多边形讲义

多边形

知识点一：多边形及其有关概念

(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．

多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.

三角形是最简单，边数最少的多边形.

(2)多边形的边：

组成多边形的线段叫做多边形的边．

(3)多边形的内角、外角：

多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．

(4)多边形的对角线：

①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD 就是五边形ABCDE中的两条对角线．

②拓展理解：

一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n

边形一共有

n (n －3)

条对角线．

(5)凸多边形和凹多边形：

①在图(1)中，画出四边形ABCD 的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；

②在图(2)中，画出DC (或BC )所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．

【例1】填空：

(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．

(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．

变式1：过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是( )．

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

变式3：一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．

知识点二：正多边形

(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．

(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．

注：正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．

【例2】下列说法正确的个数有( )．

(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形； (2)各边都相等的多边形是正多边形； (3)各角都相等的多边形一定是正多边形；

(4)正多边形的各个外角都相等．

知识点三：多边形的内角和

(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.

(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．

①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；

②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；

③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．

所以多边形内角和等于(n－2)×180°.

(3)应用：

①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；

②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．

【例3】选择：

(1)十边形的内角和为( )．

A．1 260° B．1 440°

C．1 620° D．1 800°

(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有( )．

A．6条 B．7条C．8条 D．9条

（3）多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是( )．

A．7 B．8 C．9 D．10

变式1：若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．

变式2：一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．

变式3：一个多边形的内角和不可能是( )．

A．1 800° B．540°

C．720° D．810°

知识点四：多边形的外角和

(1)公式：多边形的外角和等于360°.

(2)探究过程：如图，以六边形为例．

①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．

②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1 080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1 080°－180°×(6－2)＝360°.

③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.

(3)拓展理解：

①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．

②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．

【例4】填空：

(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；

(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．

变式1：如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.

变式2：如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于( )．

A．140° B．40°

C．260° D．不能确定

变式3：在多边形的内角中，锐角的个数不能多于( )

A．2个B．3个C．4个D．5个

知识点五：正多边形知识的应用

正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：

(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．

(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．

【例5】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．

变式1：一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．

变式2：一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．

知识点六：将多边形截去一个角问题的探讨

在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：

(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.

(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.

(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.

【例6】一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为( )．A．15或17 B．16或17

C．16或18 D．15或16或17

变式1：一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2 520°，那么原多边形的边数是( )．

A．13 B．15 C．17 D．19

变式2：如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2 880°，那么原来的多边形的边数是( )．

A．10 B．9 C．8 D．7

知识点七：多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：

①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；

②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．

破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．【例7】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2 670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．

变式：若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．

知识点八：平面镶嵌

1.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行________，彼此之间不留空隙、不_______地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.

2. 取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要求以其中一个顶点处的各个内角之和为__________.

例8：（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）（A）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形

注：只用同一种正多边形能够进行密铺的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．

变式1：如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是___度．

变式2：（1）如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．

（2）用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b 个正方形，则a＝__________，b＝__________．

【随堂检测】

1．若多边形的边数由3增加到n(n是正整数，且大于3)，则其外角和的度数( )

(A)增加(B)减少(C)不变(D)不确定

2．一个多边形共有5条对角线，这个多边形内角和等于( )

(A)360°(B)540°(C)720°(D)900°

3.已知一个多边形的内角和与外角和的比为9:2，则它的边数是_____．

4．一个凸n边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角等于( ) A．90°B．15°C．120°D．130°5．不能够铺满地面的正多边形的组合是（）

Ａ．正三角形与正方形Ｂ．正五边形与正十边形

Ｃ．正六边形与正三角形Ｄ．正六边形与正八边形

6、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.

