三元域上所有3次不可约多项式
一、概述
在数学领域中，多项式是一种非常基本且重要的数学对象，它们在代数、几何、分析等多个数学分支中都有着广泛的应用。在三元域上，寻找所有的3次不可约多项式是一个经典的问题，它不仅具有理论意义，而且对于实际问题的解决也有着重要的意义。本文将对三元域上所有3次不可约多项式进行系统的研究和讨论。
二、三元域上的不可约多项式
在数学中，不可约多项式是指不能分解为两个次数更低的多项式的乘积的多项式。在三元域上，我们希望研究所有的3次不可约多项式。这些多项式在代数学、密码学等领域中具有着重要的应用价值。
三、3次不可约多项式的构造
为了寻找所有的3次不可约多项式，我们可以利用一些基本的方法和定理来进行构造和判断。我们可以利用 Eisenstein 判据来判断一个多项式是否为不可约多项式。我们可以利用模运算来进行判断，如果对于给定的三元域上的素数，给定的多项式模这个素数不具有重根，则该多项式是不可约的。我们也可以利用分解法来寻找不可约多项式的构造方法。
四、三元域上的3次不可约多项式的性质
在研究三元域上的不可约多项式时，我们也需要研究它们的性质。它们的根的性质、它们的因子分解等方面的性质都是非常重要的。通过
研究这些性质，我们可以更深入地理解这些多项式在三元域上的特点。
五、三元域上3次不可约多项式的应用
我们还可以讨论三元域上的3次不可约多项式的应用。它们在密码学
中的应用、它们在代数学中的应用等方面都是非常重要的。通过研究
这些应用，我们可以更好地理解这些多项式的意义和价值。
六、总结
研究三元域上的3次不可约多项式是一项重要而又有挑战性的课题。
通过系统的构造、研究它们的性质以及探讨它们的应用，可以更好地
理解它们在数学领域中的重要性。希望本文的研究能够对进一步的研
究和应用提供一定的参考和帮助。三元域上的3次不可约多项式的构
造是一个复杂而又富有挑战性的问题。通过使用不同的方法和技巧，
我们可以找到许多3次不可约多项式的例子，并且逐步理解它们的性
质和特点。
一种常用的构造方法是通过Eisenstein 判据来判断多项式的不可约性。Eisenstein 判据是一种判定多项式不可约性的有效工具，通过这种方法，我们可以找到不少在三元域上不可约的3次多项式。另外，我们
还可以利用模运算来进行判断，例如选取合适的素数，如果对于给定
的三元域上的素数，给定的多项式模这个素数不具有重根，则可以判
定该多项式是不可约的。
另一种构造不可约多项式的方法是通过分解法。通过试图将一个多项
式进行因式分解，我们可以发现是否存在不可约的因子。如果能够证
明一个多项式无法分解成低次数的多项式，则可以确定这个多项式是
不可约的。这种方法在找到一些复杂的、特殊的3次不可约多项式时
非常有效。
在研究3次不可约多项式的性质时，我们也需要着重关注它们的根的
性质。由于三元域上3次不可约多项式的根不仅是复数，还可能是虚数，因此对根的分布和性质的研究是非常重要的。另外，我们也需要
考虑它们的因子分解和不可约多项式的个数。三元域上的3次不可约
多项式相较于其他域可能具有不同的性质，例如它们的独特性和数量
上的特点。
关于三元域上3次不可约多项式的应用，我们可以首先考虑它们在密
码学中的应用。在许多加密算法中，不可约多项式作为有限域上的扩
域域的生成元，从而在加密和解密过程中起着至关重要的作用。另外，它们还在代数学、编码理论、计算机科学等领域中有着重要的应用，
其在代数学中的理论研究也具有非常重要的学术价值。
不可约多项式在三元域上的研究不仅是数学理论上的问题，更涉及到
代数学、密码学等实际领域的应用。通过深入研究和探讨，我们可以
更好地理解这些多项式的性质和特点，从而有助于对其在实际领域中
的应用。希望本文的研究能够为相关领域的学者和研究者提供一定的参考和启发。
高等代数多项式试题库
§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +⋅+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈⋅--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ∉=⋅333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
三次正多项式p_不可约的充要条件(精)
第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多
近世代数复习思考题
