矩阵论之矩阵的分解
矩阵的分解
一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n
A F
?∈
(1) 若,n n L U F ?∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。 (2) 若,n n L U F ?∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。
,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。
用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使
,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=
例1 设223477245A ????=????-??
，求A 的LU 分解和LDU 分解。 解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：
32
23100223100()4
77010031210245001068101223100031210006521A I ????
????=→-????
????-????
????→-????-??
因此 100223210,031521006P PA ????????=-=????????-????. 令1
100223210,031121006L P U -????????===????????-????
则223031.006A L LU ????==??????
再利用初等变换，有
311
2100212103013121600
1A ??
??????????????=??????????-???????????
?
就得到A LDU =
其中 311
210021210,3,0131216001L D U ?
?
??????????????===??????????-?????
??????
?
一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。
定理 3.1 设(),n n
ij n n A a F ??=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的
顺序主子式
11
1212122201
2......0,1,2,...,;1,......
...
...
...k k k k k kk
a a a a a a k n a a a ?=
≠=?=
其中 1
2
1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -???
???
?===??????
?
证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明
11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -?----== 则对,n 将A 分块成
1
n n T
n
nn A A u a τ-??
=????
其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T
T
n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==
设
111100,1001n n n n n n T T n nn n
n A L D V v u a l d τ----????????
=?
??????????????? 比较两边，则有
1111,n n n n A L D U ----= (3.1)
11n n n n L D v τ--= (3.2)
11T T
n n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)
由归纳假设（3.1）式成立。由110,k n n L D --?≠非奇异，11n n D U --非奇异，从而由(3.2)
式和(3.3)式可惟一确定n v 和T n l . 又从(3.4)式可唯一求得,n d 所以A LDU =分解是存在而
且惟一的。
又由归纳证明过程，A 的k 阶顺序主子式
111111222222211||||||,
||||||||,............
||||||||.
k k k k k k k k A L DU D A L D U D d D A L D U D d D -?===?====?====
所以 1
,1,2,...,.k
k k d k n -?=
=? 推论 可逆矩阵n n
A F ?∈有LU 分解的充分必要条件是A 的顺序主子式
0,1,2,..., 1.k k n ?≠=-
例 2 设123121973431942621A -????
--?
?=??--??--??
，求A 的LDU 分解。 解 1(1)(1)(1)
,A = 由(3.1)—(3.4)式，得到 222222,
2,5,
v l u d τ=====-
所以
22222222
12101012,,,,21210510A L D U A L D U ????????====????????--????????=
3123219,343A ????=-????--??
同理求得： 3331231001003210,050,01,53210012001L D U ??????????????==-=-??????????--??????
??
4,A A = 从(3.1)—(3.4)式求得
4441(4,2,1,1),1,(1,1,,1).2
T
T
l d v =-==- 所以
4410001210
05,321012
42111L D ????
????-?
???==????--?
???--????
412
313
0115100120
001U -??????
-??=??
??
??
????
444A L D U =
定义3.2 设矩阵A 有惟一的LDU 分解。若把A LDU =中的D 和U 结合起来，并且用 U
来表示，就得到唯一的分解
()A L DU LU
== 称为A 的Doolittle 分解.
练习：求矩阵
5240212
142500102A -??
??-?
?=??--?
???
的LDU 分解和Doolittle 分解 矩阵的满秩分解 定义 3.2 设m n
A F
?∈，秩(A )=r ,若存在秩为r 的矩阵,,m r r n B F C F ??∈∈使得
A BC = 则称(3.7)式为矩阵A 的满秩分解。
定理 3.2 对任何非零矩阵,m n A F ?∈ 都存在满秩分解。
证明：设秩(),A r =由等价标准形知道存在可逆矩阵,,m n n n P F Q F ??∈∈使得 0,00r I PAQ ??=?
??? 即 11
00
0r I A P Q --??=?
???
分块为 1111(|),.C P B B Q C --??
==?
???
B 为1P -的前r 列组成的矩阵，则,,m r r n B F
C F ??∈∈且秩()B =秩()C r =.
111100(|)0000r r
C I I A P Q B B BC C --??
????===???
?????????
分解方法二：若只对A 作行初等变换，可得到阶梯形矩阵：,0C ??
????
其中秩()C =秩()C =秩
()A r =，因此有可逆矩阵,P 使
,0C PA ??=????
从而
11(|),00C C A P B B BC -????===????????
方法是 (|)|,0
m C
A I P ?????→????
