三铰拱在填土压力作用下的合理拱轴线
三铰拱在填土压力作用下的合理拱轴线
1.三铰拱合理拱轴线定义：
当拱的压力线与拱的轴线重合时，各界面形心到合力作用线为零，则各截面弯矩为零，从而各截面剪力也为零，仅受轴力作用，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。
2.确定拱轴线的意义：
了解合理拱轴线这个概念，有助于设计中选择拱轴的合理形式，材料使用最经济，更好地发挥人的主观能动性。
3.三铰拱合理拱轴线方程：
0()()H M x y x F =
4.例（填土压力下的三铰拱合理拱轴线）：
设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 γ，拱所受的竖向分布荷载为c
q q y γ=+。
（如下图）
由题目可知，该填土压力并非均匀分配，而是一个关于y 的函数，y 是关于x 的函数。因此，合理拱轴线方程中的0
()M
x 的求解较为麻烦。虽然不易直接求解0()M x ，但其对
x 的二
次导数是很明显的，即()q x -。想要将0
()M x
的二阶导数运用到合理拱轴线方程中，则对
x
q C
q C
方程两边二阶导： 代入： 求得：
式中规定y 轴向上为正，则：
将()c
q x q y γ=+代入上式：
此方程的解可用双曲线形式来表示：
两个常数A 、B 可由如下边界条件求出： 在x=0处，y=0：
在x=0处，
0y x
d d =：
0B =
则最终结果：
可知，在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一条悬链线。
20
2H
22d d 1d d x M F x y ?=)(d d 202x q x M -=H
22
)(d d F x q x y -
=H 2
2)
(d d F x q x
y =H 22
d d F q y H x y C =-γγ
γ
γ
C
q x F B x F A y -
+=H
H
sh
ch
γC q A =???
? ??-=1ch H x F q y C γγ
长沙理工大学结构力学期末考试题库与答案—第三章 静定拱(三铰拱)
第三章 静定拱 一、判断题 1．图 示 拱 在 荷 载 作 用 下 , 为 30kN 。（ ） N DE 2．图 示 拱 的 推 力 H 为 30KN 。（ ） 2m 6m 6m 2m q 3．图 示 拱 在 荷 载 作 用 下 ， 为 4P /3 ( 拉 )。 （ ） N DE 二、选择题 4．三 铰 拱 在 径 向 沿 拱 轴 均 布 荷 载 作 用 下 合 理 拱 轴 线 是 ： （ ） A 抛 物 线 ； B 悬 链 线 ； C 圆 弧 线 ; D 椭 圆 线 。 Ｘ ＸＯＯＣ
5．三 铰 拱 在 竖 向 满 跨 均 布 荷 载 作 用 下 合 理 拱 轴 线 是 ： ( ) A . 圆 弧 线 ; B. 抛 物 线 ； C. 悬 链 线 ； D. 椭 圆 线 。 6．图 示 圆 弧 三 铰 拱 在 静 水 压 力q 作 用 下 截 面 K 的 内 力 为 ： （ ） A. 不 等 于 0 ， = 0 ， 不 等 于 0 ； M K K K K K K Q N B. = 0， 不 等 于 0， 不 等 于 0 ； M K Q K N K C. 不 等 于 0 ，Q 不 等 于 0， 不 等 于 0 ； M K K N K D. = 0 ， = 0 ， = －qr （ 压 ）。 M Q N q 7．图 示 半 圆 拱 ，r = 12m ，H A 为 ：（ ） A. 1.732／12； B. 1.732／ 4； C. 1／ 8； D. － 1 ／ 8。 8．图 示 结 构 ( 拉 ) 为 ：（ ） N DE A. 70kN ; B. 80kN ; C. 75kN ; D. 64kN 。 ＢＤＡＢ
第四章 三铰拱习题解
4-1 设三铰拱的为拱轴线方程为2 4()f y x l x l =-，拱的尺寸及承受的荷载如图所示。试求支反力及D 、E 截面的内力。 A H A 题4-1 (b) Y A =35kN o 解：（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力 000535120A B C Y Y M ===?kN ,kN ,kN m 故，0 0120 535304 C A A B B A B M Y Y Y Y H H f ========kN ,kN ,kN 00005420(,5480100(,5DA DC DA DC M M V V =?=?=?+=?==kN m)kN m)kN 0000354140(,35,5EB EC EB EC M M V V ==?=?=-=kN m)kN kN (2)计算D 、E 截面的内力 因为拱轴线方程为24()f y x l x l =-， 故，24(2)tan f y l x l ?'= -=，cos ,sin cos y ???'== ①计算D 截面的内力 2 44 4(164)3(16D y ?= ??-=m) 2441 (1624)tan 162D D y ??'=-?== 1cos ,sin cos 2D D D y ???'= ====。故，
