倒立摆控制系统设计

毕业设计

倒立摆控制系统设计

学生姓名：

"

专业班级：自动化2012级1班

指导教师：教授工程师

学院：机电工程学院"

2016年6月

倒立摆控制系统设计

摘要

。

倒立摆是一种复杂、时变、非线性、强耦合、自然不稳定的高阶系统，许多抽象的控制理论概念都可以通过倒立摆实验直观的表现出来。本文对单级倒立摆系统的平衡控制问题进行了研究，分别采用根轨迹法、PID法、频域特性法这三种方法实现了单级倒立摆系统的平衡控制。

实际的写作及操作如对直线型单级倒立摆进行数学模型建立，通过仿真的根轨迹图表明原系统不稳定，需要设计相应的控制器进行校正。三种校正方法都利用MATLAB通过人机界面调用，以完成离线的仿真，进而利用图形化的Simulink作为控制前台基于RTW完成实时控制，在线调整参数就针对直线单级倒立摆系统摆杆的平衡控制应用P1D法，通过根轨迹法依次确定比例、积分、微分的个参数后仿真；运用根轨迹法设计控制器和频域法设计针对摆杆的平衡和小车位置的控制器，然后进入在线实时控制，根据实际控制效果调整控制器参数。将所设计的控制器分别在实际的物理设备上进行实时控制实验，都成功地实现了倒立摆的平衡控制。

关键词倒立摆；PID系统；根轨迹；频域特性

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Design of inverted pendulum control system

Abstract

Inverted pendulum is a complex, time-varying, nonlinear, strong coupling, natural instability of high order systems, many of the abstract control theory can be shown through the inverted pendulum experiment. In this paper, the balance control of single inverted pendulum system is studied, and the balance control of single stage inverted pendulum system is achieved by using the three methods, root locus method, PID method and frequency domain method.

The actual writing and operation, such as the linear single inverted pendulum mathematical model is established, through the simulation of the root locus diagram of the original system is not stable, need to design the corresponding controller for correction. Three correction methods are the use of MATLAB through the man-machine interface, to complete the off-line simulation, then the Simulink graphical as front control based on RTW real-time control, online parameter adjustment is for linear single inverted pendulum system pendulum pole balancing control P1D method is applied, by the root locus method in order to determine the proportion, integral and differential parameters simulation; the use of root locus method controller design and frequency domain method of design for the pendulum rod balance and the cart position controller, and then enter the online real-time control, according to the actual control effect to tune the parameters of the controller. The designed controller is implemented in real time control experiments on the actual physical equipment, and the balance control of the inverted pendulum is successfully achieved.

-

Keywords Inverted Pendulum；PID Control；Root Locus；Frequency Characteristic

目录

摘要

Abstract

目录

1 绪论 0

倒立摆历史发展 0

倒立摆研究意义 0

倒立摆类型特性 (1)

倒立摆控制方法 (2)

本章小结 (3)

2 倒立摆系统建模 (4)

系统受力分析 (4)

系统数学模型 (5)

仿真分析稳定性 (6)

本章小结 (8)

3 根轨迹法校正 (9)

根轨迹简介 (9)

根轨迹分析稳定性 (9)

相消法校正系统 (9)

本章小结 (11)

4 PID法校正 (12)

PID简介 (12)

PID参数确定 (13)

仿真校正 (13)

本章小结 (18)

5 频域法校正 (19)

频率特性简介 (19)

频域分析稳定性 (19)

频域法校正 (20)

本章小结 (22)

结论 (23)

参考文献 (24)

附录 (26)

致谢 (28)

1 绪论

1.1倒立摆历史发展

倒立摆有许多控制方面的特性，所以对它的研究是极具意义的，因为不管是国内还是国外都是需要控制进行生产制造方面的工业。而倒立摆系统是一种简单、直观、简单的实验操作，所以它已成为许多控制研究者的重要研究课题之一。经过多年的研究，对倒立摆装置进行了验证控制理论的可操作性和现实性的多个控制算法，各种算法也有自己的优点和缺点。

