数值分析试题及答案

数值分析试题

一、填空题（2 0×2′）

????-=?

?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。

2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，

f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，

‖AX ‖∞≤_15_ __。

4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该

迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。

5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。

6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公

式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。

7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n

i i x a 0)( 1 ；所以

当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使

20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。

9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收

敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。

12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残

差r i＝ (b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。13.在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)

的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f”(x0)>0 。

14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。

二、判断题（10×1′）

1、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × )

2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。

( ? )

3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式

则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × )

4、样条插值一种分段插值。 ( ? )

5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ? )

6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及

舍入误差。( ? )

7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × )

8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭

代计算的舍入误差。 ( × ) 9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断

误差＝舍入误差。 ( ? )

10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × )

三、计算题（5×10′）

1、用列主元高斯消元法解线性方程组。

解答：

（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：

21=1/5=,l

=2/5= 方程化为：

（,）最大元在第三行，交换第二与第三行：L32==,方程化为：

回代得：

???

??-===00010.1 99999.500005.33

21x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。

解答：做差商表

P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2) R4(x)=f(5)(?)/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)

3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。解答：

交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：

雅克比迭代公式： ??????

?=+-=-+=-+-=+-6

5 8 4 3 3 1

2431432321421x x x x x x x x x x x x

《计算机数学基础(2)》数值分析试题

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s (a 1?0)的绝对误差

?x *

－x ??( )．

(A) ×10 s －1－t (B) ×10 s －t (C) ×10s ＋1－t (D) ×10 s ＋t 2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．

(A) ????

?????

???------21001210012100

12， (B)?

???

????

???2100

141101410125 (C) ??

???????

???--2100

14121241

0125 (D) ??

???

???-513

114120141112

4 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )

(A) ???

??≤<+-≤≤+3210320123x x x x (B) ?????≤<+-≤≤+32103201232x x x x

24201

x x x x

4. 等距二点的求导公式是( )

(A) ???????-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h

x f

(B) ???

????

-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h

x f

????-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h

x f

(D)

5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么y p ,y c 分别为( )．

(A) ???+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B) ?????+=+=+),()

,(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y

,(1p k k c

k k k p y x hf y y y x hf y y

二、填空题(每小题3分，共15分) 6. 设近似值x 1,x 2满足?(x 1)=，?(x 2)=，那么?(x 1x 2)= ．

7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已

知)，k =0,1,2,…,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是．

8. 牛顿－科茨求积公式∑?=≈n

k k k b

a x f A x x f 0

)(d )(，则∑=n

k k A 0

＝ .

9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数?(x )满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．

10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ．三、计算题(每小题15分，共60分)

11. 用简单迭代法求线性方程组

的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数．

12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的

四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．

13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分?+3

12d 1x x ，计算过程保留

4位小数．

14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位

小数．四、证明题(本题10分)

15. 证明求常微分方程初值问题

在等距节点a =x 0

y (x k +1)?y k +1=y k +2

h [f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)]

其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1)

《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分)

1. A

2. B

3. A

4. B

5. D 二、填空题(每小题3分，共15分)

6. ?x 2?+?x 1?

7. 3次多项式

8. b －a 9. ???(x )??r <1 10. y k +)],(),([2

11+++k k k k y x f y x f h hf (x k ＋1,

1+k y ) ．

三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 写出迭代格式

X (0)=(0,0,0)T .

得到X (1)＝，3，3)T 得到X (2)=， 7， 0)T 得到X (3)= 4， 6， 6)T .

12. 计算均差列给出．

f (0,1,3,4,6)=

f (4, 1, 3)=6

13. f (x )=21x +,h =25.08

2=．分点x 0=，x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，x 5=，x 6=，x 7=，

x 8=.

