高一数学 函数的单调性与最值
单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.
知识点一 函数的单调性
思考 画出函数f (x )=x 、f (x )=x 2的图象,并指出f (x )=x 、f (x )=x 2的图象的升降情况如何? 答案 两函数的图象如下:
函数f (x )=x 的图象由左到右是上升的;函数f (x )=x 2的图象在y 轴左侧是下降的,在y 轴右侧是上升的. 梳理 一般地,单调性是相对于区间来说的,函数图象在某区间上上升,则函数在该区间上为增函数,该区间称为增区间.反之则为减函数,相应区间称为减区间.因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的,而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义: 设函数f (x )的定义域为I :
(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1 (2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2,当x 1 思考 我们已经知道f (x )=x 2的减区间为(-∞,0],f (x )=1 x 的减区间为(-∞,0),这两个减区间能不能交 换? 答案 f (x )=x 2的减区间可以写成(-∞,0),而f (x )=1 x 的减区间(-∞,0)不能写成(-∞,0],因为0不属 于f (x )=1 x 的定义域. 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域则只能开. (2)单调区间D ?定义域I . (3)遵循最简原则,单调区间应尽可能大. 类型一 求单调区间并判断单调性 例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y =f (x ),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 解 y =f (x )的单调区间有[-5,-2],[-2,1],[1,3],[3,5],其中y =f (x )在区间[-5,-2],[1,3]上是减函数,在区间[-2,1],[3,5]上是增函数. 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集;当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“,”分开,不能用“∪”,可以用“和”来表示;在单调区间D 上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有. 跟踪训练1 写出函数y =|x 2-2x -3|的单调区间,并指出单调性. 解 先画出f (x )=? ???? x 2-2x -3,x <-1或x >3,-(x 2-2x -3),-1≤x ≤3的图象,如图. 所以y =|x 2-2x -3|的单调区间有(-∞,-1],[-1,1],[1,3],[3,+∞),其中单调减区间是(-∞,-1],[1,3];单调增区间是[-1,1],[3,+∞). 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例2 证明f (x )=x 在其定义域上是增函数. 证明 f (x )=x 的定义域为[0,+∞). 设x 1,x 2是定义域[0,+∞)上的任意两个实数,且x 1 (x 1-x 2)(x 1+x 2)x 1+x 2=x 1-x 2 x 1+x 2 . ∵0≤x 1 ∴f (x )=x 在它的定义域[0,+∞)上是增函数. 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上任意取x 1,x 2且x 1 x 在[1,+∞)上是增函数. 证明 设x 1,x 2是实数集R 上的任意实数,且1≤x 1 x 2) =(x 1-x 2)+(1x 1-1 x 2)=(x 1-x 2)+x 2-x 1x 1x 2 =(x 1-x 2)(1- 1 x 1x 2)=(x 1-x 2)(x 1x 2-1x 1x 2 ). ∵1≤x 1 x 1x 2-1x 1x 2>0,故(x 1-x 2)(x 1x 2-1x 1x 2 )<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1) ∴f (x )=x +1 x 在区间[1,+∞)上是增函数. 命题角度2 证明抽象函数的单调性 例3 已知函数f (x )对任意的实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y )-1,且当x >0时,f (x )>1.求证:函数f (x )在R 上是增函数. 证明 方法一 设x 1,x 2是实数集上的任意两个实数,且x 1>x 2.令x +y =x 1,y =x 2,则x =x 1-x 2>0. f (x 1)-f (x 2)=f (x +y )-f (y )=f (x )+f (y )-1-f (y )=f (x )-1.∵x >0,∴f (x )>1,f (x )-1>0, ∴f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2). ∴函数f (x )在R 上是增函数. 方法二 设x 1>x 2,则x 1-x 2>0, 从而f (x 1-x 2)>1,即f (x 1-x 2)-1>0. f (x 1)=f [x 2+(x 1-x 2)]=f (x 2)+f (x 1-x 2)-1>f (x 2),故f (x )在R 上是增函数. 