倒立摆刚开始研究开始于上世纪50年代，麻省理工学院的控制系统专家基于火箭发射助推器理论设计的一套单级倒立摆实验装置[1]。倒立摆系统是上世纪被正式提出的，它是一种特殊不稳定、高度非线性的系统。国外对倒立摆的研究已经达到成熟的阶段，先后研究并发现多种算法来进行控制。状态空间式、变结构神经网络等都已经达到控制的目的。虽然有些控制被发现，但由于许多不足与缺陷还是处在了保守控制的阶段。神经网络通过自动学习模糊控制器的输入和输出进行比较，这引起了一些研究者的注意，之后又有了从倒立摆系统的能量控制方法的研究。国内一级倒立摆的发展走在前列的是以拟人化的控制来实现倒立摆的控制，控制一级倒立摆LQR最优控制，实现五级倒立摆的控制基于LQR模糊插值等。对倒立摆的研究不仅具有理论意义，更有其工程背景，通过深入研究将发现倒立摆在生活中有很多应用，如海上钻井平台控制、飞机着陆安全、化学过程控制等均属于其研究范围，其相关的研究成果已应用于航天科技和机器人等领域应用。

1.2倒立摆研究意义

倒立摆控制模型和火箭发射垂直系统，导弹空中拦截系统，双轮车自平衡系统，卫星姿态系统，直立行走机器人的平衡系统和航空对接系统等涉及的角度和平衡控制系统问题在很大程度上是相似的，因此在航空航天、军工、机器人等领域和一般工业设计都有着极为广泛的应用[2]。倒立摆系统是一种典型的实验装置的研究控制理论，由于其结构简单，可以有效地测试许多控制方法，可以实现参数确定和模型的改变，而成本低廉的优点使得控制方面的理论，很多研究者一直把它作为研究的主要对象。可以用它来描述线性控制系统的稳定性和不稳定系统的变结构控制的非线性控制，基于无源性的控制，自由行走，非线性观测器，非线性模型降阶，摩擦补偿控制的思想，并从连接连研究的一种新的控制方法和理论，作为一个结果，倒立摆系统是智能控制方法的研究，为一种较为理想的实验装置。倒立摆系统有很多特性，如多变量，阶次高等。很多的抽象概念如系统的可控性、系统的抗干扰能力、稳定性和收敛速度等。所有这些都可以由倒立摆系统更直观的显示出来。

倒立摆系统是控制理论见习中的最佳实验。传统的教学实验是在优化理论教学和实践操作时，往往对理论知识的量远远大于实验课，实验课和学生基本都是完全按照实验指导书的步骤来完成这些实验，并且在整个实验过程中，学生都是被动的接受知识，而学生的方法和内容绝对没有兴趣。显然，这种教学方法很难培养学生的综合素质高、实践能力强。在改革与创新的实验环节、内容和形式上，要实现培养学生的创新能力和实1践操作能力。因此，开展设计与开放的综合性实验研究是十分重要的。如说，如果在控制理论教学，构建合理、高效的倒立摆控制系统的平台，当学生深入理解控制理论，同时，也可以让在环仿真技术发展过程中硬件的学生具有一定的知识储备，这样不仅从理

本课题来源于生产实践

论和实践提高了学生的兴趣和学习控制理论的认识，并基于MATLAB实时仿真操作。倒立摆系统的研究在高校的控制理论教学和实验中应用。它已在欧洲、美国、欧洲等发达国家和地区广受欢迎。综上所述，我国高校的倒立摆控制方法研究，控制理论教学与实验研究具有广阔的发展前景和意义。

1.3倒立摆类型特性

倒立摆类型

（1）直线倒立摆系统

系统由沿直线滑轨可以运动的小车、一头固定在小车上的均匀质量长杆组成。通过动力设备像力矩电机、步进电机、直流电机、或交流伺服电机等用以驱动小车在滑轨上来回运动。不足之处是固定的导轨长度限制了小车的行程[3]。

（2）环形倒立摆系统

系统由沿水平放置的连杆、一头固定在连杆末端的均匀质量长杆组成。通过传动设备由电机来带动做沿中心轴线转动运动。摆杆的圆周运动由于离心力的作用使系统出现另一种缺陷：非线性因素。

