培优专题5平移与旋转(含解答)-
培优专题5 平移与旋转
平移是几何变换中最常用的变换之一,用它可以将一些不在同一三角形中要证的两条线段或两角,进行“搬家”,把它们搬到同一个三角形(或平行四边形)中,再利用图形的性质与题设条件,找到解(或比)的途径.平移法能把分散的条件集中起来,收到事半功倍的效果.
旋转也是几何变换中较常用的变换之一,在解决问题中主要应用在以下两个方面:一是在题设条件和结论间联系不易沟通或条件不易集中利用的情形下,通过旋转起到铺路架桥作用;二是图形错综复杂,但图形中的量与量之间的关系多,这时也可以看能否使用旋转的办法,移动部分图形,使题目中隐蔽着的关系明朗起来,从而找到解题途径.平移、旋转两种变换在使用中,一定要善于观察变换前后哪些量变了,哪些量没变.只有这样,我们才能充分发挥两种变换的功能,达到有效解决相关问题的目的.例1如图,在△ABC中,D、E是BC边上两点,BD=CE,试说明AB+AC>AD+AE.
分析利用平移变换,?将图中已知条件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和.
解:把△ABD作平移,使BD与EC重合,分别过点E作AB的平行线,过点A作BC?的平行线,两线交于点F,连结CF.再连结EF交AC于O.
则AB=EF,∠ABD=∠FEC.
∵BD=CE,
∴△ABD≌△FEC.
∴AD=CF.
在梯形AECF中,AO+OE>AE,FO+OC>CF,
∴AO+OE+FO+OC>AE+CF.
即AC+EF>AE+CF.
∴AB+AC>AD+AE.
练习1
1.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,已知AD+BC=3,
AC=3,BD=6,求此梯形的面积.
2.如图,长方形花园ABCD中,AB=a,AD=b,花园中建有一条长方形道路LMPQ?及一条平行四边形道路RSTK,若LM=RS=c,求花园中可绿化部分的面积.
3.如图,△ABC中,E、F分别为AB、AC边上的点,且BE=CF,试说明EF 例2 如图,△ABC中,∠ACB=90°,M是AB的中点,∠PMQ=90°,请说明PQ2=?AP2+BQ2.分析本题中PQ、AP、BQ不在同一个三角形中,?如果将它们平移,?使PQ、BQ分别转化为PD、AD,将三线段转化在同一三角形中,巧妙运用直角三角形中的勾股定理求解.解:将BQ平移到AD,连结PD、MD. ∵BQ∥AD,∴∠BAD=∠ABC. ∵MA=MB,BQ=AD, ∴△AMD≌△BMQ, ∴∠AMD=∠BMQ. 而∠AMQ+∠BMQ=180°, ∴∠AMQ+∠AMD=180°. ∴D、M、Q三点共线. ∴∠PMD=∠PMQ=90°, MD=MQ. ∴PQ=PD. ∵∠PAD=∠BAC+∠BAD=∠BAC+∠ABC=90°. ∴△PAD为直角三角形, PD2=AP2+AD2. ∴PQ2=AP2+BQ2. 练习2 1.如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,∠BEG与∠CFH都是锐角,?已知EG=3, FH=4,四边形EFGH的面积为5,求正方形ABCD的面积. 2.如图,△ABC中,∠B=90°,M、N分别是AB、BC上的点,AN、CM?交于点P,?若BC=AM,BM=CN,求∠APM的度数. 3.如图,六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥AF,且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0,请问,六边形ABCDEF的六个角是否都相等. 例3如图,在正方形ABCD的边BC和CD上分别取点M和点K,并且∠BAM=∠MAK.求证:BM+KD=KA. 分析把Rt△BAM绕点A顺时针旋转90°到△ADM′,使BM与DN拼成一条线段的KM′,只要证明KM′=KA即可. 证明:把Rt△ABM绕点A旋转90°,则点B变为点D,M变为M′,则Rt?△BAM?≌Rt?△ADM′, ∴∠M′=∠BMA ∴DM′=BM. ∵∠BAM=∠MAK, ∴∠KAM′=∠MAD. ∴∠KAM′=∠M′. ∴AK=KM′. ∴BM+KD=AM. 练习3 1.如图,在正方形ABCD中,N是DC的中点,M是AD上异于D?的点,?且∠NMB=∠MBC , 求AM AB 的值. 2.如图,P是等边△ABC内一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7,?