行变换
B 为1P -的前r 列，
C 是A 化为阶梯形中的非零行。A BC =.
例 4 设112022,101A ????=??????
求A 的满秩分解。 解 31
12100
1121001
(|)022********
21010011
000112A I ?
?
?????
?????=→???
????
?????-?
?
解得 100
1
121,000
1
121112
C P ??????
??
??==?
???
??
????-?
?
，1100020,111P -????=????-??所以，1002,11B ????=????-??
101120201111A BC ??
????==????????-??
方法 3. 我们首先考虑这样的情形：,m n A F ?∈ 设秩(),A r = 而且A 的前r 列线性无关，则它们是A 的列向量的极大无关组12{,,...,},r ααα 设112(,,...,),r A ααα= 则秩
11(),.m r A r A F ?=∈ 又A 的后n r -列12{,,...,}r r n ααα++可表示为列向量极大无关组的线
性组合，设
212(,,...,)r r n A ααα++=则 21A A S = 其中 ()1
2
(,,...,),r n r r r n
S X
X
X ?-++= j X 满足
12(,,...,)j r j X αααα=
因此 1211(|)(|),A A A A A S == 即 1(|),r A A I S = 即1,(|)r B A C I S ==即为满秩分解。
Hermite 标准形是阶梯形中每一行第一个非零元素为1，而且该元素所在的列中其它元
素为0的特殊的一种。方法三如下：
(1) 用行初等变换把A 化为Hermite 标准形。
(2) 依Hermite 标准形中，向量i e 所在的列的位置为第i j 列，相应取出A 的第i j 列i j α，
得到A 的列向量极大无关组1212{,,...,},(,,...,).r r j j j j j j B αααααα=
(3) A 的Hermite 标准形中非零行构成矩阵C ，得到A 的满秩分解：.A BC = 例 5. 用方法三求例四中A 的满秩分解 解 用行初等变换花A 为Hermite 标准形
112112112101022022011011101011000000A ????????????????=→→→????????
????????--????????
则可知：秩()2,A A =的前两列线性无关，取出A 的前两列构成.B 因此
1110102,,.01110B C A BC ??
????===??????????
3.3 矩阵的奇异值分解
定理 3.9 设,m n A C ?∈则矩阵H n n
A A C ?∈和矩阵H m m
AA C
?∈具有如下性质
(1) 秩()A =秩()H A A =秩();H AA (2) H
A A 和H
AA 的非0特征值相等.
(3) H
A A 和H
AA 都是半正定矩阵，当秩()A n =时，H
A A 为正定矩阵，当秩()A m =时，
H AA 为正定矩阵。
定义 3.4 对于,m n
A C
?∈秩()A r =
第四章 矩阵的广义逆 定义 4.1 设,n m
A C
?∈若存在矩阵,n m B C ?∈使得
n BA I =
则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1
.L A -
若存在矩阵,n m
C C
?∈ 使得
m AC I =
则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1.R A -
定理 4.1 设,m n A C ?∈则下面的条件是等价的： (1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间()(0};N A =
(3),m n ≥秩(),A n = 即A 的列满秩的； (4)H
A A 是可逆的. 定理 4.2 设m n
A C
?∈，则下列条件是等价的：
(1) A 是右可逆的； (2) A 的列空间();m R A C =
(3),m n ≤ 秩(),A m =即A 是行满秩的； (4)H
AA 是可逆的.
例 1 矩阵400050A ??
=????
是右可逆的，不是左可逆的。由于
31321044001010050015c c ??
????
????
??=??????????
????????
注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地，一个矩阵左可逆未必右可逆，而且左逆矩阵和右逆矩阵都不是唯一的。 二、单侧逆与解线性方程组 定理 4.3 设m n
A C
?∈是左可逆的，n m
B C
?∈是A 的一个左逆矩阵，则线性方程组AX b
=有形如X Bb =的解的充分必要条件是 ()0m I AB b -= 若上式成立，则方程组有唯一解 1()H H
X A A A b -= 定理 4.4 设m n
A C
?∈是右可逆的，则线性方程组AX b =对任何m
b C ∈都有解。且对A 的
任意一个右逆矩阵11
,R R A X A b --=是其解。特别地，1()H H X A AA b -=是方程组AX b =的
一个解。
4.2 广义逆矩阵 一、减号广义逆
定义 4.2 设,m n A C ?∈若存在矩阵,n m G C ?∈使得 AGA A = 则称G 为A 的一个减号广义逆或{1}—逆
A 的全部减号广义逆的集合记为{1},{1}A A 的元素用12,,...A A --
表示。
定理4.5 设,m n A C ?∈秩()A r =，若存在可逆矩阵m m
P C ?∈和,n n Q C ?∈使得
0,00r
I PAQ ??=????
