大连理工数学分析试题及解答Word版

2000年大连理工大学硕士生入学考试试题——数学分析

一、从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分

1． 证明：1

()f x x

=于区间0(,1)δ（其中001δ<<）一致连续，但是于(0,1)内不一致连续 证明：

01212(1)0,()[1]2

(2)1||()|()()|f x x x f x f x δδδδεδδε<=

2． 证明：若()[,]f x a b 于单调，则()[,]f x a b Riemann 于内可积

证明：

1101111111

1

11()...[,],max 0

(max {()}min {()})(()())(max{()()})

(max{()()})i i

i i

n i i i i i n

n

n

i i i i i i x x x x x x i n

i i i i i n

f x a x x x b a b x x f x f x f x f x f x f x f x f x λλλλλλ---≤≤--≤≤≤≤≤≤==-≤≤?=<<<==-=→-

=-<--∑∑不妨设单调递增，且：是的一个划分,

必然存在一个划分，使得11111

(max{()()})lim (max {()}min {()})0i i

i i

i i i n

n

i x x x x x x i f x f x f x f x λ---≤≤?

≤≤≤≤=→--=∑（由于递增，使用二分法的思想，可以使得小于任何数）

所以，，所以可积

3． 证明：Dirichlet 函数：

0,()1,()x f x p

x q q ??

=?=??

为无理数有理数在所有无理点连续，在有理点间断，

证明：

0001000000()0

10[]1min{||}1(,),|()|()0{,{}},()n N i Z

i i x f x i

N x n x x x f x N

x f x x y y f x εδδεεεε+

≤≤∈=?>=+=-∈-+≤<≠∈为无理数，对于，,取，显然这样的存在

当所以，在无理点连续

为有理数，。不难找到趋近于的收敛子列：无理数这样显然不连续。

4． 证明：若()(,),(,)f x C a b a b ∈（指上的连续函数），且任意(,)(,)a b αβ?，

()0f x dx β

α

=?，那么

()0f x ≡，(,)x a b ∈

证明：

002

000000000()(),(,),()0()()'()()02()0

(,)(,)()()()()(2)()022

x

a b x x F x f t dt x a b F x F x f x F x f x f x x x x x x x f x f x f x f x dx f x δδδδδδδδ++-=?∈==?≡>-+?∈-+>

?>=≠??证明1：构造函数。

因为，可导而且，证明：反证法，不妨设那么，存在的一个小的邻域，使得。矛盾

5． 证明：

1

(0,)0,[,)nx

n ne

δδ∞

-=+∞?>+∞∑于不一致收敛，但是对于于一致收敛

证明：

1

1

1

(1)1

01

(1)(1)0(1)2

()()()(1)1(1)()11lim()1()lim ()1(1)(1)m

nx

m n m

nx

m n m

m x

n x

nx m n n mx

m x m x

nx

m x

x

n mx

m x

x x m m x x

m A x ne A x ne e A x ne n e e e A x me

e

me

e e me e e A x A x e e -=-=----==--------=----→∞→∞=?

=?????

==+??--=+=+

--+-?===--∑∑∑∑∑假设：21

21

[,),0,()ln(),,|()()|(1)111(2)(0,),,()()

1(1)m m nx

m

x m x x e x N m N A x A x e me e x m N A e A x m e e δ

δδεεε

δε

---∈+∞?>?=?>-<-+-∈+∞?∈=≠=--所以，一致收敛

所以，非一致收敛

6． 证明：

4

1sin ,0

()0,0

x x f x x

x ?≠?=??=?，在x=0处有连续的二阶导数 证明：

4

3432

23002

20

01sin ,0()0,0

111114sin cos ()4sin cos ,0'()()(0)1lim lim sin 0,00111112sin 4cos 2cos sin ,0"()'()'(0)1lim lim(4sin c 0x x x x x x f x x

x x x x x x x x x x x

f x f x f x x x x x x x x x x x x

f x f x f x x x x →→→→?≠?

=??=??+-=-≠??=?

-?===?-?

---≠=-=--1os )0,0

"(0)"()0x x f f x x ????

?==??=存在，但是，不在连续

7． 利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积

解：三种方法：

22

2

221)arcsin 2212arcsin |2

2(1)c c

c

c

c c a x C

a

V a z c ab dz

z ab c π++--+-=+==-==-??

?

?

?2220

4

23cos 2)sin ,[0,1],[0,2),[,]4

2(1)3

cos sin 3)sin sin ,[0,1],[0,2)cos c

c c c

c

c

c

c dz abc

x ar y br r z c c z z z V abrd drdz ab ab dz abc

c x ar y br r z cr π

πθθθπθπππθ?

