数学的本质是什么.(优选)
数学的本质是什么？落实到小学阶段有哪些？
核心提示：——读《小学数学课堂的有效教学》的收获我们在听课或与教师交流中发现个别老师数学素养不高，从而影响了教学效果，甚至，个别老师的课达到了不能再进步的程度，是不是多做高初中的题，或多做奥数题就可以解决这类问题呢？好像也不行？设究竟是什么阻碍了该教师的的专业成长的步伐，答案肯定是教师个人的数学素养。数学素养...
——读《小学数学课堂的有效教学》的收获我们在听课或与教师交流中发现个别老师数学素养不高，从而影响了教学效果，甚至，个别老师的课达到了不能再进步的程度，是不是多做高初中的题，或多做奥数题就可以解决这类问题呢？好像也不行？设究竟是什么阻碍了该教师的的专业成长的步伐，答案肯定是教师个人的数学素养。数学素养到底是什么？我认为数学素养就是对数学本质的理解和把握。那么，数学学科的本质是什么呢？落实到小学阶段有哪些呢？我思考了很久，但限于自己的水平只能有一些零碎的不成熟，不全面地认识。寒假期拜读了《小学数学课堂的有效教学》一书，对书中刘加霞老师关于这个问题的观点，感同身受，相见恨晚，受益匪浅。因此特别摘录下来学习。
数学学科本质1：对基本数学概念的理解
所谓“对基本数学概念的理解”是指了解为什么要学习这一概念，这一概念的现实原型是什么，这一概念特有的数学内涵、数学符号是什么，以这一概念为基础是否能构建“概念网络图”。
小学阶段涉及的数学概念都是非常基本、非常重要的，“越是简单的往往越是本质的”，因此对小学阶段的基本数学概念内涵的理解是如何学习数学、掌握数学思想方法、形成恰当的数学观、真正使“情感、态度、价值观”目标得以落实的载体。基本概念非常重要，学生经历不同的“学习过程”将导致学生对概念的理解达到不同的水平。
小学数学的基本概念主要有：数（个人理解加进）十进位值制、单位（份）、用字母表示数、四则运算；位置、变换、平面图形；统计观念。
数学学科本质2：对数学思想方法的把握
基本数学概念的背后往往蕴含重要的数学思想方法。数学的思想方法极为丰富，小学阶段主要涉及哪些数学的思想方法呢？这些思想方法如何落实呢？作者的基本观点是：在学习概念和解决问题中落实。
小学阶段数学的主要思想方法有：分类思想、转化思想（也叫“化归思想”）、数形结合思想、一一对应思想、函数思想、方程思想、集合思想、符号化思想、类比法、不完全归纳法等。
数学学科本质3：对数学特有思维方式的感悟
每一学科都有其独特的思维方式和认识世界的角度，数学也不例外，尤其数学又享有“锻炼思维的体操、启迪智慧的钥匙”的美誉。
小学阶段主要的思维方式有：比较、类比、抽象、概括、猜想、验证，其中“概括”是数学思维方式的核心。
数学学科本质4：对数学美的鉴赏
能否领悟和欣赏数学美是一个人数学素养的基本成分，能够领悟和欣赏数学美也是进行数学研究和数学学习的重要动力和方法。能够把握数学美的本质有助于培养学生对代数学以及数学学习的态度，进而影响数学学习的进程和学习成绩。
数学的基本原则：求真、求简、求美。
数学美的核心是：简洁、对称、奇异，其中“对称”是数学美的核心。
数学学科本质5：对数学精神（理性精神与探究精神）的追求
可以说，数学的理性精神（对“公理化思想”的信奉）与数学的探究精神（好奇心为基础，对理性的不懈追求）是支撑数学家研究数学进而研究世界的动力，也是学生学习数学研究世界最原始、最永恒最有效的动力。
作者总结从以上这五个方面把握数学本质，我们就可以通过这这五个方面的学习来提高自身的数学素养。
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解析数学归纳法思想
解析数学归纳法思想 嘉兴教育学院吴明华 从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式． 数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题，如果①当时命题成立；②假设当时命题成立，则当时命题也成立，那么命题对一切自然数n都成立． 在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法． 1．数学归纳法中的归纳思想 对于一个与自然数有关的命题，数学归纳法将命题理解为一系列命题： ，，，…，即N}．然后由命题，，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法中的归纳思想．所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题是一般的、整体的，而命题，，，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，，
，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．让我们想想，对于一个与自然数有关的命题，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过： 设，则， 所以，故． 我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察 ，，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是． 让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为若干个种类，，，…，那么从研究，，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，，，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质． 有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推” 工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题“”成立，②命题“若，则”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题成立为小前提，得出命题成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式 在明确数学归纳法本质的基础上，我们来共同研究它在不等式证明中的应用．