反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数是一种特殊的函数，反比例函数图象具有一定的对称性。其主要表示形式如 y=（1/x），其中变量x和y皆为正数数，x轴上有一个特殊的点0，当X>0时，函数图象在ｘ轴上可以看做
是一个对称轴，即垂直于X轴的Y=1/x的函数图象具有对称性，
其中X轴为一个对称轴。
反比例函数图象的主要特点是：
1、它的函数图象具有对称性，即函数图象具有上下或者左右对称，当X>0时，函数图象位于x轴上，其中X轴可以看做是一个特殊
的对称轴。
2、若X变化，则函数图象也会发生变化，当X变大时，则函数图
象向原点靠拢，当X变小时，则函数图象会向X轴的右方延伸，
由此可知，反比例函数的函数图象具有一定的可逆性。
反比例函数的主要应用是：
1、它可以用来表达不同量的间接比例关系，反比例函数的函数表
达式为：y=（1/x），即当X变大时，Y变小，当X变小时，Y变大。例如，在货币贬值的动态市场中，当币值贬值时，相应地，
其价格就会上涨，这就可以用反比例函数来表示。
2、反比例函数也可以用来表达物体关于空间来描述它们之间的关系，如在西洋棋中，每一颗棋子都有一定的位置，从而确定它们之间的关系，也就是说，反比例函数可以用来描述它们之间的关系。
3、反比例函数可以用来描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化，例如当食物的价格越低，销量越高，当价格越高，销量越低，这就可以用反比例函数来描述这种关系的变化。
因此，反比例函数具有其特定的应用和优势，它可以用来表达不同量的间接比例关系，表达物体关于空间的关系，也可以描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化。凭借其独特的属性，反比例函数的应用领域可以说是非常广泛的，在生活中
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图象和性质 一、反比例函数的定义 函数k y x = （k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数． 二、反比例函数的图象 反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线． 反比例函数k y x =与k y x =-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 三、反比例函数的性质 反比例函数k y x = （k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大． 注意： ⑴反比例函数k y x =（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此， ①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”， 如当0k >时，双曲线k y x =的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小． 这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故． 如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的． ⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式． 四、反比例函数解析式的求法 反比例函数的解析式(0)k y k x =≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因 此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式． 五、比例系数k 的几何意义 过反比例函数()0k y k = ≠，图象上一点()P x y ， ，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩
反比例函数一次函数二次函数性质及图像
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 >0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。 6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。 7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。 8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x 轴对称,并且关于原点中心对称. 10.反比例上一点m 向x 、y 分别做垂线，交于q 、w ，则矩形mwqo （o 为原点）的面积为|k| 值相等的反比例函数重合，k 值不相等的反比例函数永不相交。 12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。 13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 一次函数 （一）函数 1、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零
反比例函数图象及性质
反比例函数图象及性质 【知识点】 定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。 表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0） 函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交. 函数的性质：Y 与x 的变化： 当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。 因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与 y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。 面积： 在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=?|k|。 对称性： 类型一：函数性质，比较大小 例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数x y 1 = 的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（ ） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x k y x +＝ （k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；
