高中数学必修一-函数模型的选择及简单应用
函数模型的选择及简单应用
知识集结
知识元
函数的单调性及单调区间
知识讲解
1．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能
用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
①⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
例题精讲
函数的单调性及单调区间
例1.
已知函数f（x）=x|x|-2x的单调增区间为________________。
例2.'
（1）求函数f（x）=x-的值域；
（2）求函数y=（-x2+2x+1）的单调区间．
'
例3.
函数f（x）=的单调递减区间为_______．
例4.'
已知函数f（x）=．
（1）求函数的单调区间
（2）当m∈（-2，2）时，有f（-2m+3）>f（m2），求m的范围．
'
根据实际问题选择函数类型
知识讲解
1．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a•b x+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝m log a x+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a•x n+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c （a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．例题精讲
根据实际问题选择函数类型
例1.'
铅酸电池是一种蓄电池，电极主要由铅及其氧化物制成，电解液是硫酸溶液，这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点，在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛的应用．但是由于在实际生活中使用方法不当，电池能量未被完全使用，导致了能源的浪费，因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中亟待解决的
问题。
研究发现，当电池以某恒定电流放电时，电压U关于放电时间t的变化率y满足y=ae bt+（其中a，b为常数，无理数e=2.71828…）
实验数据显示，当时间t的值为0和5时，电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752，求a，b的值．
'
例2.'
已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=k log a v+b。
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
'
例3.
某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是____．
例4.'
经过市场调查，某门市部的一种小商品在过去的20天内的日销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且日销售量满足函数g（t）=80-2t（件），而日销售价格满足于函数
（元）
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0 （2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值． ' 当堂练习 单选题 练习1. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）=11-3t+（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（） A．4+25ln5 B． C．D． 练习2. 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为（） A．1500元B．1550元C．1750元D．1800元 练习3. 团体购买公园门票，票价如表： 现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时 间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（）A．20 B．30 C．35 D．40 练习4. 某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据：lg1.08≈0.033，lg2≈0.301，lg3≈0.477） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 填空题 练习1. 已知f（x）是定义在[-1，+∞）上的单调递增函数，则不等式f（e x-2）≥f（2-）的解集是_______． 练习2. 已知函数f（x）=（）|x-1|，则f（x）的单调递增区间是________． 练习3. 函数的单调递增区间为________________，值域为__________________． 练习4. 已知函数y=-x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是________． 练习5. _____． 函数f（x）=|2x-1|-|3x+2|的单调递减区间为___ _ 解答题 练习1.' 已知函数f（x）=， （Ⅰ）画出f（x）的图象； （Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间． ' 练习2.' 已知函数f（x）=x2-4x+2．g（x）=f（x）-mx在[2，6]上是单调函数，求m的取值范围． ' 练习3.' （1）已知f（2x-1）=4x，求f（x）在[0，1]上的值域； （2）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））=f（x）+2，求g（x）=的值域及单调区间． ' 练习4.' 设a为实数，函数f（x）=（x-a）2+|x-a|-a（a-1）． （1）若f（0）≤1，求a的取值范围； （2）讨论f（x）的单调性． ' 《函数模型的应用实例》 一、教学内容分析： 本节课选自人民教育出版社A版的普通高中课程标准实验教科书·数学必修1中3．