例1已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求证：(1＋x)n＞1＋nx． 证：(1)当n=2时，左边=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右边=1＋2x，因x2＞0，则原不等式成立．(在这里，一定要强调之所以左边＞右边，关键在于x2＞0是由已知条件x≠0获得，为下面证明做铺垫) (2)假设n=k时(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx． 师：现在要证的目标是(1＋x)k+1＞1＋(k＋1)x，请同学考虑． 师：现将命题转化成如何证明不等式 (1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．显然，上式中“=”不成立．故只需证：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x． 提问：证明不等式的基本方法有哪些？ (学生可能还有其他多种证明方法，这样培养了学生思维品质的广阔性，教师应及时引导总结) 师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写．当n=k＋1时，因为x＞－1，所以1＋x＞0，于是左边=(1＋x)k+1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2；右边=1＋(k＋1)x．因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1＋x)k＋1＞1＋(k＋1)x．这就是说，原不等式当n=k ＋1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立． (通过例1的讲解，明确在第二步证明过程中，虽然可以采取证明不等式的有关方法，但为了书写更流畅，逻辑更严谨，通常经归纳假设后，要进行合理放缩，以达到转化的目的)例2证明：2n＋2＞n2，n∈N＋． 证：(1)当n=1时，左边=21＋2=4；右边=1，左边＞右边．所以原不等式成立． (2)假设n=k时(k≥1且k∈N)时，不等式成立，即2k＋2＞k2． 现在，请同学们考虑n=k＋1时，如何论证2k+1＋2＞(k＋1)2成立． 师：将不等式2k2－2＞(k＋1)2，右边展开后得：k2＋2k＋1，由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k2＋2k＋1方向进行转化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．由此不难看出，只需证明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立． 师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立，那么，n=3时是否也需要论证？ 师：(补充板书)当n=2时，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；当n=3时，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此当n=1，2，3时，不等式成立．(以下请学生板书) (2)假设当n=k(k≥3且k∈N)时，不等式成立．即2k＋2＞k2．因为2k+1＋2=2·2k＋2=2(2k ＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1＞0) ≥k2+2k＋1=(k＋1)2．所以2k+1＋2＞(k＋1)2．故当n=k＋1时，原不等式也成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N都成立． 师：通过例2可知，在证明n=k＋1时命题成立过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证
本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究
本文主要对数学归纳法的教学进行较为完整的研究。 数学归纳法是一种证明与正整数有关的命题的极为有效的科学方法。了解数学归纳法的发现和发展的历史，明确数学归纳法与归纳法的区别与联系，是教师教授和学生掌握数学归纳法的基础。对数学归纳法逻辑基础即原理的准确理解，是教师进行数学归纳法教学的前提，也是学生能否掌握这种证明方法的关键。 数学归纳法的教学首先是一种程序性教学。为了让学生能够正确应用数学归纳法，还要进行形式化教学。在形式化现象下的本质规律的教学，即内涵教学，则是数学归纳法教学的内在精髓。数学归纳法通过有限的程序，完成了验证无限的结论，它的灵魂就是递归思想。 归纳法是发现问题的一种有效方法。在数学归纳法的教学过程中，恰到好处地进行数学归纳法的教学，既可帮助学生区分这两种方法，又可引领学生了解发现问题的途径，可谓一举两得。培养学生“观察一归纳一猜想一证明”的链条式思维模式，开发学生的创造性思维能力，将会对未来数学的发展起到推波助澜的作用。数学归纳法的应用是数学归纳法教学中很重要的一个环节。数学归纳法可以用来证明与正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等。 本文针对数学归纳法应用过程中，学生常见错误出现的心理因素进行了问卷调查。在应用数学归纳法证题时，导致学生犯错误的主要原因是对数学归纳法的原理没有真正理解;另一个原因是数学归纳法应用中的思维定势。要克服学生使用数学归纳法的心理障碍，一个有效的方法就是要了解数学归纳法应用的局限性。能运用非数学归纳法证明另外一些与正整数有关的命题，也是学生学习和使用数学归纳法时所要克服的心理依赖和必经过程。 