（3）平面倒立摆系统

系统的均匀质量摆杆底端可以在平面内自由的运动，并且摆杆可以沿着平面内的任意一条轴线转动。又有倒立摆的种类及运动带动杆的设备的不尽相同，所以对其驱动的时候的点机数目也可能有所差异。一般情况下至少是需要两台电机对设备进行驱动。

（4）柔性倒立摆系统

系统是在原来的倒立摆系统上加入了自由振荡环节：自由弹簧系统。对系统动态特性进行分析后发现，弹簧的弹性系数如果越小，将对电机驱动响应频率要求就越快，并且系统也越是趋近临界阻尼状态。系统的不足之处是，闭环系统的响应频率大小限制了弹簧系统的振荡频率。

（5）柔性连接倒立摆系统

系统依旧和以上系统相似，唯一的区别之处是摆杆由刚性变为了柔性。一时激起千层浪，其他方面的研究也就有了大的变化，当然控制方法还是略微有些差异，如线性的非线性化。目前仍然在被研究的问题是对柔性系统的振动和分布参数系统的特性及其系统控制器的设计。

（6）倒立摆系统其他系统

其他类的倒立摆系统主要不同于是其机械额结构或被控对象的一些特性改变，但对于其控制方面的研究还是基本相似，不存在其他类别的控制方法，只是在计算和预测方面有了些许变化。多级倒立摆系统有这两种基本形式：并联式倒立摆系统和串联式倒立摆系统。串联倒立摆系统指多个摆杆的首尾相连在一起，其中各摆杆任意一个的角度、角速度、角加速度改变都会对其他的摆杆角度、角速度、角加速度产生连带影响。并联倒立摆系统指多个摆杆底端都连接在同一小车上，对系统的控制只与水平连杆的角速度、角加速度有关[4]。

倒立摆特性

倒立摆系统为了使其建模简单，当在忽略空气阻力、电机以及传动设备间产生的静摩攘力、设备之间连接处的松紧程度、摆杆连接处的质量分布均匀情况、传动皮带的弹性大小、传动齿轮的间隙大小等多种因素作用的情况下，使得倒立摆系统有如下特性：（1）欠冗余性

倒立摆的控制系统使用单电机驱动进行，所以它与冗余机构像冗余机器人有着许多不同。而采用欠冗余的设计是为了在不失去系统可靠性的情况下节省成本和必要的有效

空间。

（2）非线性

倒立摆的非线性是其特性之一，由于非线性的不可控性及难以控制的特性，所以我们要模糊化得到其类似的线性模型。线性化控制后，也可以用非线性控制系统理论来进行控制。目前，倒立摆的非线性控制已成为一个热门的研究课题。

（3）不确定性

由于倒立摆的安装方式或存在误差，或者设备间都自带有些许不可控的摩擦，所以在控制中或多或少都有些不确定因素[5]。但为了达到一些极具可能的误差减小，或者直接忽略的目的，所以给其加一个夹紧力，使得机械设备的缝隙都连贯且亲密的接触，以达到减弱误差，不确定对系统的影响。

（4）耦合性

在倒立摆系统中，摆杆与运动模块之间有很强的耦合关系[6]。在倒立摆的控制中，倒立摆的控制主要是在平衡点附近，并且将忽略一些次要的耦合量。

（5）不稳定性

倒立摆控制系统具有一个临界稳定平衡点，在垂直方向上，向上不稳定，向下则稳定。开环时微小的扰动干扰量都将可能会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中，固系统基本都存在类似的不稳定性。

1.4倒立摆控制方法

经典控制

（1）PID控制

倒立摆系统力学分析，利用牛顿定律对运动方程进行简化后，在忽略了某些干扰因素在平衡点附近的线性化，进而求出传递函数[7]。当满足系统特征方程的根是在左半平面的情况下设计闭环控制器。控制原理简单，鲁棒性好，直观易懂，易工程实现，还有许多其他优点。

（2）状态反馈控制

极点配置方法是在稳态特性和动态特性条件都达到的情况下，设计出相应的状态空间反馈控制器，满足闭环系统极点配置的条件。其根本目的就是用比例反馈的方法来到达改变运动方式，从而使系统达到所要求的性能指标[8]。

（3）线性二次型最优控制(LQR)

