某地区未来十年电力发展规划模型

某地区未来十年电力发展规划模型

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某地区未来十年电力发展规划模型

【摘要】

本文建立了一个电力规划中经济最优化静态模型。

本文认为该问题中的经济最优化不是经济利益达到最大化，而是在满足技术要求下的成本最小化。该模型首先利用数学软件LINDO解出满足技术要求下的各方案的分配份额：扩建旧火电站:新建水电站:新建火电站=5:4:2。其次，本文考虑了各项建设的时间、顺序上的安排对于节省成本的影响，用MATLAB软件通过画图确定了在第一年年初即队原旧火电站进行扩建；在第四年投入使用新的水电站；最后在第八年年初起投入使用新的火电站。再次，本文考虑了从装机台数的角度降低成本，以期在最小的成本投入下完成各项建设。

我们最后得出的建设方案安排为：

在第一阶段，也即扩建原有的旧火电站阶段，我们预备在第一年扩建两台单机容量为10千瓦的发电机组；而在第二年和第三年各扩建一台和两台；

第二阶段，也即新建水电站阶段，从第四年初到第七年末的四年间，每年建设一台单机容量为25千瓦的发电机组台数；

第三阶段，也即新建火电站阶段，在第八年和第九年初，各建设并投入使用一台单机容量为30千瓦的发电机组；至此，全部建设完成并投入正常运作。

由此，我们算出最终的投入成本为23.3866亿。

【关键词】

经济最优化、成本最小化、静态模型、MATLAB

一、问题的重述

某地区在制定十年电力发展规划时遇到一个问题：根据电力需求预测得知，该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度。根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：

1）扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；

2）新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；

3）再新建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。

通过调研和计算，获得有关的参数如表1所示：

表1 :备选技术方案参数表

工程投资

单机容

量

（万千

瓦）允

许

装

机

台

数

资本回收

因子

年运行成本

（百万元/亿

度）

负荷因

子

备选方案工

程

特

点

前期工程

投资（百万

元）

单机设备投

资（百万元）

1 扩

建

旧

火

电

站

21 10 5 0．103 4．11 0．66

2 新

建

水

电

站

504 70 25 4 0．0578 2．28 0．4

3

新

建

火

电

站

240 65 30 4 0．103 3．65 0．7

表一

表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。根据该地实际调查

原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为

146天和255天，而全年365天，故折算得表中数据。表中资本回收因子是由如

下数据所确定的，火电站的回收年限取15年，年利息率为0．06；水电站的回

收年限取30年，年利息率为0．04，即得表中所列数值。

我们的任务是：

在满足上述技术要求的前提下，选取经济效果最优的建设方案.即：

1.原来的火电站应如何扩建？

2.新建的火电站应如何确定单机容量为25万千瓦的发电机组的数量？

3.新建的火力发电站应如何确定单机容量为30万千瓦的发电机组的数量？

二、问题的分析与假设

因为每台发电机在开始工作之后，每年必然会有所盈利，且由于在上限的限制上我们只有允许最大装机台数的限制，若如此，必然是在全部应用时是最优的，所以我们在确定这个模型的经济最优解时，我们的目标函数不应是收入与支出的顺差的最大值，而是将目标函数定为满足技术要求前提下，成本付出达到最小值。