近世代数复习思考题 一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题 1. 剩余类加群Z12有____ 个生成元. 2、设群G 的元 a 的阶是n，则a k的阶是. 3. 6 阶循环群有____ 个子群. 4、设群G 中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存 在整除关系为———。 5. 模8 的剩余类环Z8 的子环有___ 个. 6. 整数环Z 的理想有___ 个. 7、n 次对称群Sn的阶是——————。 8、9-置换 1 2 3 4 5 6 7 8 9分解为互不相交的循环之积是— 5 4 3 9 6 1 8 2 7 ———。 9. 剩余类环Z6 的子环S={[0],[2],[4]}，则S 的单位元是 10. Z 24中的所有可逆元是： ____________________ . 11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个_ 同构。 12. 设G （a）为循环群，那么（1）若a的阶为无限，则 G 同构于_ ，（2）若a的阶为n，则G 同构于 ___ 。 13. 在整数环Z 中， 2 3 = _________________ ；
14、n 次对称群S n的阶是. 15. 设A1, A2为群G的子群，则A1A2是群G的子群的充分必要条件 为 ________ 。 16、除环的理想共有_______ 个。 17. 剩余类环Z5 的零因子个数等于____ . 18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是. 19. 剩余类环Z7 的可逆元有 ____ 个. 20、设Z11是整数模11 的剩余类环，则Z11的特征是_. 21. 整环I=｛所有复数a+bi(a,b是整数)｝，则I的单位是 22. 剩余类环Z n是域n 是_______ . 23、设Z7 =｛0，1，2，3，4，5，6｝是整数模7 的剩余类环，在Z7 [x]中, (5x-4)(3x+2)= . 24. 设G为群，a G，若 a 12，则a8_______________ 。 25、设群G=｛e，a1，a2，⋯，a n-1｝，运算为乘法，e为G的单位元，则a1n =___. 26. 设A=｛a,b,c｝，则A到A的一一映射共有__ 个. 27、整数环Z 的商域是__ . 28. 整数加群Z 有______ 个生成元. 29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R I是一个域当且仅当I是————————。
高等代数试题
第一章 多项式 §1.1一元多项式的定义和运算 1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是 (6) 2 22)()()(x xh x xg x f +=， 那么.0)()()(===x h x g x f 2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h 3．证明： !) )...(1()1(!) 1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x n n ---=+---+--+ - §1.2 多项式的整除性 1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式： ( i ) ;13)(,14)(2 34--=--=x x x g x x x f (ii) ;23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f 2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且 ()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g 4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++ 5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n n a x - 6．考虑有理数域上多项式 ()() ()() ()(),121211 n k n k n k x x x x x x f ++++++=-++ 这里k 和n 都是非负整数．证明： ()()() .11|1 n k 1+++++-x x f x x k 7．证明：1-d x 整除1-n x 必要且只要d 整除.n §1.3 多项式的最大公因式
近世代数习题解答(张禾瑞)五章