函数值：f = 2，f = 8，f = 8，f = 6，f = 1，f = 2，f = 6，f = 2，f = 3．

))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分)

.0×[ 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2)]

=× 5+2× 3)= 1

14. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115．

因为f ?(x )=2x ，f ?(x )=2，f (10)f ?(10)=(100－115)×2<0，f (11)f ?(11)=(121

－115)×2>0

取x 0=11．

有迭代公式 x k +1=x k －)

()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115

221152

=--(k =0,1,2,…) x 1=11

2115

211?+

＝ 3

x 2=3727.102115

23727.10?+＝ 8 x 3=

723.102115

28723.10?+＝ 8

x *? 8

四、证明题(本题10分)

15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得

y (x k +1)－y (x k )=?

d ))(,(k k

x x x x y x f

用求积梯形公式，有

y (x k +1)－y (x k )=))](,())(,([2

11+++k k k k x y x f x y x f h

将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到

y (x k +1)?y k +1=y k +2

h [f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1)

数值分析期末试题

一、填空题（20102=?分）

（1)设????

??????---=283012251

A ，则=∞A ______13_______。

（2)对于方程组?

??=-=-34101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ???

???05.25.20。（3)3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的3

倍。

（4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是)

('1)

(1n n n n n x f x f x x x +--

=+。

（5）设1)(3-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。

（6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21Λ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n

i λ≤≤1max 。

（7）已知??

??=1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2--x x 改写为

)1ln(2++-x x 。

（9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。

（10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(313

∑==i i x f y 。

二、

（10分）证明：方程组???

??=-+=++=+-1

2112321

321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。

证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为

J B 的特征多项式为

J B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭代

法不收敛性。

三、（10分）定义内积

试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f =)(的最佳平方逼近元素)(x p 。解：1)(0≡x ?，x x ≡)(1?，

1),(1

00==

dx ??，2

),(1

01==

xdx ??，3

),(1

11==

dx x ??，3

2),(1

dx x f ?，5

2),(1

dx x x f ?。法方程

解得1540=

c ，15

1=c 。所求的最佳平方逼近元素为 x x p 15

154)(+=

，10≤≤x 四、（10分）给定数据表

试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:332210)(x c x c x c c x y +++=

?????

?????????----=84211111000111118421A ， ?????

??????=

130034003401034010001005A A T 法方程

的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式

误差平方和为000194.03=σ

五. (10分) 依据如下函数值表

建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。

解:先计算插值基函数

所求Lagrange 插值多项式为

1445411)(3)(23)(9)()()()(2332103

03+-+-

=+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。

据误差公式))()()((!

()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----=

ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计：

六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组

解设

由矩阵乘法可求出ij u 和ij l 解下三角方程组

有51=y ，32=y ，63=y ，44=y 。再解上三角方程组

得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x 。

七. (10分) 试用Simpson 公式计算积分的近似值, 并估计截断误差。

解：

截断误差为

八. (10分) 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求

10--<-k

k k x x x 。

解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。设

则 x x f 11)('-

=， 21

)(''x

x f = Newton 法迭代公式为

ln 1(112ln 1-+=

---

=+k k k k

k k k k x x x x x x x x ， Λ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s 。

九. (10分) 给定数表

求次数不高于5的多项式)(5x H ，使其满足条件其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i 。

解：先建立满足条件

)()(3i x f x p =， 3,2,1,0=i

的三次插值多项式)(3x p 。采用Newton 插值多项式

[][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+

再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ，由得解得36059-

=a ，360

161

=b 。故所求的插值多项式

第一章 1、在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==

第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞，试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。令4 ()f x x =，则

《数值分析》重点考察内容及各章作业答案学院：学号：姓名：

重点考察内容基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。第一章基础掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。了解：误差限，算法及要注意的问题。第二章插值掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。了解：Lagrange插值第三章数据拟合掌握：给出几个点求线性拟合曲线。了解：最小二乘原理第四章数值积分微分掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。了解：数值微分，积分余项第五章直接法掌握：LU分解求线性方程组，运算量了解：Gauss消去法，LDL，追赶法第六章迭代法掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径了解：SOR迭代第七章Nolinear迭代法掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。了解：二分法，弦截法第八章ODE解法掌握：Euler公式构造、收敛阶。了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式题目类型：填空，计算，证明综合题

第一章误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。（1）（2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取

