高一数学必修四综合试题及详细答案
2009—2010学年度下学期
高一数学期末测试
[新课标版]
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.） 1．下列命题中正确的是 （ ）
A ．第一象限角必是锐角
B ．终边相同的角相等
C ．相等的角终边必相同
D ．不相等的角其终边必不相同
2．已知角α的终边过点()m m P 34，
-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）
A ．1或－1
B ．52或52-
C ．1或5
2- D ．－1或5
2
3．下列命题正确的是
（ ）
A ．若→
a ·→
b =→a ·→
c ，则→
b =→
c
B ．若||||b -=+，则→
a ·→
b =0
C ．若→
a //→
b ，→
b //→
c ，则→
a //→
c D ．若→
a 与→
b 是单位向量，则→
a ·→
b =1
4．计算下列几个式子，①οοο
ο
35tan 25tan 335tan 25tan +
+,
②2(sin35?cos25?+sin55?cos65?), ③
ο
ο
15
tan 115tan 1-+ , ④
6
tan
16
tan
2
ππ-，结果为3的是（ ）
A ．①②
B ．③
C ．①②③
D ．②③④
5．函数y ＝cos(
4
π
－2x )的单调递增区间是 （ ） A ．[k π＋8π，k π＋85π] B ．[k π－83π，k π＋8π
]
C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]
D ．[2k π－83π，2k π＋8
π
]（以上k ∈Z ）
6．△ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22
cos cos cos
02
C
x x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形
7．将函数)3
2sin()(π
-
=x x f 的图像左移3
π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的2
1，则
所得到的图象的解析式为 （ ）
A ．x y sin =
B ．)34sin(π
+=x y
C ．)3
24sin(π
-
=x y D ．)3
sin(π
+=x y 8. 化简
10sin 1++10sin 1-，得到
（ ） A ．－2sin5 B ．－2cos5 C ．2sin5 D ．2cos5
9．函数f(x)=sin2x·cos2x 是 （ ）
A ．周期为π的偶函数
B ．周期为π的奇函数
C ．周期为
2
π
的偶函数 D ．周期为
2
π
的奇函数. 10．若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是
（ ）
A ．
6π
B ．
4
π
C ．
3
π
D ．
π12
5 11．正方形ABCD 的边长为1，记→
-AB ＝→
a ，→
-BC ＝→
b ，→
-AC ＝→
c ，则下列结论错误．．的是（ ）
A ．(→a －→b )·→
c ＝0
B ．(→a ＋→b －→c )·→
a ＝0
C ．(|→
a －→
c | －|→
b |)→
a ＝→
0 D ．|→
a ＋→
b ＋→
c |＝2 12．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，
它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，
小正方形的面积是θθ22cos sin ,25
1
-则的值等于（ ）
A ．1
B ．2524-
C ．257
D ． －25
7
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。请把正确答案填在题中的横线上） 13．已知曲线y =Asin(ωx ＋?)＋k （A>0,ω>0,|?|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(
8
π
, 4)，最低点的坐标为(
8
5π
, －2)，此曲线的函数表达式是 ． 14．设sin α－sin β=3
1
，cos α+cos β=21, 则cos(α+β)= ．
15．已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原
点），那么
XB
XA ?的最小值是___________．
16．关于下列命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4
(
2cos x y -=π
是偶函数； ③函数)32sin(4π
-=x y 的一个对称中心是（6π
，0）；④函数
)
4
sin(π
+
=x y 在闭区间]2
,2[π
π-
上是增函数; 写出所有正确的命题的题号： 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知4
34
παπ<<，40π<β<，53)4cos(-=+απ，13
5)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值.
18．（本小题满分12分）
已知函数x x x f cos 3sin )(+=。 （I ）求)(x f 的周期和振幅；
（II ）用五点作图法作出)(x f 在一个周期内的图象; （III ）写出函数)(x f 的递减区间.
19．（本小题满分12分）
已知关于x 的方程0)13(22
=++-m x x 的两根为θsin 和θcos ，θ∈（0，π）.
求：
（I ）m 的值； （II ）
θ
θ
θθθtan 1cos 1tan sin tan -+
-的值； （III ）方程的两根及此时θ的值.
20．（本小题满分12分）
已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(2π,2
3π
). （I ）若||=||，求角α的值；
（II ）若·=-1，求α
α
αtan 12sin sin 22++的值.
