线性代数-课后答案(第四章)
第四章 向量组的线性相关性
1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.
解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T .
3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T
=(0, 1, 2)T .
2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .
解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得
)523(6
1321a a a a -+=
])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[6
1T T T --+=
=(1, 2, 3, 4)T .
3. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;
B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示.
证明 由
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
?????
??-=3121
23111012421301
402230) ,(B A ????
? ??-------971820751610
402230421301
~r ?????
?
?------5314
00251552000751610
4213
01 ~r
????
? ??-----000000531400
751610421301
~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
由
????
? ??-????? ??---????? ??-=000000
110
201
110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R (B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.
4. 已知向量组
A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;
B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价.
证明 由
???
? ??-???? ??-???? ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,
知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又
R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.
w
w
w
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h d
a w
.c
o m
5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也
线性无关. 又由R (a 1, a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由
a 2, a 3线性表示.
(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾.
因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.
6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为 ???? ??-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A ,
所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为 022*******
12||≠=-=B ,
所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.
7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T .
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由
)1)(1(11111
1||+-=--=a a a a
a a A
知, 当a =-1、0、1时, R (A )<3, 此时向量组线性相关. 8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1, a 2
线性表示的表示式. 解 因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2
使
λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,
由此得 2
211
121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,
设2
11
λλλ+-
=c , 则 b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .
9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.
解 不一定.
例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有
a 1+
b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.
10. 举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
a m 线性表示.
解 设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.
(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使
λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0
成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关.
解 有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使 λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,
原式可化为
λ1(a 1+b 1)+ ? ? ? +λm (a m +b m )=0.
取a 1=e 1=-b 1, a 2=e 2=-b 2, ? ? ?, a m =e m =-b m , 其中e 1, e 2, ? ? ?, e m 为单位坐标向量, 则上式成立, 而a 1, a 2, ? ? ?, a m 和b 1, b 2, ? ? ?, b m 均线性无关.
(3)若只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为0时, 等式
λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0
才能成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性无关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性无关.
解 由于只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为0时, 等式
由λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0
成立, 所以只有当λ1, λ2, ? ? ?, λm 全为0时, 等式
λ1(a 1+b 1)+λ2(a 2+b 2)+ ? ? ? +λm (a m +b m )=0
成立. 因此a 1+b 1, a 2+b 2, ? ? ?, a m +b m 线性无关.
取a 1=a 2= ? ? ? =a m =0, 取b 1, ? ? ?, b m 为线性无关组, 则它们满
足以上条件, 但a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关.
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
(4)若a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关, 则有不全为0的数, λ1, λ2, ? ? ?, λm 使
λ1a 1+ ? ? ? +λm a m =0, λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0
同时成立.
解 a 1=(1, 0)T , a 2=(2, 0)T , b 1=(0, 3)T , b 2=(0, 4)T ,
λ1a 1+λ2a 2 =0?λ1=-2λ2, λ1b 1+λ2b 2 =0?λ1=-(3/4)λ2,
?λ1=λ2=0, 与题设矛盾.
11. 设b 1=a 1+a 2, b 2=a 2+a 3, b 3=a 3+a 4, b 4=a 4+a 1, 证明向量组
b 1, b 2, b 3, b 4线性相关. 证明 由已知条件得 a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3
=b 1-b 2+b 3-a 4
=b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,
这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.
12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1,
a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组
b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明 已知的r 个等式可以写成
????
?
?
?????????????????????????=???100110
111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.
13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组: (1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解 由
?
??
?? ??-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a ,
知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线
性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.
(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).
解 由
????
?
??--????? ??------?????
?
?------=000
000
590
141
10180590590141763451312
141) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1T , a 2T , a 3T )=R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成
比例, 故a 1T , a 2T 线性无关, 所以a 1T , a 2T 是一个最大无关组.
14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无
关组:
(1); ????
?
?
?48203225134549475132539475
431731
25
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
解 因为
????? ?
?4820
322513454947513253947543173125
13143~r r r r --123r r -34r
r -132r
r -23r
r +????? ?
?53
105310
32104317
3125
23~r r -????
? ?
