高中数学反证法测试题(含答案)

高中数学反证法测试题(含答案)

一、选择题

1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()

A ．有一个解

B．有两个解

C．至少有三个解

D．至少有两个解

［答案］ C

［解析］在逻辑中“至多有n 个”的否定是“至少有n＋1 个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选 C.

2．否定“自然数a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为() A ．a、b、 c 都是奇数

B．a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数

C．a、b、c 都是偶数

D．a、b、c 中至少有两个偶数

［答案］ B

［解析］ a，b，c 三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇

数或至少有两个偶数”．故应选 B.

3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反设正确的是()

A ．假设三内角都不大于60

B ．假设三内角都大于60

C．假设三内角至多有一个大于60

D ．假设三内角至多有两个大于60

[答案] B

[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60”．故应选 B.

4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a0)有有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()

A．假设a，b，c 都是偶数

B．假设a、b，c 都不是偶数

C．假设a，b，c 至多有一个偶数

D．假设a，b，c 至多有两个偶数

[答案] B

[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b，c 都不是偶数．

5．命题“△ ABC 中，若B，则ab”的结论的否定应该是() A ．ab

B．ab

C．a＝b

D．ab

［答案］ B

［解析］“ ab的”否定应为“＝a b或ab”，即ab.故应选B.

6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b 的位置关系为()

A ．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

［答案］ C

［解析］假设c∥ b，而由c∥ a，可得a∥ b，这与a，b 异面矛盾，故 c 与 b 不可能是平行直线．故应选 C.

7．设a，b，c(－，0)，则三数a＋1b，c＋1a，b＋1c 中()

A ．都不大于－2

B．都不小于－2

C．至少有一个不大于－2

D ．至少有一个不小于－2

［答案］ C

［解析］ a＋1b＋c＋1a＋b＋1c

＝a＋1a＋b＋1b＋c＋1c

∵a，b，c(－，0)，

a＋1a＝－－a＋－1a－2 b＋1b＝－－b＋－1b－2 c＋1c ＝－－c＋－1c－2 a＋1b＋c＋1a＋b＋1c－6

三数a＋1b、c＋1a、b＋1c 中至少有一个不大于－2，故应选 C.

8．若P 是两条异面直线l、m 外的任意一点，则()

A．过点P有且仅有一条直线与l、m 都平行

B．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都垂直

C．过点P 有且仅有一条直线与l、m 都相交

D．过点P有且仅有一条直线与l、m 都异面

[答案] B

[解析] 对于 A ，若存在直线n，使n∥l 且n∥m

则有l∥m，与l、m 异面矛盾；对于C，过点P与l、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥)；对于D，过点P与

l、m 都异面的直线不唯一．

9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是() A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

［答案］ C

［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选 C. 10．已知x10，x11 且xn＋1＝xn（x2n＋3）3x2n＋1（n＝1,2 ?），

试证“数列{xn} 或者对任意正整数n 都满足xnxn＋1，或者对任意正整数n 都满足xnxn ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为（）

A ．对任意的正整数n，都有xn＝xn＋1

B．存在正整数n，使xn＝xn＋1

C．存在正整数n，使xnxn ＋1 且xnxn－1

D ．存在正整数n，使（xn－xn－1）（xn －xn ＋1）0

［答案］ D

［解析］命题的结论是“对任意正整数n，数列{xn} 是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选 D.

二、填空题

11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__ ．

［答案］没有一个是三角形或四边形或五边形

［解析］“至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，bN，ab可被 5 整除，那么a，b 中至少有一个能被 5 整除”，那么反设的内容是

［答案］ a，b 都不能被5整除

［解析］“至少有一个”的否定是“都不能”．

13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：

①A＋B＋C＝90＋90＋180，这与三角形内角和为180 相矛盾，则A＝B＝90 不成立；

②所以一个三角形中不能有两个直角；

③ ___________________________ 假设 A ，B，C 中有两个角是直角，不妨设A＝B＝90. 正确顺序的序号排列为．［答案］③①②

［解析］由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①② . 14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：

假设_____________ ．设全体质数为p1、p2、?、pn，令p ＝p1p2?pn＋ 1.

显然，p 不含因数p1、p2、?、pn.故p 要么是质数，要么含有______________ 的质因数．这表明，除质数p1、p2、?、pn 之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限

多个．

［答案］质数只有有限多个除p1、p2、?、pn 之外［解析］由反证法的步骤可得．

三、解答题

15．已知：a＋b＋c0，ab＋bc＋ca0，abc0. 求证：a0，b0，c0.

［证明］用反证法：

假设a，b，c 不都是正数，由abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，

不妨设a0，b0，c0，则由a＋b＋c0，可得c－（a＋b），

又a＋b0，c（a＋b）－（a＋b）（a＋b）

ab＋c（a＋b）－（a＋b）（a＋b）＋ab

即ab＋bc＋ca－a2－ab－b2

∵a20，ab0，b20，－a2－ab－b2＝－（a2＋ab＋b2）0 ，即ab ＋bc＋ca0，

这与已知ab＋bc＋ca0 矛盾，所以假设不成立．因此a0，b0，c0 成立．

16．已知a，b，c（0,1）．求证：（1－a）b，（1－b）c，（1 －c）a 不能同时大于14.

［证明］证法1：假设（1－a）b、（1－b）c、（1－c）a

都大于14.∵ a、b、c 都是小于 1 的正数，1－a、1－b、1－c 都是正数.（1－a）＋b2（1－a）b>14＝12，

同理（1－b）＋c2>12，（1－c）＋a2>12. 三式相加，得

（1－a）＋b2＋（1－b）＋c2＋（1－c）＋a2>32，

即32> 32，矛盾．

所以（1－a）b、（1－b）c、（1 －c）a 不能都大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即（1－a）b14，（1－b）c14，（1－c）a14，三式相乘得

（1－a）b（1－b）c（1－c）a143①

因为01，所以0a（1－a）1－a＋a22＝14.

同理，0b（1－b）14 ，0c（1－c）14.

所以（1－a）a（1－b）b（1－c）c143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．17．已知函数f（x）是（－，＋）上的增函数，a，bR.

（1）若a＋b0，求证：f（a）＋f（b）f（－a）＋f（－b）；

（2）判断（1）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．[解析] （1）证明：∵ a＋b0，a－b.

由已知f（x）的单调性得f（a）f（－b）．

又a＋bb－af（b）f（－a）．

两式相加即得：f（a）＋f（b）f（－a）＋f（－b）．

（2）逆命题：

f（a）＋f（b）f（－a）＋f（－b）a＋b0. 下面用反证法证之．

假设a＋b0，那么：

a＋ba－bf(a)f( －b)a＋bb－af(b)f( －a)

f(a)＋f(b)f( －a)＋f( －b)．

这与已知矛盾，故只有a＋b0.逆命题得证．

18．(2019 湖北理，20 改编)已知数列{bn} 的通项公式为bn ＝1423n－ 1.求证：数列{bn} 中的任意三项不可能成等差数列．

［解析］假设数列{bn} 存在三项br、bs、bt(rt)按某种顺序成等差数列，由于数列{bn} 是首项为14，公比为23 的等比数列，于是有btbr，则只可能有2bs＝br＋bt 成立．21423s－1＝1423r－1＋1423t－1.

两边同乘3t－121－r，化简得3t－r＋2t－r＝22s－r3t－s，由于rt ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,

可以在每天课前的 3 分钟让学生轮流讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可记300 多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。

“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生” 概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生” 之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。故数列{bn} 中任意三项不可能成等差数列．要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件

正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。