为此，我们做出了以下假设：

1 、发电机都是在每年的年初投入使用的，且每年的发电机都是满负荷工作的，

即负荷因子不变；

2 、不计每年的发电剩余量的价值，即除去本地区的用电需求之外，无跨地区的

输电；

3 、十年中所有的发电机都是正常运作，且不会出现拉闸限电现象，每年所发电

量满足每年各月的用电需求量；

4 、现阶段的发电量刚好满足生产生活所需的用电量；

5 、把职工的薪金，税收等额外付费每年当作一固定开销支付，故其对发电所得

收益无波动影响；

三、符号说明

i： 1，2，3分别表示扩建的旧火电站，新建的水电站，以及新建的火电站；T：时间，单位：年；

N：火电站和水电站最终所装机的台数；

i

K：各新增的发电站的工程投资资金，单位：万元；

i

y：各发电站的年运行成本，单位：万元；

i

Y：各发电站的年运行总成本，单位：万元；

i

α：该地区的用电量的年平均增长率；

β：各发电站的贷款年利息率；

i

θ：火电站或水电站的负荷因子；

i

ni：水电站或火电站的回收期限，单位：年；

A：各发电站的每年等额支付现金，单位：万元；

i

P：现阶段需求电量，也即现阶段发电能力，单位：万度；

o

R：发电站新增发电量所需支出，单位：万元；

O：经资本回收折算后投资的每年应支出量，单位：万元；

i

C：各新增的发电站的单机容量，单位：万千瓦；

i

i X ： 各新增的发电站的装机台数；

i r ： 各新增的发电站的资本回收因子，单位：百万元/亿度； i T Q ： 某年用电需求量，单位：万度；

i F ： 扩建的或增加的发电站的年发电量，单位：万度； T W ： 在T 年电的总供应量；单位：万度；

i V ： 扩建的或增加的发电站的装机容量，单位：万度；

四 、模型的建立与求解

4.1 建立一次性投入模型

在该模型的建立中，我们首先考虑最简单的情况：第一年的投资就满足十年以后的用电需求量。因为每年的支出情况是一个定值，我们就可以考虑转化成每年的支出情况。

4.1.1 得到折算后投资的年支出量i O

根据经济学知识可知，现值p 在回收期限为n 年，年利率为β情况下，

其资本回收因子r 有如下公式： ()

()

111

n

n

r βββ*+=

+-

则等额系列偿还资金有如下计算公式：

()

()

111

n

n

A p r p βββ*+=*=*

+-

类似的，对于对应的扩建的旧火电站和新建的水电站、火电站也有以下

公式表示它们的等额偿还资金： ()

()

111

ni

i i i i ni

i A p βββ*+=*+-

4.1.2 发电站投入使用之后，各发电站的年运行总成本i Y

经分析，年运行总成本i Y 是与该发电站的年发电量i F 成正比关系的，而

年发电量i F 则取决于火电站和水电站的装机台数i N 、单机容量i C 和负荷因子i θ。有如下关系式：

24365i i i i i i Y y F N y C =*=****

新的水电站和火电站的投资都有个前期工程投资，但是因为是个固定的

常数，所以它所引起的等额偿还资金也是个常数，我们这里在考虑成本最小化时可以忽略它的影响。

所以，根据题目的技术要求，我们可以将目标函数表示如下： 3

3

1

1

i i i i Min R A Y ===+∑∑

但是我们是有所约束的，为非限制性约束：

1231122331231000000

1805

44

F F F C N C N C N N N N ++≥??*+*+≥??

≤??≤??≤? 用LINDO 解得各个相应的值为：1

23121140.3

542

R N N N =??=??=??=?

具体实现程序见附录一。

4.2 考虑该地区用电需求量以递增的趋势增长的模型

4.2.1 确定用电年增长量i Q 和年需求增长率α

因为实际生活中，人们的生产生活对用电需求量会因为经济水平的提高，恩格尔系数的降低而不断的增长，且我们可预见，随着时间的不断后延，我们的科技水平也在不断的进步，对用电的需求增量也会不断增大，在短时期内，用电增长量应该满足一个规律，故大胆假设：这个用电需求量的增长曲线应该是一个指数增长型的，有如下公式：

()01n

Q p α=*+

将公式作如下变形：

()101001log log Q n p α??

=*+ ???

其中，Q 代表现阶段用电需求量，0p 代表原来的电力需求量，α代表年平

均需求增长率，n代表年限，即第几年。

我们利用网络资源找到了一组全国的从1981年至2000年的历年电力装机和发电量的构成比的数据，如下表：

历年电力装机和发电量的构成比（1981～2000）

年份装机容量（万千

瓦）

比重

（%）

发电量（亿千瓦

时）

比重

（%）水电火电

水

电

火

电

水电火电

水

电

火

电

1981 2193 4720 31.7 68.3 656 2437 21.2 78.8

1982 2296 4940 31.7 68.3 744 2533 22.7 77.3

1983 2416 5228 31.6 68.4 864 2651 24.6 75.4

1984 2560 5452 32.0 68.0 868 2902 23.0 77.0

1985 2641 6064 30.3 69.7 924 3183 22.5 77.5

1986 2754 6628 29.4 70.6 945 3551 21.0 79.0

1987 3019 7271 29.3 70.7 1002 3971 20.1 79.9

1988 3270 8280 28.3 71.7 1092 4359 20.0 80.0

1989 3458 9206 27.3 72.7 1185 4662 20.3 79.7

1990 3605 10184 26.1 73.9 1263 4950 20.3 79.7

1991 3788 11359 25.0 75.0 1248 5527 18.4 81.6

1992 4068 12585 24.4 75.6 1315 6227 17.4 82.6

1993 4489 13802 24.5 75.5 1516 6868 18.1 81.9

1994 4906 14874 24.5 74.4 1668 7470 18.0 80.5

1995 5218 16294 24.0 75.0 1868 8074 18.6 80.2

1996 5558 17886 23.5 75.6 1869 8781 17.3 81.3

1997 5973 19241 23.5 75.6 1946 9252 17.2 81.6

1998 6507 20988 23.5 75.7 2043 9388 17.6 81.1

1999 7297 22343 24.4 74.8 2129 10047 17.3 81.5

2000 7935 23754 24.9 74.4 2431 11079 17.8 81.0

表二

我们假定上面这组数据中的电的需求和供应量始终是平衡的，这样我们就可以从标了标记的两组数据的和的变化去求得这个年增长率 。

在对数据进行了前期取对数之后，我们利用MATLAB软件对数据进行了线性拟合，得到我们所需要的数据。并用MATLAB对这20个数据进行了数据线性拟合（具体实现过程见附录二）。

