分式的加减 公开课大赛(省)优【一等奖教案】

15．2.2 分式的加减 第1课时 分式的加减

1．理解并掌握分式加减法法则．(重点)

2．会利用分式加减法法则熟练地进行异分母分式加减法计算．(难点)

一、情境导入 1．请同学们说出

12x 2y

3

，

13x 4y

2

，

19xy

2

的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定

方法吗？

2．你能举例说明分数的加减法法则吗？仿照分数加法与减法的法则，你会做以下题目吗？

(1)1x ＋3x ；(2)2xy ＋4xy －5xy

.

分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则吗？ 今天我们就学习分式加减法．

二、合作探究

探究点一：同分母分式的加减法

计算：(1)a 2＋1

a ＋

b －b 2＋1a ＋b ；(2)2x －1＋x －1

1－x

.

解析：按照同分母分式相加减的方法进行运算．

解：(1)a 2＋1a ＋b －b 2＋1a ＋b ＝a 2＋1－（b 2＋1）a ＋b ＝a 2＋1－b 2－1a ＋b ＝a 2－b 2a ＋b ＝（a ＋b ）（a －b ）

a ＋

b ＝

a －

b ；

(2)

2x －1＋x －11－x ＝2x －1－x －1x －1＝2－（x －1）x －1＝3－x x －1

. 方法总结：(1)当分子是多项式，把分子相减时，千万不要忘记加括号；(2)分式加减运

算的结果，必须要化成最简分式或整式；(3)当两个分式的分母互为相反数时可变形为同分母的分式．

探究点二：异分母分式的加减

【类型一】 异分母分式的加减运算

计算：

(1)

x 2

x －1

－x －1；

(2)

x ＋2x 2

－2x －x －1

x 2－4x ＋4

. 解析：(1)先将整式－x －1变形为分母为x －1的分式，再根据同分母分式加减法法则计算即可；(2)先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．

解：(1)x 2x －1－x －1＝x 2

x －1－x 2－1x －1＝1

x －1

；

(2)x ＋2x 2－2x －x －1x 2－4x ＋4＝（x ＋2）（x －2）x （x －2）2－x （x －1）x （x －2）2＝x 2－4－x 2

＋x x （x －2）2＝x －4x 3

－4x 2＋4x

. 方法总结：在分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化

为同分母分式，然后再相加减．

【类型二】 分式的化简求值

先化简，再求值：

3

x －3－18

x 2－9

，其中x ＝2016. 解析：先通分并利用同分母分式的减法法则计算，后约分化简，最后代入求值． 解：原式＝

3x －3－18（x ＋3）（x －3）＝3（x ＋3）－18（x ＋3）（x －3）＝3（x －3）（x ＋3）（x －3）＝3x ＋3

，当x ＝2016时，原式＝3

2019

.

方法总结：在解题的过程中要注意通分和化简．

【类型三】 分式的简便运算

已知下面一列等式：

1×12＝1－12；12×13＝12－13； 13×14＝13－14；14×15＝14－1

5

；… (1)请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式； (2)验证一下你写出的等式是否成立； (3)利用等式计算：1x （x ＋1）＋1（x ＋1）（x ＋2）＋1

（x ＋2）（x ＋3）

＋

1

（x ＋3）（x ＋4）

.

解析：(1)观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；(2)根据分式的运算法则即可验证；(3)根据(1)中的结论求解．

解：(1)1n ·1n ＋1＝1n －1

n ＋1

；

(2)∵1n －1n ＋1＝n ＋1n （n ＋1）－n n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n ·1n ＋1，∴1n ·1n ＋1＝1n －1n ＋1；

(3)原式＝(1x －1x ＋1)＋(1x ＋1－1x ＋2)＋(1x ＋2－1x ＋3)＋(1x ＋3－1x ＋4)＝1x －1x ＋4

＝

4

x 2

＋4x

. 方法总结：本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体和部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．

【类型四】

关于分式的实际应用

在下图的电路中，已测定CAD 支路的电阻是R 1，又知CBD 支路的电阻R 2比R 1大50欧姆，根据电学有关定律可知总电阻R 与R 1、R 2满足关系式1R ＝1R 1＋1

R 2

，试用含有R 1

的式子表

示总电阻R .

解析：由题意知R 2＝R 1＋50，代入1R ＝1R 1＋1

R 2，然后整理成用R 1表示R 的形式．

解：由题意得R 2＝R 1＋50，代入1R

＝1R 1

＋1R 2得1R ＝1

R 1

＋

1

R 1＋50，则R ＝1

1

R 1＋

1

R 1＋50

＝

12R 1＋50R 1（R 1＋50）

＝R 1（R 1＋50）

2R 1＋50.