2．2函数模型的应用实例（第二课时）．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一，函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．本节课的内容是在《几类不同增长的函数模型》和《函数模型的应用实例（一）》内容之后，对于纯数学知识的几类函数及其性质和给定的函数模型应用有了一定的学习，本节课是对以上两节内容的延续与拓展，研究没有给定函数模型或没有确定性函数模型的实际问题进行建模和应用．这节课的内容继续通过一些实例来感受函数模型的建立和应用，逐步体会实际问题中构建函数模型的过程，本节课的函数模型的应用实例主要包括建立确定性函数模型解决问题及选择或建立拟合函数模型解决问题．例5所给的问题的特点是表中数学的变化是有特定规律的，运用表中的数据规律建立数学模型，注意变化范围和检验结果的合理性，同时使用这种有规律的简单数据实例提供了建立数学模型的方法． 例6与例5有所区别，表中数据的变化规律特点不是和明显，需要自己根据对数据的理解选择模型，这反映一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，让学生逐步感受和明确这一点． 整节课要求学生分析数据，比较各个函数模型的优劣，选择接近实际的函数模型，并应用函数模型解决实际问题．强化读图、读表能力；优化学生思维，提高学生探究和解决问题的能力；强化学生数学应用意识，感受数学的实用性；锻炼学生的吃苦精神，提高学生的团队合作能力． 二、教学目标： 知识与技能：1．会分析所给出数据，画出散点图． 2．会利用选择或建立的函数模型． 3．会运用函数模型解决实际问题． 过程与方法：1．通过对给出的数据的分析，抽象出相应的确定性函数模型，并验证函数模型的合理性． 2．通过收集到的数据作出散点图，并通过观察图像判断问题所适用的函数模型，在合理选择部分数据或计算机的拟合功能得出具体的满意的函数解析 式，并应用模型解决实际问题． 情感、态度和价值观：1．经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟数学源自生活，服 学习必备欢迎下载 必修1 第三章 函数的应用 3.1 .1 函数的根与方程的零点 1.课本先描述了几个一元二次方程与对应二次函数的图像：分别是 （一元二次方程：只有一个未知数，未知数最高次不超过2的方程；） A.一元二次方程03-x 2-x 2=与二次函数y=3-x 2-x 2； B.一元二次方程01x 2-x 2=+与二次函数y=1x 2-x 2+； C.一元二次方程03x 2-x 2=+与二次函数y=3x 2-x 2+； A B C 2.A ：方程03-x 2-x 2=，为21-x ）（=4，有两个根x1=3，x2=-1，看图像我们就 知道实际就是二次函数y=3-x 2-x 2与x 轴的两交点的横坐标； B ：方程01x 2-x 2=+，为21-x ）（=0只有一个根（也可理解为2个相等的 根)x1=1；实际就是函数的图像与x 轴只有一个交点； C ：方程3x 2-x 2+=0，为21-x ）（+2=0，无解（找不到这样的实数x 使21-x ）（+2 会等于0，因为一个数的平方式大于等于0的，那么21-x ）（+2肯定是≥2的，所 以肯定找不到）；实际看图像就是对应着函数在x 轴上方与x 轴无交点；且函数的图像显示最小值在2以上； ------Victory belongs to the most persevering. 3.通过上面的例子我们知道了一元二次方程0 bx ax2= c +成立（方程有解）； + 那么对应的二次函数y=c ax2+ bx +与x轴有交点；通过研究我们得到以下： 设ac b2 4- △为判别式： = A:当ac b2 4- + +有2个不相等的实数根；二次函 ax2= c = △>0时表示方程0 bx 数y=c ax2+ bx +，与x轴有2交点； B.当ac b2 4- ax2= + +有2个相同的实数根；二次函数 bx c = △=0时表示方程0 y=c ax2+ bx +，与x轴有1个交点；且这个交点为顶点，要么是最大值（a>0开口向上时），要么是最小值（a<0开口向下）； C.:当ac b2 4- ax2= bx + +没有实数根；二次函数 c = △<0时表示方程0 y=c ax2+ bx +，与x轴无交点；（自己可以用1.的例子算一下△的值判断一下） ❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤重点知识❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤❤ 4.A.如果函数y=f（x）=0有解，也就是函数图像与x轴有交点，如果此时交点为（m，0），那么我们就把（m，0）叫做函数的零点；（理解：其实就是某一个x=m（m为常数），能够使得f（x）的解析式为0）； B.得到以下结论：方程f（x）=0有实数根⇔函数y=f（x）的图像与x轴有交点⇔函数y=f（x）有零点； C.怎么判断零点的范围：①二次函数的判断可以用判别式法②非二次函数我们可以得到以下结论：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像时连续不断地曲线，并且有f（a）×f（b）<0，那么，函数y=f（x）在区间(a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，x=c也是f（x）=0的根； x2，我们可以得到这个函数的图像 例如：二次函数y=3-x2- ------Action speak louder than words 博途教育学科教师辅导讲义(一） 学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十一讲：函数模型及其应用 授课日期 1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式； 教学目标 2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论. 教学内容 函数模型及其应用 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型； ◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。 