【课后强化练习】

一、选择题

1. 一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

2. 用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）

A. 30°

B. 36°

C. 40°

D. 45°

4. 多边形的内角和不可能是（）

A. 810°

B. 540°

C. 1800°

D. 180°

5. 如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（）

A. 增加180°，增加180°

B. 不变，增加180°

C. 不变，不变

D. 增加180°，不变

6. 能够铺满地面的正多边形组合是（）

A. 正八边形和正方形

B. 正五边形和正十边形

C. 正四边形和正六边形

D. 正四边形和正七边形

*7. 在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（）

A. n个

B. （n－2）个

C. （n－1）个

D. （n＋1）个

*8. 过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（）条

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

二、填空题

9. 在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝2cm，则∠D＝__________，DE＝__________．

10. 一个正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．

11. n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小__________度．

12. 从n边形的一个顶点出发共引出了5条对角线，则这个n边形是__________边形，这5条对角线把n边形分成了__________个三角形．

*13. 如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．

**14. 用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b 个正方形，则a＝__________，b＝__________．

三、解答题

15. 若一个多边形的各边都相等，周长为63，且内角和为900°，求它的边长．

16. 如图所示，（1）四边形共有__________条对角线，五边形共有__________条对角线，六边形共有__________条对角线；

（2）你能说出七边形共有多少条对角线吗？

（3）由（1）、（2），请猜想n边形的对角线的总条数，说说你的理由．

四边形五边形六边形

*17. 将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线？

*18. 小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求：

（1）这个多边形是几边形？

（2）这个内角是多少度？

四、拓广探索

**19. （1）填表：

正多边形

3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数

…

（2）如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边（方）形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．

参考答案

一、选择题 1. B2. C

二、填空题

9. 120°，2cm 10. 正五11. 180

三、解答题

15. 解：设该多边形有n 条边，则（n －2）×180°＝900°，解得n ＝7．因为63÷7＝9，所以这个多边形的边长为9．

16. 解：（1）2，5，9（2）14．因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶点可引28条对角线，由于每条对角线均重复计算一次，所以七边形共有14条对角线（3）

n 边形共有（n －3）×n

2条对角线，理由与（2）类似．

17. 解：因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种（如图所示）

多边形．当得到四边形时，有12×4×（4－3）＝2条对角线；当得到五边形时，有1

×5×（5

－3）＝5条对角线；当得到六边形时，有1

×6×（6－3）＝9条对角线．

18. 解：（1）设这是一个n边形，则（n－2）·180°＝1125°，n＝8.25，故这个多边形是九边形；（2）135°．设这个内角为x°，则（9－2）×180°＝1125°＋x°，解得x＝135．

多边形及其内角和讲义(学生用)

多边形内角和第一部分知识点回顾定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。分类2：多边形非正多边形： 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。多边形的定理 2、任意凸形多边形的外角和等于360°。 3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在同一平面内。多边形的分类：不叫三边形 2、镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同。实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。 3、常见的一些正多边形的镶嵌问题： (1)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°。 (2)只用一种正多边形镶嵌地面：只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。 (3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌。第二部分经典习题类型一：多边形内角和及外角和定理应用 1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数. 【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少 . 【变式3】个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用 2．某校七年级六班举行篮球比赛，比赛采用单循环积分制（即每两个班都进行一次比赛）.你能算出一共需要进行多少场比赛吗【变式1】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】一个十二边形有几条对角线。

九年级圆基础知识点--(圆讲义)

一对一授课教案学员姓名：何锦莹年级：9 所授科目：数学一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

多边形的内角和及角的计算(人教版)(含答案)

多边形的内角和及角的计算（人教版）一、单选题(共14道，每道7分) 1.如果一个多边形的内角和是其外角和的2倍，那么这个多边形是( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°， ∴这个多边形的内角和为720°， ∴(n-2)×180°=720°， ∴n=6，故选C．试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 2.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( ） A.正六边形 B.正八边形 C.正十边形 D.正十二边形答案：C 解题思路： ∵多边形的外角和都等于360°，正多边形的每个外角都相等， ∴n=10，故选C．试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和 3.若一个n边形的每一个内角为135°，则边数n的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 答案：C 解题思路：多边形每个外角都相等，均为180°-135°=45°，由多边形外角和为360°，知n=360°÷45°=8，故选C．试题难度：三颗星知识点：多边形的内角和与外角和