方法总结：此题属于物理知识与数学知识的综合，熟练掌握分式运算法则是解本题的关键．

三、板书设计

分式的加法与减法

1．同分母分式的加减法：分母不变，把分子相加减，用式子表示为a c ±b c ＝

a ±b

c

.

2．异分母分式的加减法：先通分，变为同分母的分式，再加减，用式子表示为a b ±c d ＝ad

bd

±bc bd ＝

ad ±bc

bd

.

从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号．学生在教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决．

第2课时

含30°角的直角三角形的性质

1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理．(重点)

2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)

一、情境导入 问题：

1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？ 2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．

二、合作探究

探究点：含30°角的直角三角形的性质

【类型一】 利用含30°角的直角三角形的性质求线段长

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3cm ，

则AB 的长度是( )

A ．3cm

B ．6cm

C ．9cm

D ．12cm

解析：在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ＝30°.在Rt △ACD 中，AC ＝2AD ＝6cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝2AC ＝12cm.∴AB 的长度是12cm.故选D.

方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．

【类型二】 与角平分线或垂直平分线性质的综合运用

如图，∠AOP ＝∠BOP ＝15°，PC ∥OA 交OB 于C ，PD ⊥OA 于D ，若PC ＝3，则PD

等于( )

A ．3

B ．2

C ．1.5

D ．1

解析：如图，过点P 作PE ⊥OB 于E ，∵PC ∥OA ，∴∠AOP ＝∠CPO ，∴∠PCE ＝∠BOP ＋∠CPO ＝∠BOP ＋∠AOP ＝∠AOB ＝30°.又∵PC ＝3，∴PE ＝12PC ＝1

2

×3＝1.5.∵∠AOP ＝∠BOP ，

PD ⊥OA ，∴PD ＝PE ＝1.5.故选C.

方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻

找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．

【类型三】 利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系

如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点D 作DE ⊥AB .DE 恰好

是∠ADB 的平分线．CD 与DB 有怎样的数量关系？请说明理由．

解析：由条件先证△AED ≌△BED ，得出∠BAD ＝∠CAD ＝∠B ，求得∠B ＝30°，即可得到

CD ＝12

DB .

解：CD ＝1

2DB .理由如下：∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠BED ＝90°.∵DE 是∠ADB 的平分线，

∴∠ADE ＝∠BDE .又∵DE ＝DE ，∴△AED ≌△BED (ASA)，∴AD ＝BD ，∠DAE ＝∠B .∵∠BAD ＝∠CAD ＝1

2∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝∠B .∵∠BAD ＋∠CAD ＋∠B ＝90°，∴∠B ＝∠BAD ＝∠CAD

＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ＝12BD ，即CD ＝1

2

DB .

方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如

果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．

【类型四】 利用含30°角的直角三角形解决实际问题

某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以

美化环境，已知AC ＝50m ，AB ＝40m ，∠BAC ＝150°，这种草皮每平方米的售价是a 元，求购买这种草皮至少需要多少元？

解析：作BD ⊥CA 交CA 的延长线于点D .在Rt △ABD 中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD ，即△ABC 的高．运用三角形面积公式计算面积求解．

解：如图所示，作BD ⊥CA 于D 点．∵∠BAC ＝150°，∴∠DAB ＝30°.∵AB ＝40m ，∴BD ＝12AB ＝20m ，∴S △ABC ＝12×50×20＝500(m 2)．已知这种草皮每平方米a 元，所以一共需要500a 元．

方法总结：解此题的关键在于作出CA 边上的高，根据相关的性质推出高BD 的长度，正确的计算出△ABC 的面积．

三、板书设计

含30°角的直角三角形的性质

性质：在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学

生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．

六、词语点将（据意写词）。

1．看望；访问。（）

2．互相商量解决彼此间相关的问题。（）

3．竭力保持庄重。（）

4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。（）

5．弯弯曲曲地延伸的样子。（）

七、对号入座（选词填空）。

冷静寂静幽静恬静安静

１．蒙娜丽莎脸上流露出（）的微笑。

2．贝多芬在一条（）的小路上散步。

3．同学们（）地坐在教室里。

4．四周一片（），听不到一点声响。

5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（）。

八、句子工厂。

1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）

___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子）

___________________________________________________________________________

3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话）

___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。

“把”字句：

_________________________________________________________________ “被”字句：

_________________________________________________________________

九、要点梳理（课文回放）。

作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了

__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和__________，以及她__________、__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。

综合能力日日新

十、理解感悟。

（一）

蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇

凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。