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求f (x 1)-f (x 2),但可以借助题目提供的函数性质来确定f (x 1)-f (x 2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值. 跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是R ,对于任意实数m ,n ,恒有f (m +n )=f (m )·f (n ),且当x >0时,0 证明 ∵对于任意实数m ,n ,恒有f (m +n )=f (m )·f (n ),令m =1,n =0,可得f (1)=f (1)·f (0), ∵当x >0时,0<f (x )<1,∴f (1)≠0,∴f (0)=1. 令m =x <0,n =-x >0,则f (m +n )=f (0)=f (-x )·f (x )=1,∴f (x )f (-x )=1, 又∵-x >0时,0<f (-x )<1, ∴f (x )=1 f (-x ) >1. ∴对任意实数x ,f (x )恒大于0. 设任意x 1 ∴f (x 2)-f (x 1)=f [(x 2-x 1)+x 1]-f (x 1)=f (x 2-x 1)f (x 1)-f (x 1)=f (x 1)[f (x 2-x 1)-1]<0, ∴f (x )在R 上是减函数. 类型三 单调性的应用 命题角度1 利用单调性求参数范围 例4 若函数f (x )=? ??? ? (3a -1)x +4a ,x <1,-ax ,x ≥1是定义在R 上的减函数,则a 的取值范围为( ) A.[18,1 3) B.(0,13) C.[1 8 ,+∞) D.(-∞,18]∪[1 3,+∞) 答案 A 解析 要使f (x )在R 上是减函数,需满足: ???? ? 3a -1<0,-a <0,(3a -1)·1+4a ≥-a ·1. 解得18≤a <13 . 反思与感悟 分段函数在定义域上单调,除了要保证各段上单调外,还要接口处不能反超.另外,函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的. 跟踪训练4 已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[1,2]上单调,则实数a 的取值范围为________________. 答案 a ≤1或a ≥2 解析 由于二次函数开口向上,故其增区间为[a ,+∞),减区间为(-∞,a ],而f (x )在区间[1,2]上单调,所以[1,2]?[a ,+∞)或[1,2]?(-∞,a ],即a ≤1或a ≥2. 命题角度2 用单调性解不等式 例5 已知y =f (x )在定义域(-1,1)上是减函数,且f (1-a ) ? -1<1-a <1,-1<2a -1<1,1-a >2a -1, 解得0 3 , 即所求a 的取值范围是0 3 . 反思与感悟 若已知函数f (x )的单调性,则由x 1,x 2的大小,可得f (x 1),f (x 2)的大小;由f (x 1),f (x 2)的大小,可得x 1,x 2的大小. 跟踪训练5 在例5中若函数y =f (x )的定义域为R ,且为增函数,f (1-a ) 解 ∵y =f (x )的定义域为R ,且为增函数, f (1-a ) 3, ∴所求a 的取值范围是(2 3 ,+∞). 1.函数y =f (x )在区间[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的增区间是( ) A.[-2,0] B.[0,1] C.[-2,1] D.[-1,1] 答案 C 2.函数y =6 x 的减区间是( ) A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(-∞,0),(0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 答案 C 3.在下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1 x C.f (x )=|x | D.f (x )=2x +1 答案 B 4.已知函数y =f (x )满足:f (-2)>f (-1),f (-1) 5.若函数f (x )在R 上是减函数,且f (|x |)>f (1),则x 的取值范围是( ) A.x <1 B.x >-1 C.-1 D.x <-1或x >1 答案 C 1.若f (x )的定义域为D ,A ?D ,B ?D ,f (x )在A 和B 上都单调递减,未必有f (x )在A ∪B 上单调递减. 2.对增函数的判断,对任意x 1 (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0或f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2>0.对减函数的判断,对任意x 1 不等式来替代:(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0或f (x 1)-f (x 2) x 1-x 2 <0. 3.熟悉常见的一些函数的单调性,包括一次函数,二次函数,反比例函数等. 4.若f (x ),g (x )都是增函数,h (x )是减函数,则:①在定义域的交集(非空)上,f (x )+g (x )单调递增,f (x )-h (x )单调递增,②-f (x )单调递减,③1 f (x ) 单调递减(f (x )≠0). 5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x ),证明单调性时,也可以作商f (x 1) f (x 2) 与1比较. 课时作业 一、选择题 1.函数y =1 x -1的单调减区间是( ) A.(-∞,1),(1,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.{x ∈R |x ≠1} D.R 答案 A 解析 单调区间不能写成单调集合,也不能超出定义域,故C ,D 不对,B 表达不当.故选A. 2.