θ?θπ?

+-+++---==??

=∈=∈-??=?===-==??

=∈∈??=???

?

?121

2

2

2

220

00

002

,[,]

222

2sin 2sin sin 34

3

V abcr d drd abcr drd abc d abc ππ

ππ

πππ??θ?π??π??

π+

+

+-∈-====

???

???

8． 计算第二类曲面积分：

xdydz ydzdx zdxdy ∑

++?

，其中，

,,0,1,,x y z x y z x y z ∑>++=是三角形（），法方向按与轴成锐角为正。

解：（Gauss 定理）

12312

31230,,0,10,,0,10,,0,1

13201200V

z x y x y y x z z x x y z y z xdydz ydzdx zdxdy dxdydz xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑+∑+∑∑∑

∑∑∑=>+=∑=>+=∑=>+=?

++==??++=???++=??++=??++=??

??????：：：

二、从9-14题中选4题解答

9．假设1222...lim ,lim

2

n n n n a a na a

a a n →∞

→∞+++==证明： 证明：Stolz 公式

1212112222

12...(2...(1))(2...)

lim

lim

(1)(1)lim 212

n n n n n n n n a a na a a na n a a a na n n n n a a n +→∞→∞+→∞++++++++++++=+-+==+ 利用定义也可以做的

10．计算积分：22xdy ydx

I x y Γ-=

+?，其中，Γ为包含原点的一条分段光滑闭曲线，取正

方向。

证明：利用Green 公式，不过要注意去掉中间那个极点

11112222

22222222

222200:()02cos sin sin cos xdy ydx y x x y dxdy x y x y x y xdy ydx x y xdy ydx d d d x y πππθθθθθΓ-ΓΓ-ΓΓΓΓ?---=+=?+++-?

?=?+-?=-=?

+?

??????单位圆周，方向为正方向

11.计算曲面积分3

3

3

S I x dydz y dzdx z dxdy =++??，S 为椭球面222

2221x y z a b c

++=的外

侧。

证明：

3332222222222222222220

2203()cos sin ,[0,1],[0,2)3(cos sin )3cos sin )3()2

S

V

V

c

c I x dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz

x ar y br r z z I ab a r b r z rdrd dz

ab a r b r z rdrd dz

ab dr d πθθθπθθθθθθ-=++=++=??

=∈∈??=?

=++=++=?????????

?

2222222000222222

22222222(cos sin )3()3()(1)3(1)4

3()16223(22)

415155

c c c c c c c c z a b

d ab z dz d a b ab z z dz ab z dz c c ab a b c ab ab a b c ππθθθθπππππ----+++=-+-+=+=++??????

12．设1

1()0,[1,1],

()1,1,2,3....n n n

x C x dx n φφφ->∈-==?

，对于任意的c>0，

()[1,][,1]n x c c φ--在一致收敛于0。证明：对于任意()[1,1]g x C ∈-：

lim ()()(0)n n g x x g φ→∞

=

证明：

0001

1

1

1

10,()[1,1],[,],()[(0),(0)]

()[1,][,1],,[1,][,1],|()|()()()()()()()()|()()||n n c

c

n n n n c

c

c

n g x C c x c c g x g g x c c N n N x c c x g x x dx g x x dx g x x dx g x x dx

g x x dx g εεεφφε

φφφφφε------?>∈-???∈-∈-+--??>∈--?<=++

1

1

()|(1)max{()}

|()()||()|(1)max{()}

((0))()()()((0))()|()1|2(1)c

n c

c

c c c

n n n c

c

c

c

n c

x dx c g x g x x dx g x dx c g x g x dx g x x dx g x dx

x dx c εφεεεφφεφφε

------<-<<--<<+-<-???????综上所述，不难得到命题成立

13．证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点

证明：首先，证明左右极限都存在。不妨先证明左极限存在。如果不存在，函数有界，那么存在两个不同的子列，收敛于不同极限A

然后证明，左极限不等于右极限，否则，根据严格递增不难得到函数在该点是连续的，又和题目矛盾

从而命题成立

14．(,)(,)[,)()(,)f x y a b I y f x y dx ∞

-∞

-∞∞?=

?

于连续，于[,)y a b ∈收敛，但是

(,)f x b dx ∞

-∞

?

发散，证明，()[,)I y y a b ∈于非一致收敛

未完成！

Zhubin846152 朱斌

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）