?00
003100
32104317
3125, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2). ????
?
?
?---14
0113130215120
12211
解 因为
????? ??---14
01131302151201221114~r r -????? ?
?------22
2
015120
151201221
143~r r ?????
? ?
?---000
0022200
1512012211, 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
15. 设向量组
(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T
的秩为2, 求a , b .
解 设a 1=(a , 3, 1)T , a 2=(2, b , 3)T , a 3=(1, 2, 1)T , a 4=(2, 3, 1)T . 因为
???
? ??----???? ??---???? ??=52001110311161101110311
131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a ,
而R (a 1, a 2, a 3, a 4)=2, 所以a =2, b =5.
w
w
w
.k
h d
a w
.c
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16. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 已知n 维单位坐标向量e 1, e 2,? ? ?, e n 能由它们线性表示, 证明a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关. 证法一 记A =(a 1, a 2, ? ? ?, a n ), E =(e 1, e 2,? ? ?, e n ). 由已知条
件知, 存在矩阵K , 使
E =AK .
两边取行列式, 得
|E |=|A ||K |.
可见|A |≠0, 所以R (A )=n , 从而a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.
证法二 因为e 1, e 2,? ? ?, e n 能由a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性表示, 所以
R (e 1, e 2,? ? ?, e n )≤R (a 1, a 2, ? ? ?, a n ),
而R (e 1, e 2,? ? ?, e n )=n , R (a 1, a 2, ? ? ?, a n )≤n , 所以R (a 1, a 2, ? ? ?,
a n )=n , 从而a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.
17. 设a 1, a 2, ? ? ?, a n 是一组n 维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n 维向量都可由它们线性表示.
证明 必要性: 设a 为任一n 维向量. 因为a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性
无关, 而a 1, a 2, ? ? ?, a n , a 是n +1个n 维向量, 是线性相关的, 所以
a 能由a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性表示, 且表示式是唯一的.
充分性: 已知任一n 维向量都可由a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性表示,
故单位坐标向量组e 1, e 2, ? ? ?, e n 能由a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性表示, 于
是有
n =R (e 1, e 2, ? ? ?, e n )≤R (a 1, a 2, ? ? ?, a n )≤n ,
即R (a 1, a 2, ? ? ?, a n )=n , 所以a 1, a 2, ? ? ?, a n 线性无关.
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
18. 设向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 且a 1≠0, 证明存在某个向量a k (2≤k ≤m ), 使a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.
证明 因为a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 所以存在不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm , 使
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λm a m =0,
而且λ2, λ3,? ? ?, λm 不全为零. 这是因为, 如若不然, 则λ1a 1=0, 由a 1≠0知λ1=0, 矛盾. 因此存在k (2≤k ≤m ), 使
λk ≠0, λk +1=λk +2= ? ? ? =λm =0,
于是
λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk a k =0,
a k =-(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+ ? ? ? +λk -1a k -1),
即a k 能由a 1, a 2, ? ? ?, a k -1线性表示.
19. 设向量组B : b 1, ? ? ?, b r 能由向量组A : a 1, ? ? ?, a s 线性表示为
(b 1, ? ? ?, b r )=(a 1, ? ? ?, a s )K , 其中K 为s ?r 矩阵, 且A 组线性无关.
证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .
证明 令B =(b 1, ? ? ?, b r ), A =(a 1, ? ? ?, a s ), 则有B =AK .
必要性: 设向量组B 线性无关.
由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质, 有 r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ), R (K )}≤R (K ), 及 R (K )≤min{r , s }≤r .
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
因此R (K )=r .
充分性: 因为R (K )=r , 所以存在可逆矩阵C , 使为K 的标准形. 于是
?
?
?
??=O E KC r (b 1, ? ? ?, b r )C =( a 1, ? ? ?, a s )KC =(a 1, ? ? ?, a r ). 因为C 可逆, 所以R (b 1, ? ? ?, b r )=R (a 1, ? ? ?, a r )=r , 从而b 1, ? ? ?, b r 线性无关.
20. 设
?????+???+++=?????????????????????+???++=+???++=-1
321312321 n n n
n ααααβαααβαααβ, 证明向量组α1, α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
证明 将已知关系写成
?????
