人教版初中数学讲义

人教版初中数学讲义

第一章 有理数

一、正数和负数

1、正数、负数： 大于零的数叫做正数，小于零的数叫做负数。应用：生产收入，海拔高低，

气温的冷热，方位的指向，比赛的胜负，比例的增长等等。

二、有理数

1、概念：整数和分数统称为有理数。

2、分类???????????????负分数负整数负数零正分数正整数正数或????

?????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数 注：分数和小数可以互化，所以小数可以归为分数类。

3、“0”表示的意义：

（1）0既不是正数也不是负数（2）0是整数（3）0不是表示没有，有时表示一种趋于正负

的状态（4）0是最小的自然数，即是最小的非负整数（5）0不能作为分母（6）0等相反数

是0（7）0的绝对值是0（8）0没有倒数（9）0乘以任何数都为0（10）0除以任何不为0

的数都为0.

4、数轴：通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点，正方

向，单位长度。

数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边

的数小于右边的数。

5、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。与原点距离相等的两个数互为相反数。

互为相反数的两个数相加得0（a ，b 互为相反数，则a+b=0）

6、绝对值：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|

|a|=???<-≥)

0()0(a a a a 两个负数，绝对值大的反而小。

三、有理数的加减法

1、有理数的加法：

（1）加法法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较

小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

一个数同0相加，仍得这个数。

（2）运算律：加法交换律：a+b=b+a ；加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）

2、有理数的减法：

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。a-b=a+（-b ））

引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。

四、有理数的乘除法

1、有理数的乘法：

（1）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0.

倒数：乘积是1的两个数互为倒数。

多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘。

归纳：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。

（2）运算律：交换律，结合律，分配律。

2、有理数的除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。（乘积为1的两个数互为倒数）

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不为0的数都得0.

五、有理数的乘方

1、乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，a叫做底数，n叫做指数。

负数的奇数幂是负数，负数的偶数幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.

有理数混合运算的顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

2、科学计数法：把一个大于10的数表示为a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法。

3、近似数

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

第二章整式的加减

一、整式

1、概念：单项式和多项式统称为整式。

2、单项式：含有数或字母的积的式子。单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的系数：单项式中的数字因数。

单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。

3、多项式：几个单项式的和。

多项式的项：每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。

多项式的次数：多项式里次数最高项的次数。

多项式的升降幂排列

二、整式的加减

1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项，称为同类项。几个常数项也是同类项。

2、一般步骤：去括号，合并同类项，将多项式进行升降幂排列。

合并同类项后所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。

第三章一元一次方程

一、一元一次方程

1、等式：用等号来表示相等关系的式子。

等式的性质：1、等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。2、等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

方程：含有未知数的等式。

2、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的方程。

二、解一元一次方程

1、解一元一次方程：求一元一次方程中使等号左右两边相等的未知数的值的过程。

2、一元一次方程的求解：主要方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为一。

三、实际问题与一元一次方程

列举主要的实际问题：销售中的盈亏，油菜种植的计算，球赛积分表问题

第四章图形的初步认识

一、多次多彩的图形

启发学生联系生活，发挥想象，主动介绍出自己所了解的图形。

1、几何图形：从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。

立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形。如长方体，正方体，圆柱，圆锥，球等。平面图形：各部分都在同一平面内的几何图形。如线段，角，三角形，长方形，圆等。

展开图：

2、点，线，面，体

几何体也简称体，包围着体的是面。点动成线，线动成面。几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

二、直线、射线、线段

1、直线：性质：经过两点有一条直线，并且只要一条直线（两点确定一条直线），表示

2、射线：性质，表示

3、线段：性质：两点的所有连线中，线段最短（两点之间，线段最短），表示

连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。

让学生学会在复杂的图形中准确找出直线、射线和线段，并能够正确表示。

三、角

1、概念：两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角；一条射线绕着端点旋转所形成的图形叫做角。

角度制：以度，分，秒为单位的角的度量制，叫做角度值。

2、角的比较与运算：

角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。

3、余角和补角：两个角的和等于90o，就说这两个角互为余角。两个角的和等于180o，就说这两个角互为补角。

等角的余角相等，等角的补角相等。一个角的余角+90o=这个角的补角

4、作角：（加强动手能力）

第五章相交线、平行线

一、相交线

1、相交线

邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角称为邻补角。

对顶角：有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角称为对顶角。对顶角相等。

2、垂线：两条直线互相垂直，其中一条直线就叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

二、平行线及其判定

1、平行线

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

2、平行线的判定：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平

行。即同位角相等，两直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么

这两条直线平行。即内错角相等，两直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁

内角互补，那么这两条直线平行。即同旁内角互补，两直线平行。

三、平行线的性质

1、平行线的性质（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（2）两条平行线被第三

条直线所截，内错角相等。（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

2、命题、定理：判断一件事情的语句叫做命题。经过推理证实其正确性的命题叫做定理。

四、平移

第六章平面直角坐标系

一、平面直角坐标系

1、有序数对：把有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对。记作（a ，b ）

2、平面直角坐标系：横轴，纵轴，原点，坐标，象限。

二、坐标方法的简单应用

1、用坐标表示地理位置

2、用坐标表示平移

第七章三角形

一、与三角形有关的线段

1、三角形的边：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三角形??