则{1}G A ∈的充分必要条件是
,r I U G Q P V W ??=?
?
??
其中()()()(),,r m r n r r n r n r U C V C W C ?--?-?-∈∈∈是任意的。 例 2 设
01302415,45710A -????=-??
??--??
求A 的减号广义逆。
解 34
0130
1002415010457100011000000001000000010000000
1000A
I I -????-?
???
--???
?
=?
??????
?
?
?
?????
?
110002
02
010*******
321115
10
00022013000000100000
1
000?
?
-????
-????
-??→??-??
??
????
??
????
于是
115110
2022
20
1301
00,00103210001P Q ??
?
?
--??????
?
?
=-=??????
??
-??
??
???
???
所以A 的减号广义逆为 2,I U G Q P V W ??
=?
?
??
其中212221,,.U C V C W C ???∈∈∈ 作业：
求矩阵
02042100036330211441j j j
A j j +????=----????-??
(j =的{1}-逆
Moore-Penrose 广义逆
定义4.3 设,m n A C ?∈ 若存在矩阵,n m G C ?∈ 使得 (1) ;AGA A = (2) ;GAG G =
(3) ();H AG AG =（H 表示共轭转置） (4) ()H
GA GA =.
则称G 为A 的Moore-Penrose 广义逆或加号广义逆，简称为A 的M-P 逆。A 的任意M-P 逆记为A +
定理 4.7 若矩阵m n
A C
?∈存在M-P 广义逆，则A 的M-P 逆是唯一的。
定理 4.8 任意矩阵m n
A C
?∈都存在M-P 广义逆A +
。设秩(),A r A =的一个满秩分解为
,,,m r
r n A BC B C C A ??=∈∈秩()B =秩()C r =
则
11()()H H H H
A C CC
B B B +--=。
例 6 求矩阵101102221453A -????=????-??
的M-逆A +
解 首先求得A 的满秩分解为
10101102011114A BC ??-????==??
??????-??
故 1111
()()1
001302410111034200241
1521111141218630H H H H A C CC B B B +----=??
??--???????
?
=????????--??????????
-??????=
??--????
第五章 矩阵分析
5.1 向量范数的概念
定义 5.1 设V 是数域F 上的线性空间，且对于V 的任一个向量x ，对应一个非负实数||||x ，满足以下条件：
(1) 正定性：0,0x x ≥= 当且仅当0;x =
(2) 齐次性：||,ax a x a F =?∈
；
(3) 三角不等式：对任何,,x y V ∈
都有.x y x y +≤+
则称x
为向量x 的范数，[;]V ?为赋范空间。
例1 在n 维酉空间n
C 上，复向量12(,,...,)n x ξξξ=
的长度
x =
就是一种范数，通常称这种范数为2-范数，记为2
x
。
例2 证明 x =max i i x 是n
C 上的一种向量范数。其中12(,,...,)T T n x x x x C =∈ .通常称这
种范数为∞-范数，记为x ∞
。
例3 证明1
n i i x x ==∑ 也是n
C 上的一种范数，其中12(,,...,)T T n x x x x C =∈ ，称这种范数为
1-范数，记为1
x
。
例4 证明1/1
()p n p
i i x ξ==∑ 是一种范数，称为向量x 的p 范数或者p l -范数，记为p x 。
线性空间n
V 上的向量
定理 2.1 设x α
和x β
为有限维线性空间V 的任意两个向量范数（它们不限于p -范数），
则存在两个与向量x
无关的常数1c 和2c ，使得下面的不等式成立 12,c x
x
c x x V β
α
β
≤≤?∈
(2.1)
定义 2.2 满足不等式(2.1)的两种范数称为等价的。 2.2 矩阵的范数
定义 2.3 设,m n A C ?∈定义一个实值函数A ，它满足以下三个条件 (1) 非负性：当0A ≠时，0;A >当0A =时，0A =； (2) 齐次性：
A A αα=，;C α∈
(3) 三角不等式：,,m n
A B A B B C ?+≤+∈
则称A 为A 的广义矩阵范数 若多,m n n l C C ??及m l
C ?上的同类广义矩阵范数?，有
(4) 相容性：
AB ≤,n l
A B B C ?∈
则称A 为A 的矩阵范数。 定义 2.4对于m n
C
?上的矩阵范数M
?
