命题逻辑的推理理论(牛连强)

1.7 推 理 理 论

从假设前提利用推理规则得到其他命题，即形成结论的过程就是推理，这是研究逻辑的主要目标。

1.7.1 蕴含与论证

1．推理的含义与形式

[定义1-22] 当且仅当p →q 为永真式时，称为p 蕴含q （logical implication ），记作p q ?，或p q 。此时，称p 为前提，q 为p 的有效结论或逻辑结论，也称为q 可由p 逻辑推出。得出此逻辑关系的过程称为论证。

[辨析] 由于仅在p 为1而q 为0时公式p q →为0，可见，p q →永真意味着不可能存在前件p 为1而后件q 为0的情况，或者说，若p q ?，则只要前件p 为1，后件q 也一定为1。因此，p q ?也称为“永真蕴含”

，即p 永真蕴含q 。 [延伸] 通常，定理（theorem ）被解释为“经过受逻辑限制的证明为真的陈述”，就是指对“在一定条件成立的情况下必然产生某个（些）结论”的陈述。因此，定理证明也就是对蕴含关系的论证。当然，通常只有重要或有趣的陈述才被视为定理。

所有逻辑推理的实质就是证明p q ?，也就是证明p q →为永真式。例如，以下是一个简单的初等数学证明题目：

已知a 、b 、c 为实数，且22a b bc -=，0c ≠，则有2/(/1)a c b b c =+。 如果记

p ：22a b bc -=，q ：0c ≠，r ：2/(/1)a c b b c =+

则上述论证要求可描述为：

p q r ∧?

证明的目的就是说明：若前提p q ∧正确，则结论r 也正确，即证明p q r ∧→为永真式。 通常的逻辑推理问题都会由一组前提来推断一个逻辑结论，此时的多个前提可写成合取式12n H H H ∧∧∧ ，或写成用逗号分隔的命题序列H 1, H 2, ..., H n ，即论证要求可写作：

12n H H H C ∧∧∧? ，或12,...,n H H H C ?，，或

12n H H H C ∧∧∧ ，或12,...,,n H H H C

可见，论证A C 、A C ?或A C →是永真式都是同义的，且前提也可以用集合表示，如： 12{,..,},.n H H H C 在数学上，总是要求前提为真，从而推导出有效的结论，并不需要研究从假的前提能得到什么结论，且推理形式与前提的排列次序无关。尽管由前提A 到结论C 的推理一般记作A C ，如

果推理是正确的，则可记作A ?C 。

2．常规的推理方法

在日常生活和科学实践中，可以采用一些形式不太严格的方法进行推理论证。

(1) 真值表法，即列出公式12n H H H C ∧∧∧→ 的真值表。若公式中所有行的真值全为1则得证。这种证明方法没有什么逻辑味道，在命题变元较多时也很困难。

(2) 叙述型推理，说明不存在12n H H H ∧∧∧ 为1且C 为0的情况。可以有两种叙述形式：

① 假定前提12n H H H ∧∧∧ 为1，说明结论C 必为1。 ② 假定结论C 为0，说明前提12n H H H ∧∧∧ 必为0。 例1-20 证明()q p q p ∧→?┐┐。

证明 这里采用形式①。假定前件()q p q ∧→┐为1。那么，q ┐和p q →都为1。由前者知q 为0，再由后者知p 为0，故p ┐为1。结论成立。

若采用形式②，可论证如下：

假定后件p ┐为0。于是，p 为1。

若q 为1，则q ┐为0，故()q p q ∧→┐为0。 若q 为0，则p q →为0，故()q p q ∧→┐为0。 总之，前件()q p q ∧→┐为0。结论成立。

例1-21 用符号描述推理过程并验证论证的有效性：如果6是偶数，则7被2除不尽。或5不是素数，或7可被2除尽。但5是素数。所以6是奇数。

解 记p ：6是偶数，q ：7可被2除尽，r ：5是素数，则推理过程可符号化为：

p q r q r p →∨?┐，┐，┐

假定前提为1，则p q →┐，r q ∨┐和r 都为1。由r 为1知r ┐为0，从而q 为1。因此，q ┐为0，再由p q →┐为1可知p 为0。于是，p ┐为1。论证有效。