02468

101214161820

3.4

3.53.63.73.83.94

4.14.2年份

用电年需求量增率的对数与时间的关系

y = 0.035*x + 3.4孤立点拟合直线实际曲线

图 一

如上图所示，数据的线性情况较好，故我们认为假设合理，于是我们有：

()10

10.035log α+=

∴0

8.39%

80.8P α=??=?

由于现阶段电量的供求刚好达到平衡，且我们的目标函数是求所花成本投入

最小，显而易见，扩建旧火电站是必须先做的，这样才有可能达到成本最小值。所以我们接下来要解决的就是新的水电站和新的火电站的建造顺序和建造时间问题，决定水电站和火电站的建造时间和顺序，以求得在最小的最终建设成本条件下完成建设。

4.2.2 解出水电站和火电站的建造顺序和建造时间i T

正如我们的模型的分析中所述，每台发电机投入生产之后，其每年都在盈利，经计算比较，其金额比发电站的年支出总资金大一个数量级，故直接考虑顺差的差值大小来决定先建造哪一个发电站是不合理的，我们对于建造顺序的安排也取决于如何使所花成本最小。

由于每年的支付金额都是等额的，而且建成发电站之后全部在负荷因子下工作，所以各个发电站的年运行成本也是一个固定的数值，所以我们可以考虑用一年的支出总金额来代替十年支出总金额。

在一年的费用支出中，主要有两方面的因素：

1） 每年运行时的年运行成本；

2） 购买机器时的工程投入所引起的等额偿还资金。

在上一模型中，我们已经知道某一发电站的年运行总成本i Y 是与该发电站的年发电量i F 成正比关系的，年发电量i F 又取决于火电站和水电站的装机台数i N 、单机容量i C 和负荷因子i θ。工程投资所引起的等额偿还资金也可由上一模型中的公式可以算得。

故水电站或火电站的年费用支出资金应为：

i i i i F y K θ*+*

经计算，水电站的年费用支出资金要小于火电站的费用支出，所以我们判定三个发电站的最终建造顺序方案为：

先扩建旧火电站，再新建水电站，最后新建火电站。

在模型中，我们可以预见用户对于用电的年需求量是一个指数上升的曲线，而电的供应量是一个分段的函数模式。

()001

012

01231n T Q p a P F W P F F P F F F ?=*+?+????

=++????

+++??

预测电需求量拟电供应量

根据最小成本原则，我们可以解出在什么年份时原有的电力供应会出现供不

应求的现象，然后在这一年到来之际，增加投入建新的发电站。显然，这样的投资将会使成本最小，故我们可依据以下平衡关系式解出相应的年份i T ： Q W = 再由上面模型的一些公式和结论，解得：

23

3.7

7.2n n =??

=? ∴[][]122330

37floor floor

T T n T n ?=??

==??

==??

即在当年扩建旧火电站之后，在第3年开始建造并使用新建的水电站，第七年

建造使用新的火电站。

利用MATLAB 作图如下（具体程序实现见附录三）：

01234

5678910

80

100

120

140

160

180

200

年份

用电需求量

电的供需量与时间的关系

拟电供应量

预测电需求量

图 二

4.3 考虑装机台数的时间模型

在上图中，我们看到在需求曲线上方的分段函数中，有部分电是处于浪费状态的，这必将使投入的资金不能产生最大的经济效益，也间接的体现出成本还未达到最小，还有更为节省的投资方案。我们是否可以考虑将机器的投入生产采取分段投入的方案呢？

这个方案就是使电供应的分段函数更为靠近需求曲线，也即两个函数与坐标轴围住的面积达到最小，我们提出的解决方案如下：算出每年的需求量，在分段函数上取尽可能小的函数曲线与之对应（程序见附录四），列表如下：

年份 1 2 3 4 5 年需求电量 87.5872 94.9445 102.9199 111.5651 120.9366 年份

6

7 8 9 10 年需求电量 131.0953

142.1073

154.0443

166.9840

181.0107

表 三

我们考虑在满足用电年需求量的技术前提下，使供应量达到最小，使成本最小化。由上面的图4与表3的数据及其题目给我们的各发电站的单机年发电量，我们可以进而求得在T 年时满足需求量下的最小装机台数（程序见附录五），列

