2020-2021学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年福建省福州市鼓楼区延安中学九年级（上）

期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.二次函数y=x2的图象是()

A. 线段

B. 直线

C. 抛物线

D. 双曲线

2.下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()

A. B. C. D.

3.在平面直角坐标系中，有A(2,−1)，B(0,2)，C(2,0)，D(−2,1)四点，其中关于原点

对称的两点为()

A. 点A和点B

B. 点B和点C

C. 点C和点D

D. 点D和点A

4.已知⊙O的直径为6，点P到圆心O的距离为4，则点P在()

A. ⊙O内

B. ⊙O外

C. ⊙O上

D. 无法确定

5.下列一元二次方程中，没有实数根的是()

A. x2−2x=0

B. x2+4x−4=0

C. (x−2)2−3=0

D. 3x2+2=0

6.某种植基地2017年蔬菜产量为80吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜

产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为()

A. 800(1+2x)=100

B. 100(1−x)2=80

C. 80(1+x)2=100

D. 80(1+x2)=100

7.下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶

点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()

A.

B.

C.

D.

8.如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，

PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长

为()

A. 4

B. 2√3

C. 3

D. 2.5

9.如图，点A、B，C，D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，

BD//AC，若⊙O的半径为2.则图中阴影部分的面积是

()

A. 2π

3−√3

2

B. 2π

3

−√3

C. 4π

3−√3

2

D. 4π

3

−√3

10.已知函数y=2ax2−4ax+b(a<0)，当自变量x>m时，y

n时，y

A. m−n=1

B. m−n=2

C. m+n=1

D. m+n=2

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11.若圆锥的底面半径为3，母线长为4，则这个圆锥的侧面积是______．

12.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3,0)，B(0,4)，把线段AB绕

点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是______．

13.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=√2，E为CD的中点，

连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ=______．

14.如图，正方形ABCD的边长为2，E为射线CD上一动点(不与C重合)，以CE为边

向正方形ABCD外作正方形CEFG，连接DG，直线BE、DG相交于点P，连接AP，则线段AP长度的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

15.解方程．

(1)x2−2x=4;

(2)2(x−3)=3x(x−3)．

四、解答题（本大题共8小题，共78.0分）

16.如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是弧A^B的中

点，求证四边形OACB是菱形．

17.已知关于的一元二次方程：x2+(k−5)x+4−k=0

(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；

(2)若方程的一个根是2，求另一个根及k的值．

18.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足

为F．

(1)求证：△ABE∽△DFA；

(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．

19.如图，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱

形ABCD顺时针旋转α(0°<α<30°)，得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN，当MN//B′D′时，解答下列问题：

(1)求证：△AB′M≌△AD′N；

(2)求α的大小．

20.某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本

价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示：

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式．当销售价为多

少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

21.已知，如图，△ABC中，∠C=90°，E为BC边中点．

(1)尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D(保留作图痕迹，不需写作法)．

(2)连结DE，求证：DE为⊙O的切线；

(3)若AC=5，DE=15

，求BD的长．

8

22.已知：BD为⊙O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作⊙O的切线交DA

的延长线于点F，点C为⊙O上一点，且AB=AC，连接BC交AD于点E，连接AC．

(1)如图1，求证：∠ABF=∠ABC；

(2)如图2，点H为⊙O内部一点，连接OH，CH，若∠OHC=∠HCA=90°时，求

DA；

证：CH=1

2

(3)在(2)的条件下，若OH=6，⊙O的半径为10，求CE的长．

23.已知抛物线y=x2−mx−m−1与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y

轴交于点C(0,−3)．

(1)求点A、B的坐标；

(2)点D是抛物线上一点，且∠ACO+∠BCD=45°，求点D的坐标；

(3)将抛物线向上平移m个单位，交线段BC于点M，N，若∠MON=45°，求m的

值．

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：∵y=x2是二次函数，

∴y=x2的图象是抛物线，

故选C．

根据函数图象的特点可知二次函数y=x2的图象的形状，本题得以解决．

本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的形状．

2.【答案】D

【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．

故选：D．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3.【答案】D

【解析】解：∵A(2,−1)，D(−2,1)横纵坐标符号相反，

∴关于原点对称的两点为点D和点A．

故选：D．

直接利用关于原点对称点的性质得出答案．

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

4.【答案】B

【解析】解：∵⊙O的直径为6，

∴⊙O的半径为3，

∵点P到圆心O的距离为4，

∴4>3，

∴点P在⊙O外．

故选：B．

要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d

本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．

5.【答案】D

【解析】解：A.x2−2x=0中△=(−2)2−4×1×0=4>0，有两个不相等实数根；

B.x2+4x−4=0中△=42−4×1×(−4)=32>0，有两个不相等实数根；

C.(x−2)2−3=0，即x2−4x+1=0中△=(−4)2−4×1×1=12>0，有两个不相等实数根；

D.3x2+2=0中△=02−4×3×2=−24<0，没有实数根；

故选：D．

根据根的判别式可以判断各个选项中的方程是否有实数根，从而可以解答本题．

本题考查根的判别式，解答本题的关键是利用根的判别式可以判断方程的根的情况．

6.【答案】C

【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，

根据2017年蔬菜产量为80吨，则2018年蔬菜产量为80(1+x)吨，2019年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2019年蔬菜产量达到100吨，