和m C 与n
C 上的同类向量范数V ?，如果
,,m n
n M
V
V
Ax
A x A C x C ?≤?∈?∈ (2.2)
则称矩阵范数M
?
与向量范数V ?是相容的。
几种常用的矩阵范数 例 1. 已知 (),n n
ij A a C
?=∈下面二函数：
1
,1
,,
max n
ij m i j ij
m i j
A a A n a ∞
===?∑
都是n n
C
?上的矩阵范数。
定理 2.4 已知m
C 和n
C 上的同类向量范数?，设,m n A C ?∈则函数 1max x A Ax ==
(2.3)
是m n
C
?上的矩阵范数，且与已知的向量范数相容。并称(2.3)给出的矩阵范数为由向量范数导
出的矩阵范数，简称为从属范数。 定理 2.5 设12(),(,,...,)m n
T
ij n A a C
x ξξξ?=∈= ,n C ∈则从属于向量x 的三种范数
1
2
,,x x x ∞
的矩阵范数依次是：
(1) 11
max ;m
j ij
i A a
==∑
（2
）12
A λ=为H A A 的最大特征值； (3) 1max .n
i ij j A a ∞
==∑
通常称12,A A 以及A ∞依次为列和范数，谱范数及行和范数。 矩阵幂级数 定义5.7 设()
()()(),{}k k m n k ij A
a C A ?=∈是一个矩阵序列。如果当k →+∞时，它的2n 个数
列()
{}k ij a 都收敛，即
()
lim ,,1,2,...,.k ij ij k a a i j n →∞
==
则称矩阵序列(){}k A 按元素数列收敛，矩阵()m n
ij A a C ?=∈是它的极限。记为()
lim k k A
A
→∞
=或者()
.k A
A → 如果至少有一个元素数列是发散的，则称该矩阵序列发散。
定义 5.8 设()
{}k A 是n n
C ?空间的一个矩阵序列，A 是n n
C
?的一个矩阵范数。如果存在矩
阵,m n
A C
?∈当k →+∞时，()0,k A A -→则称矩阵序列按向量范数收敛于.A
定理5.5 设()
{}k A 是m n
C ?的一个矩阵序列，它按元素数列收敛的充分必要条件是它按n n
C
?的任意一个矩阵范数收敛。
矩阵幂级数 定义 5.10 设,,0,1,2,...,n n
k A C
a C k ?∈∈=称
2012......k k a a A a A a A +++++ 为矩阵A 的幂级数，记为
.k k
k a
A ∞
=∑
定义 5.11 矩阵级数
.k k
k a
A ∞
=∑的前1N +项的和0
()N
k N k k S A a A ==∑称为矩阵幂级数的部分
和。若矩阵幂级数
.k
k
k a
A ∞
=∑的部分和序列{()}N S A 收敛，则称0
k k k a A ∞
=∑收敛；否则，称起
为发散。若lim (),N N S A S →∞
=则称S 为
k k
k a
A ∞
=∑的和矩阵。
定理 5.8 若复变量z 的幂级数0
k
k k a z
∞
=∑的收敛半径为R ，而方阵n n
A C
?∈的谱半径为(),
A ρ则
(1) 当()A R ρ<时，矩阵幂级数
0k k
k a
A ∞
=∑收敛；
(2) 当()A R ρ>时，矩阵幂级数
k k
k a
A ∞
=∑发散。
当计算A 的特征值比较困难时，由定理5.6知A 的每个范数都是谱半径()A ρ的上界，只要能找到一种特殊的矩阵范数,A 使,A R < 便可断定该矩阵幂级数是收敛的。 5.5 矩阵函数
一、矩阵函数的定义和性质
定义 5.12 设()f z 是复变量的解析函数，0
()k
k k f z a z
∞
==
∑的收敛半径为R 。如果矩阵
n n A C ?∈的谱半径为(),A R ρ<则称
()k
k k f A a A
∞
==∑
二、矩阵函数的求法 1. Jordan 标准形法
定理 5.9 设()f z 是复变量z 的解析函数，,n n
A C ?∈且存在可逆矩阵,P 使得
1
112(,,...,).m A PJP
Pdiag J J J P --==
则
1112()()[(),(),...,()]m f A Pf J P Pdiag f J f J f J P --== 其中
(1)(2)(3)1
1()'()''()...()2!(1)!