4.某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了( )米． A.8 B.9 C.10 D.12 答案：A 解题思路：每走1米，左转45°，则机器人走过的轨迹为边长为1的正多边形．题目所求的是正多边形的周长，故只需求边数n即可． ∵正多边形的每个外角都相等， ∴n=360°÷45°=8， ∴机器人共走了：8×1=8（米）．故选A．试题难度：三颗星知识点：多边形的外角和定理 5.已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度数( )． A.50° B.60° C.70° D.80° 答案：C 解题思路：

数学九年级下沪科版第25.8正多边形和圆讲义教案

正多边形和圆(一）一．内容综述正多边形的有关计算方法、圆及简单组合图形的周长与面积的计算方法，是本单元的重点。实际上，这部分计算问题的解决大都是放在直角三角形（如下图△OAD）中解决的。掌握这些知识，一方面可以为进一步学习打好基础，另一方面这些知识在生产和生活中常常用到，所以要给予足够的重视。在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n 和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有： ①αn= ； ②a n=2R n·sin ； ③r n=R n·cos ； ④+ ； ⑤P n=na n； ⑥S n= P n r n； ⑦S n= n sin .（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1、构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等； 2、准确记忆相关公式。在圆的有关计算中，如果用R表示圆的半径，n表示弧或弧所所对的圆心角的度数，L 表示弧长，则有： ①圆周长：C=2πR。 ②弧长：L= ③圆面积：S=πR2 ④扇形面积：S扇形= = LR ⑤弓形面积可利用扇形面积与三角形面积的和或差来计算需根据不同的情况作出不同的处理：

（1）当弓形所含弧为劣弧时，S弓=S扇-S△ （2）当弓形所含弧为优弧时，S弓=S扇+S△ （3）当弓形所含弧为半圆时，S弓= S圆 ⑥圆柱与圆锥的侧面积可以转化为计算侧面展开图的面积二．例题分析：例1.正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（） A、B、C、D、解：如图1，BF=2，过点A作AG⊥BF于G，则FG=1，又∵∠FAG=60°，故选B。说明：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。例2.如图2，两个同心圆被两条半径截得的的长为6πcm, 的长为10πcm，若AB=12cm,求图中阴影部分的面积。解：设∠O=α，由弧长公式得6π= , 10π= , ∴OA= , OB= . 又∵AB=OB-OA, ∴12= - , ∴α=60°, ∴OA= =18, OB= =30.

三角形--讲义

三角形讲义一、基础知识（一）与三角形有关的线段 1三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形叫做三角形。 2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。 3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。（二）与三角形有关的角 1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。（三）多边形及其内角和 1多边形：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的平面图形称为n 边形，又叫多边形。 2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正多边形。 3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形的对角线，每个多边形有 )3(2 1 n n 条对角线。 4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°） 5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和。任意多边形的外角和等于（360°）。（四）三角形的分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分类：不等边三角形、等腰三角形（包含底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形）（五）镶嵌 1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。 2、用相同的正多边形镶嵌

沪教版-九年级(初三)数学-圆与正多边形讲义-圆的概念及性质复习讲义教案

一、圆的相关概念 1. 圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O 为圆心，OA 为半径的圆记作”O ⊙“，读作” 圆O “．（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等． 2. 弦和弧（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 3. 圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．二、圆的对称性 1. 旋转对称性中考要求知识点睛圆的概念及性质

