薄壁件的装夹变形机理分析与控制技术

第43卷第4期2007年4月

机械工程学报

CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING

Vol.43 No.4

Apr. 2007

薄壁件的装夹变形机理分析与控制技术*

秦国华1, 2吴竹溪1张卫红2

(1. 南昌航空工业学院机械工程系南昌 330034；

2. 西北工业大学中法并行工程联合实验室西安 710072)

摘要：系统地提出一个分析与优选夹紧力大小、作用点以及夹紧顺序的通用方法。基于由摩擦力引起的接触力历史依赖性，定量地分析多重夹紧元件及其作用顺序对薄壁件变形的影响，并建立装夹方案的数学模型。同时提出基于最小总余能原理的有限元求解方法。另一方面，基于装夹方案的优化模型，提出装夹变形的控制技术以便获得最高的工件加工精度。以典型铝合金航空材料构件为例，模拟与分析夹紧力及夹紧顺序对其变形的影响过程。关键词：薄壁件多重夹紧力夹紧顺序装夹变形机理有限元模拟

中图分类号：TG75

0 前言

有限变形是夹具设计与分析中一项不可忽视的指导性原则[1]，旨在合理确定夹紧力大小、作用点、夹紧顺序以使工件变形最小，从而提高工件的加工精度。在实际加工中，工件的装夹总会伴随着不同程度的变形。工件在机床上的装夹精度是影响加工精度的重要因素，20%～60%的加工误差是由工件的装夹引起的[2]。尤其在航空、航天以及汽车等制造业中，其典型零件多为整体梁、框、肋等大尺寸、弱刚性薄壁件以及发动机叶片等，装夹变形问题更为突出，严重影响着工件的加工精度与表面质量。为此，许多专家学者与技术人员主要采用两种FEM 模型对易变形零件的装夹进行了研究。一是忽略工件与夹具元件之间摩擦的FEM模型。MENASSA 等[3]和KASHYAP等[4]利用有限元建模技术选择定位支承点的位置，以保证工件在主要定位表面法向上的变形最小。CAI等[5]提出了薄板工件的N-2-1定位原则，并根据有限元分析和非线性规划方法找出定位点数目N的最佳值以使薄板工件的变形最小。DEMETER[6]则利用有限元法选择夹紧点的位置。KULANKARA等[7]利用工件的FEM模型与遗传算法确定接触力。另一种则是考虑摩擦的FEM模型。LEE等[8]利用有限元技术预测夹具元件位置与夹紧力大小对工件变形的影响。TAO等[9]利用试验测量动态加工过程中的接触力并利用有限元分析评估工件变形。然而，这些研究工作主要集中在夹紧

* 航空科学基金(2006ZE56006)、南昌航空工业学院科研基金(EA200503139)、国家自然科学基金(10676028)、陕西省自然科学基金(2004E217)和航空支撑制造技术(61901090104)资助项目。20060502收到初稿，20061121收到修改稿力大小与作用点对工件变形的影响。

COGUN[10]利用试验方法研究了夹紧顺序对刚

性工件位置偏移的影响，但没有从理论上加以分析。

在不考虑摩擦力的情况下，LIAO等[11]和董辉跃等[12]

则利用FEM方法模拟夹紧顺序对加工表面位置的

影响。

基于摩擦力的考虑与接触力的历史依赖性，建

立了多重夹紧力及其夹紧顺序影响接触力分布的数

学模型及其有限元求解方法。基于接触力分析，建

立了多重夹紧力及其夹紧顺序与工件变形的关系模

型。针对航空材料7075铝合金，分别开展了薄壁件

在装夹过程中多种装夹方案对薄壁件影响的有限元

模拟与仿真。

1 装夹方案的分析与建模

如图1所示，假定工件－夹具系统具有m个定

位元件(分别用G1, G2, …, G m表示)以及n个夹紧元

件(分别用G m+1, G m+2, …, G m+n表示)。工件受到给

定的重力旋量W g(由重力和重力力矩组成)与加工力

旋量W c(由加工力和加工力力矩组成)以及夹紧力

[,0,0]

i in

F(i=m+1,…, m+n)作用；工件与定位元

件以及夹紧元件之间为点接触以及存在摩擦。假定

[,,]

i ix iy iz

n n n

n为工件在第i个定位元件或夹紧元

件接触位置T

[,,]

i i i i

x y z

r处的单位内法矢量，

[,,]

i ix iy iz

t t t

t与T

[,,]

i ix iy iz

ξξξ

ξ分别为工件在第i

个接触点处的两个正交的单位切矢量。显然有

i i

=??