求以PA、PB、PC之比为边的三角形三内角之比(从小到大). 3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,AH⊥BC,且AH=1,?求四边形ABCD的面积. 例4如图,在等腰三角形ABC中,∠CAB=90°,P是△ABC内一点,且PA=1,PB=3, PC=7,求∠APC的度数. 分析本题将△BAP绕点A旋转90°,得到△CAQ,构造直角三角形,利用勾股定理求解 解:将△BAP绕点A旋转90°,使AB与AC重合,得△CAQ,则△CAQ≌△BAP. ∴AQ=AP=1,CQ=BP=3,∠CAQ=∠PAB, ∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90° Rt△AQP中,PQ2=AQ2+AP2=2, ∴PQ=2,∴∠APQ=45°. 在△CPQ中,PQ=2,CQ=3 CP=7,CQ2=CP2+PQ2. ∴△CPQ是直角三角形,∠CPQ=90°. ∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°. 练习4 1.等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、4、5,则此等边三角形边长的平方为________. 2.如图,P是正方形内的点,若PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数. 3.如图,正方形ABCD的边长为1,AB、AD各有一点P、Q,若△APQ的周长为2,?求∠PCQ. 例5 如图,在△ABC中,AB=3,AC=2,以BC为边 的三角形BPC是等边三角形,求AP的最大、最小值. 分析通过旋转把AP转移到有两条边确定的三角形中,利用三角形的性质求最值.解:把△ABP绕B点顺时针旋转60°得△DBC,则△ABP≌△DBC. ∴DC=AP,BD=BA,∠DBA=60°. ∴△ABD是等边三角形,AD=AB=3. 在△ACD中,有DC 在△ACD中,有DC>AD-AC=1时,当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1,说明DC≥1,?即AP≥1.……② 由①②得AP最大值为5,最小值为1. 练习5 1.如图,正方形ABCD中,有一个内接三角形AEF,若∠EAF=45°,AB=8,EF=7,?求△EFC的面积. 2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,过BC上的中线AD=6,求BC的长. 3.如图,已知△ABC中,AB=AC,D为三角形内一点,∠ADB>∠ADC.试证明:?CD>BD. 答案: 练习1 1.解:将BD平移到CE交AD延长线于点E, 则四边形BDEC为平行四边形 ∴DE=BC ,CE=BD ,S △BCD =S △CDE ∵△ABC 与△DBC 同底等高, ∴S △ABC = S △BCD = S △CDE ∵S 梯形ABCD = S △ABC + S △ACD = S △CDE + S △ACD = S △ACE . 又 AE=AD+DE=3=2236AC CE += +, ∴△ACE 为直角三角形,∠ACE=90°. ∴S 梯形ABCD = S △ACE = 12·AC·CE=3 2 2. 2.解:把长方形和平行四边形道路平移,在移动过程中道路面积不变,如图,则四 块空白可组成长(b-c ),宽(a-c )的空白长方形,其面积为(b-c )(a-c )=ab-bc-ac+c 2. 3.解:将EF 平移为BG ,BF 平移为FG ,作∠CFG 的角平分线交BC 于D ,连结DG ,?则由平移知四边形BEFG 是平行四边形. ∴EF=BG ,BE=FG . ∵BE=CF ,∴FG=CF . ∵∠1=∠2,FD=FD . ∴△FGD ≌△FCD (SAS ). ∴DG=CD .在△BGD 中, ∵BG ∴EF 练习2 1.解:过E 、F 、G 、H 分别平移AD 、AB ,交点分别为P 、Q 、R 、T ,则四边形PQRT?为矩形.设正方形边长为a ,PQ=b ,PT=c ,由勾股定理得b= 2 2 3a -,c=2 2 4a -, ∵S △AEH =S △TEH , S △BEF =S △PEF , S △CFG =S △QFG , S △DGH =S △RGH 则S 正方形ABCD +S 矩形PQRT =2S 四边形EFGH ∴a 2+b·c=10. 