如果函数f (x )在[a ,b ]上是增函数,那么对于任意的x 1,x 2∈[a ,b ](x 1≠x 2),下列结论中不正确的是( ) A.f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2 >0 B.(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0 C.若x 1 D.x 1-x 2f (x 1)-f (x 2)>0 答案 C 解析 因为f (x )在[a ,b ]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b ](x 1≠x 2),x 1-x 2与f (x 1)-f (x 2)的符号相同,故A ,B ,D 都正确,而C 中应为若x 1 3.已知函数f (x )是R 上的增函数,A (0,-1),B (3,1)是其图象上的两点,那么-1 C.(-∞,-1]∪[3,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞) 答案 B 解析 由已知f (0)=-1,f (3)=1, ∴-1 4.已知函数f (x )在R 上是增函数,则下列说法正确的是( ) A.y =-f (x )在R 上是减函数 B.y =1 f (x )在R 上是减函数 C.y =[f (x )]2在R 上是增函数 D.y =af (x )(a 为实数)在R 上是增函数 答案 A 解析 设x 1 其余三项不一定成立,如当f (x )=x 时,B 、C 不成立,当a <0时,D 不成立. 5.已知函数f (x )在(-∞,+∞)上是增函数,若a ,b ∈R 且a +b >0,则有( ) A.f (a )+f (b )>-f (a )-f (b ) B.f (a )+f (b )<-f (a )-f (b ) C.f (a )+f (b )>f (-a )+f (-b ) D.f (a )+f (b ) 解析 ∵a +b >0,∴a >-b ,b >-a , ∵f (x )在R 上是增函数, ∴f (a )>f (-b ),f (b )>f (-a ), ∴f (a )+f (b )>f (-a )+f (-b ). 6.已知函数f (x )=? ???? x 2+4x ,x ≥0, 4x -x 2,x <0,若f (4-a )>f (a ),则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞) 答案 A 解析 画出f (x )的图象(图略)可判断f (x )在R 上递增, 故f (4-a )>f (a )?4-a >a ,解得a <2. 二、填空题 7.已知函数f (x )=? ???? -x +3a ,x ≥0, x 2-ax +1,x <0是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a 的取值范围是________. 答案 [0,1 3 ] 解析 当x <0时,函数f (x )=x 2-ax +1是减函数,解得a ≥0,当x ≥0时,函数f (x )=-x +3a 是减函数,分段点0处的值应满足1≥3a ,解得a ≤13,∴0≤a ≤1 3 . 8.已知f (x )是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f (x -2) 2 ) 解析 由题意,得???? ? -1≤x -2≤1,-1≤1-x ≤1, x -2<1-x , 解得1≤x <3 2 , 故满足条件的x 的取值范围是1≤x <3 2 . 9.函数f (x +1)=x 2-2x +1的定义域是[-2,0],则f (x )的单调减区间是________. 答案 [-1,1] 解析 f (x +1)=x 2-2x +1=(x -1)2=(x +1-2)2, ∴f (x )=(x -2)2,x ∈[-1,1], ∴f (x )在定义域[-1,1]上单调递减. 10.已知一次函数y =(k +1)x +k 在R 上是增函数,且其图象与x 轴的正半轴相交,则k 的取值范围是________. 答案 (-1,0) 解析 依题意???? ? k +1>0,-k k +1>0,解得-1 三、解答题 11.求函数y =-x 2+2|x |+3的单调增区间. 解 ∵y =-x 2+2|x |+3=? ???? -x 2+2x +3,x ≥0, -x 2-2x +3,x <0. 函数图象如图所示: ∴函数y =-x 2+2|x |+3的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1]. 12.已知函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且f (x )<0(x >0),试判断F (x )=1 f (x ) 在(0,+∞)上的单调性并给出 证明过程. 解 F (x )在(0,+∞)上为减函数. 证明:任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1 f (x 1)=f (x 1)-f (x 2)f (x 2)f (x 1). ∵y =f (x )在(0,+∞)上为增函数,且x 1 x -a (x ≠a ). (1)若a =-2,试证明f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. (1)证明 任设x 1 x 1x 1+2-x 2 x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2) . ∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0, ∴f (x 1) x 1x 1-a -x 2 x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ) . ∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0, 只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述0 14.