通过寻找其最佳状态反馈控制律，使得所需的性能指标最小的最优控制。通过相应的RICCATTI方程的求解来到达到线性的二次型性能指标，用此指标来设计相应的控制器方法所设计的的控制器人们称为LQR控制器。

流行控制

（1）预测控制

预测控制是新型一类的计算机控制的方法。预测控制的基本特征有：预测模型、滚动优化、参考轨迹、反馈校正[9]。由于它对滚动进行优化并且多次多步进行测试和采用反馈的方面的校正控制环节，所以其控制效果相比起普通方法较好。

（2）内模控制

在当今工业中所使用的近半预测控制算法的实质都是属于内模控制[10]。内部模型控制是一种基于过程控制的数学模型的控制方法，是一种比较新型的控制方法。

（3）变结构控制

变结构控制由切换面选择、控制的求取构成其两大部分。它所具有的优异的鲁棒性、对干扰的完全自适应性、对应匹配的不确定性都是其滑模变结构的特性。

（4）自适应控制

自适应就像是指生物一样能改变自己的生活习性，并且适应新环境的特征。它能够修正自己的一些特性来适应扰动的变化是其自适应的特点。自适应控制的特点就是能在控制中自动学习完善自己，就像是梦想中的机器人一样，可以脱离人类的控制。如果要是有灵魂，从某种程度上已可以和生物类别。但由于它的经验少，所以可以自动完善自我。它的控制方法直观、明确，更无需复杂的推理计算是其模糊控制器的优点[11]。

潜在控制

（1）模糊控制

模糊控制从字面意思上看就是不清晰，模模糊糊的，但实际上模糊相对来说复杂。其具有五大组成部分，分别为传感器感受被控对象，通过过程通道以及控制器然后通过执行机构对所要控制的被控对象进行控制。他的优点就是不需要建立其他控制所必要的模型，只需要有经验的人员对数据进行分析分类，更是由于极好的鲁棒特性，使得在有大的延迟的非线性控制中应用广泛。模糊控制与传统控制方法不同的是它更接近于人的思维方式，更方便操作人员的理解及使用。

（2）神经网络控制

神经网络控制是一种未来很有潜力的控制方法，因其是有两大理论课所结合产物并融合了多种学科，如天文地理、科技智能多科技术等等。由于其具有神经树状网络模式，所以是一个大数据处理并进行控制的方法，其自适应的功能，和信息的分布情况，对信息的处理等等和模糊控制类似的不稳定、不确定等特性都使得其在倒立摆等相关方面有许多应用。

（3）拟人智能控制

拟人智能控制的核心是拟人[12]。它与传统控制系统有着不同，它研究的是控制器本身而不是被控对象，因此拟人智能控制系统并不需要精确数学模型做基础。拟人智能控制研究定性和定量相结合，是数学解析与直觉推理相结合，而不是纯数学得解析方法。它具备极其的实践性，具备模仿人行为的功能优点。

1.5本章小结

本章主要是对倒立摆的发展起源等进行了综述，并对各种类别的倒立摆特性进行简要概述。再对倒立摆的种类及应用，在航天、军工、机器人等领域和一般的过程工业中都有着极其广泛的应用。各种类型倒立摆所具有的特性用途，直线、环形、平面、柔性、柔性连接、及其他倒立摆系统，其具有欠冗余性、非线性、不确定性、耦合性、不稳定性[13]。倒立摆的各种控制方法通过经典、流行、潜在三方面进行简要介绍。

2 倒立摆系统建模

系统受力分析

倒立摆一般使用的数学建模方法有拉格朗日法和牛顿——欧拉法，本文采用后者。对倒立钟摆系统忽略不必要的因素后，可以将系统视为刚体模型的典型，利用力学原理确立了平衡方程式，进行化简然后进行控制研究。对于结构相对简单的一级倒立摆系统本文采用了牛顿欧拉法。当忽略了空气阻力及多种摩擦时，先对小车和摆杆分别进行受力分析，求出其运动方程。本文在忽略空气阻力以及多种摩擦等情况下，可以将系统看作是小车与摆杆连接所组成的倒立摆系统[14]。如图2-1。