正多边形与圆教案

正多边形和圆一、学习目标： 1知识与技能：（1）了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。（2）能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 2过程与方法：（1）学生在探讨正多边形有关计算过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力。（2）在探索正多边形有关过程中，学生体会化归思想在解决问题中的重要性，能综合运用所学的知识和技能解决问题。 3情感、态度与价值观： ' （1）学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。（2）运用已有的正多边形的知识解决问题的活动中获得成功的体验，建立学习自信心。二、教学重难点：教学重点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系，并能进行有关计算。教学难点：理解正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系以及把正多边形的计算问题转化为解直角三角形的问题。三、教学方法：引导学生采用自主合作探究的方式进行学习四、教学准备：PPT课件、圆规、直尺五、教学过程：导入：前面我们学习了许多图形与圆的关系，如：点和圆、直线和圆、四边形和圆以及圆与圆的关系，还有什么图形我们没有与圆联系上呢（多边形）那么今天我就和同学们一起来探讨正多边形与圆。看看它们之间有怎样的联系，又给我们带来什么样的知识。 / （一）自习交流： 1.带着以下问题自主预习教材105页至106页的内容，勾画你认为重要的地方和有疑问的地方。 ①什么是多边形多边形的内角和与外角怎么计算的 ②正多边形和圆有什么关系 ③结合图形说说正多边形的中心、中心角、边心距、半径，并结合以前的知识说说它们的特点 ④结合图形说一说如何计算正多边形的中心角、边心距、半径、周长和面积 2.师生交流重要知识点：（1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如正五边形：AB=BC=CD=DE=EA ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E (

讲义-多边形及角度计算

第三讲多边形及角度计算（补充讲义） Part1 三角形外角【知识回顾】 1.外角：延长多边形的一边，与邻边的夹角就叫这个多边形的一个外角。 2.三角形的外角等于不相邻两个内角的和。 3.三角形内角和180°，外角和360°。 4.（1）按角分类直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形（2）按边分类不等边三角形三角形等边三角形等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形【涉及题型】 1.3个外角模型。 2.利用外角、内角求角度度数。【精讲例题】例1.【外角求角度】（1）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（） A．15° B．20°C．25°D．30°

（2）如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F 的度数为（） A ．180° B ．360° C ．540° D ．720° Part2多边形的认识【知识回顾】 1.多边形内角和公式：180°·（n-2）。 2.多边形外角和：360°。 3.多边形对角线条数公式：。 4.正多边形：每个内角都相等，每条边都相等的多边形叫正多边形。【涉及题型】 1.内角与外角结合（设未知数求解）。 2.求不规则图形的角度（看外角、看内角）。 3.对角线 4.砍去与增加的角度问题【精讲例题】例2.【内角与外角结合】五边形中，前四个角的比为1：2：3：4，第五个角比最小角多100°，则五边形的五个内角分别为 °， °， °， °，度．例3.【求不规则图形的角度】如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G=（）度． A ．540 B ．720 C ．360 D ．900 例4.【对角线】从n 边形一个顶点出发，可以作（）条对角线． A ．n B ．n ﹣1 C ．n ﹣2 D ．n ﹣3 例5.【砍去与增加角度问题】一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（） A ．7 B ．7或8 C ．8或9 D ．7或8或9 23-n n ）（

九年级圆基础知识点,(圆讲义)

一对一授课教案学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；

《多边形的内角和》教学设计与说明

多边形的内角和 [教学内容]苏教版四年级下册第96页~97页探究多边形内角和计算规律。 [教材简析] 这部分内容是一次探索规律的活动，主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体活动，发现多边形内角和的计算方法。多边形内角和是在学生认识了三角形内角和等于180°，了解多边形基本特征的基础上教学的。通过活动，使学生经历由特殊到一般的学习过程，发现多边形内角和和边数之间的关系，获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验，感悟一些基本的数学思想的方法，体会三角形内角和以及相关数学方法的价值，使学生经历发现数学规律的过程，积累数学活动经验，感悟转化的数学思想。 [教学目标] 1.使学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，了解多边形与它最少能分成三角形个数之间的关系，掌握多边形的内角和与边数之间的关系，掌握多边形的内角和的计算方法，能正确计算多边形的内角和。 2.使学生经历分一分、算一算、比较归纳等探索、发现规律的过程，加深感受探索数学规律的一般方法，积累相应的数学活动经验，提高解决问题的能力,进一步体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等的思维能力，进一步发展空间观念。 3.使学生主动参与探索规律的活动过程，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的自信心。 [教学重点]探索多边形内角和的规律。 [教学难点]获得规律探究的一般方法。 [教学过程] 一、创设情境，提出问题提问：三角形的内角和是多少度？（PPT出示：三角形）引导：我们知道了三角形的内角和是180°，那四边形、五边形、六边形等多边形的内角和各是多少度呢？（ppt出示教材中的图形）其中有没有什么规律呢？这就是我们要研究的问题——多边形的内角和（板书课题）。我们就从边数较少的简单的图形开始研究不同边数的多边形内角和。 [设计说明：先回顾三角形的内角和再提出探讨四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，使得新课导入亲切自然，使学生明确学习任务，激发孩子学习

