及答案，师生共同研究，引导学生解决实际问题。老师及时引导学生提炼解题思路和方法。引导学生利用函数性质解决问题时应当注意自变量的取值范围。提高学生的建模能力，渗透数形结合的思想方法。通过合作学习，小组汇报等手段，领悟列函数关系式和利用函数性质解决问题时注意事项。同时，让学生在合作学习中共同解决问题，培养学生的合作精神。 观察分析、合作交流 本问题是从学生生活中来的跳绳问题，学生独立思考后，6人一组交流讨论，找出答案曾经出现差异的组谈谈交流之后的结果。 交流方法，反思提升 巩固一下通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发探索精神。并提高学生解决问题的自信心。 知识整理，形成系统 通过学生自己总结、归纳学习内容，培养全面分析问题的良好习