近世代数习题解答 第五章 扩域 1 扩域、素域 1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域. 证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑ 1)若 ∑ ∈ b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈ ) ,,(2,1m F b βββ ∈易 知 m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈- 但∑ ? ),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑ ∈ -a b 2)若,,∑ ∈ b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈- 从而有∑ ? ∈-),,,,,,(21211m n F ab βββααα ２ 单扩域 １． 令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明 a 是F 上的一个代数元，并且 证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故 F a F ?)(易见F a F ?)(，从而F a F =)( ２．令F 是有理数域．复数i 和 1 1 2-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？ )(i F 与)11 2( -+i i F 是否同构？ 证 易知复数i 在F 上的极小多项式为112,12 -++i i x 在F 上的极小多项式为252 +-x x 因)11 2()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的． ３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p 证 令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集 合． 1) ?是)(x F 的一个理想 (ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f 因而0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任一元 那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h 2)是一个主理想 设 )(1x p 是?中a ！的极小多项式 那么，对?中任一)(x f 有
不可约多项式
6.不可约多项式的判定，性质与证明 一．判定： 定理1（爱森斯坦判别法）设f(x)是整系数多项式，若有一个素数p，使得： （1）p不能整除a （2）p整除 （3）不能整除 那么f(x)在有理数域上不可约。 注：定理1的证明通常采用“反证法” 定理2（爱森斯坦判别法的等价判别定理）设f(x)是整系数多项式，若有一个素数p，使得： （1）p不能整除 （2）p整除，，， （3）不能整除 那么f(x)在有理数域上不可约. 注：定理1和定理 2 都只是判定整系数多项式在有理数域上不可约的充分不必要条件，这就是说不满足定理1和定理2的判定条件的多项式可能是不可约的。 定理3（爱森斯坦判别法的推广）设整系数多项式f(x)，若存在素数p，使得： （1）p不能整出 （2）p整除 （3）不能整除， （4）P不能整出，其中整除，且b≠，d=（，，，） 则f(x)在有理数域上不可约。 注：定理3和定理1，定理2之间没有任何联系，定理3适用于（，）≠1的情况，同时也说明了并不是所有的多项式只要满足定理1和定理2中的一个定理的判定条件，那么另
一个定理的判定条件也满足，定理3虽然解决了一些用定理1和定理2不能解决的问题，但是它任然只是充分条件，不是充要条件，因而任然存在有理数域上不能用定理1，定理2和定理3判定的不可约多项式，针对这种情况，下面给出两种判定多项式在有理数域上不可约的常见方法： （1）换元法-当题目不能满足定理1，定理2和定理3的判定条件，所以不能直接用定理1，定理2和定理3来证明，但是对函数进行换元后即可用爱森斯坦判别 法来证明。 （2）反证法-当题目不能直接用定理1，定理2和定理3来证明时，可假设命题成立，再利用爱森斯坦判别法来证明假设成立与否，即可得出结论。 二．性质 1.p(x)不可约则对任意或. 2. p(x)不可约,则对任意的非零c∈p,c p(x)不可约. 3.（1）p(x)不可约,则对任意的f,g∈,,得到或. （2）аp>0,对任意f,g∈可推出或,得到p是不可约多项式 三．证明： （1）具体多项式的不可约性证明 +…+在有理数域上不可约。 例1.若p为质数，求证有理系数多项式f（x）=1+x+ ！ 证明：p!f(x)是整系数多项式 p!f(x)=p!+p! 因为P为质数，整系数多项式p!f(x)符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式p!f(x)在整数环上不可约，即整系数多项式p!f(x)在有理数域上不可约。由此可得多项式f(x)在有理数域上不可约。 例2 .若P为质数，求证有理系数多项式f(x)=1+x++…+在有理数域上不可约。 证明：因为f(x)=,不妨设x=y+1得到 f(x)=f(y+1)==g(y).