? ?
???????????????????????????????=???01111011
1101
111
0) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ, 将上式记为B =AK . 因为
0)1()1(0
1111011
1
1011110
||1≠--=?
??????????????????????????=-n K n , 所以K 可逆, 故有A =BK -1. 由B =AK 和A =BK -1可知向量组α1, α2,
? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 可相互线性表示. 因此向量组α1,
w
w
w
.k h d
a w
.c o m
α2, ? ? ?, αn 与向量组β1, β2, ? ? ?, βn 等价.
21. 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x -A 2x , 且向量组x , A x , A 2x 线性无关.
(1)记P =(x , A x , A 2x ), 求3阶矩阵B , 使AP =PB ;
解 因为
AP =A (x , A x , A 2x ) =(A x , A 2x , A 3x ) =(A x , A 2x , 3A x -A 2x ) ???
?
??-=110301000) , ,(2
x x x A A ,
所以???
?
??-=110301000B .
(2)求|A |.
解 由A 3x =3A x -A 2x , 得A (3x -A x -A 2x )=0. 因为x , A x , A 2x 线性无关, 故3x -A x -A 2x ≠0, 即方程A x =0有非零解, 所以R (A )<3,
|A |=0.
22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=-++=-++=++-0
268305420
2108432143214321x x x x x x x x x x x x ;
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有 ???? ??--???? ??---=00
004/14/31004
01 2683154221081~r A ,
于是得
w
w
w
.k
h d
a w
.c
o m
???+=-=4
323
1)4/1()4/3(4x x x x x .
取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .
因此方程组的基础解系为 ξ1=(-16, 3, 4, 0)T , ξ2=(0, 1, 0, 4)T .
(2)?????=-++=-++=+--0
3678024530232432143214321
x x x x x x x x x x x x .
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
????
??--???? ??----=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A ,
于是得
???+-=+-=4
324
31)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x .
取(x 3, x 4)T =(19, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-2, 14)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 19)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 7)T . 因此方程组的基础解系为
ξ1=(-2, 14, 19, 0)T , ξ2=(1, 7, 0, 19)T .
(3)nx 1 +(n -1)x 2+ ? ? ? +2x n -1+x n =0.
解 原方程组即为
x n =-nx 1-(n -1)x 2- ? ? ? -2x n -1.
取x 1=1, x 2=x 3= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-n ;
取x 2=1, x 1=x 3=x 4= ? ? ? =x n -1=0, 得x n =-(n -1)=-n +1;
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
? ? ? ;
取x n -1=1, x 1=x 2= ? ? ? =x n -2=0, 得x n =-2. 因此方程组的基础解系为 ξ1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0, -n )T ,
ξ2=(0, 1, 0, ? ? ?, 0, -n +1)T , ? ? ?,
ξn -1=(0, 0, 0, ? ? ?, 1, -2)T .
23. 设?
?? ?
?--=82593122A , 求一个4?2矩阵B , 使AB =0, 且 R (B )=2. 解 显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解. 因为
, ??? ??---??? ??--=8/118/5108/18/101 82593122~r
A 所以与方程组A
B =0同解方程组为
.
???+=-=4
324
31)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3, x 4)T =(8, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(1, 5)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 8)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 11)T . 方程组AB =0的基础解系为
ξ1=(1, 5, 8, 0)T , ξ2=(-1, 11, 0, 8)T . 因此所求矩阵为. ????
?
?
?-=8008115
11
B w
w
w
.k
h d
a w
.c
o m
24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
ξ1=(0, 1, 2, 3)T , ξ2=(3, 2, 1, 0)T .
解 显然原方程组的通解为
????? ??+????
? ??=????? ??0123321021432
1k k x x x x , 即, (k ?????=+=+==142
132********k x k k x k k x k x 1, k 2∈R ),
消去k 1, k 2得
???=+-=+-0230324
31421x x x x x x , 此即所求的齐次线性方程组.
25. 设四元齐次线性方程组
I : , II :
???=-=+00
4
221x x x x ???=+-=+-004
32321x x x x x x . 求: (1)方程I 与II 的基础解系; (2) I 与II 的公共解.