即a 2+2 2 3a -·2 2 4a -=10. ∴5a 2=44,a 2= 445. ∴S 正方形ABCD =44 5 . 2.解:把MC 平移,使点M 至A 点,过A 作MC 的平行线,过点C 作AB 的平行线,? 两线交于点D,则MC=AD. ∠APM=∠NPC=∠NAD……① ∵BM=NC,CD=AM=BC, ∠DCN=∠CBM=90°, ∴△DCN≌△CBM. 从而DN=MC,∴DN=DA……② ∴∠CMB=∠DNC. ∵∠BCM+∠DMB=90°, ∴∠BCM+∠DNC=90°. 即MC∥AD.∴ND⊥AD.……③ 由①,②,③得∠APM=45°. 3.解:六个角都相等且都等于120°. 将AB沿着BC平移到QC,CD沿着DE平移到ER, EF沿着FA平移到AP, ∵AB∥ED,BC∥EF,CD∥AF, ∴AB=QC,BC=AQ,CD=ER,DE=CR,EF=AP,FA=PE. ∵AB-ED=CD-AF=EF-BC, ∴QC-CR=ER-PE=AP-AQ. 即PQ=PR=QR. ∴∠1=∠2=∠3=60°. 由平行线性质知:∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°. 练习3 1.解:将△BAM绕B点旋转90°,A点变为C点,M点变为P点,连结MP,则△BAM≌△BCP. ∴∠BPC=∠BMA=∠CBM=∠NMB. ∵BM=BP,∴∠NMP=∠NPM. ∴MN=NP=NC+CP=NC+AM. 设AB=1,AM=x,在Rt△MND中, 则有1 2 +x=22 1 ()(1) 2 x +-. ∴x=1 3 . 即AM AB = 1 3 . 2.解:将△ABP绕B点顺时针旋转60°得△BCP′,连结PP′,则△ABP≌△CBP′. ∴AP=P′C,BP=BP′, ∠APB=∠CP′B. ∵∠PBP′=60°, ∴△BPP′是等边三角形. ∴PP′=BP,∠BPP′=60°=∠BP′P. ∵∠APB:∠BPC:∠CAP=5:6:7, 又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°, ∴∠APB=100°,∠BPC=120°,∠CPA=140°, ∴∠1=120°-60°=60°, ∠2=100°-60°=40°, ∠PCP′=180°-60°-40°=80°.由PA=P′C,PP′=PB, ∴△PP′C是由PA、PB、PC组成的三角形. ∴三内角之比为2:3:4. 3.解:将△ABH绕A点旋转90°得△ADP, 则△ABH≌△ADP. ∴∠APD=∠AHB=90°, AH=AP. ∵∠BAD=∠BCD=90°,∠HAP=90°. ∴四边形AHCP是正方形. ∵AH=1, ∴S正方形AHCP=1=S四边形AHCD+S△ADP. S四边形ABCD=S四边形AHCD+S△ABH. 又∵S△AOP =S△ABH. ∴S四边形ABCD=S正方形AHCP=1. 练习4 1.解:如图,以A为中心将△ACP绕A顺时针旋转60°,则C与B重合,P与P′重合,连结AP′,BP′,PP′ 则AP′=AP,BP′=CP,∠PAP′=60°. ∴△APP′是等边三角形,PP′=3. △BPP′中,BP=4,PP′=3,BP′=CP=5. 由32+42=52. ∴△BPP′为直角三角形,∠BPP′=90°. ∴∠BPA=150°. 过B作BE⊥AP,交AP延长线于E. ∵∠EPB=180°-150°=30°, 在Rt△BEP中,BP=4,BE=2,EP=23, Rt △ABE中,BE=2,AE=23+3,AB2=22+(23+3)2=25+123. 2.解:将△ABP绕B点旋转90°,得△CBP′,连结PP′,则△ABP≌△CBP′.∴PB=BP′=2,AP=P′C=1,∠APB=∠CP′B. 在Rt△PBP′中,BP=BP′=2, ∴PP′=22,∠BP′P=45°. 在△PP′C中,PC=3,P′C=1,PP′=22. 有PC2=P′C2+P′P2, ∴△PP′C是直角三角形, ∠PP′C=90°. ∴∠APB=∠CP′B=∠BP′P+∠PP′C=135°. 3.解:将△CDQ绕C点旋转90°,得△CBM,则△CDO≌△CBM,∠QCM=90°.∵∠D=90°,∠CBA=90°, ∴P、B、M在一条直线上. ∵QA+AP+QP=2,DQ+AQ+AP+BP=2, ∴QP=DQ+BP. ∵BM=DQ,PM=PB+BM, ∴QP=PM. 