2030370(, 10030310( cos sin5 sin cos5 DA DA D DC DC D DA DC DA D D DA DC DA D D M M Hy M M Hy V V V H N N V H ?? ?? =-=-?=-? =-=-?=? ==-= ==--=- kN m) kN m) 30==-8.94(kN) 30==-29.07(kN)②计算E截面的内力 2 44 12(1612)3( 16 D y ? =??-=m) 2 441 (16212)tan 162 E E y? ? '=-?=-= 1 cos,sin cos 2 E D D y ??? ' =====-= 14030350(, cos sin35( cos sin5( sin cos(35)( sin EB EC EB E EB EB E E EC EC E E EB EB E E EC EC E M M M Hy V V H V V H N V H N V H ?? ?? ?? ? ==-=-?=? =-=-? =-=? =--=--? =-- kN m) -30-17.89(kN) 30=17.89(kN) 30= -42.49(kN) cos5( E ?=-?30=-24.60(kN) 4-2 如图所示半圆弧三铰拱，左半跨承受水平竖向荷载。试求K截面的内力。 A H A A =10kN 10kN/m 10kN/m H A 题4-2 (b) (a) (c) 解：（1）画出三铰拱的等代梁，求三铰拱的约束反力
结构力学 第四章 作业参考答案
结构力学 第四章习题 参考答案 2005级 4－1 图示抛物线拱的轴线方程24(f y x l l = ?)x ，试求截面K 的内力。 解：（1） 求支座反力 8011 55 kN 16 AV AV F F ×== = 0 805 (5580)0.351500.93625 kN 16 BV BV F F ×==?×+×= = 0Mc 55880350 kN 4 H F f ×?×=== （2） 把及代入拱轴方程有: 16m l =4m f =(16)16 x y =?x （1） 由此可得: (8) tan '8 x y θ?== （2） 把截面K 的横坐标 ,代入（1），（2）两式可求得: 5m x ==＞, 3.44m y =tan 0.375θ= 由此可得: 20.56θ= 则有sin 0.351θ=,cos 0.936θ= 最后得出截面k 处的内力为: (上标L 表示截面K 在作用力左边，R 则表示截面在作用力右边)
055550 3.44103 kN m K H M M F y =?=×?×=i 0cos sin 550.936500.35133.93 kN L sK s H F F F θθ=?=×?×= (5580)0.936500.35140.95 kN R sK F =?×?×==40.95 KN 0sin cos 550.351500.93666.1 kN L NK s H F F F θθ=+=×+×= (5580)0.351500.93638.03 kN R NK F =?×+×= 4 －2 试求拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。 解：（1）以水平方向为X 轴, 竖直方向为Y 轴取直角坐标系，可得K 点的坐标为： 2m 6m K K x y =???==?? （2）三铰拱整体分别对A ，B 两点取矩，由平衡方程可解得支座反力： 0 20210500 2021050 0 2100A By B Ay x Ax M F M F F F ?=×?××?? =×+××?? =?×=?? ∑∑∑=== =＞ 5 kN ()20 kN () 5 kN ()Ay Ax By F F F =???=???=?向下向上向左（3）把拱的右半部分隔离，对中间铰取矩，列平衡方程可求得横拉杆轴力为： C N 0 105100M F =×?×∑ =＞ N 5 kN F =（4）去如图所示的α角，则有： =＞ cos 0.6sin 0.8θθ=??=? 于是可得出K 截面的内力，其中： 2 2(6)206525644 kN m 2 K M ×=?+×?×?×=i
三铰拱在填土压力作用下的合理拱轴线
三铰拱在填土压力作用下的合理拱轴线 1.三铰拱合理拱轴线定义： 当拱的压力线与拱的轴线重合时，各界面形心到合力作用线为零，则各截面弯矩为零，从而各截面剪力也为零，仅受轴力作用，正应力沿截面均匀分布，拱处于无弯矩状态。 2.确定拱轴线的意义： 了解合理拱轴线这个概念，有助于设计中选择拱轴的合理形式，材料使用最经济，更好地发挥人的主观能动性。 3.三铰拱合理拱轴线方程： 0()()H M x y x F = 4.例（填土压力下的三铰拱合理拱轴线）： 设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为 γ，拱所受的竖向分布荷载为c q q y γ=+。 （如下图） 由题目可知，该填土压力并非均匀分配，而是一个关于y 的函数，y 是关于x 的函数。因此，合理拱轴线方程中的0 ()M x 的求解较为麻烦。虽然不易直接求解0()M x ，但其对 x 的二 次导数是很明显的，即()q x -。想要将0 ()M x 的二阶导数运用到合理拱轴线方程中，则对 x q C q C
方程两边二阶导： 代入： 求得： 式中规定y 轴向上为正，则： 将()c q x q y γ=+代入上式： 此方程的解可用双曲线形式来表示： 两个常数A 、B 可由如下边界条件求出： 在x=0处，y=0： 在x=0处， 0y x d d =： 0B = 则最终结果： 可知，在填土重量作用下，三铰拱的合理拱轴线是一条悬链线。 20 2H 22d d 1d d x M F x y ?=)(d d 202x q x M -=H 22 )(d d F x q x y - =H 2 2) (d d F x q x y =H 22 d d F q y H x y C =-γγ γ γ C q x F B x F A y - +=H H sh ch γC q A =??? ? ??-=1ch H x F q y C γγ