多变形的内角和讲义

19.1多边形的内角和一、多边形及其相关概念 1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①在平面内；②若干条；首尾顺次相连，三者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图。把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形. 2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：如图 3、多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。二、典例解读 1、把一张形状是多边形的纸片减去其中某一个角，剩余的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（） A、六边形 B、五边形 C、四边形 D、三角形三、多边形的内角和 1、n边形的内角和等于（n-2）180°（n为不小于3的整数）。 2、多边形内角和定理的证明是运用归纳法，即将多边形分割成三角形，将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决。通常有以下四种分割方法（1）、如图，从n边形的一个顶点出发，

可以引（n-3）条对角线，把n多边形分割成（n-2）个三角形，则这（n-2）个三角形的内角和就是多边形的内角和，即（n-2）180°；（2）如上图，从n边形的一条边上任意一点出发，连接这点与各顶点的线段把n边形分成（n-1）个三角形，因为这（n-1）个三角形的内角和就是（n-1）180°，而以这点为公共顶点的（n-1）个角的度数和为180°，所以n多边形的内角和就是（n-1）180°-180°=（n-2）180°；（3）如图，在n边形的内部任意取一点，连接这点与各顶点的线段将n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为180°n，而以这点为公共顶点的n 个角的和为360°，所以n边形内角和的为180°n-360°=（n-2）180°；（4）如上图在n边形的外部任意取一点，连接这点与各顶点的线段构成了（n-1）个三角形，这（n-1）个三角形的内角和就是180°（n-1），而以这点为公共顶点的一个角的和为180°，所以n边形内角和的为180°（n-1）-180°=180°（n-2）。四、典例解读 1、四边形的内角和的度数为_____________________。 2、已知一个多边形的内角和是1440°，则这个多边形是 _____________________。 3、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为____________________. 4、在四边形ABCD中∠A=60°，∠B比∠D大20°，∠C是∠D的2倍，求∠B,∠C，∠D的大小。五、多边形的外角和 1、n边形的外角和都等于360°(n为小于3的整数)。 2、因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n －2)·180°= 360°. 3、多边形的外角和是取同一个顶点上的两个互为对顶角的外角中的一个相

九年级数学上册人教版：24.3正多边形和圆(2) 教案

1、教材分析：学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移、旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．学情分析： 2、九年级学生已具备一定知识储备和认知能力。但学生的基础较差，中等、差等生较多，优等生较少。课堂上，多数学生表现欲不强，发言不积极，怕回答错问题；学生应用知识灵活解决问题的能力较差，在几何证明题中，不会抓住已知条件进行论证推理。因此，在教学中，注重学生学习方法的培养，通过学生实践、探究、合作交流来完成本节课的教学。 1．理解正多边形的性质． 2．会画正多边形，了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形，过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．正多边形的画法．难点

巩固上节课所学的内容

、等分圆周法：二、新课教学实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关． 1．等分圆周．由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形．例如，画一个边长为1.5 cm的正六边形时，可以以1.5 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于＝60°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）． 2、尺规作图：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作．如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）．通过生活中的实际例子导入新课的教学．考查弧、弦之间的关系的应用 6 360