表如下： 年份 1

2

3

4

5

年需求电量 87.5872 94.9445 102.9199 111.5651 120.9366 年装机台数年初完成 2 1 2 1 1

年发电量 92.368 98.152 109.72 118.48 127.24 年份

6

7

8

9

10

年需求电量 131.0953 142.1073 154.0443 166.9840 181.0107 年装机台数年初完成

1

1 1 1 0

年发电量 136 144.76 163.12

181.48 181.48

表 四 现利用表四用MATLAB 作出其图形如下：

01234

5678910

80

100

120

140

160

180

200

年份

用电需求量

电的供需量与时间的关系

拟电供应量预测电需求量

图 三

4.4 求出最终的成本

由于每年的发电机投入都是不同的，故应该计算十年的总资本投入。因

为每台发电机的投入资金量对另外的发电机没有影响，所以可以独立地进行计算。总成本由两部分构成：工程投入偿还资金和年运行成本投入。

3

1

3

1

i i i i i i i i i i T r N C T y N F =

=?***????***??∑∑工程投入偿还资金

年运行成本

经计算，最终成本为23.386634亿元。

五、模型的优缺点及其改进方向

模型的优点：

1） 本模型在考虑最经济的方案时，并没有直接考虑其收益的最大值，而

是取其成本的最小值；

2） 本模型将复杂的动态规划问题通过合理的假设简化成静态的规划问

题；

3） 本模型对问题以点连线，步步深入。但并没有什么晦涩难懂的地方，

易于理解；

模型的缺点：

1） 本模型在考虑发电能力时，没有考虑电力生产弹性系数；

2） 模型对电站建设进行了理想化的简化假设，在每年初投入使用，且一

有需要就能马上提供，没有考虑施工进程的限制不太符合实际，在实际的发电站建设中应投入更大。

改进方向：

1）现在企业都是向环保型企业发展了，社会基本设施也不能对环境拥有特权，考虑到火电站的发电原料主要是煤，里面含有硫物质，会对大气环境产生比较大的污染，如果不加以脱硫处理的话；而且煤是我国最重要的燃料资源之一，煤的储存量正在减少。而水电站是完全绿色型的，且是可再生资源。故在发电站的新建上应优先考虑水电站； 2）我们把用电需求量只是简单地处理成一个指数函数，实际情况远非如此简单，从长期时间段来看，应该近似满足Logestic 曲线，所以我们可以向着中长期方向发展，以求有更广的适用范围，更好的预测效果； 3）我们的假设中提出无跨地区的输电，在现实生活中却存在着“西电东送”的现象，我们将考虑跨地区的输电以减少浪费值，可以弥补成本； 4）由于现实生活中可以有拉闸限电的情况存在，我们可以在装机过程中使那条供应的折线图略小于需求曲线，从生活用电量的节俭来降低成本。

六、 参考文献

[1]、吴添组 工程经济（第二版） 高等教育出版社 2004 [2]、蔡锁章 数学建模原理及方法 海洋出版社 2000 [3]、姜启源 数学模型（第三版） 高等教育出版社 2003 [4]、网址：

七、附录

附录一：

用LINDO解线性规划问题：

min

5957.52N1+5063.28N2+18910.8N3+2377.22N1+1997.

28N2+6701.4N3

st

57840N1+87600N2+183600N3>=1000000

10N1+25N2+30N3>=180

N1<=5

N2<=4

N3<=4

end

gin 3

附录二：

X中的值表示年需求量增率的对数

>>x=[3.49037992

3.515476441

3.545925329

3.57634135

3.613524703

3.652826303

3.696618459

3.736476182

3.766933094

3.793301354

3.8309093

3.877486528

3.92345127

3.960851154

3.997473759

4.027349608

4.049140463

4.058084225

4.085504639

4.130655349

]'

>> plot(1:20,x,'o',1:20,x)

附录三：

电的供需图与时间的关系图的程序：

>>x=[0,3,3,7,7,10];

y=[109.72,109.72,144.76,144.76,181.48,181.48];

plot(x,y,'r:'); hold on

x=0:1:10;

plot(x,80.8*pow1(x),'b-'); hold off

自定义函数

function[y]=pow1(x)

y=exp(x*log(1.084))

附录四：

十年间用电需求量程序：

>>for x=1:10

y(x)=80.8*1.084^x

end

附录五：

最终装机方案中的电的供需量与时间的关系图的程序：

>>x=[0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,10];

y=[92.368,92.368,98.152,98.152,109.72,109.72,118.48,...

118.48,127.24,127.24,136,136,144.76,144.76,...

163.12,163.12,181.48,181.48];

plot(x,y,'r:'); hold on

x=0:1:10;

plot(x,80.8*pow1(x),'b-');hold off;