r n

i i

=??

r t

i i

=??

rξ

(1)

[,,]

i in it iξ

G G G G (2)

机械工程学报第43卷第4期

212

图1 工件—夹具系统

由于在定位、夹紧以及加工过程中，每个元件

对工件的作用不同。如果元件对工件施加作用力，则称该元件为主动元件；如果元件对工件提供运动约束而承受作用力，则称之为被动元件。值得注意的是，主动元件处只存在法向接触力(即夹紧力)，而不存在切向接触力(即摩擦力)。夹紧顺序可以分解成多个夹紧步骤，每个夹紧步骤都具有各自的主动元件与被动元件、主动接触力与被动接触力。在每一个夹紧步骤中，接触力都必须满足工件的静力平衡方程。

图2为夹紧步骤1的示意图。工件受到其自身的重力作用，定位元件1，2，…，m 为被动元件，此时没有夹紧元件的作用。因此工件的静力平衡方

程可描述为

(1)(1)

p p g =?G F W

(3)

图2 夹紧步骤1

夹紧步骤1中的被动元件矩阵与未知的被动接

触力矢量分别为

(1)p 12[,,,]m =G G G G " (4) (1)(1)T (1)T (1)T T

p 12[(),(),,()]m ==F F F F "

(1)(1)(1)(1)(1)(1)T 111[,,,,,,]m m m F F

F F F F n t ξn t ξ" (5) 图3所示的步骤2中，夹紧元件m +1对工件施加了已知的夹紧力(2)a F (即主动接触力)。显然夹紧元件m +1为主动元件，定位元件1，2，…，m 为被动元件。因此，步骤2中的工件静力平衡方程可描

述为

(2)(2)(2)(2)p p g a a =??G F W G F (6)

式中(2)

p G ,(2)a G ,(2)p F ,(2)a F 分别为夹紧步骤2中的被

动元件矩阵、主动元件矩阵、被动接触力矢量以及主动接触力矢量。且分别表示为

(2)p 12[,,,]m =G G G G " (7)

(2)a 1m +=G G (8)

(2)(2)T (2)T (2)T T

p 12[(),(),,()]m ==F F F F "

(2)(2)(2)(2)(2)(2)T

111[,,,,,,]m m m F F

F F F F n t ξn t ξ" (9) (2)T a 1(1)[,0,0]m m F ++==n F F

(10)

图3 夹紧步骤2 图4所示为夹紧步骤3的示意图，此时夹紧元

件m +2对工件提供了夹紧力(3)a F 。夹紧元件m +2为主动元件，元件1，2，…，m +1 为被动元件，此时元件m +1处存在摩擦力。因此，步骤3中的工件静力平衡方程可表达为

(3)(3)(3)(3)p p g a a =??G F W G F

(11)

图4 夹紧步骤3

夹紧步骤3中的被动与主动元件矩阵、未知的被动接触力与已知的主动接触力矢量分别为

(3)p 121[,,,,]m m +=G G G G G " (12)

2007年4月秦国华等：薄壁件的装夹变形机理分析与控制技术

213

(2)a 2m +=G G (13) (3)(3)T (3)T (3)T T p 121(3)(3)(3)(3)(3)(3)T

111(1)(1)(1)(3)

(1)(1)[(),(),,()] [,,,,,,]s.t.m

m m m m m F F F F F F F F ξ++++++?==

???