即：80(1+x)(1+x)=100或80(1+x)2=100．

故选：C．

利用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．

此题考查了一元二次方程的应用(增长率问题).解题的关键在于理清题目的含义，找到

2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．

7.【答案】C

【解析】解：根据勾股定理，AC=√22+22=2√2，BC=√2，

所以，夹直角的两边的比为2√2

√2

=2，

观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．

故选：C．

可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．

此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．

8.【答案】A

【解析】解：连接DO，

∵PD与⊙O相切于点D，

∴∠PDO=90°，

∵∠C=90°，

∴DO//BC，

∴△PDO∽△PCB，

∴DO

BC =PO

PB

=4

6

=2

3

，

设PA=x，则x+4

x+8=2

3

，

解得：x=4，

故PA=4．

故选：A．

直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO∽△PCB是解题关键．

9.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点．

连接BC、CD、OD、OB，先证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是S扇形BOD−S△BOD计算可得．

【解答】

解：如图所示，连接BC、CD、OD、OB，

∵∠A=40°，AB=AC，

∴∠ACB=70°，

∵BD//AC，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠ACD=∠ABD=40°，

∴∠BCD=30°，

则∠BOD=2∠BCD=60°，

又OD=OB，

∴△BOD是等边三角形，

则图中阴影部分的面积是S扇形BOD−S△BOD

=60⋅π⋅22

360

−

√3

4

×22

=2

3

π−√3，故选：B．10.【答案】D

【解析】解：∵函数y=2ax2−4ax+b=2a(x−1)2−2a+b，

∴该函数的对称轴为直线x=1，

∵函数y=2ax2−4ax+b(a<0)，当自变量x>m时，y

=1，

∴m+n

2

解得，m+n=2，

故选：D．

根据题意和二次函数的性质可以求得m、n的关系，本题得以解决．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】12π

【解析】解：圆锥的侧面积=2π×3×4÷2=12π．

故答案为：12π．

圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

12.【答案】(8,0)

【解析】解：∵A(3,0)，B(0,4)，

∴OA=3，OB=4，

∵∠AOB=90°，

∴AB=√OA2+OB2=5，

∵AB=AB′=5，

∴OB′=8，

∴B′(8,0)，

故答案为(8,0)．

利用勾股定理求出AB即可解决问题．

本题考查坐标与图形变化−旋转等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

13.【答案】4

3

【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，AB=CD，AD=BC，∵E为CD的中点，

∴DE=1

2CD=1

2

AB，

∴△ABP∽△EDP，

∴AB

DE =PB

PD

，

∴2

1=PB

PD

，

∴PB

BD =2

3

，

∵PQ⊥BC，

∴PQ//CD，

∴△BPQ∽△BDC，

∴PQ

CD =BP

BD

=2

3

，

∵CD=2，

∴PQ=4

3

，

故答案为：4

3

．

根据矩形的性质得到AB//CD，AB=CD，AD=BC，根据线段中点的定义得到DE=

1 2CD=1

2

AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．14.【答案】0

【解析】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，

∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，

在△BCE和△DCG中

{CB=CD

∠BCE=∠DCG CE=CG

，

∴△BCE≌△DCG(SAS)，

∴∠CBE=∠CDG，

而∠BEC=∠DEP，

∴∠DPE=∠BCE=90°，

连接BD，如图，

点P在以BD为直径的圆上，即点P在正方形ABCD的外接圆上，

∴AP为此外接圆的弦，

∵BD=√2AB=2√2，

∴0

故答案为：0

利用正方形的性质得CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，再证△BCE≌△DCG得到∠CBE=∠CDG，从而得到∠DPE=∠BCE=90°，连接BD，如图，根据圆周角定理可判断点P在以BD为直径的圆上，即点P在正方形ABCD的外接圆上，然后直径是圆中最长的弦得到结论．

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判断与性质和圆周角定理．

15.【答案】解：(1)x2−2x+1=5，

(x−1)2=5，

x−1=±√5，

所以x1=1+√5，x2=1−√5；

(2)2(x−3)−3x(x−3)=0，

(x−3)(2−3x)=0，

x−3=0或2−3x=0，

．

所以x1=3，x2=2

3

【解析】(1)利用配方法解方程；

(2)先移项得到2(x−3)−3x(x−3)=0，然后利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．

16.【答案】证明：连OC，如图，

∵C是A^B的中点，∠AOB=l20°

∴∠AOC=∠BOC=60°，

又∵OA=OC=OB，

∴△OAC和△OBC都是等边三角形，

∴AC=OA=OB=BC，

∴四边形OACB是菱形．

【解析】连OC，由C是A^B的中点，∠AOB=l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC=OA=OB=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．

