二 有限元分析的基本过程

二有限元分析的基本过程

1 单元

有限元- 连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。单元中的基本物理量(结构分析- 位移；热分析- 温度；电磁分析- 电位势，磁通量；流体分析- 流量，等) 用单元节点处的值表示，可以写为：

{u} = [P] {ue}

其中：

{u} - 单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数：

{u} = {u (x,y,z)}

[P] - 形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关

{ue} - 单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转

角或其对坐标的导数。

常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。

结构分析时一些常用单元的节点自由度(在单元坐标系中)

杆元：单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。

在单元坐标系中：

节点自由度为Tx和Rx，其中x 为杆的轴线。

在总体坐标系中：

三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。

梁元：单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂

直于轴线方向的弯曲

在单元坐标系中：

节点自由度为Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。其中x 为梁的

轴线，Y,z为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。

在总体坐标系中：

三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)。

平面单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。

节点自由度为T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。

轴对称单元：三角形或四边形，变形为两个面内位移。

节点自由度为T1,T2。单元坐标系与总体坐标系一致。

板壳元：三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移

及两个转角(一般缺少绕法线转角)。

在单元坐标系中：

三个位移和三个转角(Tx,Ty,Tz,Rx,Ry)

在总体坐标系中：

三个位移和三个转角(T1,T2,T3,R1,R2,R3)

三维实体：四面体～六面体，三个方向的位移，无转角。

节点自由度为三个位移(T1,T2,T3)，单元坐标系与总

体坐标系一致。

结构分析时一些特殊单元

为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数CAE 软件中都引入了一些特殊的单元，例如：

弹簧单元- 模拟拉压或弯扭弹簧连接

阻尼单元- 模拟阻尼器等结构件

质量单元- 用于处理集中质量

接触单元- 用于处理接触非线性问题

间隙单元- 用于处理接触非线性问题

拉索单元- 用于模拟只受拉不受压的线结构

各种连接单元- 用于模拟结构件之间的不同连接方式，如

铰接、刚性连接等

刚体单元- 将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模

型的规模

等

单元形状函数举例(未必是实际使用的单元)：

(1) 一维单元

a. 杆单元

轴向拉伸和扭转：节点位移自由度为Tx，Rx

对2 节点单元(线性单元)：

Tx = a0 + a1 * x

Rx = b0 + b1 * x

各有2 个未知数，可以由2 个节点的位移值确定；

对3 节点单元(二次单元)：

Tx = a0 + a1 * x + a2 * x2

Rx = b0 + b1 * x + b2 * x2

各有3 个未知数，可以由3 个节点的位移值确定；

b. 梁单元

拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同；

对于弯曲变形(以单元坐标系y 向为例)，2 节点单元相应的形状函数为：Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3

由两个节点的Ty,Rz可以确定四个未知数；

对于3 节点单元：

Ty = c0 + c1*x +c2*x2 + c3*x3 +c4*x4 + c5*x5

由3 个节点的Ty,Rz可以确定6 个未知数；

(2) 二维单元

a. 平面单元(平面问题，轴对称问题) ，以Tx为例

三节点三角元：

Tx = a0 + a1*x + a2*y

三个未知数可以由三个节点的Tx表示；

6 节点三角元：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2

6 个未知数可以由6 个节点的Tx表示；

4 节点四边形元：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*xy

4 个未知数可以由4 个节点的Tx表示；

8 节点四边形元：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2

+ a6*(x3 + xy2) + a7*(x2y + y3)

8 个未知数可以由8 个节点的Tx表示；

上面使用的简单多项式，对于 4 节点或8 节点四边形(特别是使用简单多项式的8 节点单元，三次项缺失较多)，使用效果往往不好。

实际使用的是"等参数单元"，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。然后用“内插函数” 来构造形状函数。

(2) 二维单元(续)

b. 弯曲单元(板、壳问题)

平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形- Tz，每个节点有三个弯曲自由度：Tz, Rx, Ry (法向位移和两个转角)。

三节点三角元：

Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2

+ a6*x3 + a7*(x2y + xy2) + a8*y3

9 个未知数可以由三个节点的Tz, Rx, Ry表示。

这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。

4 节点四边形元：

Tz = a0 + a1*x + a2*y + a3*x2 + a4*xy + a5*y2

+ a6*x3 + a7*x2y + a8*xy2 + a9*y3 + 2 个四次项

12 个未知数可以由四个节点的Tz, Rx, Ry表示。这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是"等参数单元"。