[辨析] 论证有效并不代表结论是客观真实的，因为我们并不研究前提是否具有客观真实性，仅假定其逻辑意义为真，从而进行形式上的推导。

(3) 消解法证明，粗略地说，就是当两个同时为1的条件中分别含有某个命题及其否定时，可以消去该命题的证明方法。

例1-21 证明下述蕴含关系成立： ① ()()┐→∧→?∨p q p r q r 。 ② ()()┐∨∧∨?∨p q p r q r 。

证明 若()()┐→∧→p q p r 为1，则┐→p q 和→p r 为1。若p 为1，则r 为1，得∨q r 为1；若p 为0，即┐p 为1，则q 为1，得∨q r 为1。总之，∨q r 为1，故式①成立。

将式①中的条件联结词转换为析取联结词就证明了式②。

[理解] p 与┐p 是相反的命题。┐→p q 和→p r 都为1是说，不管p 是否为真总有q 或r 为真，因此，∨q r 总是真的。

很明显，式②中的两个子公式∨p q 和┐∨p r 都是子句，二者共同推理的结果∨q r 消去了命

题p ，此过程称为“消解”或“归结”（resolution ）。此问题将在自然推理部分做进一步讨论，而②也被视为一条基本的推理规则。

(4) 等值演算，利用等价变换说明条件式为永真式。例如，通过演算可推出

(())1p q p q →∧→?┐┐ 这说明(())p q p q →∧?┐┐。

(5) 主析取范式法，即说明条件式的主析取范式包含所有的小项。例如，因为

0,1,2,{}3(())1→∧→??∨┐┐p q p q 说明(())p q p q →∧?┐┐。

应注意条件式的非对称性。一般称q p →为p q →的逆换式（逆命题），称p q →┐┐为p q →的反换式（反命题），它们均不等同于p q →。称q p →┐┐为p q →的逆反式（逆否命题），且有 p q q p →?→┐┐

由此可见，如果一个命题成立，其逆否命题也成立。反之亦然。 3．等价与蕴含的关系

由()()p q p q q p ??→∧→可知，蕴含和等价之间有与条件式和双条件式之间类似的关系： [定理1-10] 对任意的命题公式p 和q ，p q ?的充分必要条件是p q ?且q p ?。 证明 p q ?等同于p q ?为永真式，等同于()()p q q p →∧→为永真式，等同于p q →和

q p →都是永真式，也就等同于p q ?且q p ?。

[辨析] 此定理是应该熟悉的基本逻辑常识，在逻辑证明中常用，也提供了一种证明命题公式等价的方法。

例1-23 设p 、q 、r 是任意命题公式，证明：

(1) 若p q ?且p 是永真式，则q 为永真式。 (2) 若p q ?且q r ?，则p r ?。

(3) 若p q ?且p r ?，则p q r ?∧且p q r ?∨。 (4) 若p r ?且q r ?，则p q r ∨?。

证明 (1)、(2)略。

(3) 由条件知，p q →和p r →是永真式。若p 为1，则q 和r 均为1，即q r ∧和q r ∨均为1，故()p q r →∧和()p q r →∨都是永真式。结论成立。

(4) 由条件知，p r →和q r →为永真式，即p r ∨┐和q r ∨┐为永真式，从而()()p r q r ∨∧∨┐┐为永真式。又因为

()()()()p r q r p q r p q r ∨∧∨?∧∨?∨→┐┐┐┐

故()p q r ∨→为永真式。结论成立。

1.7.2 自然推理系统

严格的论证过程可以采用自然推理系统或公理推理系统实现，这里仅介绍自然推理系统。这种推理的基本思想是，不引入公理，仅依据事先确定的一些推理规则，从前提出发，利用推理规

