2020高考数学押题卷及答案解析
山东省2020届高考数学押题试卷
考试范围：学科内综合，第二轮复习用卷。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
参考公式：锥体的体积公式：V=3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）：如果事件A 、B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．集合??
?
????
?
??∈-<≤-=N
x x M x ,2110log 11的真子集的个数是 （ ） A ．902
B ．9022-
C ．9121-
D ．1290-
2．已知点A （2,3），B （5,4），C （7,10），若AP →＝AB →＋λAC →（λ∈R ），则当点P 在第三象限时，λ的取值范围是 （ ） A ．（-1，0） B ．（-1，+∞） C ．（0，1） D ．（-∞，-1）
3．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋bi
c ＋di
为实数，则 （ ）
A ．bc ＋ad≠0
B ．bc-ad≠0
C ．bc-ad ＝0
D ．bc ＋ad ＝0 4．等比数列{}n a 前项的积为n T ，若156a a a 是一个确定的常数，那么数列789,,T T T ,10
T 中也是常数的项是 （ ） A ．7T
B ．8T
C ．9T
D ．10T
5．（理）已知（2x 2 - x p ）6的展开式中常数项为20
27
，那么正数p 的值是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
（文）如果函数f(x)=??
?>-≤1
1
1
1
x x 则不等式()0xf x ≤的解集为 （ ） A ．[]1,1-
B ．[]()1,01,-+∞U
C ．()()1,,1+∞-∞-U
D ．()()0,1,1-∞-U
6．已知函数()()1x x f x k a a -=-- ()0,1a a >≠为奇函数,且为增函数, 则函数
x y a k =+的图象为 （ ）
7．抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过C 上一点),1(0y P 的切线l 与y 轴交于A ，则AF = （ ）
A ．1
B ．
12 C ．2 D ．1
4
8．如果执行右面的程序框图，输出的A 为 （ ） A ．2047 B ．2049 C ．1023 D ．1025
9．已知函数f(x)=)(23R c b a cx bx x ∈++、、的图象如图所示，则下列关于b 、c 符号判断正确的是 （ ） A ．b<0 c<0 B ．b>0 c<0 C ．b<0 c>0
D ．b>0 c>0
10．（理）如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是线段A 1B 1，A 1C 1的中点，则直线BE 1与AF 1所成角的余弦值是 （ ）
A ．
3010 B ．12 C ．3015 D ．1510 （文）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由这样的正方体组成的个数为 （ ）
A ．12个
B ．13个
C ．14个
D ．18个
11．已知抛物线2
2y px =(0)p >与双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>有相同的焦点
F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，则双曲线的离心率为
（ ） A 21
B 21
C ．22-
D ．22+12．（理）已知函数1
()lg ()2
x f x x =-有两个零点21,x x ，则有 （ ）
A ．021 B ．121=x x C ．121>x x D ．1021< （文）已知函数f(x)=|lgx|.若0 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。将答案填在题中的横线上。） 13．过椭圆120362 2=+y x 的一个焦点 F 作弦AB ，则 BF AF 11+= 。 14．在△ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若()() cos ,2,,cos a C a c b b B =-=r r 且a b ⊥r r ，则角B= 。 15．若当0ln 2x ≤≤时,不等式()()2220x x x x a e e e e ---+++≤恒成立,则实数a 的取值范围是 。 16．有一个半径为5的圆，现在将一枚半径为1硬币向圆投去，假设硬币完全落在圆内，则硬币完全落入圆内的概率为 。 三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17．（本小题满分12分） （理）已知sin(2)3sin αββ+=,设 tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求证：tan ()αβ+=2tan α （2）求()f x 的表达式; （3）定义正数数列｛a n ｝：a 1=2，211n a +=21n a ?1n f a ?? ??? （n *∈N ） 。试求数列{}n a 的通项公式。 （文）已知tan ()αβ+=2tan α,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列｛a n ｝：a 1=2，2 11n a +=21n a ?1n f a ?? ??? （n *∈N ）。试求数列{}n a 的通项公式。 18．（本小题满分12分） （理）如图所示，平面EAD ⊥平面ABCD ，△ADE 是等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点，EC 与平面ABCD 成30°的角． （1）求证：EG ⊥平面ABCD （2）当AD=2时，求二面角E —FC —G 的大小． （文）如图所示，平面EAD ⊥平面ABCD ，△ADE 是等边三角形，ABCD 是矩形，F 是AB 的中点，G 是AD 的中点，30ECG ?∠= （1）求证：EG ⊥平面ABCD （2）若M,N 分别是EB,CD 的中点,求证MN//平面EAD. （3）若6AD =,求三棱锥F EGC -的体积 19．