反比例函数图象的对称性及其应用
反比例函数图象的对称性及其应用 反比例函数图象的对称性及其应用 反比例函数是一种特殊的函数，反比例函数图象具有一定的对称性。其主要表示形式如 y=（1/x），其中变量x和y皆为正数数，x轴上有一个特殊的点0，当X>0时，函数图象在ｘ轴上可以看做 是一个对称轴，即垂直于X轴的Y=1/x的函数图象具有对称性， 其中X轴为一个对称轴。 反比例函数图象的主要特点是： 1、它的函数图象具有对称性，即函数图象具有上下或者左右对称，当X>0时，函数图象位于x轴上，其中X轴可以看做是一个特殊 的对称轴。 2、若X变化，则函数图象也会发生变化，当X变大时，则函数图 象向原点靠拢，当X变小时，则函数图象会向X轴的右方延伸， 由此可知，反比例函数的函数图象具有一定的可逆性。 反比例函数的主要应用是： 1、它可以用来表达不同量的间接比例关系，反比例函数的函数表 达式为：y=（1/x），即当X变大时，Y变小，当X变小时，Y变大。例如，在货币贬值的动态市场中，当币值贬值时，相应地，
其价格就会上涨，这就可以用反比例函数来表示。 2、反比例函数也可以用来表达物体关于空间来描述它们之间的关系，如在西洋棋中，每一颗棋子都有一定的位置，从而确定它们之间的关系，也就是说，反比例函数可以用来描述它们之间的关系。 3、反比例函数可以用来描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化，例如当食物的价格越低，销量越高，当价格越高，销量越低，这就可以用反比例函数来描述这种关系的变化。 因此，反比例函数具有其特定的应用和优势，它可以用来表达不同量的间接比例关系，表达物体关于空间的关系，也可以描述在某一框架中某个物体与另一个物体之间关系的变化。凭借其独特的属性，反比例函数的应用领域可以说是非常广泛的，在生活中
反比例函数图象、性质和应用
年 级 初三 学 科 数学 版 本 北京实验版 内容标题 第二十章 第六节 第七节 小结与复习 编稿老师 卢凤银 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 第六节 反比例函数 第七节 反比例函数图象、性质和应用 小结与复习 二. 教学目标 1. 了解反比例函数的意义，会判断一个函数是否是反比例函数 2. 掌握反比例函数图象的画法 3. 掌握反比例函数图象和性质，会简单的应用 4. 会运用待定系数法，根据不同的条件确定反比例函数的解析式 三. 教学重点、难点： 1. 重点：反比例函数的概念、图象和性质 2. 难点：解析式)0k (x k y ≠= 中参数k 对图象特征的影响 四. 教学过程 （一）知识点： 1. 反比例函数的定义： 一般地，函数x k y = （k 是常数，0k ≠）叫反比例函数，x k y =是反比例函数的一般形式，k 叫反比例系数。 注：x k y = 亦为)0k (kx y 1≠=- 2. 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象是双曲线，两个分支关于原点对称，与x 轴，y 轴均无交点 1）当0k >时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在每个象限内，y 随x 增大而减小 2）当0k <时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y 随x 增大而 3. 反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定只需确定k 值，需要一个点即可列出方程 【典型例题】 例1. 如果函数2 k 3x )k 2(y --=是反比例函数，那么k 的值为__________。 解：∵函数2k 3x )k 2(y --=是反比例函数
∴⎪⎩⎪⎨ ⎧-=-≠-1 k 30 k 22 解得2k ≠且2k ±= 例2. 如图，函数k kx y -=和函数)0k (x y ≠= 的图象在同一坐标系中应为（ ） 0 y y y y x x x x (1) (2)(3) (4) A. （1）或（3） B. （2）或（3） C. （2）或（4） D. （1）或（4） 解：选C 例3. 已知反比例函数的图象经过点)3,2(P -，求它的解析式 解：设反比例函数的解析式为x k y =，由于它的图象经过点)3,2(P - ∴ 32 k =- ∴6k -= ∴这个函数的解析式为x 6y - = 例4. 已知1y 是x 的一次函数，2y 是1y 的反比例函数，那么2y 也是x 的函数，若同在一坐标系中，1y 和2y 的图象交于点A （1，3）和B （4，-3），求这两个函数的解析式。 分析：由于A （1，3）和B （4，-3）是1y 和2y 的图象的交点，所以A 、B 都在一次函数1y 的图象上，用待定系数法可以求出它的解析式，从而求出函数2y 的解析式。 解：设一次函数的解析式为)0k (b x k y 111≠+=，因它的图象经过点A （1，3）B （4，-3），则有 ⎩⎨ ⎧-=+=+3b k 43 b k 1 1 解此方程组，得 ⎩ ⎨ ⎧=-=5b 2 k 1 于是，这个一次函数的解析式是5x 2y 1+-= 又由于2y 是1y 的反比例函数，设它的解析式为 )0k (y k y 21 22≠=