1. 2数学归纳法的研究现状 对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了对数学归纳法本质的理解，有助于学生更好地、合逻辑地运用数学归纳法证题，也有助于学生克服对于数学归纳法的模糊甚至是错误认识。文中还指出了数学归纳法与归纳法、完全归纳法是完全不同的证题方法，只是没有对一三者的内在关系进行系统详细地阐述。罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性。在此文中还引述了一些学者的观点，就数学归纳法的本质进行了表述。 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II 型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;李淑文、孙德菊在《累积数学归纳法》一文中，比较了数学归纳法的第一种形式和第二种形式，并就第二种形式，即累积数学归纳法作了举例说明。以上三篇论文都是针对数学归纳法的形式或构造的论述。 邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别。文中提到了不完全归纳法，但未作深入论述。唐以荣在《中学数学综合题解题规律讲义》中指出:“早在五十年代的苏联的教学法书籍中，己明确指出数学归纳法是演绎法的特殊形式;八十年代的中国中学数学课本和教学法书籍却没有做到这一点不能不令人遗憾。”①即使是现在的中学教材也还是没有改进这些。 齐智华在《“数学猜测”的教学构想与实践》一文中，介绍了“数学猜测”的教学纲目，
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
数学归纳法优秀教学设计
数学归纳法 【教学目标】 1．进一步理解“数学归纳法”的含意和本质；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的恒等式；理解为证n=k+1成立，必须用n=k成立的假设；掌握为证n=k+1成立的常见变形技巧。 2．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质；培养学生对于数学内在美的感悟能力。 【教学重点】 使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤 【教学难点】 如何理解数学归纳法证题的有效性；递推步骤中如何利用归纳假设 【授课类型】 新授课 【课时安排】 1课时 【教学准备】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】 一、复习引入： 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法。特点：特殊→一般 2．不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法。 3．完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的。通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法。 4．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： )时命题成立，证明当n=k+1先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n 时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5． 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k ≥n0，k ∈N*)时，命题成立。(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立。 6．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： （1）证明：当n 取第一个值n 0结论正确； （2）假设当n=k(k ∈N*，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确。 由（1），（2）可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确 二、讲解范例： 例1用数学归纳法证明 6 )12)(1(3212222++=++++n n n n 例2用数学归纳法证明 2)1()13(1037241+=+++?+?+?n n n n 三、课堂练习： 1．用数学归纳法证明：().125312n n =-++++ 证明：（1）当1=n ，左边=1，右边=1，等式成立。 （2）假设当k n =时，等式成立，就是(),125312k k =-++++ 那么()()[]11212531-++-++++k k ()[]1122-++=k k 122++=k k ().12+=k 这就是说，当1+=k n 时等式也成立。 根据（1）和（2），可知等式对任何的*N n ∈都成立。 2．用数学归纳法证明()()(),1121531n n n n -=--+-+- 当1=n 时，左边应为_____________。 3．判断下列推证是否正确，并指出原因。 用数学归纳法证明：126422++=++++n n n 证明：假设k n =时，等式成立 就是 126422++=++++k k k 成立 那么()122642++++++k k ()1212++++=k k k =()()1112++++k k 这就是说当1+=k n 时等式成立， 所以*N n ∈时等式成立。
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
数学归纳法论文文献综述
本科毕业论文 文献综述 题目 数学归纳法及其在数列中的应用 学院数学与信息科学专业数学与应用数学班级11数本一学号11109334132 学生姓名夏博指导教师何文明 温州大学教务处制