又CP=CP,CQ=CM. ∴△CQP≌△CMP. ∴∠QCP=∠PCM.又∠QCP+∠PCM=∠QCM=900 ∴∠PCQ=45°. 练习5 1.解:把△ADF绕A点旋转到△ABD′的位置. ∵∠D和∠ABC均为直角, ∴D′、B、E三点在一条直线上, ∵∠EAF=45°,∴∠D′AE=45°. 在△AD′E和△AEF中, AD′=AF,AE=AE,∠D′AE=∠EAF, ∴△AD′E≌△AFE. ∴S△D`EF =2S△AD`E =S ABEFD=S正方形ABCD-S△EFC. ∴S△EFC =S正方形ABCD-S ABEFD=S正方形ABCD-2S△AD`E =82-2×1 2 ×8×7=8. 2.解:将△ADC绕D点旋转180°得△BDE.∵BD=CD. ∴C与B重合,设A落到E处, 显然A、D、E共线. 在△ABE中,BE=AC=13,AB=5,AE=2AD=12. 则有132=122+52. ∴△ABE为直角三角形,∠BAE=90°. 在Rt△ABD中,AB=5,AD=6, 则有BD=2256 =61. ∴BC=2BD=261. 3.证明:将△ABD 绕A 点旋转∠BAC 的度数, 得△ACE ,连结DE .由于AB=AC . ∴B 与C 重合,则△ABD ≌△ACE . ∵AD=AE ,∴∠1=∠2. ∵∠AEC=∠ADB>∠ADC . ∴∠4>∠3,∴CE 一元一次不等式提高练习 【例题求解】 【例题1】(1)已知关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 25a x x 无解,则a 的取值范围是是___________。 (2)已知不等式03≤-a x 的正整数解恰好是1、2、3,则a 的取值范围是___________。 【例题2】如果关于x 的不等式组?? ?<-≥-0 60 7n x m x 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等 式组的整数对(m ,n )共有_____对。 【例题3】解下列不等式(组) (1)n x m +<+332 (2)1022-≤-x x (3)求不等式321≤-+-x x 的所有整数解。 【例题4】已知三个非负数a 、b 、c 满足132523=-+=+c b a bc a 和,若c b a m 73-+=。求m 的最大值与最小值。 【课堂练习】 1、 若关于不等式组??? ??<++>+0 1456m x x x 的解集为4 5、 若01<<<-b a ,则下列式子正确的是____________。 A 、-a<-b B 、 b a 1 1< C 、 b a < D 、22b a > 6、若方程组?? ?=++=+3 41 4y x k y x 的解满足条件10<+ 个性化教学辅导教案 学科:数学任课教师:黄老师授课时间:2014 年04 月13 日(星期日) 姓名梁治安年级八年级性别男总课时____第___课 教学 目标 知识点:平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图。 难点重点重点:1、平移的概念、性质、平移作图;旋转的概念、性质,简单的旋转作图2、简单的图案设计。 难点:图案设计的方法;轴对称、平移、旋转三种变换的组合。 课堂教学过程课前 检查作业完成情况:优□良□中□差□建议__________________________________________ 过 程 平移的概念和性质 在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过的平移所得到的图形中,对应点所连的线段平行,且相等,对应线段平行且相等,对应角相等。 旋转的概念和性质: 在平面内,将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角。旋转不改变形状和大小。 一个图形和它经过旋转得到的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角,对应线段相等,对应角相等。 知识点一、平移的概念: 1.在平面内将一个图形沿______移动一定的距离,这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的_______和__________. 知识点二、平移的性质 2、经过平移,_________,__________分别相等, 对应点所连的线段_____________. 【基础训练】 A ′ 1.