（本小题满分12分） （理）已知函数f（x）＝lnx x ＋ a x -1（a∈R） （1）求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）≤0在区间（0，e2]上恒成立，求实数a的取值范围． （文）已知函数f（x）＝x3-3ax， （1）求函数f（x）的单调区间； （2）当a＝1时，求证：直线4x＋y＋m＝0不可能是函数f（x）图象的切线． 20．（本小题满分12分） （理）某植物研究所进行种子的发芽实验，已知某种植物种子每粒成功发芽的概率 都为13 ，每次实验种一粒种子, 每次实验结果相互独立. 假定某次实验种子发芽则 称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验, 设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值. （1）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E ξ； （2）记“不等式210x x ξξ-+>的解集是实数集R ”为事件A ，求事件A 发生的概率()P A . （文）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随 机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；……；第五组[17，18] .按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第 二组的频数 为8． （1）将频率当作概率，求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩； （2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率. 21．（本小题满分12分） 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1,0）、B （0,-2），点C 满足αβα其中,OB OA OC +=、12,=-∈βαβ且R . （1）求点C 的轨迹方程； （2）设点C 的轨迹与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆 过原点，求证：221 1b a +这定值； （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于2 3 ，求椭圆长轴长的取值范围． 22．（本小题满分14分） （理）设函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当(0,)x ∈+∞时，恒有(())2f f x x =成立，且过()f x 图象上任意两点的直线的斜率都大于1，求证： （1）()f x 为增函数； （2）()f x x >； （3）4()3 32f x x <<. （文）已知定义域为R 的函数)(x f ，满足：①0>x 时，,0)(>x f ②对于定义域内任意的实数b a ,均满足)()(1) ()()(b f a f b f a f b a f - +=+． （1）求)0(f 的值,并证明函数为奇函数； （2）判断)(x f 的单调性，并给以证明； （3）若f （k·3x ） + f （3x – 9x –2）＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围. 2020届模拟卷数学模拟三答案与解析 1．【答案】D 【解析】{}{}1lg 2,N 10100,M x x x x x x N =≤<∈=≤<∈，显然集合M 中有90个元素，其真子集的个数是1290-． 2．【答案】D 【解析】 设点P （x ，y ），则AP →＝（x －2，y －3）， 又∵AP →＝AB →＋λAC →＝（3,1）＋λ（5,7）＝（3＋5λ，1＋7λ），∴（x －2，y －3）＝（3＋5λ，1＋7λ）， 即???+=-+=-λ λ713532y x 又∵点P 在第三象限， ∴???+=+=074055＜ ＜λλy x 解得λ＜－1．故选择答案D ． 3．【答案】C 【解析】 因为a ＋bi c ＋di ＝(a ＋bi)(c －di)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i ，所以由题 意有 bc －ad c 2＋ d 2 ＝0，所以bc －ad ＝0． 4．【答案】A 【解析】据等比数列知识可得:()3 3915614a a a a q a ==为一常数,即4a 为常数．由等比数列性质可得:7712374T a a a a a ==L 为定值． 5．（理）【答案】C 【解析】 由题意得：C 46·1p 4·22＝ 2027，求得p ＝3．故选C ． （文）【答案】B 【解析】据已知得:()100 x xf x x ?≤?≤??≤??或10 x x ?>?? -≤??,解之得10x -≤≤或1x >, 故选B ． 6．【答案】A 【解析】函数()()1x x f x k a a -=-- ()0,1a a >≠为奇函数,则由奇函数定义可得2k =,故()x x f x a a -=-,又函数为增函数,则必有1a >,故函数x y a k =+的图象为A ． 7．【答案】A 【解析】由 ),x x (x y y l ,x y ,x 2 1y y 2x 0002 2-=-='= =方程为切线得将 ) 0y (y y 2y x y y 0x 00002 00A >-=-=-==代入得， .1|AF |,2 1 y ,y 21|AF |),21,0(F 00=∴=+=∴又坐标为焦点Θ 8．【答案】A 【解析】反复运算十次，第九次结果1023,A =第十次结果2047A = 9．【答案】D 【解析】()232f x x bx c '=++,结合图象可知()2320f x x bx c '=++=有两个根 120,0x x <<,根据韦达定理可得 b>0,c>0,故选D ． 10．（理）【答案】A 【解析】设棱长为1，取BC 中点O ，连结OF 1，OA ，则∠AF 1O 等于BE 1与AF 1所成的角，可求得AO ＝OF 1，∴cos ∠AF 1O ＝AF 1 2 OF 1 ＝ A ． （文）【答案】B 【解析】本题考查三视图及空间想象能力． 11．【答案】A 【解析】据两曲线具有相同的焦点, 可得2 p 又易知,2 p A p ?? ??? 