数学归纳法及其在数列中的应用文献综述 摘要：数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，也是中学数学一个非常重要的内容，用于证明与无穷的自然数集相关的命题．但凡涉及无穷，总会花费数学家大量时间与精力，去理解并弄清它的真正意义．普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”，自然也需要一个漫长的认识过程。在中学中，数学归纳法是解决数列问题的一种重要手段，只有在理解了数学归纳法的数学思想，理解了数学归纳法的原理和实质，掌握数学归纳法的步骤才能更为有效的解决数列问题。 关键字：数学归纳法；数列 §1、前言 一般认为,归纳推理可以追溯到公元前 6 世纪的毕达哥拉斯时代。毕达哥拉斯对点子数的讨论是相当精彩的。他由有限个特殊情况而作出一般结论, 具有明显的推理过程,但这些推理只是简单的列举,没有涉及归纳结果,因此是不完全的归纳推理。 完整的归纳推理,即数学归纳法的早期例证是公元前 3世纪欧几里得《几何原本》中对素数无限的证明。其中已经蕴含着归纳步骤和传递步骤的推理。 16 纪中叶,意大利数学家莫罗利科(F·Maurolycus)对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究。莫罗利科认识到,对于一个与自然数有关的命题,为了检验其正确与否,若采取逐一代入数进行检验的方法,是严格意义上的数学证明, 要把所有的自然数都检验一遍是不可能做得到的,因为自然数有无穷多个。那么对于这类问题该如何解决呢? 1575 年,莫罗利科在他的《算术》一书中,明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家 B·帕斯卡(Pascal)对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法,并用其证明了“帕斯卡三角形”(二项展开式系数表,中国称为“贾宪三角性”或“杨辉三角形”)等命题。 “数学归纳法”这一名称最早见于英国数学家 A.德·摩根 1838 年所著的《小百科全书》的引言中。德·摩根指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”, 故赋予它“逐次归纳法”的名称。由于这种方法主要应用于数学命题的证明,德·摩根又提出了“数学归纳法”这个名称。虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了,一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889 年意大利数学家皮亚诺(GPeano)建立了自然数的序数理论,将“后继”作为一种不加定义的基本关系, 列举了自然数不加证明的五条基本性质,其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此,数学归纳法有了严格的逻辑基础,并逐渐演变为一种常用的数学方法。
数学归纳法
“数学归纳法”的教学设计 浙江省黄岩中学李柏青 一、教材内容解析 由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论.这是数学归纳法产生的根源. 数学归纳法是一种证明与正整数n有关的命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 设p(n)表示与正整数n有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真-> P(2)真-> P(3)真->… -> P(k)真-> P(k+1)真->… 因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真. 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即验证由任意一个整数n过渡到下一个整数n+1时命题是否成立.这两个步骤都非常重要，缺一不可.第一步确定了n=1时命题成立，n=1成为后面递推的出发点，没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从1开始，向后面一个数一个数的无限传递到1以后的每一个正整数，从而完成证明.因些递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上. 在应用数学归纳法时，第一步中的起点1可以恰当偏移(如取k=n0)，那么由第二步，就可证明命题对n=n0以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也可作灵活的变动，如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递推时的基础. 数学归纳法名为归纳法，实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法“这个名字是随便起的”.[1]归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一种演绎法，它的实质是“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”(庞加莱)，它得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论的发现过程中，往往先通过对大量个别事实的观察，通过归纳形成一般性的结论，最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的，而论证就像是对归纳的一个数学补充[1]，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”. 二、教学目标 1.通过对具体问题的解决思路探寻，了解数学归纳法产生的根源及其无穷递推的本质， 在此基础上归纳概括出数学归纳法证题的两个步骤. 2.体会数学归纳法的思想，会用数学归纳法证明一些简单的恒等式. 3.了解通过“观察”“归纳”“证明”来发现定理的基本思路. 三、教学问题诊断 认知基础： （1）对正整数的特点的感性认识； （2）对“无穷”的概念有一定的认识和兴趣；