以下现象:①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行; ③风车的转动,④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是( ) A .②③ B 、②④ C .①② D .①④ 2、如下左图,△ABC 经过平移到△DEF 的位置,则下列说法: ①AB ∥DE ,AD=CF=BE ; ②∠ACB=∠DEF ; ③平移的方向是点C 到点E 的方向; ④平移距离为线段BE 的长. 其中说法正确的有( ) A.个 B.2个 C.3个 D.4个 3、如下右图,在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点,则△AFE 经过平移可以得到( ) A.△DEF B.△FBD C.△EDC D. △FBD 和△EDC 4.下列图形属于平移位置变换的是( ) . 5.下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( ) 6.如图,△ABC 平移后得到△A ′B ′C ′,线段AB 与线段A ′B ′的位置关系是 . 7.在1题中,与线段AA ′平行且相等的线段有 . A . B . C . D . 第10章《轴对称、平移与旋转》培优习题2:平 移 考点1:平移变化 例1、如图,A 、B 、C 、D 四个图案中可以由左图平移得到的是( ) 【同步练习】 1、2019年10月18日,第七届军人运动会在武汉举行,如图是第七届运动会的吉祥物兵兵,下列图案中,是通过图平移得到的图案是( ) 2、下列图形中,哪一幅可以由第一幅图平移得到( ) 考点2:平移的性质 例2、为构建和谐校园,营造良好的教育范围,某学校服在如图所示的长方形草坪上修建甬道, 道路的宽忽略不计,若草坪周长为320m ,则道路的总长为( ) A 、120m B 、160m C 、240m D 、 320m 【同步练习】如图所示是某酒店门前的台阶,现该酒店经理要在台阶上铺上一块红地毯,问这 块红地毯至少需要( ) 例题 2 图 8m 5m 10m 同步练习 A B C D A B C D A B C D 考点汇编 A 、23平方米 B 、90平方米 C 、130平方米 D 、120平方米 例3、如图,将ABC ?沿BC 方向平移1cm 得到DEF ?,若ABC ?的周长为8cm ,则四边形 ABFD 的周长为( ) A 、8cm B 、9cm C 、10cm D 、11cm 【同步练习】 1、如图,DAF ?沿直线AD 平移得到CDE ?,CE ,AF 的延长线交于点BA 。若?=∠111AFD ,则=∠CED ( ) A 、110° B 、111° C 、112° D 、113° 2、如图,将ABC ?水平向右平移至DEF ?的位置,点B ,E ,F 在同一直线上,已知6=BF , 1=CE ,则_________=BE . 例4、将ABC Rt ?沿边向右平移得到DEF Rt ?,8=AB ,6=BE ,3=DG ,求阴影部分的面 积。 【同步练习】 1、如图,将ABC ?沿直线AB 向右平移后到达BDE ?的位置,连接CD 、CE ,若ACD ?的面积为10,则BCE ?的面积为( ) A 、5 B 、6 C 、10 D 、4 2、如图,将ABC ?沿BC 方向平移一定距离得到三角形DEF ,若8=AB ,3=BE ,2=DG ,则图中阴影部分面积为 . 例5、如图,已知两条射线CN OM //,动线段AB 的两个端点A ,B 分别在射线OM ,CN 上, 且?=∠=∠108OAB C ,点E 在线段CB 上,OB 平分AOE ∠、 (1)图中有哪些与AOC ∠相等的角?并说明理由; (2)若平移AB ,那么OBC ∠与OEC ∠的度数比是否随着AB 位置变化而变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这个比值。 【同步练习】 如图,已知直线CD AB //,?=∠=∠100C A ,E ,F 在CD 上,且满足ABD DBF ∠=∠,BE 平 例题4图 同步练习 1 同步练习2 B 例题3图 C E A F D B 同步练习1 C E B F D 同步练习2 C E A F D B新北师大版八年级下一元一次不等式和图形的平移与旋转培优题
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