10
()'()...()(2)!
()1
00()...()(3)!...............
0()i i i n i i i i i n i i i i i n i i i i f f f f n f f f n f J f f n f λλλλλλλλλλ---?
?
??
-??
????
-?
?=????
-??
????
??
例 10 已知矩阵
200111113A ??
??=????-??
计算A
e 和sin A 。
解 A 的Jordan 标准形为
210020002J ????=??????
变换矩阵P 和1
P -分别为
011100101P ????=????-?? 和 1
010111011P -??
??=-????-??
且
(2)
'(2)0()0(2)
00
(2)f f f J f f ????=??????
故
1
()()011(2)'(2)
00101000(2)011110100(2)011(2)00'(2)(2_'(2)'(2)'(2)'(2)(2)'(2)f A Pf J P f f f f f f f f f f f f f -=????????????=-??????
??????--??????
??
??=-??
??-+??
当()z f z e =时，22(2),'(2),f e f e == 故
22222
20002A
e e e
e e e e ????=????-?
?
当()sin f z z =，(2)sin 2,'(2)cos 2,f f ==故
sin 200sin cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2A ??
??=-??
??-+??
2. 最小多项式法
设()A m λ是n 阶矩阵A 的最小多项式，它的次数为m ，若()f λ是()l l m ≥次多项式，以()A m λ去除()f λ，即得
()()()(),A f m q r λλλλ=+
余式()0r λ=或者()r λ的次数低于()A m λ的次数。因此 ()()()()().A f A m A q A r A r A ===
由此可见，次数大于等于m 的任意矩阵多项式()f A 都可以化为次数小于等于1m -的A 的多项式()r A 来计算。
定理 5.10 设n 阶矩阵A 的最小多项式为
1212()()()...()s n
n
n
A s m λλλλλλλ=--- 其中12,,...,s λλλ为A 的所有不同的特征值，1
,()s
i
i n
m f λ==∑是复变量λ的解析函数，令
1
011()...,m m g c c c λλλ
--=+++
则()()f A g A =的充分必要条件是：
()()()(),1,2,...,,0,1,2,..., 1.j j i i g f i s j n λλ===- 例 10 已知矩阵
200111113A ????=????-??
计算A
e 和sin A 。
我们用定理5.10提供的方法求解
解：A 的最小多项式为2()(2),m A λλ=-令 01(),g c c λλ=+ 则 01
1
(2)2'(2)f c c f c =+??
=?
解得01(2)2'(2),'(2),c f f c f =-= 故
01()(2)0
0'(2)(2)'(2)'(2)
.'(2)
'(2)
(2)'(2)f A c I c A
f f f f f f f f f =+????=-??
??-+??
当()z
f z e =时，2
2
(2),'(2),f e f e ==故
22222
20002A
e e e
e e e e ????=????-?
?
当()sin f z z =时，(2)sin 2,'(2)cos 2f f ==，故
sin 200sin cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2A ????=-??
??-+??
第六章 特征值的估计及对称矩阵的极性
一、特征值的界
定理 6.1 设(),n n
rs A a R ?=∈令1,1
max
.2
rs sr r s n M a a ≤≤=-若λ表示A 的任一特征值，则λ的
虚部Im()λ满足不等式
Im()λ≤ (6.1) 引理：设,n n A C ?∈则A 的任一特征值λ满足 m A
λ∞
≤
1
Re()2
1
Im()2
H m H
m A A A A λλ∞
∞
≤
+≤-
定义 5.1 设()n n
ij A a C
?=∈，记1()n
r rs
s s r
R A a
=≠=
∑（简写为r R ），1
,2,..r n =如果
(1,2,...,),
r r r a R r n >=则称矩阵A 按行严格对角占优；如果(1,2,...,),rr r a R r n ≥=且有01r n ≤≤使得000r r r a R >成立，则称矩阵A 按行（弱）对角占优。
同样可以定义按列对角占优。 定理 5.3 设(),n n
rs A a C ?=∈ 令1
1
,.n
N
r rr rs r rr rs s r s r M a a m a a =+=+=+
=-
∑
∑
如果A 按行严
格对角占优，则 1
1
1
0det ()n
n n
r
r r r i r m
A A M λ===<
≤=≤∏∏∏ (6.5)
且当0()rs a s r =>时，式(6.5)中等号成立。
定理 5.4（Hadamard’s inequality ）设(),n n rs A a C ?=∈则有
21/21