用数学归纳法证明不等式
人教版选修4—5不等式选讲 课题：用数学归纳法证明不等式 教学目标： 1、牢固掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。 2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。 3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。 重点、难点： 1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。 2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。 教学过程： 一、复习导入： 1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？ （1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。 （2）步骤：1）归纳奠基; 2）归纳递推。 2、作业讲评：（出示小黑板） 习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1) 如采用下面的证法，对吗？ 证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。 ②假设n=k时，（k∈N，k≥1）等式成立，
即2+4+6+8+……+2k=k(k+1) 当n=k+1时， 2+4+6+8+……+2k+2(k+1) ∴n=k+1时，等式成立。 由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。 （1）学生思考讨论。 （2）师生总结：1）不正确 2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，违背了数学归纳法本质：递推性。 二、新知探究 明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板) 例1 观察下面两个数列，从第几项起a n始终小于b n？证明你的结论。 ｛a n=n2｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, …… ｛b n=2n｝:2,4,8,16,32,64,128,256,512, …… （1）学生观察思考 （2）师生分析 （3）解：从第5项起，a n＜b n，即n2＜2n,n∈N+（n≥5） 证明：（1）当n=5时，有52＜25，命题成立。 （2）假设当n=k（k≥5）时命题成立即k2＜2k ?你能说出证明中每一步的理由吗？
数学归纳法前期报告
大学本科毕业设计（论文）前期报告 毕业设计（论文）题目：数学归纳法的原理及应用 专业：数学与应用数学 一﹑工作过程 本课题主要研究的是数学归纳法的原理及应用。毕业设计工作的过程大致分为：首先熟悉毕业设计任务，收集相关资料。研究数学归纳法的基本原理，及其各种表现形式和应用，为后期的工作做准备。然后系统地介绍数学归纳法的原理，讨论基本表现形式和性质，并利用大量例证来讨论数学归纳法在数学证明中应用。 采用的研究手段是查阅文献资料，结合查找的资料，进行系统的归纳，提炼，总结，论述数学归纳法的相关性质及与各方面的联系和应用等。 毕业设计（论文）工作进度：现已按时顺利完成任务书要求前期工作。 二、文献综述 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法。最简单和常见的数学归纳法是证明当n 等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步： （1）证明当n=1时命题成立。 （2）证明如果在n = k 时命题成立，那么可以推导出在n = k+1时命题也成立。（k代表任意自然数） 1. 数学归纳法的发展历程 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学归纳法已经有两千多年的历史了。 数学归纳法最早可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹，如印度婆什迦罗的“循环方法”和欧几里德素数无限的证明中都可以找到这种踪迹。李文林翻译的美国数学史教授V?J?Katz在《数学史通论》（第二版）中表明，十四世纪法国数学家、物理学家和工程师莱维?本?热尔森（Levi ben Gerson，1288~1344）在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”，更有资料表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛地使用了数学归纳法的归纳推理。
浅谈数学归纳法讲解
浅谈数学归纳法 陈国良 井冈山大学数理学院江西吉安邮编：343009 指导老师：曹艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理： 第一条引理该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理如果该命题对任意底（对任意n）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来陈述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，
高三数学 教案 数学归纳法的基本步骤