?=??""n t ξn t n n F F F F (14)

(3)T a 2(2)[,0,0]m m F ++==n F F (15) 依此类推，图5所示的夹紧步骤j 中工件平衡方程可描述为

()()()()p p e a a j j j j =??G F W G F

(16)

图5 夹紧步骤j

夹紧步骤j 中的被动与主动元件矩阵、外力、

主动接触力与被动接触力矢量分别为

( )p 122[,,,]j

m j +?="G G G G (17) ()a 1j m j +?=G G (18)

g e g c 212j n j n ≤≤+??=?+=+??W W W W (19) ()()T ()T ()T T

p 121()()()()()()T 111(2)(2)(2)()()(1)(1)(2)(2)[(),(),,()] [,,,,,,]s.t.,,j j j j m

j j j j j j m j m j m j j j m m m j m j F F F F F F F F F F ξ++?+?+?+++?+??==

????==??"""n t ξn t n n n n

F F F F (20)

()T a 1(1)[, 0, 0]j m j m j F +?+?==n F F (21) 2 模型求解技术

一般地，定位元件m ≥6和夹紧元件n ≥1。式(16)中共有3m +2( j ?2)个被动接触力分量，故其为超静定

问题。为了求解接触力，除了必需满足摩擦锥的约

束以及工件与夹具之间的单侧接触约束条件之外，利用最小总余能为目标函数可获得其真实值[13]。

2.1 摩擦锥约束

根据库伦摩擦定理可知，工件与定位元件或夹

紧元件之间的最大摩擦力不能超出摩擦锥。因此，

在第i 个元件处，有下列二次不等式约束条件 ()T ()()j j i i i ≥F F 0μ 2≤j ≤n +2 1≤i ≤m +n (22) 式中，假定i μ为工件与第i 个元件之间的静力摩擦因数，那么第i 个摩擦因数矩阵为

2diag(,1,1)i i μ=??μ 1≤i ≤m +n (23) 为了紧密地表示式(22)，用矩阵形式可进一步

描述摩擦锥约束为

()T ()p p p ()j j ≥F F 0μ 2≤j ≤n +2 (24) 式中被动元件处的摩擦因数矩阵为 p 122diag(,,,)m j +?="C C C μ (25)

2.2 单侧接触约束

在工件实际装夹过程中，为了保证工件与元件始终接触而不破坏定位，接触力的法向分量必须指向工件。根据图1中的接触点处法向的选择，可得如下的单侧接触约束为

T ()j i i ≥n F 0 2≤j ≤n +2 1≤i ≤m +n (26)

那么式(26)的矩阵形式可表示为

T ()p p j ≥n F 0 2≤j ≤n (27) 式中被动元件处的单侧接触矩阵为

p 122diag(,,,)m j +?=n n n n " 2≤j ≤n +2 (28) 2.3 确定求解目标

基于接触力的历史依赖性可知，在施加第j 个

夹紧力时，工件已经受到第j ?1个夹紧步骤所施加

的外力。因此基于接触力增量的工件总余能，第j 个夹紧步骤中的接触力求解目标函数可确定为 min ()(1)T 1()(1)w w w w w 1()()()2j j j j ?????′′??????F F k F F (29) 式中 w k ——工件的刚度矩阵 ()

w j F ——工件的节点力(包括重力、加工力以

及相应的接触力)

因此，根据式(16)、(24)、(27)、(29)可知，接触力的求解模型应为

()(1)T 1()(1)w w w w w ()()()()

p p e a a ()T ()p p p T ()p p 1min ()()()2s.t.()j j j j j j j j j j j ??????′′????????

?=????≥?

?≥?

F F k F F

G F W G F F C F 0n F 0 (30) 式(30)可利用商用有限元软件进行计算与仿真

可获得夹紧步骤j 中的接触力。同时还可以获得第j

个夹紧步骤中的变形增量()

w j δd 。这样夹紧步骤j 中

的工件变形()

w j d 应为 ()(1)()

w w w j j j ?=+δd d d 2≤j ≤n +2 (31)

机械工程学报第43卷第4期

2143 工件变形的控制技术

工件变形的控制技术一般通过装夹方案的优化设计技术实现。第2节中分析了多重夹紧力及其顺序对接触力分布与工件变形的影响。显然，从数学观点来看，工件变形可表示为夹紧力大小、作用点以及夹紧顺序的函数。由于m 个定位元件n 个夹紧元件组成的夹具可以构成多种装夹方案，这些装夹方案将产生不同的工件变形。为了控制工件的变形，必须选择一种最优的装夹方案，以使工件最终变形(即夹紧步骤j =n +2时的工件变形)最小。基于式(31)，薄壁件的装夹方案的优化模型可定义为

(2)()w w 1

min s.t.()()

1k k

n n j k k j ?k N ++=?==

??????=δ??