若f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=a x +1 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是____________. 答案 (0,1] 解析 由f (x )=-x 2+2ax 在[1,2]上是减函数可得a ≤1,由g (x )=a x +1在[1,2]上是减函数可得a >0. ∴0 15.设函数f (x )的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x ,y 都有f (xy )=f (x )+f (y )恒成立,已知f (2)=1,且x >1时,f (x )>0. (1)求f (1 2 )的值; (2)判断y =f (x )在(0,+∞)上的单调性并给出证明; (3)解不等式f (2x )>f (8x -6)-1. 解 (1)对于任意x ,y ∈R 都有f (xy )=f (x )+f (y ), ∴当x =y =1时,有f (1)=f (1)+f (1),∴f (1)=0. 当x =2,y =12时,有f (2×12)=f (2)+f (1 2), 即f (2)+f (1 2)=0, 又f (2)=1,∴f (1 2 )=-1. (2)y =f (x )在(0,+∞)上为单调增函数,证明如下: 设0 x 1)=f (x 2), 即f (x 2)-f (x 1)=f (x 2 x 1). 因为x 2x 1>1,故f (x 2 x 1 )>0, 即f (x 2)>f (x 1),故f (x )在(0,+∞)上为单调增函数. (3)由(1)知,f (1 2)=-1, ∴f (8x -6)-1=f (8x -6)+f (1 2) =f (1 2(8x -6))=f (4x -3), ∴f (2x )>f (4x -3), ∵f (x )在定义域(0,+∞)上为增函数, ∴? ???? 2x >4x -3,4x -3>0. 解得解集为{x |34 第2课时 函数的最大(小)值 学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值. 知识点一 函数的最大(小)值 思考 在下图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?1为什么不是最小值? 答案最大的函数值为4,最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应,不是函数值. 梳理一般地,设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足:(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值. 如果存在实数M满足:(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M.(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y =f(x)的最小值. 知识点二函数的最大(小)值的几何意义 思考函数y=x2,x∈[-1,1]的图象如下: 试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值. 答案x=±1时,y有最大值1,对应的点是图象中的最高点,x=0时,y有最小值0,对应的点为图象中的最低点. 梳理一般地,函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低点,它们不一定只有一个. 类型一借助单调性求最值 例1已知函数f(x)=x x2+1 (x>0),求函数的最大值和最小值. 解设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1 x21+1- x2 x22+1 =x1(x22+1)-x2(x21+1) (x21+1)(x22+1) = (x2-x1)(x2x1-1) (x21+1)(x22+1) . 当x1 当1≤x1 f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[1,+∞)上单调递减. ∴f(x)max=f(1)=1 2,无最小值. 反思与感悟(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a). (2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b). (3)若函数y =f (x )有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的. (4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势. 跟踪训练1 已知函数f (x )= 2 x -1 (x ∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. 解 设x 1,x 2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x 1 =2[(x 2-1)-(x 1-1)] (x 1-1)(x 2-1) = 2(x 2-x 1) (x 1-1)(x 2-1) . 由2≤x 1 得x 2-x 1>0,(x 1-1)(x 2-1)>0, 于是f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2). 所以,函数y =2 x -1 在区间[2,6]上是减函数. 因此,函数y =2 x -1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值, 即在x =2时取得最大值,最大值是2, 在x =6时取得最小值,最小值是2 5. 