数学归纳法 原理 最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步： 1. 证明当n= 1时命题成立。 2. 假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自 然数） 这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以： 1. 证明第一张骨牌会倒。 2. 证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。 骨牌一个接一个倒下就如同一个值接下一个值那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。 解题要点 数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中， 第一步：验证n取第一个自然数时成立 第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。 最后一步总结表述。 需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色 首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。 第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号： 1, 2, 3……n, n+1 对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色； 对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。 这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。 证明2：举例证明下面的定理 ——等差数列求和公式 第一步，验证该公式在n = 1时成立。即有左边=1，右边= =1，所以这个公式在n = 1时成立。 第二步，需要证明假设n = m时公式成立，那么可以推导出n = m+1 时公式也成立。步骤如下： 假设n = m时公式成立，即 （等式1） 然后在等式两边同时分别加上m + 1 得到 （等式2） 这就是n = m+1 时的等式。我们下一步需要根据等式1证明等式2 成立。通过因式分解合并，等式2的右边 也就是 这样我们就完成了由n=m成立推导出n=m+1成立的过程，证毕。 结论：对于任意自然数n，公式均成立。 对于以上例2的分析 在这个证明中，归纳的过程如下： 1. 首先证明n=1成立。 2. 然后证明从n=m 成立可以推导出n=m+1 也成立（这里实际应用的是演绎推理）。 3. 根据上两条从n=1 成立可以推导出n=1+1，也就是n=2 成立。 4. 继续推导，可以知道n=3 成立。
数学归纳原理和最小数原理的等价性证明
数学归纳原理和最小数原理的等价性证明 这两个原理都是自然数公理系统中最基本的原理，人们常常用最小数原理证明数学归纳原理。我发现用数学归纳原理也可以证最小数原理。所谓的最小数原理是指：自然数集合的任意非空子集必有最小元素。 一：用数学归纳原理证最小数原理。当自然数的非空子集只含一个元素时，这个元素就是最小元素。设n 元集有最小元素，对于n+1 元集，新加入的元素与n元集中的最小数比较，若新加入的元素不大于该最小数，则新加入的元素为最小数，否则，原来的n元集中的最小数仍是n+1元集的最小数。由数学归纳原理，含任意个自然数数目的自 然数子集都有最小数。得证。 二：用最小数原理证数学归纳原理：p(o)成立，且p(n)成立可导出p(n+1)成立，则对于一切自然数n,p(n)成立。否则，若对于若干个（可能有限个，也可能无限个）自然数m1,……mi……(i≥1）使命题不成立，由最小数原理，这若干个自然数有最小数记为w，而且，w一定是正数，那么，就一定存在唯一的自然数b,b+1=w.b不属于这个使命题不成立的元素组成的集合，因为b比最小数还小。则p(b)是成立的，由规则，p(b+1)也成立即p(w)成立。矛盾。故对于一切自然数n,p(n)成立。证毕。 其实以上发现也没啥大不了的，很直观浅显。这两个原理的等价性得证后，两者中的任意一条都可以作为皮亚杰五条公理中的一条吗？不行！因为最小数原理中的小于最开始还是没有定义的！。 还有，该等价关系非我第一次发现，由于其十分简单，在我发现等价性后，我在华罗庚的《数学归纳法》 最后找到了同样的结论。
归纳原理和数学归纳法 1．数学归纳法的理论依据 归纳法和演绎法都是重要的数学方法．归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现思维，不适用数学严格证明． 数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列佩亚诺公理Ⅰ—Ⅴ中的归纳公理： Ⅰ．存在一个自然数0∈N； Ⅱ．每个自然数a有一个后继元素a′，如果a′是a的后继元素，则a叫做a′的生成元素； Ⅲ．自然数0无生成元素； Ⅳ．如果a′=b′，则a=b； Ⅴ．(归纳公理)自然数集N的每个子集合M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M＝N 自然数就是满足上述佩亚诺公理的集合N中的元素．关于自然数的所有性质都是这些公理的直接推论．由佩亚诺公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素，如果记0′＝1，1′=2，2′=3，…，n′=n＋1，…，则 N=｛0，1，2，…，n，…｝ 由佩亚诺公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数，在本质上是一致的．90年代以前的中学数学教材中，将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集．现在已统一采取上面的记法，将0作为第一个自然数． 定理1(最小数原理)自然数集N的任一非空子集A都有最小数． 这本是自然数集N关于序关系∈(＜)为良序集的定义．现在用归纳公理来证明． 证设M是不大于A中任何数的所有自然数的集合，即 M=｛n｜n∈N且n≤m，对任意m∈A｝