在双 曲线上,代入整理可得: 222214p p a b -=,两式联立整理可得: 22 22440b a a b --=, 解之得 222b a =+ 故双曲线的离心率1e ． 12．（理）【答案】D 【解析】函数1 ()lg ()2 x f x x =-的两个零点21,x x ，即方程()0f x =的 两根，也就是函数|lg |y x =与1 ()2 x y =的图象交点的横坐标，如图 易得交点的横坐标分别为 ,,21x x 显然()()+∞∈∈,1,1,021x x ，则???????=?? ? ??-=??? ??21 lg 21lg 2121 x x x x ?10,02121lg 212112<<∴ ? ??-??? ??=x x x x x x ．故选D ． （文）【答案】D;【解析】结合函数f （x ）=|lgx|的图象,若f （a ）=f （b ）,可得0 13．【答案】53 【解析】不妨设焦点 F 为右焦点，则F （4，0）．当AB ⊥x 轴时，A （4， 310），B （4，3 10 -）所以BF AF ==310，故BF AF 11+=53 ． 14．【答案】3 π【解析】据已知()cos 2cos 0a b b C a c B ?=--=r r ,利用正弦定理整理可得: ()sin cos 2sin sin cos sin cos cos sin 2sin cos 0 B C A C B B C B C A B --=+-=,即 ()sin sin 2sin cos B C A A B +==,故1 cos 2B =,因此 B=3π 15．【答案】17 6a ≤-【解析】据题意令30,2x x t e e t -? ? ??=-∈ ??????? ,则原式化为: 240at t ++≤在 30,2t ??∈???? 上恒成立,分离变量可得：4a t t ??≤-+ ???,而2176t t ??-+≥- ???,故只需176a ≤-即可． 16．【答案】4 9 【解析】由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为6的圆O 内，且只有中心落入与圆O 同心且半 径为4的圆内时，硬币才完全落如圆内记＂硬币完全落入圆内＂为事件A ，则 2244 ()69 P A ππ?==?． 17．（理）【解析】（1）由sin(2)3sin αββ+=，得sin ()[]βαα++=3sin ()αβα+-???? ，即 sin ()αβ+cos α=2cos ()αβ+sin α故tan ()αβ+=2tan α （4分） （2）由tan ()αβ+=2tan α得tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-即21x y x xy +=-。解得 y=212x x +故()x f =2 12x x + （7分） （3）因为211n a +=21 n a ? 1n f a ?? ? ?? =21n a ?2 1 112n n a a +，所以2 1n a += 12 2n a +1即21n a +-2=12（2n a -2）因此{2 n a -2}是首项为2，公比为12的等比数列。所以2n a -2=2112 n -?? ???故n a =12 分） （文）【解析】（1）由tan ()αβ+=2tan α得tan tan 2tan 1tan tan αβααβ+=-即21x y x xy +=-。解得 y=212x x +故()x f =212x x + （5分） （2）因为211n a +=21n a ? 1n f a ?? ? ?? =21n a ?21112n n a a +，所以21 n a +=12 2n a +1即21n a +-2=12（2 n a -2）因此{2 n a -2}是首项为2，公比为12的等比数列。所以2n a -2=2112n -?? ???故n a （12分） I. （理）【解析】（1）△ADE 是正三角形，∴EG ⊥AD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，且相 交于AD ，∴EG ⊥平面ABCD （3分） （2）连接DF ，则D 到平面 EFC 的距离即为三棱锥D －EFC 的高，设 AD=a ，由 111123232E DFC D EFC V V a --= ==g g g 得a AD 时，D 到平面 EFC 的距离为2． （7分） （3）连接CG ，则CG 是CE 在平面ABCD 内的射影，∠ECG 是EC 与平面ABCD 所成的角，∠ECG=30°，连接GF ，如图所示，在Rt △EGC 中，∵AD=2，∴EG=3．在Rt △GDC 中，DG=1，GC=3，DC=22，则AF=BF=2,GF=3，FC=6，∴GF 2+FC 2=GC 2，即GF ⊥FC ．又∵GF 是EF 在平面AC 内的射影，∴EF ⊥CF ， ∴∠EFG 是二面角E －FC －G 的平面角．在Rt △EGF 中，EG=GF=3，∴∠EFG=45° 故二面角E －FC －G 的度数为45°． （12分） （文）（1）△ADE 是正三角形，∴EG ⊥AD ，又平面ADE ⊥平面ABCD ，且相交于AD ，∴EG ⊥平面ABCD ． （3分） （2）取AE 中点H,连结DH,由于1 2 MH AB = ,MH//AB,即//,MH DN MH DN =,即四边形MHDN 为平行四边形,故MN//DH,又MN ?平面EAD, DH ?平面ADE,故MN// 平面EAD ． （8分） （3）由（1）EG ⊥平面ABCD,即底面CGF 的高为EG,且32 GE =又在直角三角形EGC 中,由 32GE = ,可得 36CG = ,故23 DC =．故 161612 236233632224 CGF s ?=,因 此 192329 34 F EGC C EGF V V --=== （12分） 19．