初二数学经典讲义多边形(提高)知识讲解

多边形（提高）知识讲解【学习目标】 1.理解多边形的概念； 2.掌握多边形内角和与外角和公式； 3.灵活运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【要点梳理】知识点一、多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形。如图：要点诠释： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 (3) 2 n n ； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．知识点二、多边形内角和定理 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．要点诠释： (1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；凸多边形凹多边形

(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180 n n g° ；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．要点诠释： (1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360 n ° ； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念 1．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗? 【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式1】如图，四边形ABCD中，∠B＝40°，沿直线MN剪去∠B，则所得五边形AEFCD中，∠1+∠2＝。【答案】220° 【变式2】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）. A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】C.

正多边形与圆一对一辅导讲义

1、了解正多边形的概念，探究正多边形与圆的关系； 2、经历探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的性质；第一课时正多边形与圆知识点梳理课前检测 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.3∶2∶1 B.4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________. 5.已知△ABC的周长为20,△ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 知识梳理正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．正多边形的相关概念： ⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距正多边形的性质：

⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．正多边形的有关计算 ⑴正n 边形的每个内角都等于 ()2180n n -??； ⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于 360n ? ； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ，则222180180111 2sin cos 422 n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ??===+==??=?，，，，正多边形的画法 1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 第二课时正多边形与圆典型例题题型一、正多边形的概念例1.填写下列表中的空格正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积 3 23 4 1 6 2 变1.（1）若正n 边形的一个外角是一个内角的 3 2 时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 典型例题

多边形内角和定理

多边形的内角和教学目标 1．掌握多边形内角和及外角和公式． 2．能把多边形问题转化为三角形问题，体现了转化的数学思想，让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法．教学重点探索并证明多边形内角和与外角和公式．教学难点探索多边形内角和时，将多边形转化成三角形来解决问题的思路．教学设计一、创设情景，明确目标问题：1.三角形的内角和是180°；正方形的内角和是360°；一般四边形的内角和是多少呢？ 2．五边形的内角和呢？ 3．n边形的内角和是多少呢？二、自主学习，指向目标学习至此：请完成《学生用书》相应部分．三、合作探究，达成目标探究点一多边形的内角和活动一：探究：教材P21“思考”．内角和公式吗？反思小结：n边形的内角和等于(n－2)·180°. 针对训练：见《学生用书》相应部分探究点二多边形的外角和活动二：见教材P22例1(答案见课本) 展示点评：任何一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和是多少？上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？你能归纳出多边形外角和的求法吗？小组讨论：多边形的外角和与这个多边形的边数之间有数量关系吗？反思小结：多边形的外角和等于360°. 针对训练：见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标 1．本节课学习的数学知识是：多边形的内角和公式，及外角和．2．数学思想：转化、数形结合．五、达标检测，反思目标 1．填空：（1）八边形的内角和等于( ) （2）已知一个多边形的内角和等于2340°，它的边数是( ) （3）小明在计算多边形的内角和时求得的度数是1000°，他的答案正确吗？为什么？（4）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度是。（5）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n°，则n= 。（6）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是。（7）在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，那么∠B 与∠D有什么关系呢？为什么？ ●布置作业，巩固目标教学难点 1．上交作业课本P257、8、9、10. 2．课后作业见《学生用书》．

《正多边形和圆》第一课时参考教案

《正多边形和圆》第一课时参考教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

24.3 正多边形和圆第一课时教学目标： 1、使学生理解正多边形概念； 2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形． 3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力； 4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．教学重点： (1)正多边形的定义； (2)n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n 边形．教学难点：对正n边形中泛指“n”的理解．教学过程：一、新课引入：同学们思考以下问题：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答] 3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]．各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容“24.3正多边形和圆”． 2

二、新课讲解：正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的．因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一．同学回答：什么是正多边形？[安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．] 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．幻灯展示图形：上面这些图形都是正几边形？[安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形．] 矩形是正多边形吗为什么菱形是正多边形吗为什么[安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．] 哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等．] 要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少要将圆四等分、五等分、六等分呢[安排中下生回答：将圆三等 3