数学归纳法教学设计
数学归纳法教学设计 聊城市外国语学校任耀奎 一、课标要求：1．借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤； 2．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题． 二、教材分析：数学归纳法的理论依据是皮亚诺公理，皮亚诺公理中的第五条，“数学归纳法”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）》中的第2章推理与证明中的第三单元，数学归纳法的学习，计划利用2个课时学习，本节课是数学归纳法的起始课，主要是理解数学归纳法，并初步利用数归解决简单的数学问题，数学归纳法属于直接证明，它可以完成通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立的命题的证明．在等差数列和等比数列知识的学习过程中，我们用不完全归纳法推出了它们的通项公式，其中正确性的严格证明需要用数学归纳法进行.因此，数学归纳法的学习是学习数列知识的深化和拓展，也是归纳推理的具体应用， 应用数学归纳法(证明某些与正整数有关的命题时常常采用的方法)证明命题的步骤： （1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立； （2）（归纳递推）假设当时命题成立，证明当时命题也成立； 根据（1）和（2），可知命题对于从开始的所有正整数都成立． 三、学生分析： 学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质． 四、教学目标： 1、知识与技能：①借助具体实例归纳出数学归纳法的定义和步骤； ②了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题． 2、过程与方法: ①观察多米诺骨牌试验，体验数学归纳法的发现过程; ②借助例2尝试利用数学归纳法解决数学问题 3、情感态度与价值观：
《数学归纳法》教学设计
“数学归纳法”教学设计 山西省平遥中学李英 【教学内容剖析】 《数学归纳法》是人教版选修教材2—2第二章第三节内容，本节课是第一课时。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。 数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。 【教学目标确定】 1、知识和技能 (1) 了解数学归纳法的原理； (2) 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式； (3) 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2、过程与方法 通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。 3.情感态度价值观 通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。 【教学重点和难点】 根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下： 教学重点： （1）使学生理解数学归纳法的实质。 （2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用 教学的难点： （1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明； （2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系． 因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。 为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点． 【教学条件支持】 利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学
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归纳法基本步骤 （一）： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n
数学归纳法教案
§2.3.1数学归纳法教案 一、教情分析 数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。 二、教学目标 1.知识与技能目标 （1）了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳的原理与实质． （3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题． 2.过程与方法目标 （1）通过对数学归纳法的学习，让学生经历知识的构建过程——发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）借助“多米诺骨牌”让学生体会类比的思想。 （3）感受从有限思维发展到无限思维的思考过程。 3.情感态度价值观 （1）利用多米诺骨牌，努力创设课堂愉悦情境，提高学生学习的兴趣和课堂效率。 （2）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 三、教学重难点 1.重点 理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。 2.难点 对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 四、教学手段与方法 多媒体辅助，采用情境教学法、类比教学法、自主探究、合作交流的教学模式，问题探究和启发式相结合的教学方法。 五、教学过程 1、创设问题情境