解 (1)由方程I 得.
???=-=4
24
1x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 0)T ;
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, 1)T . 因此方程I 的基础解系为
ξ1=(0, 0, 1, 0)T , ξ2=(-1, 1, 0, 1)T . 由方程II 得.
???-=-=4
324
1x x x x x 取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T ;
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
取(x 3, x 4)T =(0, 1)T , 得(x 1, x 2)T =(-1, -1)T . 因此方程II 的基础解系为
ξ1=(0, 1, 1, 0)T , ξ2=(-1, -1, 0, 1)T . (2) I 与II 的公共解就是方程
III : ?????=+-=+-=-=+000
04
323214221x x x x x x x x x x
的解. 因为方程组III 的系数矩阵
, ????
? ??--?????
?
?---=000
2100
10101001 11
1001111010
0011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为
?????==-=4
3424
12x x x x x x .
取x 4=1, 得(x 1, x 2, x 3)T =(-1, 1, 2)T , 方程组III 的基础解系为
ξ=(-1, 1, 2, 1)T . 因此I 与II 的公共解为x =c (-1, 1, 2, 1)T , c ∈R .
26. 设n 阶矩阵A 满足A 2=A , E 为n 阶单位矩阵, 证明
R (A )+R (A -E )=n .
证明 因为A (A -E )=A 2-A =A -A =0, 所以R (A )+R (A -E )≤n . 又R (A -E )=R (E -A ), 可知
R (A )+R (A -E )=R (A )+R (E -A )≥R (A +E -A )=R (E )=n ,
由此R (A )+R (A -E )=n .
w
w
w
.k
h d
a w
.c o m
27. 设A 为n 阶矩阵(n ≥2), A *为A 的伴随阵, 证明
???
??-≤-===2
)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当.
证明 当R (A )=n 时, |A |≠0, 故有 |AA *|=||A |E |=|A |≠0, |A *|≠0, 所以R (A *)=n .
当R (A )=n -1时, |A |=0, 故有 AA *=|A |E =0,
即A *的列向量都是方程组A x =0的解. 因为R (A )=n -1, 所以方
程组A x =0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R (A *)=1.
当R (A )≤n -2时, A 中每个元素的代数余子式都为0, 故
A *=O , 从而R (A *)=0. 28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
(1)?????=+++=+++=+3
22351225
4321432121x x x x x x x x x x ;
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
?
??--???? ??=2100013011080101 322351211250011~r B . 与所给方程组同解的方程为
?????=+=--=2
13 8
43231x x x x x . w
w
w
.k
h d
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.c o m
当x 3=0时, 得所给方程组的一个解η=(-8, 13, 0, 2)T . 与对应的齐次方程组同解的方程为
?????==-=0
43231x x x x x . 当x 3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(-1, 1, 1, 0)T .
(2)?????-=+++-=-++=-+-6
242163511
325432143214321x x x x x x x x x x x x .
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
???
?
??---???? ??-----=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B .
与所给方程组同解的方程为
???--=++-=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(4
32431x x x x x x .
当x 3=x 4=0时, 得所给方程组的一个解 η=(1, -2, 0, 0)T .
与对应的齐次方程组同解的方程为
???-=+-=4
32431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x . 分别取(x 3, x 4)T =(1, 0)T , (0, 1)T , 得对应的齐次方程组的基础
解系
ξ1=(-9, 1, 7, 0)T . ξ2=(1, -1, 0, 2)T .
w
w
w
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h d
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29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知
η1, η2, η3是它的三个解向量. 且
η1=(2, 3, 4, 5)T , η2+η3=(1, 2, 3, 4)T ,
求该方程组的通解.
解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于η1, η2, η3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质
得
2η1-(η2+η3)=(η1-η2)+(η1-η3)= (3, 4, 5, 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x =k (3, 4, 5, 6)T +(2, 3, 4, 5)T , (k ∈R ).
30. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;
(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一;
(3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求
一般表示式.
解 ???? ?
?---=11054211121) , , ,(123βαb a a a ?
??? ??-+++---βαβαα
34001110121 ~r .