〖教学过程〗[来源:https://www.360docs.net/doc/e719026194.html,] 一、创设情境，导入课题 在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只. 可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气. 这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型. 二、提出问题，探索新知 ①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时. 设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x). ②A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月. 把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域. ③分析以上实例属于那种函数模型. 高中数学：函数模型及其应用 1．三种函数模型的性质的比较 2．几种常见的函数模型 题组一常识题 1．[教材改编] 函数模型：①y＝1.002x，②y＝0.25x，③y＝log2x＋1.随着x的增大，增长速度的大小关系是____________． 2．[教材改编] 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月 的销售量的关系满足一次函数，已知销售量为1000件时，收入为3000元，销售量为2000件时，收入为5000元，则营销人员没有销售量时的收入是________元．3．[教材改编] 某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是________元． 题组二常错题 ◆索引：实际问题中函数的定义域． 4．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________． 5．等腰三角形的周长为20，腰长为x，则其底边长y＝f(x)＝________________． 题组三常考题 6．[2014·湖南卷改编] 某市职工收入连续两年持续增加，第一年的增长率为a，第二年的增长率为b，则该市这两年职工收入的年平均增长率为______________．7．[2015·四川卷改编] 某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718 28…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是240小时，在22 ℃的保鲜时间是60小时，则该食品在11℃的保鲜时间是________小时． 4.5.3函数模型的应用 必备知识·探新知 基础知识 知识点1指数函数与对数函数模型 指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) 知识点2解函数应用题的基本思路与步骤 1．建立函数模型解决实际问题的基本思路 2．建立函数模型解决实际问题的解题步骤 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y.它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体解题步骤为： 第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型．了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定． 第二步，求解数学模型．利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答． 第三步，转译成实际问题的解． 知识点3拟合函数模型问题 定量分析和研究实际问题时，要深入调查、研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题．这个建立数学模型的全过程，就称为数学建模．根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型，并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合)． 1．建立拟合函数模型的步骤 (1)收集数据． (2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图． (3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型． (4)选择其中的几组数据求出函数模型． (5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤(3)，若符合实际，则进入下一步． (6)用所得函数模型解释实际问题． 2．建立拟合函数模型的一般流程 根据建立拟合函数模型的步骤，我们用如图来表示建立拟合函数模型的一般流程． 基础自测 1．某厂2008年的产值为a 万元，预计产值每年以n %的速度递增，则该厂到2020年的产值(单位：万元)是( B ) A ．a (1＋n %)13 B ．a (1＋n %)12 C ．a (1＋n %)11 D ．a (1－n %)12 [解析] 2008年的产值为a 万元，2009年的产值为a ＋a ·n %＝a (1＋n %)，2010年的产值为a (1＋n %)＋a (1＋n %)·n %＝a (1＋n %)2，…，2020年的产值为a (1＋n %)12. 2．某种细菌经30分钟个数变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝__2ln 2__，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为__1 024__. [解析] 由题意知，当t ＝1 2 时，y ＝2，即2＝e 1 2 k ， ∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝2时，y ＝e 2 ×5×ln 2 ＝210＝1 024. 即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024. 3．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则第7年它们繁殖到__300__只． 