1
1
()det [()]n n n
r
rs
r r s A A a
λ====≤∑∏∏ (6.7)
且式(6.7)中等号成立的充分必要条件是某00s a =或者(,)0().r s a a r s =≠这里12,,...,n a a a 表示A 的n 个列向量。
定理 5.5 （Schur’s inequality ）设()n n
rs A a C
?=∈的特征值为12,,...,,n λλλ则有
2
2
1
,1
n
n
r rs F r r s a A λ==≤=∑∑ (6.9)
定义5.3 设(),n n
rs A a C
?=∈称由不等式
ii i z a R -≤ (6.10)
在复平面上确定的区域为矩阵A 的第i 个Gerschgorin 圆（盖尔圆），并用记号i G 来表示。其中
1
()n
i i ij
j j i
R R A a
=≠==
∑ (6.11)
称为盖尔圆i G 的半径（1,2,...,i n =）
定理 5.7 (Gerschgorin) 由矩阵A 的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k 个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A 的k 个特征值（盖尔圆相同时重复记数，特征值相同时也重复计数）
下面应用盖尔圆定理研究矩阵特征值的隔离问题。设(),n n
ij A a C ?=∈构造对角矩阵
12(,,...,)n D diag a a a = 其中12,,...,n a a a 都是正数。由于 1
i ij j n n
a B DAD
a a -???
== ? ??? (6.12) 相似于A ，所以B 与A 的特征值集合相同。注意到B 与A 的主对角线元素对应相等。于是有下面的推论。
推论 若将(6.10)中的i R 改作 1n
i
i ij
j j
j i
a r a a =≠=
∑ 则定理 5.6和5.7的结论仍然成立。 例 5.7隔离矩阵
2050.841011210A j ????=??
????
的特征值。
解 A 的三个盖尔圆为
123:20 5.8
:105
:103
G z G z G z j -≤-≤-≤
1G 与2G 相交；而3G 孤立，其中恰好有A 的一个特征值，记做3λ。根据式(6.12),选取
(1,1,2)D diag =
则
1
2050.44100.52410B DAD j -????==??????
的三个盖尔圆为
'1'
2'3:20 5.4
:10 4.5:106
G z G z G z j -≤-≤-≤
易见，这是三个孤立的盖尔圆，每个盖尔圆中恰好有B 的（也是A 的）一个特征值。注意'3G 中的特征值就是3G 中的特征值3λ，所以A 的三个特征值分别位于''12,G G 和3G 之中。
定理 5.8 设
练习：应用Gerschgorin 定理，隔离矩阵
20312102810A ????=??????
的特征值；再应用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。
矩阵分解在优化方法中的应用
矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。
矩阵论知识点
矩阵论知识点 第一章：矩阵的相似变换 1. 特征值，特征向量 特殊的：Hermite矩阵的特征值，特征向量 2. 相似对角化 充要条件：（1）（2）（3）（4） 3. Jordan标准形 计算：求相似矩阵P及Jordan标准形 求Jordan标准形的方法： 特征向量法，初等变换法，初等因子法 4. Hamilton-Cayley定理 应用：待定系数法求解矩阵函数值 计算：最小多项式 5. 向量的内积 6. 酉相似下的标准形 特殊的：A酉相似于对角阵当且仅当A为正规阵。
第二章：范数理论 1. 向量的范数 计算：1，2， 范数2. 矩阵的范数 计算：1，2，，m , F 范数，谱半径 3. 谱半径、条件数 第三章：矩阵分析 1. 矩阵序列 2. 矩阵级数 特别的：矩阵幂级数 计算：判别矩阵幂级数敛散性，计算收敛的幂级数的和 3. 矩阵函数 计算：矩阵函数值， At e ，Jordan 矩阵的函数值 4. 矩阵的微分和积分 计算：函数矩阵，数量函数对向量的导数 如，dt dA(t),dt dA(t) ,)()(X R AX X X X X f T T T 等 5. 应用 计算：求解一阶常系数线性微分方程组
第四章：矩阵分解 1. 矩阵的三角分解 计算：Crout分解，Doolittle分解，Choleskey分解2. 矩阵的QR分解 计算：Householder矩阵，Givens矩阵， 矩阵的QR分解或者把向量化为与1e同方向3. 矩阵的满秩分解 计算：满秩分解，奇异值分解 4. 矩阵的奇异值分解 第五章：特征值的估计与表示 1. 特征值界的估计 计算：模的上界，实部、虚部的上界 2. 特征值的包含区域 计算：Gerschgorin定理隔离矩阵的特征值 3. Hermite矩阵特征值的表示 计算：矩阵的Rayleigh商的极值 4. 广义特征值问题 AX转化为一般特征值问题 计算：BX
矩阵论研究生复习题