图2-1 倒立摆系统模型

倒立摆系统中小车的受力分析，如图2-2。分析图中P和N分别为系统小车与摆杆之间的相互作用力在水平和垂直方向的分力的合力。

图2-2 倒立摆系统小车受力分析图

对摆杆的受力分析如图2-3。Fh是摆杆在垂直方向受到的干扰力，干扰力Fg是垂直方向夹角为α的合力，Fs是摆杆在水平方向受到的干扰力。在倒立摆系统中执行设备和检测设备的正反方向已确定，矢量方向定义如图上所示，图示方向为矢量正向。

本节中对倒立摆系统中相关的数据及物理意义如表2-1。

表2-1 直线一级倒立摆系统符号参数

符号 物理意义 数值 M 小车质量

m 摆杆质量

F 小车动力 f

小车摩擦力 m/sec θ

摆杆与竖直向上夹角 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量 2

0.00223kg m ?

Fh 摆杆受垂直方向干扰力 Fs 摆杆受水平方向干扰力

Fg Fh 和Fs 合力 x 小车位置

g

重力加速度

2

/8.9s m

系统数学模型

由对小车和摆杆的受力分析知小车水平方向所受的合力：

N x f F x

M --= （2-1） 对摆杆受力分析后将其化解到垂直方向和水平方向：

αsin S g F F = （2-2） αcos h g F F = （2-3） 摆杆水平方向的受力分析得：

即： )sin (22

θl x dt

d m F N S +=- （2-4）

αθθθθsin sin cos 2f

F ml ml x m N +-+= （2-5）

摆杆垂直方向的合力分析得：

)cos (-22

h θl l dt

d m F mg P -=++ （2-6）

即：

θθθθ

αcos sin cos -2 ml ml F mg P g +=++ （2-7） 其力矩平衡方程如下

0cos sin sin cos cos sin g =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g （2-8） 将P 和N 代入方程得：

0cos 2sin sin )2cos (sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g （2-9）

设 φπθ+=（?是摆杆与垂直向上方向间的夹角）代入上式。假设1<<φ，则可近似处理得：

????φ??=====2sin ,12cos ,0)(,sin ,1cos 2

dt

d （2-10）

由 ： 2

m 31I l = （2-11）

即：x m mg ml F g =-+--??α?α3

4

)cos sin (2 （2-12） 令： )cos sin (α?α--=g f F F （2-13）

则： x m mg ml F f =-+??3

4

2 （2-14） 此式化简后的关于倒立摆系统微分方程。代入实际数据后，微分方程如：

m

F x f

2329.4-+= θθ （2-15）

当忽略了f F ，系统的微分方程如：

x

34.29+=θθ

（2-16）

干扰力被忽略后此倒立摆系统是一个单输入双输出的四阶系统；干扰力不被忽略的话此倒立摆系统是个二输入二输出的四阶系统。内部状态量分别为小车的位移x 、小车

的速度x

、摆杆的角度θ、摆杆的角速度θ 。系统输出的观测量分别为小车的位移x 、摆杆的角度θ。系统的控制量为小车的加速度x

。由于各种干扰的必然存在性，所以在控制中许多因素都将被算到干扰力上进行考虑[15]。

仿真分析稳定性

根据系统的微分方程将其化为关于加速度输入量和角度输出量之间的传递函数：

()()4

.293

2-=s s R s θ （2-17） 倒立摆闭环系统的极点为（）、（）由于实部为正极点，构建如图2-4所示系统结构图。

图2-4 倒立摆闭环系统结构图

在Simulink环境下建立如上图所示系统的仿真结构图。当给加入2

/

1s

m的阶跃信号时得出如图2-5所示的仿真图，由图可以看出引起系统不稳定的原因是闭环系统的极点位置位于右半平面。

图2-5 闭环系统仿真图

θ( R(s)

_

4.