则构造出严格的命题序列，推导出最终的结论。由于这种推理较符合人们的日常思维习惯，故称为“自然推理”，也称为“构造证明法”、“演绎法”或“形式证明”。

1．推理定律

一些重要的逻辑关系如交换律、结合律、德?摩根律等是基本常识，是构成推理的基础。表1-5中列出了最基本的等价关系。

为了完成推理，我们还需要承认一些简单的逻辑关系，以此作为公认的推理规则，而不是所有推理都从零做起。例如，考虑如下的思维（论证）过程：

如果你有口令，那么，你就能登录网络。 你有了口令。

因此，你能登录网络。

如果用p 表示“你有口令”，q 表示“你能登录网络”，则上述论证过程可描述为：

p q

p q

→∴

这种论证的实质是说，如果有p q →和p 都为1的前提，必有q 为1的结论，故可以用蕴含关系简化描述为：

,p p q q →?

或 ()p p q q ∧→?

这样的一组基本蕴含关系被确定为可直接应用的推理规则，参见表1-8。

表1-8

序号 蕴含关系

含义

I 1 I 2 p q p ∧? p q q ∧? 化简律

I 3 I 4 p p q ?∨ q p q ?∨ 附加律

I 5 I 6 p p q ?→┐ q p q ?→

I 7 I 8 ()p q p →?┐ ()p q q →?┐┐ I 9 ,p q p q ?∧

I 10 ,p p q q ∨?┐ 析取三段论 I 11 I 12 ,p p q q →? ,q p q p →?┐┐ 假言推理 拒取式 I 13 ,p q q r p r →→?→ 假言三段论 I 14 ,p q q r p r ???? 等价三段论 I 15 ,,p q p r q r r ∨→→?

I 16

()()p q p r q r →?∨→∨

I 17 ()()p q p r q r →?∧→∧ I 18 I 19 ,()p q p r p q r →→?→∨ ,()p q p r p q r →→?→∧ I 20

()()┐∨∧∨?∨p q p r q r

消解

表1-5和1-8中的E 和I 分别表示基本等价和蕴含定律。表中的序号没有意义，但要分清是I 还是E 。定律的名字能知道更好，真正的要求是理解后记住中间列的蕴含或等价关系，即推理定律（也可称蕴含式为推理规则(Rules of Inference)，称等价式为推理定律（laws ））。

简言之，之所以推理定律能用于推理过程，其原因是，若公式p 为1，且有p q ?或p q ?，那么，一定可以推出q 为1。因此，在推理过程中，推理定律可不加证明地引用。

[辨析] 表1-8的蕴含关系前提中的逗号（如I 9）表示两个命题可能在不同的步骤上推得，可能是前提，也可能是中间结论，都是已知的真命题。

[辨析] 表1-8所列的基本关系中的肯定形式与否定形式同样有效，如“p p q ?→┐”成立，则“p p q ?→┐”也成立。

对表1-8中的消解规则证明来自例1-23。这是一个非常有用的规则，不仅可以用于一般推理过程，还可以独自建立一种消解证明法。特别地，析取三段论可被视为消解规则的特例。

2．利用推理定律实现形式证明

形式逻辑推理的本质是说明一个蕴含关系，或者说，总假定前提是真的，再利用表1-5和1-8所列的基本等价和蕴含关系，说明结论也为真就完成了推理。这种推理就是“因为+所以”组成的步骤，只是每次的“所以”都要由推理定律来保证，且形式上应尽量严格。

为了说明形式推理的过程，这里考虑1.7.1节中提及的初等数学问题及证明过程。 ① 22a b bc -=

前提

② 2222()a b b bc b ∴-+=+ 推理定律：x y x z y z =?+=+

③ 2222()a b b b bc ∴+-+=+ 推理定律：()()x y z x y z ++=++，x y y x +=+ ④ 20()a b b c ∴+=+ 推理定律：()0x x +-=，()x y z xy xz +=+ ⑤ 2()a b b c ∴=+ 推理定律：0x x += ⑥ 0c ≠