矩阵理论及应用证明题复习题 正规矩阵（包括Hermite 矩阵；Hermite 正定矩阵等） 1. 设()ij n n A a ?=是n 阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是A 的特征值，且12n λλλ≥≥≥ ， 证明：（1）1H n H x Ax x x λλ≤≤ ；（2）{}11max n kk k n a λλ≤≤≤≤. 2.假设n 阶Hermite 矩阵A 是正定的。证明：(1)存在正定矩阵S 使得2 A S =； （2）对任意n 维列向量,X Y ，有2 H H H Y AX X AX Y AY ≤，并且，等号成立当 且仅当,X Y 线性相关。 3.证明：设,A B 都是Hermite 矩阵，A 的特征值都大于a ，B 的特征值都大于b ， 则A B +的特征值都大于a b +。 4.设A 为n 阶正定Hermite 矩阵，证明（1）H nn A G a ββ?? = ??? 是正定的的充分必要条件为1H nn a A ββ->，（2）H nn A G a ββ ?? = ??? 正定时有不等式：nn G a A ≤. 5.A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：2 46A A I -+是正定Hermite 矩阵 6.A 、B 都为n 阶正定Hermite 矩阵，且AB BA =，则AB 亦为正定Hermite 矩阵 范数 1.设?为n n C ?上的矩阵范数，λ为复矩阵A 的特征值，证明：m m A λ ≤（m 为正整数） 2.设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，A 是A 的任意一种范数 证明：1 1 A λ -≥ 3.设A 是n 阶可逆矩阵，A 是A 的任意一种范数.证明：A 的谱半径()1 1A A ρ-≥ 4.A 是n 阶复矩阵，证明22 1A A A ∞ ≤ 5.假设A 是s n ?矩阵，,U V 分别是s s ?、n n ?酉矩阵。证明：F F A UAV =， 22A UAV =。 6.设() ij n n A a ?=为n 阶Hermite 矩阵,证明：（1）2()A A ρ=；（2）()ij a A ρ≤.
南京航空航天大学研究生课程《矩阵论》内容总结与习题选讲
《矩阵论》复习提纲与习题选讲 Chapter1 线性空间和内积空间 内容总结： z 线性空间的定义、基和维数； z 一个向量在一组基下的坐标； z 线性子空间的定义与判断； z 子空间的交 z 内积的定义； z 内积空间的定义； z 向量的长度、距离和正交的概念； z Gram-Schmidt 标准正交化过程； z 标准正交基。 习题选讲： 1、设表示实数域3]x [R R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成 的线性空间（按通常多项式的加法和数与多项式的乘法）。 （1） 求的维数；并写出的一组基；求在所取基下 的坐标； 3]x [R 3]x [R 221x x ++ （2） 在中定义 3]x [R ， ∫?=1 1)()(),(dx x g x f g f n x R x g x f ][)(),(∈ 证明：上述代数运算是内积；求出的一组标准正交基； 3][x R （3）求与之间的距离； 221x x ++2x 2x 1+?（4）证明：是的子空间； 2][x R 3]x [R （5）写出2[][]3R x R x ∩的维数和一组基；
二、 设22R ×是实数域R 上全体22×实矩阵构成的线性空间（按通常矩阵的加 法和数与矩阵的乘法）。 （1） 求22R ×的维数，并写出其一组基； （2） 在(1)所取基下的坐标； ?? ??????3111（3） 设W 是实数域R 上全体22×实对称矩阵构成的线性空间（按通常矩阵 的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：W 是22R ×的子空间；并写出W 的维数和一组基； （4） 在W 中定义内积 ， )A B (tr )B ,A (T =W B ,A ∈ 求出W 的一组标准正交基； （5）求与之间的距离； ??????0331?? ?????1221 （6）设V 是实数域R 上全体22×实上三角矩阵构成的线性空间（按通常矩 阵的加法和数与矩阵的乘法）。 证明：V 也是22R ×的子空间；并写出V 的维数和一组基； （7）写出子空间的一组基和维数。 V W ∩
矩阵论之矩阵的分解
矩阵的分解 一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n A F ?∈ (1) 若,n n L U F ?∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。 (2) 若,n n L U F ?∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。 ,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。 用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使 ,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -= 例1 设223477245A ????=????-?? ，求A 的LU 分解和LDU 分解。 解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换： 32 23100223100()4 77010031210245001068101223100031210006521A I ???? ????=→-???? ????-???? ????→-????-?? 因此 100223210,031521006P PA ????????=-=????????-????. 令1 100223210,031121006L P U -????????===????????-???? 则223031.006A L LU ????==?????? 再利用初等变换，有