21．（本小题满分12分）
某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y =
经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象
（I ）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式； （II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船
舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
22．（本小题满分14分）
已知向量()()
)90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=οορρ
b a
（I ）求证：b a ρ
ρ⊥；
（II ）若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x ρρρρρρ+-=-+=,)3(2
满足y x ρρ⊥。试
求此时t
t k 2
+的最小值。
参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）
1.C
2.B
3.B
4.C
5.B
6.B
7.B
8.A
9.D 10.B 11.D 12.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．1)4
2sin(3++
=π
x y 14．72
59
-
15．－8 16．③ 三、解答题： 17．（本小题满分12分）
解：∵
434π<
α<π ∴π<α+π
<π42 ---------------1分 又5
3)4cos(-=α+π ∴54
)4sin(=α+π ---------------3分
∵4
0π<β< ∴π<β+π
<π4343 -------------4分 又135)43sin(=β+π ∴13
12)43cos(-=β+π ----------6分
∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] ----------------8分 = )]43(
)4sin[(β+π
+α+π-
)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+π
α+π+β+πα+π-= ------10分
65
63
]13553)1312(54[=
?--?-= -----------12分
18．（本小题满分12分）
解：（I ）)cos 23
sin 21(2x x y +=＝)3
sin cos 3cos (sin 2ππx x +
＝)3
sin(2π+x -----------2分
函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。 ----------------4分
（
-----------------7分
图象如上。 ----------------9分
（III ）由)(2
323
2
2Z k k x k ∈+
≤+
≤+
π
ππ
π
π解得： ---------10分 )(6
726
2Z k k x k ∈+
≤≤+
π
ππ
π 所以函数的递减区间为)(],6
72,6
2[Z k k k ∈+
+π
ππ
π -------12分 19．（本小题满分12分）
（I ）由韦达定理得：2
1
3cos sin +=
+θθ ----------1分 ∴4432cos sin 21+=
+θθ ∴2
3
cos sin 2=θθ ---------2分 由韦达定理得2cos sin m
=
?θθ=4
3 ∴23=m --------3分
（II ）∵2)231(
cos sin 21-=-θθ ∴2
1
3cos sin -±=-θθ ---4分 x 3π-
6π 32π 67π 35π 3π+x 0 2π π 23π π2
)3sin(2π
+=x y 0 2 0 -2 0
∵θθ
θθθtan 1cos 1tan sin tan -+
-=θθθθθθsin cos cos cos sin sin 22-+- =
θθθ
θθ
θcos sin cos sin cos sin 22+=-- ---------6分 ∴原式=21
3cos sin +=
+θθ -----------------------7分 （III ）2
3cos sin 2=
θθ>0 ∵θsin 与θcos 同号，又∵θθcos sin +>0
∴θsin 与θcos 同正号 -------------------------8分 ∵θ∈（0，π） ∴θ∈（0，
2
π
） ------------------9分 ∵2
13cos sin +=
+θθ ，且21
3cos sin -±=-θθ
∴θsin =23，θcos =21；或θsin =2
1
，θcos =23 --------11分 ∴θ=
6π
或θ=3
π. ---------------------------12分 20．（本小题满分12分）
解：（I ）∵=(cosα-3,sinα)，=(cosα,sinα-3), --2分 ∴||=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-,
||=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+. --------------4分 由||=||得sinα=cosα. 又∵α∈(
2π,2
3π
)，∴α=45π. ----------------------6分
（II ）由·
=-1, 得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1.∴sinα+cosα=3
2
---8分 由上式两边平方得1+2sinαcosα=9
4, ∴2sinαcosα=9
5
-
. ----------------------------10分
又α
αααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22
+
+=++=2sinαcosα.
∴9
5tan 12sin sin 22-=++ααα. -------------------------12分
21．（本小题满分12分）
解：（I ）依题意有：最小正周期为： T=12 --------1分
振幅：A=3，b=10，
6
2π
πω==
T ---------2分 10)6
sin(3)(+?==t t f y π
----------------------4分
（II ）该船安全进出港，需满足：55.6+≥y
即：5.1110)6sin(
3≥+?t π
21
)6sin(≥?t π ---------6分 ∴Z k k t k ∈+≤?≤+6
52662π
ππππ
Z k k t k ∈+≤≤+512112 -----------------------8分
又 240≤≤t 51≤≤∴t 或1713≤≤t ------------10分 依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时） ----12分
22．（本小题满分14分）
解：由诱导公式得： ()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a ρρ
-------2分
12
==b a ρ
ρ -------------------------3分
（I ）0cos )sin 2(sin cos 2=?-+?=?θθθθb a ρ
ρ 则 b a ρρ⊥ ---------5分 （II ）b t a k y b t a x ρρρρρρ+-=-+=,)3(2
y x ρ
ρΘ⊥ 0=?∴y x ρ
ρ -------------------------6分
即：0][])3([2
=+-?-+b t a k b t a ρρρρ
0)3()])(3([22
22=-+?--++-b t t b a k t t a k ρρρρ
∴4
)3(0)3(422
t
t k t t k -=
=-+- -----------------------9分 ∴4
7
)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=t t t t t t k t f ------12分
即当2-=t 时，t t k 2+的最小值为4
7
-. ---------------14分