（理）【解析】（1）因为函数f （x ）的定义域为（0，+∞），导函数f ′（x ）＝1－(lnx ＋a) x 2 ， ∴k ＝f ′（1）＝1－a ， 又f （1）＝a －1，即切点坐标为（1，a －1）， 所以，函数f （x ）的图象在点（1，f （1））处的切线方程为： y －（a －1）＝（1－a ）（x －1），即y ＝（1－a ）x+2（a －1） （4分） （2）结合（1），令f ′（x ）＝0得x ＝e 1－a ，由对数函数的单调性知： 当x ∈（0，e 1－a ）时，f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数； 当x ∈（e 1－a ，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）是减函数． （ⅰ）当e 1－a ＜e 2时，a ＞－1时，f （x ）max ＝f （e 1－a ）＝e a －1 －1， 令e a －1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1， （8分） （ⅱ）当e 1－a ≥e 2即a≤－1时，f （x ）在（0，e 2]上是增函数， ∴f （x ）在（0，e 2 ]上的最大值为f （e 2 ）＝2＋a e 2－1， 令 2＋a e 2－1≤0，解得a≤e 2 －2，即a≤－1， 综上可知，实数a 的取值范围是a≤1 （12分） （文）【解析】（1）∵f ′（x ）＝3x 2－3a ＝3（x 2－a ）， 当a≤0时，f ′（x ）＝3x 2－3a≥0对x ∈R 恒成立， ∴f （x ）的递增区间为（－∞，+∞）． 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0，得x ＜－a 或x ＞a ， 由f ′（x ）＜0，得－a ＜x ＜a ． 此时，f （x ）的递增区间是（－∞，－a ）和（a ，+∞）； 递减区间是（－a ，a ） （7分） （2）证明：∵a ＝1，∴f ′（x ）＝3x 2－3． 直线4x+y+m ＝0的斜率为－4，假设f ′（x ）＝－4，即3x 2+1＝0． 此方程无实根，∴直线4x+y+m ＝0不可能是函数f （x ）图象的切线 （12分） 20．（理）【解析】⑴四次实验结束时,实验成功的次数可能为0,1,2,3,4, 相应地，实验失败的次数可能为4,3,2,1,0，所以ξ的可能取值为4,2,0． 44000444121217(4)()()()()333381 P C C ξ==+= 3313 44121240(2)()()()()333381 P C C ξ==+= 222 412248(0)()()338127 P C ξ==== ． 所以ξ 期望8401714802427 81 81 81 E ξ=?+?+?=． （8分） ⑵ξ的可能取值为0,2,4． 当0ξ=时，不等式为10>对x R ∈恒成立,解集为R ， 当2ξ=时，不等式为22210x x -+>,解集为R ， 当4ξ=时, 不等式为24410x x -+>,解集为12x x ? ? ≠ ???? ,不为R , 所以64()(0)(2)81 P A P P ξξ==+== ．（12分） （文）【解析】（1）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x ，8x ，19x 依题意， 得3x+8x+19x+0．32?1+0．08?1=1 ，∴x=0．02，设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则n 802.08=?，∴n=50，∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩。 （4分） （2）百米成绩在第一组的学生数有3?0．02?1?50=3，记他们的成绩为a ，b ，c 百米成绩在第五组的学生数有0．08?1?50= 4，记他们的成绩为m ，n ，p ，q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m },{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个 （10分）． 其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q} ， {b,m},{b,n},{b,p},{b,q} ， {c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，所以P=7 4 2112 = （12分） 21．【解析】（1）设)2,0()0,1(),(,),,(-+=+=βαβαy x y x C 则因为 11 22=+∴=-?? ?-==∴y x y x βαβ αΘ即点 C 的轨迹方程为x+y=1。 （4分） （2）??? ??=+=+11 222 2b y a x y x 由 得：（a 2+b 2）x 2-2a 2x+ a 2- a 2b 2=0 设M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2），则 x 1+ x 2=222 2b a a +， x 1x 2=222 22b a b a a +- 因为以MN 为直径的圆过原点为，所以ON OM ?=0，即x 1x 2+y 1y 2=0 ∴x 1x 2+（1-x 1）（1-x 2）=1-（x 1+ x 2）+2 x 1x 2=1-2 22 2b a a ++2222 22b a b a a +-=0 即a 2+b 2-2 a 2b 2=0 ∴;21 122为定值=+b a （9分） （3）1 2,211,432 3 222 222222-=∴=+≤-= ∴≤ a a b b a a b a e e ΘΘ 1020,2 10 0,412,431 21122 ≤<≤<∴≤-≤ -- ∴a a a a 从而即 ∴椭圆长轴长的取值范围是（0,10]。 （12分） 22．（理）【解析】（1）设120x x <<，∴1212 ()() 10f x f x k x x -= >>-，∴12()()f x f x <，∴f （x ）为增函数（3分） （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使00()f x x ≤，则①当0()f x =0x >0时， 则f （0()f x ）=0()f x ，即20x =0x ，∴0x =0与0x >0矛盾 （5分） ②当0()f x <0x 时，由（1）知f （x ）为增函数，∴f （0()f x ）<0()f x 即20x < 0x ，∴0x <0此时与0x >0矛盾． （7分） ∴必有f （x ）>x ． （3）由（2）得f （x ）>x >0，∴(())()1()f f x f x f x x ->-，∴f （f （x ））-f （x ）>f （x ）-x 即2x-f （x ）>f （x ）-x ，∴ ()32 f x x <· （11分） 同理f （f （f （x ）））-f （f （x ））>f （f （x ））-f （x ）即2f （x ）-2x>2x-f （x ）, ∴ 4 ()3f x x > ,∴4()332 f x x << （14分） （文）【解析】（1）令,0==b a 则有) 0(1) 0()0()0(2f f f f -+= ．