函数模型的选择及简单应用 知识集结 知识元 函数的单调性及单调区间 知识讲解 1．函数的单调性及单调区间 【知识点的认识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数． 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间． 【解题方法点拨】 判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法． 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能 用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结． 设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么 ①⇔f（x）在[a，b]上是增函数； ⇔f（x）在[a，b]上是减函数． ②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0⇔f（x）在[a，b]上是增函数； （x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0⇔f（x）在[a，b]上是减函数． 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间． 【命题方向】 函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力． 例题精讲 函数的单调性及单调区间 例1. 已知函数f（x）=x|x|-2x的单调增区间为________________。 例2.' （1）求函数f（x）=x-的值域； （2）求函数y=（-x2+2x+1）的单调区间． 3.2.2函数模型的应用实例 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，了解函数模型的应用实例，会利用一次函数、二次函数、幂函数及分段函数模型解决实际问题，在直观想象、数学建模中感受函数模型在实际生活中的具体应用．（二）学习目标 1．通过实例，感受一次函数的广泛应用． 2．通过实例，感受二次函数的广泛应用． 3．通过实例，来感受幂函数和分段函数的广泛应用． （三）学习重点 1．一次函数模型，二次函数模型，幂函数和分段函数模型中在实际生活的应用． 2．学会建立一些函数模型解决生活实际问题． （四）学习难点 将实际问题转变为数学模型． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 读一读：阅读教材第101页至第106页，找出疑惑之处． 观察如图所示内容,回答下列问题: （1）问题1:解答应用题应按照怎样的步骤? （2）问题2：在解决实际问题时可建立哪些函数模型? 【答案】问题1：建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤： (1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x,y 分别表示问题中的变量. (2)建立函数模型:将变量y 表示为x 的函数,在中学阶段,我们建立的函数模型一般都是函数的解析式,注意函数的定义域. (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数解析式的结构特点,正确运用函数知识求得函数模型的解,并还原为实际问题的解. 2．预习自测 (1)长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，且宽减少2 x 时的面积最大，此时x ＝________，面积S ＝________． 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【数学思想】 【解题过程】2(4)(3)1222x x S x x =+-=-++=21(224)2x x ---=2251 (1)22x --， 当1x =时，max 252 S = ． 【思路点拨】由题意建立面积关于变量x 的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x 的值即可得到答案． 【答案】1； 252 ． (2)某商品进价为每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现， 若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为( ) A ．45元 B ．55元 C ．65元 D ．70元 【知识点】根据实际问题选择函数类型，函数最值的应用． 【解题过程】设每件商品定价为x ，利润为y ， 则有[](40)50010(50)y x x =--- 化简后2 10(70)900y x ??=--+??， 当70x =时，利润最大． 【思路点拨】由题意建立面积关于变量x 的函数，再根据相应函数的性质判断出最值及取到最值时的x 的值即可得到答案． §2.9函数模型及其应用 1．几类函数模型 2.三种函数模型的性质 知识拓展 1．解函数应用题的步骤 2．“对勾”函数 形如f (x )＝x ＋a x (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × ) (2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使0x a <0n x A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B ．结余最高的月份是7月 C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D ．前6个月的平均收入为40万元 答案 D 解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为1 6 ×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误． 3．[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1 2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该 企业一个月应生产该商品数量为______万件． 