(完整)基本初等函数图像及性质小结

为高等数学小结的——基本初等函数

1.函数的五个要素：自变量，因变量，定义域，值域，对应法则

2.函数的四种特性：有界限，单调性，奇偶性，周期性复习的时候一定要从这四个方面去研究函数。

3.每个函数的图像很重要

. 幂函数(a为实数)

定义域：随a的不同而不同，但无论a取什么值，x^a在内总有定义。

值域：随a的不同而不同

有界性：

单调性：若a>0,函数在内单调增加；若a<0,函数在内单调减少。

奇偶性：要知道这些函数那些事奇函数，那些是偶函数

周期性：

每种函数的图像

.

. 指数函数

定义域：值域：

有界性：

单调性：若a>1 函数单调增加；若0

奇偶性：

周期性：

注意：图形过（0，1）点暨 a^0=1 直线y=0为函数图形的水平渐近线

今后用的较多这个函数的图形，性质要记清楚

1、

. 对数函数

1、定义域：值域：

有界性：

单调性：a>1时，函数单调增加；0

奇偶性：

周期性：

主要性质：与指数函数互为反函数，图形过（1，0）点，

直线x=0为函数图形的铅直渐近线

e=2.7182……，无理数经常用到以e为底的对数

. 三角函数强调：图像

正弦函数：

定义域：值域：[-1,1]有界性：[-1,1] 有界函数

单调性：（-T/2,T/2）单调递增

奇偶性：奇函数

周期性：以为周期的周期函数；

余弦函数：

定义域：值域：[-1,1] 有界性：[-1,1] 有界函数

单调性：

奇偶性：偶函数

周期性：

正切函数：

定义域：值域：有界性：

单调性：

奇偶性：奇函数

周期性：

余切函数：，

定义域：值域：有界性：

单调性：

奇偶性：奇函数

周期性：

，

. 反三角函数

反正弦函数：

定义域： [-1,1] 值域：

有界性：

单调性：单调增加

奇偶性：奇函数

周期性：

反余弦函数：---定义域值域：定义域： [-1,1] 值域：有界性：

单调性：单调减少

奇偶性：

周期性：

反正切函数：---定义域定义域：值域：

有界性：

单调性：单调增加

奇偶性：奇函数

周期性：

反余切函数---定义域定义域：值域：

有界性：

单调性：单调减少；

奇偶性：

周期性：

以上是五种基本初等函数，关于它们的常用运算公式都应掌握。（1）指数式与对数式的性质

由此可知，今后常用关系式，如：

（2）常用三角公式

积化和差

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

和差化积

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

函数周期性：

R) 的函数的周期为T=2π/ω∈0, x≠形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A 周期函数性质：

（1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

（2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

（3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

（4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则（Q是有理数集）（6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

其他周期函数（非三角函数）

Dirchlet函数

D(X)=

{1 X为有理数时

{0 X为无理数时

复指数函数：y=e^(jwt),其中j为虚数单位，w为任意实数，t为自变量。

重要推论

1，若有f(x)的2个对称轴x=a,x=b.则T=2|a-b|

2，若有f(X）的2个对称中心（a,0）(b,0)则T=2|a-b|

3,若有f(x)的1个对称轴x=a,和1个对称中心(b,0)，则T=4|a-b|