不可约多项式
不可约多项式 在数学中，由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式（若有减法：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数不可约多项式是一种重要的多项式，它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。 概念 不可约多项式，顾名思义即不能写成两个次数较低的多项式之乘积的多项式。有理系数的多项式，当不能分解为两个次数大于零的有理系灵敏多项式的乘积时，称为有理数范围内“不可约多项式”。相应地可以定义实数系数或复数系数的不可约多项式。 “不可约”的意义随系数范围而不同。X2-2在有理数范围内是不可约多项式，但在实数范围内就是可约多项式了。 一种重要的多项式。它在多项式环中有类似于素数在整数环中的地位。对于数域P上的任意多项式f(x)，P中非零数c与cf(x)总是f(x)的因式。这两种因式称为f(x)的平凡因式，亦称当然因式。其他的因式，称为f(x)的非平凡因式，亦称非当然因式。设p(x)为P上的一个次数大于零的多项式，如果在P上p(x)只有平凡因式，则称p(x)在P上(或P[x]中)不可约，亦称p(x)是P上的不可约多项式，或既约多项式;如果p(x)除平凡因式外，在P上还有其他因式，则称p(x)在P上(或在P[x]中)可约，亦称p(x)是P上的可约多项式。一个多项式是否可约，与其基
域有关。例如，x-2在有理数域上不可约，但在实数域上可约，因为此时它有非平凡因式x+与x-。 数域P上的不可约多项式有如下的基本性质： 1。若p(x)不可约，且c≠0，c∈P，则cp(x)也不可约。 2。若p(x)不可约，f(x)是任一多项式，则(p(x)，f(x))=1或者p(x)|f(x)。 3。若p(x)不可约，且p(x)|f(x)g(x)，则p(x)|f(x)或者p(x)|g(x)
三元域上所有3次不可约多项式
一、概述 在数学领域中，多项式是一种非常基本且重要的数学对象，它们在代数、几何、分析等多个数学分支中都有着广泛的应用。在三元域上，寻找所有的3次不可约多项式是一个经典的问题，它不仅具有理论意义，而且对于实际问题的解决也有着重要的意义。本文将对三元域上所有3次不可约多项式进行系统的研究和讨论。 二、三元域上的不可约多项式 在数学中，不可约多项式是指不能分解为两个次数更低的多项式的乘积的多项式。在三元域上，我们希望研究所有的3次不可约多项式。这些多项式在代数学、密码学等领域中具有着重要的应用价值。 三、3次不可约多项式的构造 为了寻找所有的3次不可约多项式，我们可以利用一些基本的方法和定理来进行构造和判断。我们可以利用 Eisenstein 判据来判断一个多项式是否为不可约多项式。我们可以利用模运算来进行判断，如果对于给定的三元域上的素数，给定的多项式模这个素数不具有重根，则该多项式是不可约的。我们也可以利用分解法来寻找不可约多项式的构造方法。 四、三元域上的3次不可约多项式的性质 在研究三元域上的不可约多项式时，我们也需要研究它们的性质。它们的根的性质、它们的因子分解等方面的性质都是非常重要的。通过
研究这些性质，我们可以更深入地理解这些多项式在三元域上的特点。 五、三元域上3次不可约多项式的应用 我们还可以讨论三元域上的3次不可约多项式的应用。它们在密码学 中的应用、它们在代数学中的应用等方面都是非常重要的。通过研究 这些应用，我们可以更好地理解这些多项式的意义和价值。 六、总结 研究三元域上的3次不可约多项式是一项重要而又有挑战性的课题。 通过系统的构造、研究它们的性质以及探讨它们的应用，可以更好地 理解它们在数学领域中的重要性。希望本文的研究能够对进一步的研 究和应用提供一定的参考和帮助。三元域上的3次不可约多项式的构 造是一个复杂而又富有挑战性的问题。通过使用不同的方法和技巧， 我们可以找到许多3次不可约多项式的例子，并且逐步理解它们的性 质和特点。 一种常用的构造方法是通过Eisenstein 判据来判断多项式的不可约性。Eisenstein 判据是一种判定多项式不可约性的有效工具，通过这种方法，我们可以找到不少在三元域上不可约的3次多项式。另外，我们 还可以利用模运算来进行判断，例如选取合适的素数，如果对于给定 的三元域上的素数，给定的多项式模这个素数不具有重根，则可以判 定该多项式是不可约的。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件
不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得 ()()()()f x q x g x r x =+ 成立，其中(())(())r x g x ?