答案 18 解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－1 2(x －18)2＋142， 当x ＝18时，L (x )有最大值． 4．[P107A 组T4]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3 解析 设隔墙的长度为x (0 第二节函数模型及其应用第一课时 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． 2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题． 3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣． 重点难点 教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同． 教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 2课时 教学过程 第1课时 作者：林大华 导入新课 思路1.(事例导入) 一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2.(直接导入) 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异． 推进新课 新知探究 提出问题 ①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数. ②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数. ③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数. ④分别用表格、图象表示上述函数.,⑤指出它们属于哪种函数模型. ⑥讨论它们的单调性. ⑦比较它们的增长差异. ⑧另外还有哪种函数模型与对数函数相关. 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． ①总价等于单价与数量的积． ②面积等于边长的平方． 高一数学必修1《函数模型及其应用》教案 教学设计 一、教学目标 1. 知识目标： （1）认识到函数的概念及其分类。 （2）掌握函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法。（3）了解函数的基本性质。 （4）学会应用函数进行实际问题的解决。 2. 能力目标： （1）能够分析函数图像，判断函数的单调性和奇偶性。 （2）能够利用函数求解实际问题。 3. 情感目标： （1）了解函数在数学中的应用价值，增强数学学科的兴趣和 信心。 （2）培养学生分析问题和解决问题的能力。 （3）培养学生的创新思维和实践能力。 二、教学重点和难点 1. 教学重点：函数的符号表示、图像表示与应用。 2. 教学难点：函数模型的建立和应用题的解决。 三、教学方法 1. 演示法。通过演示，帮助学生理解函数的概念及其符号表示、图像表示和应用。 2. 实验法。通过实验让学生探究函数的性质和应用，增强学生的实践能力。 3. 讲授法。注重理论的概括和归纳，掌握函数的基本知识。 四、教学步骤 1. 函数的概念及其分类 初始练习：小组讨论，举例说明实际生活中函数的应用。 ①引入函数的概念和分类，让学生观察一些常见的图像。 ②讲解一元函数和多元函数的概念，引导学生理解函数的本质。 ③引导学生根据一系列具体问题分类讨论实践中不同的函数： 1. 一元函数：y=f(x)。 2. 二元函数：z=f(x,y)。 3. 多元函数：f(x1,x2,x3,……,xn)。 4. 隐函数：F(x,y)=0。 2. 函数的符号表示、图像表示和定义域、值域的求法 ①通过实例来说明函数的符号表示和图像表示。 ②掌握函数的定义域与值域的求法。 ③针对各种具体问题进行训练，巩固理论知识点，引导学生 学会函数的应用。 3. 函数的基本性质 ①单调性和奇偶性的判定。 ②零点和极值的确定。 ③函数的连续性和可导性。 课题：§ 3.2.2 函数模型的应用实例 ( Ⅰ) 教学目标： 知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题． 过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性． 情感、态度、价值观体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值． 教学重点难点： 重点运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题． 难点运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题． 教学程序与环节设计： 创设情境实际问题引入，激发学习兴趣． 组织探究以实际应用问题为载体，体会选择变量、建立模型， 解决实际问题的的思想与方法． 探索研究结合例题的探究方法，总结运用函数概念建立模型的 过程和方法，形成结论性报告． 巩固反思师生交流共同小结，归纳一般的应用题的求 解方法步骤． 作业回馈强化基本方法，规范基本格式． 课外活动运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单 问题，了解函数模型的广泛应用． 教学过程与操作设计： 环节教学内容设计 大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？” 这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 创里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如 设何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？ 情 原来孙子提出了大胆的设想。 境由此可见我们所学过的方程、函数，在现实生活中都有着广泛的应用，怎样才能从实际问题入手， 运用所学知识，通过抽象概括，建立数学模型来解 决实际问题呢？ 师生双边互动 师：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一 半的脚，则每只鸡和兔 就变成了“独脚鸡”和 “双脚兔”。