311 2100212103013121600 1A ?? ??????????????=??????????-??????????? ? 就得到A LDU = 其中 311 210021210,3,0131216001L D U ? ? ??????????????===??????????-????? ?????? ? 一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。 定理 3.1 设(),n n ij n n A a F ??=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的 顺序主子式 11 1212122201 2......0,1,2,...,;1,...... ... ... ...k k k k k kk a a a a a a k n a a a ?= ≠=?= 其中 1 2 1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -??? ??? ?===?????? ? 证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明 11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -?----== 则对,n 将A 分块成 1 n n T n nn A A u a τ-?? =???? 其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T T n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==
矩阵论矩阵分解精品
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需求、作用、标准、反映、检验、分析、逐步、推广、满足、保证、解决、优化、方向、转
变、规范、不改变、规范化
第四章 矩阵分解
把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应 用中，都是十分重要的．因为这些分解式的特殊形式一方面能明显地反映出原矩阵的某些数 值特征，如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等，另一方面分解的方法与过程往往提供了 某些有效的数值计算方法和理论分析根据．本章将介绍几种常用的矩阵分解形式．
§4．1 矩阵的三角分解 三角矩阵的计算，如求行列式、求逆矩阵、求解线性方程组等，都是很方便的，因此首 先研究是否可将矩阵分解成一些三角矩阵的乘积． 一、三角分解及其存在惟一性问题
定义 4.1 设 A Cnn ，如果存在下三角矩阵 L Cnn 和上三角矩阵 R Cnn ，使得
A=LR 则称 A 可以作三角分解．
关于三角分解的存在性有如下一些结论．
定理 4.1
设
A
C
nn n
，则
A
可以作三角分解的充分必要条件是
k
≠0
(k=1，2，…，n
－1)，其中 k det Ak 为 A 的 k 阶顺序主子式，而 Ak 为 A 的 k 阶顺序主子阵。
证 必要性．已知 A 可以作三角分解，即 A＝LR，其中 L＝ lij nn lij 0，i＜j ，
R rij nn rij 0，i＞j ．将 A，L 和 R 进行分块，得
这里 Ak ， Lk 和 Rk 分别是 A，L 和 R 的 k 阶顺序主子阵，且 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵
和下三角矩阵．由矩阵的分块乘法运算，得
由于
所以
＝ l11 lkkr11 rkk≠0 (k 1, 2, , n 1)
充分性．对阶数 n 用归纳法证明．当 n=1 时， A1 a11 1a11 ，结论成立．设对
n=k 结论成立，即 Ak Lk Rk ，其中 Lk 和 Rk 分别是上三角矩阵和下三角矩阵，且由 k det Ak det Lk det Rk≠0 知， Lk 与 Rk 均可逆．则当 n=k+1 时，有
其中 ck a1,k1 , , ak ,k1 T ，rkT ak1,1 , , ak1,k ．故由归纳假设知 A 可以作三角分解．
证毕
这个定理说明，并不是每个可逆矩阵都可以作三角分解．如矩阵
A
0 1
1
0
就不能作
三解分解．
定理 4.2
设
A
Cnn r
，且
A
的前
r
个顺序主子式不为零，即
k
≠0
(k=1，2，…，r)，
见 A 可以作三角分解．
证 由定理 4.1 知， Ar 可以作三角分解，即 Ar Lr Rr ，且 Lr 和 Rr 分别是可逆的上三
角矩阵和下三角矩阵．将矩阵 A 分块为
由于 rankAr ＝rankA=r，所以 A 的后 n－r 行可由前 r 行线性表示，即存在矩阵 B Cnrr ，
使得 A21 BAr ， A22 BA12 ，从而
即得到 A 的一种三角分解．
证毕
该定理的条件仅是充分的．如矩阵
A
0 1
0 2
的秩为
1，不满足定理的条件，但
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