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》教案第2课时

第二十四章圆 24.3 正多边形和圆第2课时一、教学目标 1．巩固正多边形与圆的关系． 2．掌握用尺规画图作正多边形．二、教学重点及难点重点：画特殊的正多边形．难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规、量角器．四、相关资源五、教学过程【复习回顾，引入新课】师生活动：教师展示复习的课件，让学生回顾上节课所学知识．设计意图：通过复习正多边形与圆相关定义，为本节课学习正多边形画法作好铺垫．【合作探究，形成新知】实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关，我们一起探究正六边形的画法．我们可以用量角器画正六边形吗？如果可以，请说说作图原理．师生活动：四人一组，小组讨论、交流，一名学生回答，全班订正．学生回答不足的地方，教师补充．归纳用“量角器等分圆”：依据：同圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．【例题分析，深化提升】

例有没有其他作正六边形的方法？你能用尺规作出圆的内接正六边形吗？试试看．师生活动：教师组织学生思考作图的方法，先让学生独立思考，再与小组同学协作完成，有方法的小组通过实物投影展示，对完成较好的同学给予表扬．教师引导学生观察正六边形，从而使其回忆起正六边形的边长等于半径，找到作图的方法，然后学生自己动手作图．设计意图：充分发挥学生的发散思维，让学生充分利用手中的工具，实际操作，认真思考，从而培养学生的动手能力．【练习巩固，综合应用】已知⊙O的半径为1 cm，求作⊙O的内接正八边形．解：（1）如图所示，作直径AC，使AC=2 cm．（2）作AC的中垂线BD交⊙O于B，D两点．（3）连接AD，作AD的中垂线交AD于M点．，，的中点E，F，G．（4）用同样的方法作出AB BC CD （5）依次连接各分点，即得正八边形．正八边形AEBFCGDM即为所求作的⊙O的内接正八边形．设计意图：巩固正多边形画法．六、课堂小结学完这节课你有哪些收获？ 1．量角器画正多边形 2．尺规作正多边形师生活动：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．七、板书设计 24.3 正多边形和圆(2) 1．量角器画正多边形 2．尺规作正多边形

人教版八年级数学多边形及其内角和讲义 (含解析)

第2讲多边形及其内角和知识定位讲解用时：5分钟 A 、适用范围：人教版初二，基础一般； B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习多边形及其内角和，首先要学会判断凸多边形和凹多边形，然后要学会计算多边形的内角和和外角和，能够处理多边形的一些基础题目。知识梳理讲解用时：20分钟凸多边形、凹多边形 1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 2、凸多边形：如果把一个多边形的所有边中，有一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形，其内角中至少有一个钝角。 3、凹多边形：如果把一个多边形的所有边中，任意一条边向两方无限延长成为一直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形，其内角应该全不是钝角，任意两个顶点间的线段位于多边形的内部或边上。目前我们研究的都是凸多边形

1、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 2、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 3、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 4、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。从同一个顶点引出对角线的条数： 0 1 2 3 n-3 （n≥3）分割出三角形的个数： 0 2 3 4 n-2 （n≥3）多边形内角和： 180° 360° 540° 720° (n-2)·180°

课堂精讲精练【例题1】设四边形内角和等于，五边形外角和等于，则与之间的关系是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形的内角和是360°，多边形的内角和也是360°. 解：多边形边数为，则内角和为，四边形内角和，多边形外角和为，五边形外角和，因此．故正确答案为：．讲解用时：2分钟解题思路：此题比较简单，熟记多边形的内角和和外角和公式做题即可. 教学建议：掌握多边形的内角和和外角和公式，灵活做题. 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018 【练习1.1】下列图形中，多边形有（）总结： 1、多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。 2、n 边形共有2 3) -n(n 条对角线 3、多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 4、多边形的外角和：多边形的外角和为360°