这样，“独 脚鸡”和“双脚兔”脚的 数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即： 47－ 35=12；鸡数就是： 35 －12=23。激发学生学 习兴趣，增强其求知欲望． 生：用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题． 材料一：一次函数、二次函数的应用举例师：引导学生独立思 例 1．某列火车从北京西站开往石家庄，全程考，完成解答．引导学277km，火车出发 10min 开出 13km 后，以 120km/h生分析自变量 t 的取值 匀速行驶．试写出火车行驶的总路程S 与匀速行驶范围（即函数的定义 的时间 t 之间的关系式，并求火车离开北京 2h 内行域），注意 t 的实际意 驶的路程．义． 组探索： 1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围生：独立思考，完成解怎样；答，并进行讨论、交流、织2）所涉及的变量的关系如何？评析． 3）写出本例的解答过程． 探例 2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价师：本例从现实生产、 20 元，茶杯每只定价 5 元，该商店制定了两种优惠生活实际出发，要引导 办法：学生认识到数学与实 究1）买一只茶壶赠送一只茶杯；际的联系，体会数学的2）按总价的 92%付款．实用价值，享受数学的 某顾客需买茶壶 4 只，茶杯若干（不少于 4 只），应用美． 若购买茶杯 x （只）付款y（元），试分别建立两种 优惠办法中 y 与x之间的函数关系式，并讨论该顾生：正确理解题意，认客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？真思考、讨论，交流做 法，给出解答． 环节教学内容设计师生双边互动 精品资料 精品资料 §3.2.2 函数模型的应用实例 在中学阶段，学生在处理函数拟合与预测的问题时，通常需要掌握以下步骤： ⑴能够根据原始数据、表格，绘出散点图． ⑵通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是不可能发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． 教科书中已经给出了三个典型的实例，读者可以通过这些例题的学习基本掌握函数模型应用的处理方法.下面再通过一个实例，进一步熟练过程，提高函数模型应用的操作能力. 例随着生活质量的不断提高，购房和买车成了一些居民消费的热点．某家庭最近看中了一款价值15万元的轿车，并想在某地段购买面积为100 m2，单价是0.3万元／m2的一 套商品房．目前，该家庭仅有积蓄 10万元，收入为 0.5万元／月，正常开支为0.15万元／月，他们准备以要购买的车、房作抵押向银行贷款，且选择消费额70％的贷款比例．表1和表2分别是1万元的住房和汽车消费贷款还本付息表．表1(住房) 上贷款买车，等积累一定资金后再贷款购房．如果购车后每月要增加开支0.1万元，车价平均每月比上一月下降1％，房价平均每月比上一月上涨0．8％，如果不考虑银行贷款政策的变化，那么请你为该家庭选择一个能尽快购到车和房的合理贷款方案． 分析：根据贷款政策（消费额70％的贷款比例），消费者在购买商品时要首付30%的款．而选择这两种方案的重要依据则是家庭资金积累情况． 解：⑴方案一：先购房后买车． 为了能尽快买到车，住房贷款选30年期．按70%的比例（总购房款30万元）可贷住房款21万元，首付30%后家中（仅有积蓄 10万元）还剩资金1万元． 设购房后x（月）买车，现建立买车前家庭积累资金y（万元）关于x的函数关系式 y=家庭余款+（月收入-月生活支出-月支付购房款）×月数 ＝1+(0.5-0.15-2l×0.005728)x， 即y＝1+0.229712x，（x N） 3.2.3 函数模型的应用实例（一） （一）教学目标 1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题. 2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力. 3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的 应用意识，提高学习数学的兴趣. （二）教学重点、难点 一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点. （三）教学方法 本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导 的方法进行教学. （四）教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意图 复习引入回顾一次函数和二次函 数的有关知识. 教师提出问题，学生回答. 师：一次函数、二次函数的解析式及图 象与性质. 生：回答上述问题. 以旧引新，激 发兴趣. 应用举例 1．一次函数模型的 应用 例1 某列火车从北 京西站开往石家庄，全程 277km.火车出发10min 开出13km后，以120km/h 的速度匀速行驶.试写出 火车行驶的总路程S与 匀速行驶的时间t之间的 关系，并求火车离开北京 2h内行驶的路程. 教师提出问题，让学生读题，找关 键字句，联想学过的函数模型，求出函 数关系式.学生根据要求，完成例1的解 答. 例1 解：因为火车匀速运动的时间 为(200 – 13)÷120 = 11 5 (h)， 所以 11 5 t≤≤. 因为火车匀速行驶时间t h所行驶路 程为120t，所以，火车运行总路程S与 匀速行驶时间t之间的关系是 11 130120(0). 5 S t t =+≤≤ 2h内火车行驶的路程 11 13120 6 S=+⨯=233(km). 通过此问 题背景，让学 生恰当选择相 应一次函数模 型解决问题， 加深对函数概 念本质的认识 和理解.让学 生体验解决实 际问题的过程 和方法. 解题方法： 1．读题，找关键点； 2．抽象成数学模型； 3．求出数学模型的解； 4．做答. 学生总结，教师完善. 培养学生 分析归纳、概括 能力.从而初步 体验解应用题 的规律和方法. 2．二次函数模型的应让学生自己读题，并回答下列问题：解应用题 3.4。2 函数模型及其应用 学习目标1。理解函数模型的概念和作用。2.能用函数模型解决简单的实际问题。3.了解建立拟合函数模型的思想和步骤，并了解检验和调整的必要性． 知识点一函数模型 思考自由落体速度公式v＝gt是一种函数模型．