第四章数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。（2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析第8章数值积分与数值微分 8.1 填空题（1）n+1个点的插值型数值积分公式∫f(x)dx b a ≈∑A j n j=0f(x j )的代数精度至少是 n ，最高不超过 2n+1 。【注：第1空，见定理8.1】（2）梯形公式有 1 次代数精度，Simpson 公司有 3 次代数精度。【注：分别见定理8.1,8.3】（3）求积公式∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+ah 2[f ′(0)?f ′(h)]中的参数a= 1/12 时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为 3 。解：令f(x)=1,x,x 2带入有， { h 2[1+1]+ah 2[0?0]=h h 2[0+h ]+ah 2[1?1]=12 (h 2)h 2[0+h 2]+ah 2[0?2h ]=13 (h 3) //注：x 的导数=1 解之得，a=1/12，此时求积公式至少具有2次代数精度。 ∴ 积分公式为：∫f(x)dx h 0≈h 2[f (0)+f (h )]+h 2 12[f ′(0)?f ′(h)] 令 f(x)= x 3带入求积公式有：h 2 [0 +h 3]+ h 212 [0?3h 2]=14 (h 4)，与f(x)= x 4的定积分计算值1 4 (h 4)相等，所以，此求积公式至少具有3次代数精度。令f(x)= x 4带入求积公式有，h 2[0+h 4]+h 2 12[0?4h 3]=1 6(h 5)，与f(x)= x 5的定积分计算值1 5(h 5)不相等，所以，此求积公式的最高代数精度为3次代数精度。 8.2 确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度。解题思路：按照P149 中8.3式进行求解，根据求积公式中未知量n 的数量决定代入多少f(x)，当积分公式代入求积节点x n 的计算结果与定积分的计算结果一致，继续代入求积节点X n+1,，若计算结果与对应的定积分计算结果不一致时，求积公式拥有最高n 次的代数精度。（1）∫f(x)dx 2h 0≈A 0f (0)+A 1f (h )+A 2f(2h) 解：令f(x)=1,x,x 2代入有,【注：本例中需求解A 0、A 1、A 2共3个未知量，故需3个相异求积节点f(x)】 {A 0+A 1+A 2=2h A 1h +A 22h =1 2(2h )2A 1h 2+A 2(2h )2=1 3(2h )3 求解得A 0=13h ，A 1=43h ，A 2=1 3h ， ∴求积公式为：∫f(x)dx 2h 0≈13hf (0)+43hf (h )+1 3 hf(2h) ∵该求积公式对3个相异节点1,x,x 2均有余项E (f )=0， //注：参见P149定理8.1 ∴该求积公式至少具有2次代数精度。令f(x)= x 3，代入求积公式有：4 3hh 3+1 3h (2h )3=4h 4 ∵函数f(x) = x 3的定积分结果为：∫x 3dx 2h 0=1 4(2h )4=4h 4 ，与求积公式计算值相等， ∴该求积公式具有3次代数精度。

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

数值分析第四版习题及答案

使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

()()()()()()()()()收敛较慢代入上式得：将解：收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解：位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ

500 .0105.0102.0||3412≈*?

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数

字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.

第二章习题解答 1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。 (2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。 -1 设A是nXn的正交矩阵。证明A也是nXn的正交矩阵。证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n n a ij 0(i j ), b ij 0(i j) n C AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j) k1 上三角阵对矩阵乘法封闭。以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n n AA T A T A E,BB T B T B E (AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB E AB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。 (2) A是nXn的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =A A-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。 A非奇异.A可逆且A-1非奇异又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵设 A 是单位上(下)三角阵。证A-1也是单位上(下)三角阵。 -1 证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xn n 由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1) j1 故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j) 类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j) 即A-1是单位上三角阵综上所述可得。F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解系。 1 21 41 A= 0 11 00