29

3 2

s

本章小结

本章是对倒立摆数学模型的建立，先是在忽略一些次要影响的条件下对小车和摆杆进行受力分析，然后用其物理意义进行变换列写力矩平衡方程，将质点间的相互位移、加速度、速度、等关系式联立，再通过代入系统中的实际数值化简得到倒立摆的系统微分方程，将微分方程化为传递函数形式在Matlab中仿真，仿真结果显示系统不稳定，故需设计控制器进行校正，下文将涉及到几种校正方法。而本章应用物理分析和微分方程求解是本章的难点。简言之，对倒立摆系统的建模可以由以下几个步骤来完成。（1)根据系统运动的物理规律建立方程。

（2)化简为微分方程。

（3)根据小偏差线性化的理论化简为线性系统的传递函数。

3 根轨迹法校正

根轨迹简介

在对线性定常系统进行分析时，闭环系统的稳定性由闭环极点唯一确定，而闭环系统的动态特性和稳态特性也和闭环极点密切相关[16]。利用根轨迹分析，设计闭环控制系统的图解法。特征方程的根在复平面上形成一个由零到无穷大的参数轨迹，称为根轨迹。在控制系统的分析中，对特征方程的根分布的研究具有重要意义。当特征方程阶次不高于2时，可用解析法将根可简单地确定，但当特征方程的阶次高于2，根求解过程将变得相当复杂。根轨迹法特征方程的求根过程进行简化。利用图形实现闭环极点的确定和分析，从而避免了求解系统特征方程根的困难。根轨迹不仅可以直接给出闭环系统时间响应的全部信息，且可以指明开环零点和极点怎么变化才能达到给定的指标[17]。利用根轨迹求解高阶代数方程的根也要比其他类似的方法更简易。目前根轨迹法是控制系统设计的基本方法之一。

根轨图分析系统性能：

（1）稳定性，当根轨迹增益由零变到无穷大时，所有的闭环极点不会进入右半平面，则表明系统稳定。若系统不稳定，则根轨迹法有可能越过虚轴进入右半平面。

（2）稳态性能，由位于平面的开环极点个数确定系统型别[18]。如果开环系统的坐标原点有一个极点，则为一型系统，此时根轨迹上的增益大小为静态速度误差系数。如果给定系统要求稳态误差，则有根轨迹图可确定闭环极点位置的容许范围。

（3）动态性能，若增益小于1，且系统特征根为两个不等实根，则系统处于过阻尼。当增益为1时，系统特征根为两个相等实根，则系统处于临界阻尼。当增益大于1时，系统特征根有一对共轭复数根，此时系统处于欠阻尼。

根轨迹分析稳定性

根轨迹法分析倒立摆系统的稳定性，系统所具有的单输入单输出特性的开环传递函数为：

4

.293

)()(2-=s s R s θ （3-1） 开环系统的极点为：p=±，利用MATLAB 画出的闭环系统根轨迹如图3-1。

通过系统根轨迹图可以看出，在通过根轨迹的稳定性性能可知系统不稳定或临界稳定。

相消法校正系统

系统的闭环极点距离负实轴越近，超调量越小，距离虚轴越远，系统的调整时间越短。给系统增加一个零点和一个开环极点，为开环的系统消除左极点，故对左极点开环增加40。设计控制器为：

40

42

.5)(G ++=s s k s （3-2）

图3-1 闭环系统根轨迹k为开环增益。控制系统结构图如图3-2。

图3-2 加控制器的结构图

其根轨迹图如图3-3。

图3-3 加控制的系统根轨迹

_

R(sΘ(s

40

)

42

.5

(

+

+

s

s

k

4.

29

3

2-

s

当k=400，加入阶跃激励信号为2/0.05m s 时,()s θ的仿真输出如图3-4。由图可以看

出系统的性能指标调节时间s 4.1=s t ，超调量为%，系统稳定。从根轨迹图可以看出，适当减小开环增益，不增大调节时间的前提下，可以降低系统的超调量。

图3-4 角度输出仿真图

本章小结

本章主要内容由数学建模得到的不稳定系统传递函数画出系统根轨迹图，分析其稳定性表明系统不稳定或临街稳定，利用相消法设计控制器为，k 为开环增益。画出加控制器的系统根轨迹，当k=400，加入阶跃激励信号为2/0.05m s 时仿真图显示系统趋于稳定，校正完成。