(1)当α=-4, β≠0时, R (A )≠R (A , b ), 此时向量b 不能由向量组A 线性表示.
(2)当α≠-4时, R (A )=R (A , b )=3, 此时向量组a 1, a 2, a 3线性无
关, 而向量组a 1, a 2, a 3, b 线性相关, 故向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一.
w
w
w
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(3)当α=-4, β=0时, R (A )=R (A , b )=2, 此时向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一. 当α=-4, β=0时,
???? ??----=1105402111421) , , ,(123b a a a ???
?
??--000013101201 ~r ,
方程组(a 3, a 2, a 1)x =b 的解为
, c ∈R .
?
???
?
?--+=???? ??-+???? ??-=???? ??c c c c x x x 1312011132321因此 b =(2c +1)a 3+(-3c -1)a 2+c a 1,
即 b = c a 1+(-3c -1)a 2+(2c +1)a 3, c ∈R .
31. 设a =(a 1, a 2, a 3)T , b =(b 1, b 2, b 3)T , c =(c 1, c 2, c 3)T , 证明三直线
l 1: a 1x +b 1y +c 1=0,
l 2: a 2x +b 2y +c 2=0, (a i 2+b i 2≠0, i =1, 2, 3) l 3: a 3x +b 3y +c 3=0,
相交于一点的充分必要条件为: 向量组a , b 线性无关, 且向量
组a , b , c 线性相关.
证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
?????=++=++=++0
00
333222111c y b x a c y b x a c y b x a , 即?????-=+-=+-=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a
有唯一解. 上述方程组可写为x a +y b =-c . 因此三直线相交于一
w
w
w
.k
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线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社
线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L
线性代数第五章(答案)
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数第五章 课后习题及解答
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲
第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的
值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数第四版答案
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
线性代数课后习题答案全)习题详解
线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=
2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.
线性代数第五章答案
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
线性代数第四版同济大学课后习题答案04
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
线性代数课后习题答案
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---
线性代数第五章作业参考答案(唐明)
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
同济大学线性代数第五版课后习题答案
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
昆明理工大学 线性代数 第4章 习题册答案
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
线性代数课后习题答案分析
线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0
线性代数课后习题答案(陈维新)
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
线性代数习题及答案4
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案
第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、
(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;
解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
线性代数第四章习题答案
习题四答案 (A) 1． 求下列矩阵的特征值与特征向量: (1) ???? ??--3113 (2) ???? ? ??---122212221 (3) ????? ??----020212022 (4) ???? ? ??--201034011 (5) ????? ??--011102124 (6)???? ? ??----533242 111 解 （1）矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(2(3113 --=--λλλλ， 所以A 的特征值为4,221==λλ． 对于21=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )2(O ，可得它的一个基础解系为)1,1(1=αT ，所以A 的属于特征值2的全部特征向量为)1,1(111k k =αT (01≠k 为任意常数)． 对于42=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )4(O ，可得它的一个基础解 系为)1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值4的全部特征向量为)1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． （2）矩阵A 的特征多项式为
=-A E λ)3)(1)(1(1 22212 2 21--+=------λλλλλλ， 所以A 的特征值为11-=λ，12=λ，33=λ． 对于11-=λ，解对应齐次线性方程组=--X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)0,1,1(1-=αT ，所以A 的属于特征值-1的全部特征向量为)0,1,1(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)． 对于12=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,1(2-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)1,1,1(222-=k k αT (02≠k 为任意常数)． 对于33=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )3(O ，可得它的一个基础解系为)1,1,0(3-=αT ，所以A 的属于特征值3的全部特征向量为)1,1,0(333-=k k αT (03≠k 为任意常数)． (3) 矩阵A 的特征多项式为 =-A E λ)4)(1)(2(20212 22--+=--λλλλ λλ， 所以A 的特征值为11=λ，42=λ，23-=λ． 对于11=λ，解对应齐次线性方程组=-X A E )(O ，可得它的一个基础解系为)2,1,2(1-=αT ，所以A 的属于特征值1的全部特征向量为)2,1,2(111-=k k αT (01≠k 为任意常数)．