0)0(=∴f ． （1分） 令,,x b x a -==则0)]()(1)[0()()(=--=-+x f x f f x f x f ．∴)(x f 是奇函数（3分） （2）设210x x <<，则()0,01212>->-x x f x x ． ∴())]()(1)][()[()()()(12121212x f x f x x f x f x f x f x f ---+=-+=- ()0)](1)[(1212>+-=x f x f x x f ． `0)(）上单调递增，在区间（函数∞+∴x f ．又()(0)0,f x f =Q 为奇函数，且 因此f （x ）在R 上单调递增 （8分） （3）f （x ）在R 上是增函数，又由（1）知f （x ）是奇函数． f （k·3x ）＜–f （3x – 9x –2） = f （–3x + 9x +2），k·3x ＜–3x + 9x +2， （9分） 对任意x ∈R 成立．分离参数得k ＜3x +2 13x - （11分） 令u =3x + 2 13x -≥1， 即u 的最小值为1，要使对x ∈R 不等式k ＜3x + 213x -恒成立，只要使k ＜ 1 （14分） 2020年江苏省高考数学模拟试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 集合20|{<<=x x A ，}R x ∈，集合1|{x B =≤x ≤3，}R x ∈，则A ∩=B ． 2． 设i 是虚数单位，若复数i i z 23-= ，则z 的虚部为 ． 3． 执行所示伪代码，若输出的y 的值为17，则输入的x 的值是 ． 4． 在平面直角坐标系xoy 中，点P 在角23 π 的终边上，且2OP =，则 点P 的坐标为 ． 5． 某学校要从A ，B ，C ，D 这四名老师中选择两名去新疆支教 （每位老师被安排是等可能的），则A ，B 两名老师都被选中 的概率是 ． 6． 函数128 1 --= x y 的定义域为 ． 7． 在等差数列}{n a 中，94=a ，178=a ，则数列}{n a 的前n 项和=n S ． 8． 已知53sin - =θ，2 3πθπ<<，则=θ2tan ． 9． 已知实数2,,8m 构成一个等比数列，则椭圆2 21x y m +=的离心率是 ． 10．若曲线1 2 +-= x x y 在1=x 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 等于 ． 11．在△ABC 中，已知A B 2=，则B A tan 3 tan 2- 的最小值为 ． 12．已知圆C ：1)2()2(2 2 =-++y x ，直线l ：)5(-=x k y ，若在圆C 上存在一点P ， 在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点是坐标原点O ，则实数k 的取值范围是 ． 13．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，?=∠90DAB ，1==DC AD ， AC 与BD 相交于点Q ，P 是线段BC 上一动点，则·的取值范围是 ． 14．已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，若存在非零实数t ，使得1 ()()2f t f t +=-， 则2 2 4a b +的最小值为 ． （第3题） 2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09 数学试题I 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上． 1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2) 解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)． 2. 已知????1＋2 i 2 ＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7 解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2 i )2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2 m ＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16 解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16. 4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________． (第4题) 答案：32 解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32. 5. “φ＝π 2”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要 解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π 2， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________． 答案：39 解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×6 2＝39. 7. 函数y ＝ 1 lnx (x≥e)的值域是________． 答案：(0，1] 解析：y ＝ 1 lnx 为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________． 答案：6 解析：由题知流程图执行如下： 第1次 ?????n ＝2，S ＝1，第2次 ?????n ＝3，S ＝3，第3次 ?????n ＝4，S ＝7，第4次 ?????n ＝5，S ＝15， 第5次 ? ????n ＝6， S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题) 9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，则“a b 是整数”的概率为____________． 