4 PID 法校正

PID 简介

控制算法有多种，大都是有针对性的应用。在本文中，我们给出了三种不同的算法，如图4-1、图4-2、图4-3。在控制系统中，控制器设计是最常用的控制规律。本文引用的PID 控制系统原理框图如图4-1所示。该系统由控制器和被控对象组成。

图4-3 伪PID 控制系统

PID 是一种线性控制器，因为偏差变化有快慢之分，因此要用微分[19]。微分就是计

算偏差变化的速率。同时使用者三种控制规律来控制被控变量就是PID 控制。它并不表示某一个控制规律，而是同时使用三种控制规律的综合。其控制规律为

???? ??++==s T s T K s E s R G D I p 11)()()s ( （4-1） 式中：Kp--比例系数；TI--积分时间常数；TD--微分时间常数。

在控制系统设计和仿真中，可将传递函数写成

s

K s K s K s K s K Kp s E s R s G I p D D I

++=++==2)()()( （4-2） 式中：Kp--比例系数；KI--积分系数；KD--微分系数[20]。从图中根轨迹看，该系统的等效系统是位于原点的极点和两个位置的变量为零。

PID 控制器得各校正环节的作用如下：

（1）比例环节，最基本的调节规律之一，调节输入偏差和输出之间的比例关系。起到加速调节的作用，且无延迟现象。

（2）积分环节，增加积分时间，减小误差并消除误差。有助于减小振荡，使系统更

加稳定，并起到消除静差的作用[21]。

（3）微分环节，有助于缩短调节时间，并减小超调量。可以放大噪声的干扰来加强调节作用，起到改善系统动态性能的作用。

PID 参数确定

（1）根轨迹法

PID 的数学模型可化为：

s

K s K s K s G I

p D ++=

2)( （4-3）

相当于增加了系统的两个位置可量的开环零点和一个开环极点，所以对于低阶已知的数学模型，根据所需性能可以用根轨迹法来整定控制器参数，本文就使用的根轨迹法。

（2）频域法

系统已知频率特性曲线的频域方法，对频率特性曲线的控制，增加积分环节和二阶微分环节。通过调整参数达到改变控制器的频率特性的目的，这样也就改变了闭环系统的频率特性[22]。 （3）凑试法

在实际应用中，由于受各种外在或内在的原因所限制，我们更多的是通过试凑的方法来确定控制器参数。

比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差。积分控制增加积分时间，减小误差并消除误差。有助于减小振荡，使系统更加稳定，并起到消除静差的作用。微分控制有助于缩短调节时间，并减小超调量。可以放大噪声的干扰来加强调节作用，起到改善系统动态性能的作用。

凑试法具体步骤：先比例，再积分，后微分[23]。

(1)整定比例控制时应有小到大变化，并观察每次的响应情况，当观察到反应快、超调小的响应曲线则停止。

(2)整定积分环节如果在比例控制下稳态误差还不能满足指标的要求，则需加入积分控制[24]。先比例系数减小为原来的一半左右，然后将积分时间给定一个较大的值，然后观察响应曲线，同时减小积分时间，并相应的调节比例系数，直至得到较为满意的曲线则停止。

(3)整定微分环节前，先经过比例积分环节控制只能消除稳态误差，但动态误差还是没有忽略，加入微分控制形成PID 控制，将微分时间从零开始逐渐增大，并调节积分时间和比例系数，直至达到满意的曲线则为完美[25]。

仿真校正

倒立摆角度控制系统开环传递函数为：

)

4.29(3)(22-???

? ??++=

s s k k s k k s k s G d i d p d （4-4） 开环极点为：，0， 开环零点为：

d i

d p d p

k k k k k k 42-

???? ??+-，d i

d p d p k k k k k k 42

-???

? ??-- （4-5） PID 控制环节相当于给系统增加了一个位于原点的极点和两个可变的零点。系统共有三个极点、两个零点。本文倒立摆系统采用根轨迹法确定PID 参数。根据两个零点的相对位置，可以把根轨迹图分成如下九种：

图4-4 共轭零点均位于右半平面

图4-5 两个零点在正实轴且都在正极点的右侧

图4-6 两零点在正实轴，其一位于正极点右侧

图4-7 一个零点在正实轴，其一个位于负实轴

图4-8 共轭零点负实部介于负极点和原点间