反比例函数专题知识点归纳 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+ 重难点题型（含详细答案） 一、目录 一、目录 (1) 二、基础知识点 (2) 1.知识结构 (2) 2.反比例函数的概念 (2) 3.反比例函数的图象 (2) 4.反比例函数及其图象的性质 (2) 5.实际问题与反比例函数 (4) 三、常考题型 (6) 1.反比例函数的概念 (6) 2．图象和性质 (6) 3．函数的增减性 (8) 4．解析式的确定 (10) 5．面积计算 (12) 6．综合应用 (17) 三、重难点题型 (22) 1.反比例函数的性质拓展 (22) 2.性质的应用 (23) 1.求解析式 (23) 2.求图形的面积 (23) 3. 比较大小 (24) 4. 求代数式的值 (25) 5. 求点的坐标 (25) 6. 确定取值范围 (26) 7. 确定函数的图象的位置 (26)
二、基础知识点 1.知识结构 2.反比例函数的概念 （k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=k x 的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0这一限制条件； （k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=k x 比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=k x 3.反比例函数的图象 的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=k x 不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）． 4.反比例函数及其图象的性质 1．函数解析式：y=k （k≠0） x 2．自变量的取值范围：x≠0 3．图象： （1）图象的形状：双曲线．
反比例函数及应用
反比例函数及应用 反比例函数是一种常见的函数形式，在数学中广泛应用于各种 领域，包括经济、物理、工程等。本文将介绍反比例函数的定义、图像特征、性质以及其应用。 一、反比例函数的定义及图像特征 反比例函数的定义为： $$y=\frac{k}{x}$$ 其中，$k$ 为比例系数，且 $x\neq0$。 反比例函数的图像具有以下特征： 1. 曲线始于第一象限，以原点为渐近线。 2. 当 $x>0$ 时，函数值单调递减。
3. 当 $x<0$ 时，函数值单调递增。 4. 反比例函数关于 $x$ 轴对称。 5. 当 $x\to\infty$ 时，函数值趋近于 $0$；当 $x\to0$ 时，函数值趋近于无穷大。 下图为反比例函数图像的示意图： [image] 二、反比例函数的性质 反比例函数的常见性质包括： 1. 定义域为 $x\neq0$，值域为 $y\neq0$。 2. 对称轴为 $x$ 轴。
3. 函数连接点为原点。 4. $k$ 的正负决定了函数的增减性和图像所在的象限。 5. 当 $k>0$ 时，函数单调递减；当 $k<0$ 时，函数单调递增。 三、反比例函数的应用 反比例函数在各种学科领域中都有广泛的应用。下面我们将介绍一些具体的应用案例。 1. 经济学中的应用：供给曲线 在经济学中，供给曲线描述了在一定时间内产品供给量与价格之间的关系。在某些情况下，供给量与价格是反比例的关系。 例如，对于某种商品，生产成本不变的情况下，供给量与价格之间的关系可以表示为：
$$Q=\frac{k}{p}$$ 其中，$Q$ 表示供给量，$p$ 表示价格，$k$ 为常数。 这个函数就是反比例函数。经济学家可以通过这个函数来分析供给量和价格之间的关系，制定合理的政策和措施。 2. 物理学中的应用：洛伦兹力定律 在物理学中，洛伦兹力定律描述了运动带电粒子在电场和磁场中所受到的力。当电荷 $q$ 以速度 $v$ 运动时，所受力可以表示为： $$F=q(v\times B)$$ 其中，$B$ 为磁感应强度，$v$ 为运动速度。 当电荷在电磁场中运动时，其速度与受力的关系可以表示为： $$F=\frac{qvB}{sin\theta}$$
反比例函数关于直线对称
反比例函数关于直线对称 反比例函数是一种特殊的函数类型，又称为倒数函数。它的定义域为实数集，但其值域则不包含0。反比例函数的图像为一个双曲线。 对于任意反比例函数f(x)，设其表达式为f(x)=k/x，其中k为常数且不等于0。设一条直线为y=a（a为常数）。若f(x)对称于直线y=a，则有： f(x)-a=-[f(2a-x)-a] 由此可以推导出： 整理得到： x=(k/a+2a-k/x)/2 通过移项和通分，得到： 化简得到： 更进一步，得到： 由此，我们得到了关于反比例函数关于直线y=a的对称公式。这个公式可以帮助我们求出反比例函数在对称轴y=a处的对称点坐标，具有实际的应用价值。 需要注意的是，在反比例函数定义域内，函数值随着自变量的增大而减小。对于不同的对称轴y=a，反比例函数的图像在对称轴左侧和右侧的形态并不相同。 通过对反比例函数和直线的对称性进行分析，我们可以得到反比例函数关于直线对称的公式，并进一步应用到具体实践当中。这对于理解和解决相关问题具有重要意义。反比例函数在实际应用中具有广泛的应用。在电学中，电路中电阻与电流的关系、电动势与电流的关系都可以表示为反比例函数。再在经济学中，多种经济指标之间的关系也可以表示为反比例函数。 反比例函数对于经济学和环境学的研究尤为重要。在资源分配和环境治理方面，反比例函数经常被用来研究经济增长与环境保护之间的关系。在这个领域中，反比例函数表示了经济增长和环境破坏之间的关系，通过调节其参数可以平衡经济发展与环境保护之间的矛盾。 反比例函数还可以解决诸如汽车保险费用计算、员工工资计算等与相对大小相关的问题。在这些问题中，反比例函数可以表达出各因素间的等比关系，帮助我们快速准确地计算出相应的数值。
反比例函数图像的对称性
数学实验：反比例函数图像的对称性 教学背景： 《反比例函数》是苏科版数学八年级下学期的重要内容之一，对于反比例函数图像对称性的学习，学生往往局限于初步的感性认识，对称性结论的了解，缺乏推理证明和深入的思考，一方面是教材中没有对应的教学内容，可以不花过多精力学习；另一方面证明有一定的难度，需要一定的教学时间，所以教学时往往是一带而过。这就导致学生对反比例函数图像的对称性只能停留在了解的层面上，遇到问题很难与对称性相结合，快速简便的解决问题。 数学实验的意义： 数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。借助于计算机的技术和数学软件包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。 教学目标： 借助于透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观。 教学重点难点： 借助于几何画板软件和平面直角坐标系内对称点的坐标的特点证明反比例函数图像的对称性。 教学用具： 透明纸片、大头针（或图钉）、剪刀、几何画板软件的多媒体教学一体机、苏科版八年级数学《实验手册》. 教学过程： 1.提出问题：反比例函数图像具有对称性吗？ 2.数学实验：苏科版八年级数学《实验手册》P39 （1）验证反比例函数图像的中心对称图形； （2）验证反比例函数图像是轴对称图形. 3.几何画板验证中心对称性：