≤≤??

∑d d (32)

式中(2)(2)(2)(2)

T w w w w ()[(),(),()]n n n n k k k k u v w ++++=d 为工件

在第k 个节点处的变形，N 表为工件的节点数。

4 算例分析

薄壁件材料为航空材料7075铝合金，弹性模量与泊松比分别为70 GPa 和0.3，工件整体尺寸为200 mm×100 mm×30 mm ，壁厚为5 mm 。运用3-2-1定位准则，采用平面支撑S 代替底面三点，如图6所示。平头夹紧元件C 1、C 2、C 3和平头定位元件L 1(150, 100, 15) mm 、L 2(50, 100, 15) mm 、L 3(0, 50, 15) mm 的圆柱半径都为8 mm 。各元件与工件之间的摩擦因数均为0.3[12]。

图6 薄壁件的有限元模型

现在考察、模拟各种装夹方案(表1为1种夹紧

力大小方案、表2所示为2种夹紧作用点方案、表

3则为3个夹紧元件C 1、C 2与C 3组成的9种夹紧

顺序方案)所引起的工件变形。工件的四个外壁分别与12C C 、3C 、12L L 与3L 接触，这里分别用12C C 、

3C 、12L L 与3L 记为外壁相应的四个内壁。由于工件的最大装夹变形出现在12C C 上，

因此将其作为研究对象。如果内壁12C C 的装夹变形控制在精度范围内，那么整个薄壁件的变形精度可以满足加工要求。由有限元仿真与模拟结果可知，内壁12C C 的主要装夹变形出现在y 方向上。当作用点取表2中的方案a 时，所有夹紧顺序对工件变形增量的分析与模拟如图7所示；当作用点取表2中的方案b 时，所有夹紧顺序对工件变形增量的分析结果如图8所示。

表1 夹紧力大小

夹紧元件

夹紧压力p a / MPa

C 1 0.2 C 2 0.2 C 3 0.3

表2 作用点位置

作用点方案夹紧元件坐标x , y , z /mm C 1 50, 0, 15 C 2 150, 0, 15 a

C 3

200, 50, 15 C 1 75, 0, 15 C 2 125, 0, 15 b

C 3

200, 50, 15

表3 夹紧顺序

夹紧顺序

步骤1 步骤2

步骤3

A C 1、C 2 C 3 —

C 3 C 1、C 2 — C C 1 C 2 C 3

D C 2 C 1 C 3

E C 3 C 1 C 2

F C 3 C 2 C 1

G C 1 C 3 C 2

H C 2

C 3

C 1

同时施加C 1、C 2、C 3

由式(31)可得工件的最终变形为

(3)()

w 1

j j ==δ∑d

d 所得结果分别如图9所示。然后根据式(32)求得工件的总变形?，如图10所示。由图10分析可知，在18种装夹方案中，装夹方案a_B(即作用点取方案a 、夹紧顺序取方案B)对薄壁件装夹变形的影响最小，因此装夹方案a_B 是最优的。

