一元三次函数性质总结

三次函数的图像及性质

形如32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的函数叫做三次函数，其中x 是自变量，,,,a b c d 是常数。它具有以下性质：

1、图像、单调区间与极值

三次函数求导以后是二次函数，2()32f x ax bx c '=++，它的零点个数决定了三次函数的极值情况与单调区间，下面是三次函数及其对应的导函数全部共六种图像：

x x

x x x

a >0a <

2、零点个数

若方程()0f x '=的判别式0?≤，则()f x 在R 上是单调函数，无极值，值域为(,)-∞+∞，故有唯一的零点。

若方程()0f x '=的判别式0?>，方程有两个不等的实根1x 、2x ，它们是函数()f x 的极值点，则：

（i ）当12()()0f x f x ?>时，()f x 有一个零点；

（ii ）当12()()0f x f x ?=时，()f x 有两个零点；

（iii ）当12()()0f x f x ?<时，()f x 有三个零点。

3、对称中心

三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠一定有对称中心。其对称中心的横坐标为3b x a

=-。（三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)的图象的对称中心在其导函数f ＇(x)=3ax 2+2bx+c 的图象对称轴上．若三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0)有极值，那么它的对称中心是两个极值点的中点．）

4、过平面内一点能作三次函数图像切线的条数

1条

三次函数的三大性质初探

随着导数内容进入新教材，函数的研究范围也随之扩大，用导数的方法研究三次函数的性质，不仅方便实用，而且三次函数的性质变得十分明朗，本文给出三次函数的三大主要性质.

1 单调性

三次函数)0()(2

3>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数；

(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中a

ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---=. 证明 c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242

2ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立，即)(x f 在),(+∞-∞为增函

数.

(2) 当0>? 即032>-ac b 时，解方程0)('=x f ，得

ac b b x a ac b b x 33,332221-+-=---= 0)('>x f ?1x x <或2x x > ?)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数.

?<0)('x f 21x x x <

由上易知以下结论: 三次函数)0()(2

3>+++=a d cx bx ax x f , (1) 若032≤-ac b ，则)(x f 在R 上无极值；

(2) 若032>-ac b ，则)(x f 在R 上有两个极值；且)(x f 在1x x =处取得极大值，在2

x x =处取得极小值.

2 根的性质

三次函数)0()(2

3≠+++=a d cx bx ax x f (1) 若032≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根；

(2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根；

(3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根；

(4) 若032>-ac b ,且0)()(21

证明 (1)(2)0)(=x f 含有一个实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴只相交一次，即

)(x f 在R 上为单调函数或两极值同号，所以032≤-ac b 或032>-ac b ，且0)()(21>?x f x f .

(3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一

为切点，所以032>-ac b ，且0)()(21=?x f x f .

(4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即

)(x f 有一个极大值，

一个极小值，且两极值异号.所以032>-ac b 且0)()(21

三次函数)0()(2

3>+++=a d cx bx ax x f 在),[+∞m 上恒正的充要条件是0)(>m f (m ≥x 2),或0)(>m f 且0)(2>x f (m