类比这个公式的发现过程，说说什么是函数模型？它怎么来的？有什么用？ 梳理设自变量为x，函数为y,并用x表示各相关量,然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型． 知识点二用函数模型解决实际问题 （1）解答应用问题的基本思想 (2）解答应用问题的程序概括为“四步八字”，即 ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型; ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识,建立相应的数学模型； ③求模：求解数学模型，得出数学结论； ④还原：将数学结论还原为实际应用问题的结论． 知识点三数据拟合 思考1 我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅，但你知道任一确定的身高对应的桌椅的最佳高度吗？如何解决? 梳理现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的，反映事物变化的变量之间就存在着一定的关系．这些关系的发现，通常是通过试验或实验测定得到一批数据，再经过分析处理得到的． 数据拟合就是研究变量之间这种关系，并给出近似的数学表达式的一种方法，根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制． 此类题的解题过程一般有如下五步： (1）作图：即根据已知数据,画出散点图; (2）选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试； （3）求出函数模型：求出(2）中找到的几个函数模型的解析式; (4）检验：将(3）中求出几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型； （5）利用所求出的函数模型解决问题． 思考2 数据拟合时，得到的函数为什么要检验？ 精心整理高一数学必修一教案《函数模型及其应用》【篇一】 【内容】建立函数模型刻画现实问题 量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学 习模型的建立以解决实际问题,培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 【教学目标】 (1)体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程. 态度 了解函 处理 生的小组合作探究来突破本节课的难点,这样,在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求(目标1,2,3)在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣,培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度,从而实现教学目标中的德育目标(目标 4) 【学生学习中预期的问题及解决方案预设】 ①描点的规范性;②实际操作的速度;③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验 这样以 . 教学前言： 函数模型是应用最广泛的数学模型之一,许多实际问题一旦认定是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解决. 教学内容师生活动设计意图 探究新知引入： 教师：大家觉得我胖吗? 学生回答 教师：我们在街上见到一个人总是会判断这个人的胖瘦，我们衡 来衡量 BMI 大于 学生说，教师把相关数据填在用PPT展示的一张表格上 教师：好，有了这些数据我们就可以来研究了，那接下来我们怎么来处理刚收集到的这些数据呢? 学生回答(预期:画散点图——连线——找函数) 高一数学必修教案《函数模型及其应用》 自己整理的高一数学必修教案《函数模型及其应用》相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！ [第1条] 【内容】建立描述现实问题的功能模型 【内容分析】功能模型本身来源于现实，用于解决实际问题。因此，这一节的内容是让学生有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，实现数学在实际问题中的应用价值。同时，本课题是学生在学习初中函数的形象和性质的基础上，刚刚进入高中的探究式课堂教学。学生在解决某一具体问题的过程中，可以从理解知识升华到熟练应用知识，从而辩证地看待知识理解与知识应用的关系，这种关系与所学的功能知识是紧密联系、相辅相成的。另一方面，函数模型本身是与实际问题相结合的，空谈理论只能导致学生无法真正理解函数模型的应用以及在应用过程中建立和解决问题的过程，而从简单、典型、熟悉的函数模型中提取的思想和方法更容易被学生接受。同时，学生要从简单的例子中学习，感受函数模型的选择和建立。由于函数模型的建立离不开函数图像和数据表，会有一定量的原始数据处理，可能会用到计算机、计算器和图形工具，我们的教学更应该注重通过对实际问题的分析过程来选择合适的函数模型和函数模型的构建过程。在 这一过程中，学生应注重模型的建立，同时体验模型建立的可操作性和有效性，学习模型建立解决实际问题，培养和发展组织思维和表达能力，提高逻辑思维能力。 [教学目标] (1)反映建立功能模型描述实际问题的基本过程。 (2)了解功能模型的广泛应用 (3)通过学生的操作和探究，提高学生发现、分析和解决实际问题的能力 (4)提高学生探索和学习新知识的兴趣，培养学生勇于探索的科学态度 【重点】了解并建立一个功能模型来描述现实问题的基本过程，了解功能模型的广泛应用 【难点】建立函数模型描述实际问题中的数据处理 【教学目标分析】通过对整堂课抽样样本的分析和处理，学生认识 4.5.3 函数模型的应用 [教学目标] 会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合． [教学重点] 根据给定的函数模型解决实际问题． [教学难点] 建立数学模型解答实际问题． 【要点整合】 知识点一 应用所给函数模型解决实际问题 解决应用问题的基本步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． [答一答] 1．我们已学过的函数有哪些？ 提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数． 