前提

⑦ 2/()/a c b b c c ∴=+ 推理定律：0//z x y z x z y =∧≠?= ⑧ 2/(/1)a c b b c ∴=+

推理定律：()///x y z x z y z +=+，/1x x =

上述过程与生活中的一般证明过程相同，只是更严格，每得到一个论断都要由公认的定律来保证。右侧的注解说明了推理规则和引用的定律。很明显，如果任何一条推理定律不能得到认可，则推理过程将无法继续。

在推理过程中，前提总被视为是真的，而利用推理定律得到的等式就是部分结论，自然也是真的。

命题逻辑的形式推理过程与上述论证过程一致，仅是所涉及的运算（联结词）和定律不同。 例1-24 证明,()a b b c a →∨?┐┐。

证明

① ()b c ∨ ┐为1 前提引入

② b c ∴∧┐┐为1 ①德·摩根律 ③ b ∴┐为1 ②化简律 ④ a b → 为1 前提引入 ⑤ a ∴┐为1

③④拒取式

此证明过程进一步说明了一个命题由哪些命题推证而来，还可适当简化： ① 推理过程中能够引入的命题公式都应是真的，故“a 为1”写成“a ”就好； ② 除了前提外，所有的中间命题都是“所以”，不必再标记“ ”和“∴”；

③ 推理定律名可不记忆，只要标记出采用等价关系还是蕴含关系（推理定律）即可。 于是，可重新写出证明过程如下： 证明 ① ()b c ∨┐ 前提引入 ② b c ∧┐┐ 推理定律，① E ③ b ┐ 推理定律，② I ④ a b → 前提引入

⑤ a ┐

推理定律，③⑤ I

其中的E 和I 分别表示等价和蕴含规则。

很明显，上述推理中仅包含两类引入真命题的形式，可以概括为以下2条推理规则： (1) P 规则。前提引入规则，指在证明的任何步骤都可引入前提；

(2) T 规则。推理定律引用规则，指在证明过程中，如一个或几个公式满足推理定律，则其结论或等价公式可引入。

利用P 规则和T 规则实现的证明方法称为“直接证明法”。

[辨析] P 和T 分别是前提（premise ）和重言、蕴含（tautology ）的意思。

利用直接证法重新写出的证明过程由序号、真命题和理由3列组成（下述证明过程中最后添加的列用于解释，实际证明时是不需要的）：

证明 ① ()b c ∨┐ P

前提为真

② b c ∧┐┐ T ① E

由前提①利用等价关系得到的命题为真 ③ b ┐ T ② I 由结论②利用蕴含关系得到的命题为真

④ a b → P 前提为真

⑤ a ┐

T ③④ I

由结论③和前提④利用蕴含关系得到的命题为真

这样一来，推理形式变得简单且严格。

[辨析] 一个非常重要的事实是这里我们仅承认推理定律，没有置换规则，即不允许子公式替代。例如，由()p q r →→的前提不能推出()p q r →∨┐，尽管二者是等价的。除非将子公式替代也定义为一条允许的置换规则。

3．直接证法的形式推理示例

例1-25 证明 ()()()p q p r q s s r ∨∧→∧→?∨。 证明

① p q ∨ P ② p q →┐ T ① E ③ q s →

P ④ p s →┐ T ②③ I ⑤ s p →┐ T ④ E ⑥ p r → P ⑦ s r →┐

T ⑤⑥ I ⑧ s r ∨

T ⑦ E

一种存在问题的证明过程如下：

证明

① p r → P ② ()()p q r q ∨→∨ T ① I ③ q s →

P ④ ()()q r s r ∨→∨ T ③ I ⑤ ()()p q s r ∨→∨ T ②④ I ⑥ p q ∨ P ⑦ s r ∨

T ⑤⑥ I

此证明过程中存在的错误是，没有直接的蕴含或等价定律保证由步骤②、④推出⑤。要想推出⑤，必须允许置换规则，得到：

()()p q q r ∨→∨ 置换规则② I

再重写步骤⑤： ⑤ ()()p q s r ∨→∨

T

④ I

可见，究竟允许哪些推理规则对证明过程影响很大，学习时应注意书中的要求。 例1-26 证明(),(),,p q v v r s s u r u p ∨→→∨→∧?┐┐┐。 证明