第八章习题解答 3、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =产生的迭代序列{}0k k x ∞=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当20M λ<<时，均收敛于方程的根。证明：设()()x x f x ?λ=-，可知()x ?在(,)-∞∞上可导对于任意给定的λ值，满足条件'0()m f x M <≤≤时（1）''()1()x f x ?λ=- 则1'()11M x m λ?λ-≤≤-< 又20M λ<<，M>0 则02M λ<<时，11M λ-<- 所以11'()11M x m λ?λ-<-≤≤-< 若令max{1,1}L M m λλ=--，则可知'()1x L ?≤< （2）由0()(0)'()(0)'()x x x dx x ?????ε=+=+? 则()lim 1x x L x ?→∞??≤< ??? 所以，存在一个数a ，当x a >时，()x x ?< 同时，()x ?在[,]a a -内有界，即存在0b >使得[,]x a a ?∈-，()x b ?< 我们选取 max{,}c a b =，则对任意x 有0()max{,}x c x ?< 则对给定的任意初值0x ，设0max{,}d c x = 则0[,]x d d ∈-，于是在区间[,]d d -上有()x d ?< 即满足映内性有（1）、（2）可知，()x ?满足收敛定理迭代序列0{}k k x ∞=收敛于方程的根 6. 给出计算...222+++=x 的迭代格式，讨论迭代格式的收敛性，并证明2=x 解：构造迭代格式10,1,2,k x k +==??? 2k x ≤ 令()x ?=x ?∈?时，()x ??∈? '() x ?=，当x ?∈?时，1 '()12x ?<<

第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式： 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 150 1511751350656304 .(.)(..).R -= -=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑

第八章习题解答 1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式： ①2 11x x =+ ；②x = x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。解：①令121()1x x ?=+ ，则'132()x x ?=-，' 13 2(1.5)0.592611.5?=≈<，故迭代收敛； ②令2()x ?=2' 2 32 2()(1)3 x x x ?-=+，'2(1.5)0.45581?≈<，故迭代收敛； ③令3()x ?= '3()x ?=，' 3(1.5) 1.41421?≈>，故迭代发散。以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。证明：设()()x x f x ?λ=-，则''()1()x f x ?λ=-，故'1()1M x m λ?λ-<<-，进而可知，当2 0M λ<< 时，'1()1x ?-<<，即'()1x ?<，从而由压缩映像定理可知结论成立。 3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根 cos 0x x -= 取初值010.5,4 x x π == ，比较计算结果。解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =；割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =；比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。 4、用嵌套算法求下列方程的根 ①32250 (1,4)x x x --=∈，取初值0 2.5x =； ②3210x x x ---=,求方程的正根，取初值0 1.5x =。解：①依代数方程求根的嵌套算法 ()0 1() (0,1,2,) k k k k b x x k c +=-= 其中()() 00 k k b c 与分别由 1(1,2,,1,0) n n i i k i b a b a x b i n n +=?? =+=--?

数值分析习题集（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）长沙理工大学第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令证明是n次多项式,它的根是,且 .

2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误

第四章习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010；（2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010；（3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ；（4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。（2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-，故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? -

第一章绪论设x>0,x 的相对误差为｛，求Inx 的误差. 设x 的相对误差为2%,求x"的相对误差. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字： X ； = 1.1021, Xo = 0.031,%3 = 385.6, x ； = 56.430, x ； = 7x1.0. 利用公式(3.3)求下列各近直的误差限：计算到Zoo .若取^783 ^27. 982 (五位有效数字),试问计算乙。。将有多大误差？求方程 X 2-56X + 1 = 0的两个根，使它至少具有四位有效数字(^783 ~27. 982). 当川充分大时，怎样求加1 + f ? 正方形的边长大约为100 cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1 cm? ? 设 2 假定&是准确的，而对r 的测量有±0.1秒的误差，证明当打曾加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 序列｝满足递推关系儿=1°儿-一1 (n=l, 2,…)，若％ =血心141 (三位有效数字), 计算到 X 。时误差有多大?这个计算过程稳定吗？计算/ = (V2-1)6；取迈心1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？ /?(x) = ln(x -二I),求并30)的值.若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(%_ Jx 2 -1) = _ln(x + yjx 2 +1) 计算.求对数时误差有多大？ (x 1+101°^2=1010; 已知三角形面积 2 其中c 为弧度， 2，且测量a ,b ,c 的误差分别为 △a,血Ac.证明面积的误差Av 满足 S = -gt 试用消元法解方程组假定只用三位数计算，问结果是否可靠 ? 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 设人=28,按递推公式