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。 注1: 带余除法中()g x 必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。 （2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。 （3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么 ()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++， 其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1] 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把49x -进行分解，可分解为 49x -()()2233x x =+-
成都市第七中学高一年级竞赛数学多项式专题讲义：5.多项式的因式分解
成都七中高一数学竞赛多项式专题讲义 A5.多项式的因式分解 一、基础知识 多项式的因式分解及唯一性定理：数域P 上每一个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式1212()()()()()()(),s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么 必有,s t =并且适当排列因式的次序后有()(),1,2, ,,i i i p x c q x i s ==其中(1,2, ,)i c i s =是一些非零常数. 多项式的标准分解式：数域P 上多项式1212()()() ()s r r r s f x cp x p x p x =,其中c 是()f x 的首项系数, 12(),(),,()s p x p x p x 是不同的首项系数为1的不可约多项式,而12,, ,s r r r 是正整数. 多项式的根：对任意多项式()[],f x P x ∈0x C ∈,如果0()0,f x =则称0x 为()f x 的根. 代数基本定理：每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一根. 这个定理首先是由高斯于1797年首先证明的,由于当时代数学研究的主要对象为多项式理论,这个定理是关于多项式理论的非常有用、非常基本的结论,因而被命名成代数基本定理,它有多个证明,都很复杂,并且或多或少地用到微积分等其他领域的结论,这里就不证明了. 显然我们可以利用代数基本定理得到每个次数大于1的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式.因此在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的.换句话说,不可约多项式只有一次多项式,于是多项式的因式分解定理在复数域上可以叙述成 复系数多项式因式分解定理：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积. 因此复系数多项式具有标准分解式：12 12()()()(),s l l l n s f x a x x x ααα=---其中12,, ,s ααα是不同的复数, 12,,,s l l l 是正整数.标准分解式说明每个n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算). 实系数多项式因式分解定理：每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积. 因此实系数多项式具有标准分解式：1 122111()()()()(),s r l l k k n s r r f x a x c x c x p x q x p x q =--?++++其中 111,,,,,,, ,s r r c c p p q q 全是实数,11,,,, ,s r l l k k 是正整数,并且2(1,2, ,)i i x p x q i r ++=是不可约的, 也就是适合条件2 40,1,2, ,.i i p q i r -<=
判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法
判定有限域上不可约多项式及本原多项式的一种高效算法王鑫;王新梅;韦宝典 【摘要】提出了一个判定有限域上任一多项式是否为不可约多项式、本原多项式的高效的确定性算法.分析了多项式次数与其不可约因式之间的内在联系,给出了有限域上任意n次多项式是否为不可约多项式、本原多项式的一个充要条件.通过利用欧几里得算法,该判定仅需做O((log2n)n3)次域上乘法,属于多项式时间,易于硬件实现.为扩频通信与序列密码寻找和利用不可约多项式构造线性反馈移位寄存器提供了一种有效算法. 【期刊名称】《中山大学学报（自然科学版）》 【年(卷),期】2009(048)001 【总页数】4页(P6-9) 【关键词】有限域;不可约;本原;多项式时间算法;扩频通信;序列密码 【作者】王鑫;王新梅;韦宝典 【作者单位】西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;西安电子科技大学综合业务网国家重点实验室,陕西,西安,710071;中山大学电子与通信工程系,广东,广州,510275 【正文语种】中文 【中图分类】TP309 有限域上的不可约多项式与本原多项式在密码，编码理论及随机数的产生等方面有