4.推理证明： （1）为什么反比例函数的图像是中心对称图形？ （2）为什么反比例函数的图像是轴对称图形？ 5.结论： 反比例函数既是中心对称图形，又是中心对称图形. 6.实验感受： 遇到问题时，要敢于提出问题，经历大胆猜想，操作验证，理论证明等探索过程，最终解决问题. 7.典型应用 例题1：求点的坐标 如图，直线与双曲线的一个交点A是（3，2），则它们的另一个交点B的坐标是. 例题2：求面积 如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B为圆心紧挨着x轴画圆，点A的坐标为（2，1）,求图中两个阴影部分面积的和是.
巧用反比例函数的对称性解题
巧用反比例函数的对称性 反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙． 一、求代数式的值 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x = 的图象交于A 11()x y 、，22()x y 、 两点，那么2121()()x x y y --的值为 方法一 设正比例函数的解析式是y kx =，与反比例函数6y x = 联立方程，消去y 得到260kx -= 由韦达定理，可知121260,x x x x k +== 又1122.,y kx y kx == ∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =-- 221()k x x =- 21212()4k x x x x ⎡⎤=+-⎣⎦ 604k k ⎛⎫=- ⎪-⎝ ⎭ =24 方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以， 12x x =-且，12y y =- ∴2121()()x x y y -- 2222()()x x y y =++ 22424x y == 这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的
对称性不可忽视． 反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x =的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来 体验一下． 二、求比例系数k 例2 如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x =交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是 方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x = 联立方程，得到220x x k -+-= 由韦达定理，可知 12122,x x x x k +== 又EF = 12AB = 12x - 1== 解得34 k = 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x = 对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ． 而A (2，0)，B (0，2)， 所以F 13(,)22，易得34k = ． 三、图形面积问题 例3 如图2，过点O 作直线与双曲线(0)k y k x =≠交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点c ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E ，F ，使点A ，E ，F 在同一条直线上，且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ，△EOF 。的面积为2s ，则1s ，2s 的数量关系是 解析 设A (m ，一n )，过点O 的直线与双曲线k y x = 交于A ，B 两点，则A ，B 两点关 于原点对称，则B (一m ，n )． 矩形OCBD 中，易得 OD =n ，OC =m ，
反比例函数的图象与性质
第17讲 反比例函数的图象与性质 考点·方法·破译 1．反比例函数的定义：形如k y x = （或1 y kx -=，k ≠0）,y 叫做x 的反比例函数. 2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y ＝x 或y ＝－x 轴对称，关于原点O 成中心对称，当k ＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k ＜0时，图象的两支分别在第二、四象限， 3．反比例函数的性质：当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 增大而增大. 经典·考题·赏析 【例１】（西宁）已知函数k y x =-中，x ＞0时，y 随x 增大而增大，则y ＝kx －k 的大致图象为（ ） k ＞0，而一 次 A 01．已知反比例函数a y x =（a ≠0）的图象，在每一象限内，y 的值随着x 值增大而减小， 则一次函数y ＝－ax ＋a 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 02．（龙岩）函数y ＝x ＋m 与m y x =（m ≠0）在同一象限内的图象可以是（ 03（2， y 1随着x 其中正确结论的序号是 . 【例2】如图，A 、B 分别是反比例函数 10y x =，6y x =图象上的点，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OB 、OA ，OA 交BD 于E 点，△BOE 的面积为S 1，四边形ACDE 的面积为S 2，则S 2－S 1＝ . A B C D A B C D