答案：13 解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)． 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 2013年江苏高考数学模拟试卷（六） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 若复数z 满足i i z +=-1)1(（i 是虚数单位），则其共轭复数z = ． 2．“m ＜1”是“函数f (x )＝x 2＋2x ＋m 有零点”的 条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一). 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，→AB ·→ BC ＝1，则BC ＝ ． 4．一种有奖活动，规则如下：参加者同时掷两个正方体骰子一次， 如果向上的两个面上的数字相同，则可获得奖励，其余情况不奖励．那么，一个参加者获奖的概率为 ． 5．为了在下面的程序运行之后得到输出25=y ，则键盘输入x 的值应该为 ． 6．如图，直线与圆12 2 =+y x 分别在第一和第二象限内交于21,P P 两点，若点1P 的横坐标为 3 5，∠21OP P =3 π，则点2P 的横坐标为 ． 7．已知不等式组???? ? x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0．表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小 值时的k 的值为 ． 8．若关于x 的方程2 －|x | －x 2＋a ＝0有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是 ． 9．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为：1，该 长方体的最大体积是___ _____． 10．直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分，则22(1)k m +的最小 值为 ． 11．已知双曲线122 22=-b y a x （)0,1>>b a 的焦距为c 2，离心率为e ，若点(-1,0)和(1,0)到直 Read x If x <0 Then y =(x +1)(x +1) Else y =(x-1)(x -1) End If Print y End O A B 1 y x 第9题图 2013年江苏高考数学模拟试卷（五） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．复数111z i i =+++在复平面上对应的点的坐标是 ． 2．已知集合 121,A x -?? =???? ，{}0,1,2B =，若A B ?，则x = ． 3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ． 4．函数32()43f x x x =-- 在[1,3]-上的最大值为 ． 5．袋中装有大小相同且质地一样的五个球，五个球上分别标有“2”，“3”，“4”，“6”， “9”这五个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成等差数列或等比数列的概率是 ． 6．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是 ． 7．已知函数()()()lg 10x x f x a b a b =->>>，且221a b =+，则不等式()0f x >的解集是 ． 8．已知四点()0,0,(,1),(2,3),(6,)O A t B C t ，其中t R ∈．若四边形O A C B 是平行四边形， 且点(),P x y 在其内部及其边界上，则2y x -的最小值是 ． 9．函数π π2sin 4 2y x ??= - ? ??的部分图象如右图所示，则() OA OB AB +?= ． 10．在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任 意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的 取值范围是 ． 11．对于问题：“已知两个正数,x y 满足2x y +=，求 14x y +的最小值”，给出如下一种解法： 2x y += ，()1411414( )(5)2 2 y x x y x y x y x y ∴ +=++ = + +， 440,0,2 4y x y x x y x y x y >>∴ + ≥?= ，1419(54)22x y ∴+≥+=， 2020年高考数学真题汇编答案及解析 (本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！) 一、选择题(每小题6分，共36分) 1．集合A＝{1,2，a}，B＝{2,3，a2}，C＝{1,2,3,4}，a∈R，则集合(A∩B)∩C不可能是( ) A．{2} B．{1,2} C．{2,3} D．{3} 【解析】若a＝－1，(A∩B)∩C＝{1,2}； 若a＝3，则(A∩B)∩C＝{2,3} 若a≠－1且a≠3，则(A∩B)∩C＝{2}，故选D. 【答案】 D 2．(2020全国卷Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有( ) A．3个B．4个 C．5个D．6个 【解析】A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}，故选A. 【答案】 A 3．(2020年广东卷)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如右图 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( ) A．3个B．2个 C．1个D．无穷多个 【解析】M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}，有2个． 【答案】 B 4．