着广泛的应用。这是由于在扩频通信与序列密码中被广泛应用的伪随机序列，可在连续波雷达中用作测距信号，在遥控系统中用作遥控信号，在多址通信中用作地址信号，在数字通信中用作群同步信号，还可用作噪声源在保密通信中起加密作用。这些伪随机序列大部分是利用有限域上的不可约多项式和本原多项式通过反馈移位寄存器和其它非线性逻辑产生的。另一方面，多项式理论尤其是不可约多项式和本原多项式又是分析伪随机性能和密码体制的一种有效工具，因此研究有限域上的不可约多项式与本原多项式具有重要意义[1-4]。 设GF(q)为一个含q个元素的有限域，其中q=pk，p为一素数，k为正整数，那 么对于任一正整数n，一定存在GF(q)上的n次不可约多项式[5]。目前，判定有 限域上一个n次多项式是否不可约的方法一般有确定性(构造性)和概率性两种算法[6]。确定性算法由于检验的步骤多，计算量大，技术实现上比较复杂[7-9]，而概率性算法则是对随机给出的一个多项式，判别其是否为不可约多项式，重复某一过程直到给出肯定性判断为止，这便涉及算法成功的可能性有多大[10]。文[11]给出了一种新方案，但遗憾的是仅适用于少数特殊类型的多项式，即多项式的次数为素数或两个素数之积。本文通过对多项式的次数与其不可约因式之间的内在联系进行分析，给出了有限域上任意n次多项式为不可约多项式和本原多项式的充要条件。采用多项式快速模运算及欧几里德算法，该算法复杂度为O((log2n)n3)，属于多 项式时间，易于硬件实现。 本文所研究的多项式均为首一，非首一多项式可通过乘以非零常数化为首一，不影响其不可约性。我们用deg(f)表示多项式f(x)的次数；gcd(f(x),g(x))表示f(x)和 g(x)的最大公因式；以Sn表示自然数n的所有正因子的集合；符号|表示整除，⫮ 表示不能整除。 1 不可约与本原多项式的判定 定义1[6] 设有限域Fq=GF(q)，Fq[x]为GF(q)上的多项式环，f(x)称为不可约多项
高代丘维声(第二版下)
习题7.1 1．在K[x]中，如果f(x)=cg(x)，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数有什么关系？2．在K[x]中，如果f(x)g(x)=c，其中c∈K且c≠0，试问：f(x)与g(x)的次数各是多少？3．在K[x]中，如果f(x)与g(x)的次数都是3，试问：f(x)+g(x)的次数一定是3吗？4．设R是一个有单位元1（≠0）的环，对于a∈R，如果存在b∈R，使得ab=ba=1，则称a 为可逆元（或称a为单位，注意不要与单位元1混淆），称b是a的逆，记作a−1. 证明：K[x]中一个元素f(x)是可逆元当且仅当f(x)是零次多项式。 ﹡5. 设R是有单位元1（≠0）的环，证明R中的可逆元不可能是零因子。 6. 设A= 221 32 1 01 0001 00001 n n n n b b b b b b b b -- -- ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ，其中b∈K,求A−1. 7. 设A∈M n(K)，并且设A的特征多项式为|λI−A|=（λ−λ1）l1（λ−λ2）l2…(λ−λs)l s，其中λ1、λ2、…、λs是两两不同的复数：l1+l2+…+l s=n. 证明：对于K中任一非零数k，矩阵kA的特征多项式为|λI−kA|=（λ−kλ1）l1（λ−kλ2）l2…(λ−kλs)l s，由此得出，如果λi 是A的l i重特征值，则kλi是kA的l i重特征值。 ﹡8. 设A和A的特征多项式同第7题，证明：A2的特征多项式为|λI−A2|=（λ−λ12）l1 （λ− λ22）l2…（λ−λs2）l s.由此得出，如果λi是A的l i重特征值，则λi2是A2的l i重特征值。 习题 7.2 1.证明整除关系的传递性，即在K[x]中，如果f(x)︱g(x),且g(x)︱h(x)，则f(x)︱h(x). 2.证明本节的命题2，即在K[x]中，如果g(x)︱f i(x), i=1,2,…,s, 则对于任意 u i(x)∈K[x],i=1,2,…,s, 有g(x)︱(u i(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+…+u s(x)f s(x)). 3.用g(x)除f(x)，求商式与余式. (1)f(x)=x4-3x2-2x-1, g(x)=x2-2x+5；（2）f(x)=x4+x3-2x+3, g(x)=3x2-x+2. 4.设f(x)=x4-3x3+a1x+a0,g(x)=x2-3x+1,求g(x)整除f(x)的充分必要条件. 5.用综合除法求一次多项式g(x)除f(x)所得的商式与余式. (1)f(x)=3x4-5x2+2x-1,g(x)=x-4;(2)f(x)=5x3-3x+4, g(x)=x+2. ﹡6. 设a，b∈Z，如果有h∈Z使得a=hb，则称b整除a，记作b︱a，此时b叫作a的因数（或因子），a叫作b的倍数；否则，称b不能整除a，记作b a，证明： （1）如果a︱b且b︱a（此时称a与b相伴），则a=±b；反之也成立； （2）如果a︱b且b︱c，则a︱c； （3）如果b︱a i，i=1,2，…，s，则对于任意u i∈Z，i=1,2，…，s，有b︱(u1a1+u2a2+…+u s a s).