① r u ∧┐┐ P ② u ┐ T ① I ③ s u → P

④ s ┐ T ②③ I ⑤ r ┐

T ① I ⑥ r s ∧┐┐ T ④⑤ I ⑦ ()r s ∨┐

T ⑥ E

⑧ ()v r s →∨ P

⑨ v ┐

T ⑦⑧ I ⑩ ()p q v ∨→ P ? ()p q ∨┐ T ⑨,⑩ I ? p q ∧┐┐ T ? E ? p ┐

T ? I

4．间接证法

一些题目仅依靠直接证法比较困难，这里引入2个新的推理规则作为间接证法。 (3) 不相容规则。结论的否定可以作为附加前提引入，其结果与前提将是不相容的。 不相容规则就是反证法（或称归谬法）：若推理A C ?成立，意味着前提A 为真时结论C 必然为真。若假定结论C 不真，即C ┐为真，就一定会推出矛盾，也就是得到一个永假式（矛盾式），这被称为C ┐与前提A 是不相容的。这里的“C ┐”是作为一个附加前提（不是原始前提）引入的。

例1-27 证明p q →，()q r p ∨?┐┐。

证明

① p q → P

② p P （附加前提） ③ q

T ①② I ④ ()q r ∨┐ P ⑤ q r ∧┐┐

T ③ E ⑥ q ┐

T ④ I ⑦ q q ∧┐（矛盾）

T ③⑥ I

步骤②就是采用反证法所引入的附加前提。当然，也可以用p ┐┐作为附加前提，只是需要多用一次双重否定律。步骤⑦推出不相容的命题，即一个矛盾式，这就说明了“假定结论不真”是错的。

例1-28 证明()()p q r s ∨→∧，()s u v p v ∨→?∨┐。

证明

① ()p v ∨┐┐ P （附加前提） ② p v ∧┐┐┐ T ① E ③ p ┐┐ T ② I ④ p

T ③ E ⑤ p q ∨ T ④ I ⑥ ()()p q r s ∨→∧

P ⑦ r s ∧ T ⑤⑥ I ⑧ s

T ⑦ I

⑨ s u ∨ T ⑧ I ⑩ ()s u v ∨→ P ? v

T ⑨⑩ I ? v ┐

T ② I ? v v ∧┐（矛盾）

T ?? I

(4) CP （Conditional Proof ）规则。若证明A B C ?→，B 可作为附加前提引入。

沿用一般的说法，A 为大前提，B 为小前提（即含在结论中的前提），那么，小前提可以与大前提同样使用。这里的原因是：

()()()()→→?∨∨?∧∨?∧→┐┐┐A B C A B C A B C A B C

可见，证明A B C ?→等同于证明A B C ∧?，故小前提B 等同于大前提。

[辨析] CP 规则只应用于结论为条件式的特殊问题，也称为“条件规则”或“条件证明”。 例1-29 证明(),,p q u v p q v u →→∨?→┐。 证明 ① v P （附加前提） ② v p ∨┐ P ③ p

T ①② I ④ ()p q u →→ P ⑤ q u → T ③④ I ⑥ q P ⑦ u

T ⑤⑥ I ⑧ v u →

CP

因为结论为条件式，步骤①引入了小前提v 作为附加前提，推导出结论u 。步骤⑧只是重写了一遍真实的结论以说明采用了CP 规则。

[辨析] 何时采用间接证法？观察结论，如果论证呈现如下形式： (a) A C ?。结论是单个命题，可用反证法，引入条件为C ┐； (b) A B C ?∨。结论为析取式，可用反证法，引入条件为()B C ∨┐，可推出结论B ┐和C ┐； (c) A B C ?→。结论为条件式，可用反证法或CP 规则。若用反证法，引入条件为()B C →┐，可推出结论B 和C ┐；若用CP 规则，引入条件B 。