给出以下集合： ①M＝{x|x2＋2x＋a＝0，a∈R}； ②N＝{x|－x2＋x－2＞0}； ③P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}； ④Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}， 其中一定是空集的有( ) A．0个B．1个 C．2个D．3个 【解析】在集合M中，当Δ＝4－4a≥0时，方程有解，集合不是空集；而Q＝{y|y＝x2}∩{y|y＝x－4}＝{y|y≥0}∩{y|y∈R}＝{y|y≥0}，所以不是空集；在P中，P＝{x|y＝lg(－x)}∩{y|y＝lg(－x)}＝{x|x＜0}∩R＝{x|x＜0}，不是空集；在N中，由于不等式－x2＋x－2＞0?x2－x＋2＜0，Δ＝－7＜0，故无解，因此，只有1个一定是空集，所以选B. 【答案】 B 5．如右图所示 江苏省2019年高考数学模拟试题及答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．若全集}3,2,1{=U ，}2,1{=A ，则=A C U ． 【答案】}3{ 2．函数x y ln =的定义域为 ． 【答案】),1[+∞ 3．若钝角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点)2 3 ,(m P ，则αtan ． 【答案】3- 4．在ABC ?中，角C B A ,,的对边为c b a ,,，若7,5,3===c b a ，则角=C ． 【答案】 3 2π 5．已知向量)1,1(-=m ，)sin ,(cos αα=n ，其中],0[πα∈，若n m //，则=α ． 【答案】 4 3π 6．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63=a ，497=S ，则公差=d ． 【答案】1 7．在平面直角坐标系中，曲线12++=x e y x 在0=x 处的切线方程为 ． 【答案】23+=x y 8．实数1-=k 是函数x x k k x f 212)(?+-=为奇函数的 条件（选填“充分不必要”，“必要不充分”， “充要”，“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要 9．在ABC ?中，0 60,1,2===A AC AB ，点D 为BC 上一点，若?=?2，则 AD ． 【答案】 3 3 2 10．若函数)10(|3sin |)(<<-=m m x x f 的所有正零点构成公差为)0(>d d 的等差数列，则 =d ． 【答案】 6 π 11．如图，在四边形ABCD 中，0 60,3,2===A AD AB ，分别CD CB ,延长至点F E ,使得CB CE λ=， CD CF λ=其中0>λ，若15=?AD EF ，则λ的值为 ． 【答案】 2 5 12．已知函数x m x e m x x f x )1(2 1)()(2 +--+=在R 上单调递增，则实数m 的取值集合为 ． 【答案】}1{- 13．已知数列}{n a 满足023211=+++++n n n n a a a a ，其中2 1 1-=a ，设1+-=n n a n b λ，若3b 为数列} {n b 中的唯一最小项，则实数λ的取值范围是 ． 【答案】)7,5( 14．在ABC ?中，3tan -=A ，ABC ?的面积为1，0P 为线段BC 上的一个定点，P 为线段BC 上的任意一点，满足BC CP =03，且恒有C P A P PC PA 00?≥?，则线段BC 的长为 ． 【答案】6 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 若函数)0,0()3 sin()(>>++=b a b ax x f π 的图像与x 轴相切，且图像上相邻两个最高点之间的距离 为π. （1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 在?? ? ???4, 0π上的最大值和最小值. 绝密★启用前 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据12 ,,,n x x x L 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置 上. 1.若复数 12429,69z i z i =+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30o ，||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积 =g a b ★ . 【答案】3 【解析】232=?=g a b 。 3.函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ . 【答案】 (1,11)- 【解析】 2 ()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。 4.函数 sin()(,,y A x A ω?ω?=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如 图所示，则ω= ★ . 【答案】3 【解析】3 2T π =， 23T π =，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机 抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为 2s = ★ . 【答案】2 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ . 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线 3 :103C y x x =-+上， 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】 (2,15)- w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】略 10.已知 51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大 小关系为 ★ . 【答案】m n < 0S ← 结束 2013年江苏高考数学模拟试卷（二） 第1卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 集合 } ,30{R x x x A ∈≤<=， } ,21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A ． 