同样可以构造"高阶" 单元(6 节点三角元、8 节点四边形单元)。

(3) 三维实体单元

每个节点三个自由度：Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系x,y,z与总体坐标系X,Y,Z 相同。

a. 四面体单元(以Tx为例)

4 节点单元：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z

四个未知数由四个节点的Tx确定。

10 节点单元(增加6 个边的中点)：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +

a6*z2 + a7*xy + a8*yz + a9*zx

10个未知数由10 个节点的Tx确定。

b. 六面体单元(以Tx为例)

8 节点单元(直观的例子，实际用"等参数单元")：

Tx = a0 + a1*x + a2*y + a3*z + a4*x2 + a5*y2 +

a6*z2 + a7*(xy + yz + zx)

8 个未知数由8 个节点的Tx确定。

20 节点六面体单元：

使用完整的三次多项式，共20 个未知数，由20 个节点的Tx确定。实际中使用的是"等参数单元"。

理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。但实践发现，单元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。经数学界研究发现，单元的构造必须满足相容性(协调性) 和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。

(1) 单元的完备性要求：

对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的"应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。

与"应变-位移" 关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在"应变-位移" 关系式中微分后得到常应变项。因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。

这一条可以归结为：位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。

(2) 单元的相容性(协调性) 要求：

单元的位移函数必须包含所解决问题的"应变-位移" 关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。

如一般弹性问题(平面问题、轴对称问题和三维弹性问题)，其“应变-位移” 关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可(Tx = a0 + a1*x + a2*y +

a3*z ...)。

对板弯曲问题，"应变-位移" 关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：Tz,Rx,Ry。这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。

在满足相容性(协调性) 要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。如果只满足完备性，而不满足相容性(如板弯曲问题)，解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。

2 单元特性的推导(略)

3 单元组集

将所有单元的应变能求和，得到整个结构的应变能：

U = S Ue = 1/2 {u}T [K] {u}

其中{u} 是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成,称为结

构位移矢量；[K] 是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。

考虑两个杆单元的情况(下页图)，各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵

用总体自由度序号表示如下：

在计算整个结构的应变能时，将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进行求和，例如K4,4 ~ K4,6、K5,4 ~ K5,6、K6,4 ~ K6,6，从而得到整个结构的

刚度矩阵。

如果单元中作用有外力，可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上：

然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功：

V = [F] {u}

其中[F] 为所有节点的外力矢量(每个节点三个分量)，{u} 为所有节点的位移矢量(每个节点三个分量)。

然后，根据最小势能原理，真实位移应该使总势能取极小值：

总势能为：

P = U - V = 1/2 {u}T [K] {u} - [F] {u}

对{u} 取极值，即总势能对{u} 的一次导数为零：

由此得到：

[K] {u} - {F} = 0

或

[K] {u} = {F}

这就是待求解的有限元代数方程。由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程，从而使问题的求解变得容易。

不过，现在还不能马上求解，因为数学上已经证明，没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵(行列式为零)，从物理上来说，即存在刚体运动，及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。为了求解，必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。

常用的约束条件有：

指定节点位移(通常是零)；

弹性约束(弹性地基)

等。

缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。

在约束自由度上会产生约束反力，对于结构而言，约束反力也是一种外力，以{R} 表示约束反力，整个结构的方程可以写成：

[K] {u} = {F} + {R}

其中反力{R} 仅在约束自由度上不为零。

对整个结构的位移自由度重新排序，将已知位移自由度放到最后，分别以下标f 和r 代表未知和已知的自由度，则有：

展开后分解为两个方程：

[Kff] {uf} = {Ff}

[Krf] {uf} + [Krr] {ur} = {Fr} + {R}

第一个方程用来求解未知的位移自由度，第二个方程改写为：

{R} = {Fr} - [Krf] {uf} - [Krr] {ur}

用来计算约束反力。

在求出整个结构的节点位移后，可以回到各单元，计算单元的应力、应变等其它所需的物理量(通常称为数据恢复)。至于节点应力、应变等物理量，通常用与节点相邻的单元的平均值代表。