特别地，如果结论是A B C →→，可以逐次用CP 规则，先引入A ，再引入B 。也可以用反证法。

例1-30 如果雷军努力学习，他就会取得好成绩。若雷军贪玩或不按时写作业，他就不能取得好成绩。所以，如果雷军努力学习，他一定不贪玩且按时完成作业。

解 记p ：雷军努力学习，q ：雷军取得好成绩，r ：雷军贪玩，s ：雷军按时完成作业。则论证要求可符号化为：

()()p q r s q p r s →∨→?→∧，┐┐┐

证明过程如下： ① p P （附加前提） ② p q →

P ③ q

T ①② I ④ ()r s q ∨→┐┐ P ⑤ ()r s ∨┐┐ T ③④ I ⑥ r s ∧┐

T ⑤ E

⑦ ()p r s →∧┐ CP

由步骤⑤直接得到结论r s ∧┐而不是r s ∧┐┐┐，后者在不允许置换规则时还需要展开： ⑥ r s ∧┐┐┐ T ⑤ E ⑦ r ┐ T ⑥ I ⑧ s ┐┐ T ⑥ I ⑨ s

T ⑧ E ⑩ r s ∧┐

T ⑦⑨ I

可见，直接采用否定形式是重要的，既可以简化推理过程，也可以在一定程度上消除子公式

替代。

5. 消解法*

前文的不相容规则说明，若论证A C ?有效，┐∧A C 必然是矛盾式。消解规则提供了一种证明其为矛盾式的形式方法（即消解法是一种反证法）。在此方法中，一个原子与其否定称为“互补文字”，两个分别含有互补文字的子句如1C p q =∨和2C p r =∨┐、1C p =和2C p r =∨┐称为“互补对”，依据消解规则可得到消解（归结）结果，分别为∨q r 和r ，称为“消解式”，记作

12(,)Res C C 。特别地，(,)0Res p p =┐。具体证明步骤为：

(1) 将┐∧A C 转化为合取范式；

(2) 将合取范式的所有子句构成一个集合∑；

(3) 对∑中的互补对进行消解，并将消解式加入集合∑。反复消解，直到得到矛盾式。 此方法通常被称为“消解原理”（resolution principle ）。

例1-31 证明,→→?→p q q r p r 。 证明

首先将前提和结论的否定做合取，并转换为合取范式：

()()()┐┐┐∨∧→∧∨p q q r p r ()()┐┐┐?∨∧∨∧∧p q q r p r 其次，将子句构成集合：

{}┐，┐，，┐∑=∨∨p q q r p r

最后，实施消解：

① ┐∨p q P {}┐，┐，，┐∑=∨∨p q q r p r ② p

P

{}┐，┐，，┐∑=∨∨p q q r p r

③ q ①②消解 {,}p q q r p r q ∑=∨∨┐，┐，，┐ ④ ┐∨q r P {,}p q q r p r q ∑=∨∨┐，┐，，┐ ⑤ r ③④消解

{,,}p q q r p r q r ∑=∨∨┐，┐，，┐ ⑥ r ┐

P

{,,}p q q r p r q r ∑=∨∨┐，┐，，┐ ⑦ □

⑤⑥消解（矛盾式）

{,,,}p q q r p r q r ∑=∨∨□┐，┐，，┐

最后的□表示空，由r 和r ┐消解得到，也可直接记作矛盾式0。

很明显，消解法证明过程中仅使用消解规则，尽管每次将消解式加入集合∑会导致其元素增多，但因为规则简单，非常适合于机器实现。因此，消解法是机器自动证明定理的有效手段。

[延伸] 命题逻辑在案件审理、有限情况判定、排队论和电路设计等许多方面具有广泛的应用。不过，应注意不同书籍在自然推理系统中采用的规则、名词存在着一定差异[4-5,9,13-15]。