2. 已知z C ∈，且(z+2)(1+i)=2i,则=z . 3. 在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a . 4. 已知2 , 3==b a . 若3-=?b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 5. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小 6. 右面伪代码的输出结果为 . 7. cos103sin10 += . 8. 已知函数 2()f x x x =-，若 2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围 是 . 9. 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径 Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升Rcm ，则R = cm . 10．若方程ln +2-10=0x x 的解为0x ，则不小于0x 的最小整数是 . 11. 若动直线1=+by ax 过点),(a b A ，以坐标原点O 为圆心，OA 为半径作圆，则其中最小 圆的面积为 . 0．0．S← 1 For I from 1 to 9 step 20 S←S + I End for Print S 12．已知函数 4)(x ax x f -=， ] 1,2 1[∈x ，B A ,是其图象上不同的两点.若直线AB 的斜率k 总满足421 ≤≤k ，则实数a 的值是 . 13. 在平行四边形ABCD 中， 3 π= ∠A ，边AB 、AD 的长分别为2, 1，若M 、N 分别是 边BC 、CD 上的点， 且满足| || |CD BC = ，则?的取值范围是 . 14．椭圆2 221(5 x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ， 直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB ?的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15. （本小题满分14分）已知函数 ()sin()cos sin cos() 2 f x x x x x π π=+--， （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3 BC B π== ,求AC 边的长. 16. （本小题满分14分）如图，在三棱柱 111ABC A B C -中，1AA ⊥面ABC ，AC BC =， ,,,M N P Q 分别是1111,,,AA BB AB B C 的中点． （1）求证:平面1PCC ⊥平面MNQ ； （2）求证:1 //PC 平 面MNQ . A 1 C M N Q B 1 C 1 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是． 10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D 2020江苏高考数学模拟考试 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3 y x π ω=+ (0)ω>的最小正周期是π，则ω= ▲ ． 2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ▲ ． 3．已知平面向量(1,1)a =-r ，(2,1)b x =-r ，且a b ⊥r r ，则实数x = ▲ ． 4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ． 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ． 6．给出下列四个命题： （1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α 相交 （2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β （3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直 线与平面β也不垂直 （4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂 直于平面β 真命题．．． 的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） 7．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离 心率为 ▲ ． 8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则 19 a c +的最小值是 ▲ ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ▲ ． 10．若动点(,)P m n 在不等式组24 00 x y x y +≤?? ≥??≥? 表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取 值范围是 ▲ ． 11．在ABC ?中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足22 1sin cos 2 AP AB AC θθ=?+?u u u r u u u r u u u r ()R θ∈， 则()PA PB PC +?u u u r u u u r u u u r 的最小值是 ▲ ． 12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的 一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25 ()32 f x ax x a =--+ 在区间 （第5题）2020年江苏省高考数学模拟试卷及答案
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