【解法指导】在反比例函数 k y x =中，k的几何意义为： 中 12 2121 106 ( )()2 2222 ODE OBE k k S S S S S S ∆∆ -=+-+=-=-= 【 变式题组】 01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 k y x =过点A，则k的值是（）A． 2 B．－2 C．4 D．－4 02．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线 3 y x =（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（） A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小 03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线 3 y x =上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂 线，若S 阴影 ＝1，则S1＋S2＝. 04．（河池）如图，A、B是函数 2 y x =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y 轴，△ABC的面积记为S，则（） A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4 05．（泰安）如图，双曲线 k y x =（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（） A． 1 y x =B． 2 y x =C． 3 y x =D． 6 y x = 【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函 数 m y x =的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点 ⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； 第1题图第2题图第3题图第4题图第5题图
反比例函数的图象和性质
第17课时 反比例函数的图象和性质 一、知识链接 1.反比例函数的概念 形如 k y x = 〔k 都是常数，且k ≠0〕的函数就叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数。变式：1 -=kx y 或xy ＝k (k 是不为零的常数)。 2.反比例函数的图象与性质 反比例函数x k y = (k ≠0)的图象是双曲线，且关于 原点 对称，性质如下表： k 的符号 k ＞0 k ＜0 图象 性质 ①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是 0y ≠ ； ②函数图象双曲线的两个分支分别在第一、三 象限，与x 轴与y 轴都没有交点.在每个象限内，y 随x 的增大而 减小 . ①x 的取值范围是x ≠0，y 的取值范围是 0y ≠ ； ②函数图象双曲线的两个分支分别在第 二、四 象限，与x 轴与y 轴都没有交点.在每个象限内，y 随x 的增大而 增大 . 3. k 的几何意义：在反比例函数x k y = (k ≠0)的图象上任取一点，过这点分别作x 轴、y 轴 的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积等于 。 4. 待定系数法求反比例函数的表达式 先设函数表达式为x k y = (k ≠0)，再根据条件求出未知系数k 的值，从而写出这个函数的表达式。 二、基训热身 1、〔2022•上海〕反比例函数y = k x 〔k 是常数，k ≠0〕，在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的 2、〔2022•怀化〕点A 〔﹣2，4〕在反比例函数y =〔k ≠0〕的图象上，那么k 的值为 ﹣8 ． 3、〔2022•兰州,〕假设反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k 的取值可以是〔 A 〕 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 以上都不是 4、(2022•东营)如图，函数y =和y =﹣的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，那么三角形P AB 的面积为 8 ．
反比例函数的图象、性质及其应用
反比例函数的图象、性质及其应用一、选择题 1. (2014·扬州)若反比例函数y＝k x(k≠0)的图象 经过点P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是() A. (3，－2) B. (1，－6) C. (－1，6) D. (－1，－6) 2. (2014·随州)关于反比例函数y＝2 x的图象，下 列说法正确的是() A. 图象经过点(1，1) B. 两个分支分布在第二、四象限 C. 两个分支关于x轴成轴对称 D. 当x<0时，y随x的增大而减小 3. (2014·哈尔滨)在反比例函数y＝k－1 x的图 象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k 的取值范围是() A. k>1 B. k>0 C. k≥1 D. k<1 4. (2014·常州)已知反比例函数y＝k x的图象经 过P(－1，2)，则这个函数的图象位于() A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第二、四象限 5. (2014·兰州)若反比例函数y＝k－1 x的图象 位于第二、四象限，则k的取值可以是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上都不是 6. (2014·安顺)如果点A(－2，y1)、B(－1，y2)、 C(2，y3)都在反比例函数y＝k x(k>0)的图象上，那么 y1、y2、y3的大小关系是() A. y1