类型二 求二次函数的最值 例2 (1)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[0,2],求函数f (x )的最值; (2)已知函数f (x )=x 2-2x -3,若x ∈[t ,t +2],求函数f (x )的最值; (3)已知函数f (x )=x -2x -3,求函数f (x )的最值; (4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t )=-4.9t 2+14.7t +18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?(精确到1 m) 解 (1)∵函数f (x )=x 2-2x -3开口向上,对称轴x =1, ∴f (x )在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,且f (0)=f (2). ∴f (x )max =f (0)=f (2)=-3,f (x )min =f (1)=-4. (2)∵对称轴x =1, ①当1≥t +2即t ≤-1时, f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (t +2)=t 2+2t -3. ②当t +t +22≤1 f (x )max =f (t )=t 2-2t -3, f (x )min =f (1)=-4. ③当t ≤1 2,即0 f (x )max =f (t +2)=t 2+2t -3, f (x )min =f (1)=-4. ④当1 设函数最大值为g (t ),最小值为φ(t ),则有 g (t )=? ???? t 2-2t -3(t ≤0), t 2+2t -3(t >0), φ(t )=???? ? t 2+2t -3(t ≤-1),-4(-1 t 2-2t -3(t >1). (3)设x =t (t ≥0),则x -2x -3=t 2-2t -3. 由(1)知y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t =1即x =1时,f (x )min =-4,无最大值. (4)作出函数h (t )=-4.9t 2+14.7t +18的图象(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数h (t )=-4.9t 2+14.7t +18,我们有:当t =-14.72×(-4.9)=1.5时,函数有最大 值h =4×(-4.9)×18-14.72 4×(-4.9) ≈29. 于是,烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为29 m. 反思与感悟 (1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时要注意这两个因素. (2)图象直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解答题. 跟踪训练2 (1)已知函数f (x )=x 4-2x 2-3,求函数f (x )的最值; (2)求二次函数f (x )=x 2-2ax +2在[2,4]上的最小值; (3)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方向为x 轴、竖直方向为y 轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h (单位:m)与水平距 离x (单位:m)之间的函数关系式为h =-x 2+2x +54,x ∈[0,5 2 ].求水流喷出的高度h 的最大值是多少? 解 (1)设x 2=t (t ≥0),则x 4-2x 2-3=t 2-2t -3. y =t 2-2t -3(t ≥0)在[0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. ∴当t =1即x =±1时,f (x )min =-4,无最大值. (2)∵函数图象的对称轴是x =a , ∴当a <2时,f (x )在[2,4]上是增函数, ∴f (x )min =f (2)=6-4a . 当a >4时,f (x )在[2,4]上是减函数, ∴f (x )min =f (4)=18-8a . 当2≤a ≤4时,f (x )min =f (a )=2-a 2. ∴f (x )min =???? ? 6-4a ,a <2,2-a 2,2≤a ≤4, 18-8a ,a >4. (3)由函数h =-x 2+2x +54,x ∈[0,5 2]的图象可知,函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得 最大值. 对于函数h =-x 2+2x +54,x ∈[0,5 2 ], 当x =1时,函数有最大值h max =-12+2×1+54=9 4. 于是水流喷出的最高高度是9 4 m. 类型三 函数最值的应用 例3 已知x 2-x +a >0对任意x ∈(0,+∞)恒成立,求实数a 的取值范围. 解 方法一 令y =x 2-x +a , 要使x 2-x +a >0对任意x ∈(0,+∞)恒成立, 只需y min = 4a -14>0,解得a >1 4 . ∴实数a 的取值范围是(1 4,+∞). 方法二 x 2-x +a >0可化为a >-x 2+x . 要使a >-x 2+x 对任意x ∈(0,+∞)恒成立, 只需a >(-x 2+x )max , 又(-x 2+x )max =14,∴a >1 4. ∴实数a 的取值范围是(1 4, +∞). 引申探究 把例3中“x ∈(0,+∞)”改为“x ∈(1 2,+∞)”,再求a 的取值范围. 解 f (x )=-x 2+x 在(1 2,+∞)上为减函数, ∴f (x )的值域为(-∞,1 4 ), 要使a >-x 2+x 对任意x ∈(1 2,+∞)恒成立, 只需a ≥14,∴a 的取值范围是[1 4 ,+∞).