本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．

17.【答案】解：(1)∵△=(k−5)2−4×1×(4−k)=k2−2k+1=(k−3)2≥0，∴无论k取任何值，方程总有实数根．

(2)∵x=2是方程x2+(k−5)x+4−k=0的一个根，

∴22+(k−5)×2+4−k=0，

解得：k=2，

设方程的另一个根为x1，则x⋅x1=4−k，

即2×x1=2，

x1=1，

则方程的另一个根为1．

【解析】(1)根据根的判别式得出△=(k−3)2≥0，从而证出无论k取任何值，方程总有实数根．

(2)先把x=2代入原方程，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个

根．

本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．

18.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，∠B=90°，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°，

∴△ABE∽△DFA；

(2)∵E是BC的中点，BC=4，

∴BE=2，

∵AB=6，

∴AE=√AB2+BE2=√62+22=2√10，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=4，

∵△ABE∽△DFA，

∴AB

DF =AE

AD

，

∴DF=AB⋅AD

AE =

2√10

=6√10

5

．

【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．

(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，由于∠AFD=∠B= 90°，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；

(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．

19.【答案】证明：(1)∵四边形AB′C′D′是菱形，

∴AB′=B′C′=C′D′=AD′，

∵∠B′AD′=∠B′C′D′=60°，

∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，

∵MN//B′C′，

∴∠C′MN =∠C′B′D′=60°，∠CNM =∠C′D′B′=60°，

∴△C′MN 是等边三角形，

∴C′M =C′N ，

∴MB′=ND′，

∵∠AB′M =∠AD′N =120°，AB′=AD′，

∴△AB′M≌△AD′N(SAS)；

(2)由△AB′M≌△AD′N 得：∠B′AM =∠D′AN ，

∵∠CAD =12∠BAD =30°， ∴∠D′AN =∠B′AM =15°，

∴α=15°．

【解析】(1)由菱形的性质可得AB′=B′C′=C′D′=AD′，可证△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，△C′MN 是等边三角形，可得C′M =C′N ，即可得B′M =D′N ，由“SAS ”可证△AB′M≌△AD′N ；

(2)由全等三角形的性质可得∠B′AM =∠D′AN =15°，即可求解．

本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

20.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式y =kx +b ，把(10,40)，(18,24)代入得 {10k +b =4018k +b =24

， 解得{k =−2b =60

， ∴y 与x 之间的函数关系式y =−2x +60(10≤x ≤18)；

(2)W =(x −10)(−2x +60)

=−2x 2+80x −600

=−2(x −20)2+200，

对称轴x =20，在对称轴的左侧y 随着x 的增大而增大，

∵10≤x ≤18，

∴当x =18时，W 最大，最大为192．

即当销售价为18元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元．

(3)由150=−2x2+80x−600，

解得x1=15，x2=25(不合题意，舍去)

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元．

【解析】(1)设函数关系式y=kx+b，把(10,40)，(18,24)代入求出k和b即可，由成本价为10元/千克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；

(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可；

(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中，解一元二次方程求出x，再根据x的取值范围即可确定x的值．

本题考查了二次函数的应用，得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键，结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．

21.【答案】解：(1)如图1，

(2)证明：如图2，连结OD，CD，

∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∵E为BC边中点，

∴DE为Rt△BDC斜边BC上的中线，

∴DE=EC=BE，

∴∠1=∠2，

∵OC=OD，

∴∠3=∠4，

∴∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90°，∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线；

(3)∵E为BC边中点，

∴BC=2DE=15

4

，

∵AC=5，

∴AB=25

4

，

∵∠DBC=∠CBA，

∴Rt△BDC∽Rt△BCA，

∴BD

BC =BC

AB

，即BD15

4

=

15

4

25

4

，

∴BD=9

4

．

【解析】本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．

(1)根据要求作图即可得；

(2)连结OD，CD，证DE=EC=BE得∠1=∠2，再证∠3=∠4，得∠ODE=∠2+∠4=∠1+∠3=∠ACB=90°，据此可得OD⊥DE，从而得证；

(3)证Rt△BDC∽Rt△BCA得BD

BC =BC

AB

，代入计算可得．

22.【答案】解：(1)∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴∠D+∠ABD=90°，

∵FB是⊙O的切线，

∴∠FBD=90°，

∴∠FBA+∠ABD=90°，

∴∠FBA=∠D，

∵AB=AC，

∴∠C=∠ABC，

∵∠C=∠D，

∴∠ABF=∠ABC；

(2)如图2，连接OC，

∵∠OHC=∠HCA=90°，

∴AC//OH，

∴∠ACO=∠COH，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC+∠CBO=∠ACB+∠OCB，即∠ABD=∠ACO，

∴∠ABC=∠COH，

∵∠H=∠BAD=90°，

∴△ABD∽△HOC，

∴AD

CH =BD

OC

=2，

∴CH=1

2

DA；

(3)由(2)知，△ABC∽△HOC，

∴AB

OH =BD

OC

=2，

∵OH=6，⊙O的半径为10，∴AB=2OH=12，BD=20，∴AD=√BD2−AB2=16，

在△ABF与△ABE中，{∠ABF=∠ABE

AB=AB

∠BAF=∠BAE=90°

，

∴△ABF≌△ABE，

∴BF=BE，AF=AE，∵∠FBD=∠BAD=90°，