不可约多项式的判别
不可约多项式的判别 一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。下面给出了一些 判别不可约多项式的方法。 1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。 - Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式， 且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。如果 存在一个素数 p，满足以下条件： - p 不能整除 aₙ； - p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁； - p²不能整除 a₀； 那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。 - Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可 以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。如果存在 一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的 意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可 约的。 2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可 约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。 带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x) 和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数 小于 B(x) 的多项式。如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。 需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。 综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文 主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳 ，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给 出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2.不可约多项式的概念及性质 2.1整除的概念 设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0， 定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得 f(x) =q(x)g(x)+ r(x) 成立，其中c(r(x)) H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。 证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。反过来，如果 g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。 注1:带余除法中g(x)必须不为零。 F 面介绍整除性的几个常用性质： (1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。 (2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。 (3) f (x) | g(x), f (x) | g(x)i=12| 朴,r ，那么 f (X)1(U i (x) g i (x) +u 2(x)g 2(x) +川+ u r (x)g r (x)), 其中ui(x)是数域P 上任意多项式。⑴ 2.2本原多项式 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素， 那么f (x)叫做一个本原多项式。 2.3有理数域上多项式的等价 设g(x)有理数域上的一个多项式， 若g(x)的系数不全是整数，那么以g(x) 系数分母的一个公倍数乘g(x)就得到一个整系数多项式f(x)。显然，多项式g(x) 与f(x)在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘 积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可 再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言, 有例如下 把x^9进行分解，可分解为 X 4-9=(X 2+3X X 2 -3) 但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进 X 4 -9 =以2 +3X X -5/3)(X + 73) g(x) rH 步 基本不等式在求最值中的应用与完善 杨亚军 函数的最值是函数这一章节中很重要的部分,它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关，而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具.本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会。只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项,才能更好地去解决实际应用问题。 一、基本不等式的内容及使用要点 1、二元基本不等式： ①a，b∈R时,a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时“=”号成立）； ②a，b≥0时，a+b≥2 (当且仅当a=b时“=”号成立）。 这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式 及公式的变形：ab≤ ，ab≤ 。对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：｜ab|≤ . 由数列知识可知，称为a，b的等差中项，称为a,b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数 的等比中项不大于它们的等差中项”. 2。三元基本不等式： 当a，b，c〉0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时,等号成立,…… 乃至n元基本不等式；当a i 〉0（i=1，2，…，n）时，a 1 +a 2 +…+a n ≥ . 二元基本不等式的其它表达形式也应记住:当a〉0，b>0时， ≥2，a+ ≥2等。 当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形， 如a<0时,可得到a+ ≤—2。 基本不等式中的字母a，b可代表多项式. 3.利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等"，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值(常数），“三等"指的是等号条件能够成立. 利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数,高次函数，无理函数。 利用基本不等式求函数最值时,可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足.常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。 在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用,如通过解不等式的途径。 一般说来，“见和想积,拆低次，凑积为定值，则和有最小值; 第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4 (1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2 +x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1 + … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。 本科毕业论文(设计) 论文题目：有理数域上多项式的因式分解 学生姓名： 学号： 专业： 班级： 指导教师： 完成日期：年月日 有理数域上多项式的因式分解 内容摘要 多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他高代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据.因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础.因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究. 本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判断多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考；并在实际应用中融入因式分解的意义和目的. 关键词：有理数域多项式因式分解 Rational polynomial factorization domain Abstract Polynomial theory is the study of Higher Algebra and analytic geometry essential content, it has independent and complete not system based on other generation of high theoretical basis and algebra and other branches of mathematics learning and provide a theoretical basis. Factorization, also called factorization, we study the rational number field polynomial theory is one of the core, also for further study of the essential basis of the algebra and scientific knowledge. Therefore, here we want to factor the polynomial over the rational number field decomposition was studied. This paper tells the factorization of polynomial factorization of rational number field conditions and methods, through multiple discriminant method to determine sufficient conditions for polynomial factorization; in polynomial can factorization based, summed for simple algorithm for polynomial factorization, give an example for reference; and in the practical application into factorization of meaning and purpose. Key words：Rational number field polynomial factoring三元基本不等式
高等代数考研真题 第一章 多项式
有理数域上多项式的因式分解