2007年4月秦国华等：薄壁件的装夹变形机理分析与控制技术215

(a) 夹紧步骤1中y方向上的工件变形增量 (b) 夹紧步骤2中y方向上的工件变形增量(c) 夹紧步骤3中y方向上的工件变形增量

图7 作用点方案a与夹紧顺序对工件变形的影响

(a) 夹紧步骤1中y方向上的工件变形增量 (b) 夹紧步骤2中y方向上的工件变形增量(c) 夹紧步骤3中y方向上的工件变形增量

图8 作用点方案b与夹紧顺序对工件变形的影响

(a) 作用点方案a与夹紧顺序对工件最终变形的影响

(b) 作用点方案b与夹紧顺序对工件最终变形的影响

图9 工件的最终变形分析

(a) 作用点方案a与夹紧顺序对工件总变形的影响

(b) 作用点方案b与夹紧顺序对工件总变形的影响

图10 工件的总变形曲线

机械工程学报第43卷第4期216

5 结论

工件有限变形是衡量夹具性能的一项基本原则。基于接触力的历史依赖性，建立了夹紧力及夹紧顺序的分析模型及优化方法。提出了基于最小总余能原理的接触力求解技术，并利用有限元法实现接触力与工件变形的计算与模拟。针对航空材料7075铝合金的薄壁件，详细说明了基于模型的夹紧方案对工件变形影响的有限元仿真与模拟。模拟结果显示，夹紧力大小、作用点及夹紧顺序对工件变形具有重要影响。因此夹紧方案的数学模型及其优选方法对提高工件加工精度具有理论指导价值与工程实践意义。

参考文献

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International Journal of Advanced Manufacturing Techno- logy, 2001, 17：104-113.

ANALYSIS AND CONTROL TECHNIQUE OF FIXTURING DEFORMATION

MECHANISM OF THIN-WALLED

WORKPIECE

QIN Guohua1, 2 WU Zhuxi1 ZHANG Weihong2

(1. Department of Mechanical Engineering,

Nanchang Institute of Aeronautical

Technology, Nanchang 330034;

2. Sino-French Laboratory of Concurrent

Engineering, Northwestern Polytechnical

University, Xi’an 710072)

Abstract：A general methodology is systematically presented to analyze and select optimally the magnitude, placement and clamping sequence of a fixturing scheme. Based on history dependency of contact forces depending on frictional forces between the workpiece and fixture, effect of multiple clamps and their application sequences on thin-walled workpiece deformations is quantitatively analyzed. Analysis model of clamping sequence is mathematically established and its solution, which can be realized in FEM software, is presented according to minimization of the total complementary energy. On the other hand, based on the optimization model of clamping sequence, control technique is presented so that the minimum deformation of thin-walled part can be obtained.

(下转第223页)

2007年4月段鹰等：大规模时滞系统的动态规划模型与优化算法

223

On the basis of the optimization study of the production scheme and control ，the dynamic programming model of a kind of large-scale system with delay is summarized and it's optimiza-tion algorithm is studied. The principle of optimality under condition is proposed, so the dynamic programming is extended to the optimization of the system with delay. The recursive algorithm of delay dynamic differential programming is pre-sented and it’s convergence under some conditions is proved. This algorithm is used in the coordinate-lever of the optimal hierarchical control of the water plant and the simula-tion demonstrates its availability and efficiency. The result ob-tained is important for energy-saving. The model and the algo-rithm mentioned may be used in a more wide range.

Key words ：Large-scale system with delay

Principle of optimality under condition

Delay dynamic differential programming Optimal hierarchical control

作者简介：段鹰，男，1971年出生，博士研究生。主要从事工业流程再造、智能E 维护、生产计划与生产调度决策等方面的研究。发表论文10余篇。

E-mail ：duanying71@https://www.360docs.net/doc/ef7212893.html,

段文泽，男，1935年出生，教授，曾任中国自动化学会EA 与中国电工技术学会CS 委员兼控制理论学组副组长，建设部专家组成员。主要从事电气传动自动化、大系统优化控制与人工智能应用方面的研究。 E-mail ：

duanwz35@https://www.360docs.net/doc/ef7212893.html,

(上接第216页)

Took example for the typical fixturing case with aluminum alloy, a detailed discussion is made about how the analysis and optimal design of multiple clamping forces and their applica-tion sequences are carried out.

Key words ：Thin-walled workpiece Multiple clamping forces

Clamping sequence Fixturing deformation mechanism Finite element simulation

作者简介：秦国华，男，1970年出生，博士，副教授。主要从事工装结构优化设计与有限元分析、加工过程建模与仿真研究。 E-mail ：qghwzx@https://www.360docs.net/doc/ef7212893.html,

吴竹溪，女，1969年出生，副教授。主要从事数控编程与数控加工研究。张卫红，男，1964年出生，博士，国家第二批“长江计划”特聘教授，博士研究生导师。主要从事结构优化设计与加工仿真研究。