2．建立函数模型解决问题的基本过程是什么？ 提示：①收集数据；②根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；③根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；④选择其中的几组数据求出函数模型；⑤将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复步骤③④⑤；若符合实际，则进入下一步；⑥用所得函数模型解释实际问题． 知识点二 构建函数模型解决实际问题 (1)常见的8种函数模型 ①一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； ②反比例函数模型：f (x )＝k x ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； ③二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； ④指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； ⑤对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a >0，a ≠1，m ≠0)； ⑥幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)；高中数学必修一教案-函数模型的应用实例
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函数模型及其应用教案
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适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
通用
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 教学目标
1.几类不同增长的函数模型的特点
2.用已知函数模型解决实际问题
3.建立函数模型解决实际问题 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体 会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段 函数等）的实例。
教学重点 了解函数模型的广泛应用。 教学难点 了解函数模型的广泛应用。
【教学建议】
本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问 题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华.本课内容 是课本必修 1 中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想， 这也为后面高中的学习做了铺垫。通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型 刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步 运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题， 函数模型本身就来源于现 实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与 知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成. 【知识导图】
教学过程
一、导入
【教学建议】 导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快
进入学习状态。 导入的方法很多，仅举两种方法：
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① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；
② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的
关系，帮学生建立知识网络。
提供一个教学设计供讲师参考：
环节
教学内容设计
师生双边互动
材料：澳大利亚兔子数“爆 师：指出：一般而言，在理想
炸” 条件（食物或养料充足，空间
在教科书第三章的章头图中，有 条件充裕，气候适宜，没有敌
一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群 害等）下，种群在一定时期内
兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859 的增长大致符合“J”型曲线；
创
年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子， 在有限环境（空间有限，食物 由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔 有限，有捕食者存在等）中，
设
子的天敌，兔子数量不断增加，不到 种 群 增 长 到 一 定 程 度 后 不 增 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚， 长，曲线呈“S”型．可用指数
情
数量达到 75 亿只．可爱的兔子变得 函 数 描 述 一 个 种 群 的 前 期 增 可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 长，用对数函数描述后期增长
境
75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率 的 大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要
牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们
采用各种方法消灭这些兔子，直至二
十世纪五十年代，科学家采用载液瘤
病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大
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