??????等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。

2、三角形的高、中线与角平分线

3、三角形的稳定性

二、与三角形有关的角

1、三角形的内角

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180o

2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

三、多边形及其内角和

1、多边形

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

各角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形。

2、多边形的内角和

n 边形内角和等于（n-2）·180o ，多边形的外角和等于360o

四、课题学习——镶嵌

第八章二元一次方程组

一、二元一次方程组

1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个具有相同未知数的二元一次方程的组合。

2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。

二元一次方程组的解二元一次方程组的两个方程的公共解。

二、消元——二元一次方程组的解法

1、消元：将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想。

代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

三、实际问题与二元一次方程组

四、三元一次方程组

第九章不等式与不等式组

一、不等式

1、不等式及其解集

2、不等式的性质（1）不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变（2）不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

三角形两边的差小于第三边。

二、实际问题与一元一次不等式

三、一元一次不等式组

第十章数据的收集、整理与描述

一、统计调查

用问卷调查的方法收集数据。统计中经常用表格整理数据。描述数据：条形图，扇形图。

1、全面调查：考察全体对象的调查。

2、抽样调查：抽取部分进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况。要考察的全体对象称为总体，组成总体的每一个考察对象称为个体，被抽取的那些个体组成一个样本。样本中个体的数目称为样本容量。

3、简单随机抽样：总体中的每一个个体被抽取机会相等的抽样。

二、直方图

绘制频数分布直方图的步骤：

1、计算最大值与最小值（算）

2、决定组距与组数（定）

3、列频数分布表（列）

4、画频数分布直方图（画）

三、课题学习——从数据谈节水

4、两个角和其中一个角的对应边对应相等的两个三角形全等。（AAS）

5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL）

三、角的平分线的性质

1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

第十二章轴对称

一、轴对称

1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂有直平分线。

3、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、作轴对称图形

1、作轴对称图形

2、用坐标表示轴对称

三、等腰三角形

1、等腰三角形

性质：等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）；顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

2、等边三角形：三个内角都相等，并且每一个角都等于60o。三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形。

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

第十三章 实数

一、平方根

1、一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根。

A 的算术平方根记为√a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0.

2、一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。求一个数a

的平方根的运算，叫做开平方。

正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

二、立方根

一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。求一个数的立

方根的运算，叫做开立方。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

三、实数

1、实数???数无理数：无限不循环小限循环小数有理数：有限小数或无 或 实数 ????

???????????负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数0 2、数a 的相反数是-a ，a 表示任意一个实数。

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

第十四章 一次函数

一、变量与函数

1、变量：数值发生变化的量。常量：数值始终不变的量。

2、函数：因变量，自变量，函数值

3、函数的图象

二、一次函数

1、正比例函数：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k

叫做比例系数。

K>0时，直线y=kx 经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；k<0时，直线y=kx 经过二、四

象限，y 随x 的增大而减小。

2、一次函数

一般地，形如y=kx+b （k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数。

当k>0时，y 随x 的增大而增大；当k<0时，y 随x 的增大而减小。

三、用函数观点看方程（组）与不等式

1、一次函数与一元一次方程

2、一次函数与一元一次不等式

3、一次函数与二元一次方程（组）

四、课题学习——选择方案

1、用哪种灯省钱

2、怎样租车

3、怎样调水

第十五章 整式的乘除与因式分解

一、整式的乘法

1、同底数幂的乘法：a m ?a n =a m+n （m ，n 都是正整数）。即同底数幂相乘，底数不变，指数

相加。

2、幂的乘方：（a m ）n =a m+n （m ，n 都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3、积的乘方：（ab ）n =a n b n （n 为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，

再把所得的幂相乘。

4、整式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相

加。

二、乘法公式

1、平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2

2、完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a-b ）2=a 2-2ab+b 2

3、去括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括

号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

三、整式的除法

1、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n(a ≠0,m ，n 都是正整数，并且m>n).即同底数幂相除，底数

不变，指数相减。

规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1。a 0=1（a ≠0）

2、整式的除法：

单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

四、因式分解：

1、 把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分

解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、 分解因式的主要方法：

（1）提公因式法：

（2）公式法：平方差公式a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）

完全平方公式a 2+2ab+b 2=（a+b ）2；a 2-2ab+b 2=（a-b ）2

（3）十字相乘法：

（4）分组分解法：

第十六章 分式

一、分式

1、从分数到分式：一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B

A 叫做分式。

2、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不

变。

3、最简分式：分子与分母没有公因式的分式。

最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积为最简公分母。

二、分式的运算

1、分式的乘除

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方要把分子分母分别乘方。

2、分式的加减：

分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；以分母分式相加减，先通

分，变为同分母的分式，再加减。

3、整数指数幂：

运算性质：（1）a m ?a n =a m+n （m ，n 是正整数）

（2）（a m ）n =a mn （m ，n 是正整数）

（3）（ab ）n =a n b n （n 是正整数）

（4）a m ÷a n =a m-n(a ≠0,m ，n 都是正整数，m>n)

（5）（b

a ）n =

b a n n

（n 是正整数） 三、分式方程：

1、分式方程：分母中含有未知数的方程。

分式方程的检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方

程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

第十七章 反比例函数

一、反比例函数 1、反比例函数的意义：一般地，形如y=

x

k （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。 2、反比例函数的图象和性质：反比例函数的图象属于双曲线。

当k>0时，双曲线的两支分别位于第一，第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减

小；

当k<0时，双曲线的两支分别位于第二，第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增

大。

二、实际问题与反比例函数

第十八章 勾股定理

一、勾股定理

命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2

二、勾股定理的逆定理

命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。

第十九章 四边形

一、平行四边形

1、平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。

2、平行四边形的判定：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

4、两平行线间的距离：

二、特殊的平行四边形：

1、矩形：

性质：两个角都是直角；对角线相等。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形。

2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

性质：四条边都相等；两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。

3、正方形：四条边都相等，四个角都是直角。既是矩形又是菱形，既有矩形的性质，又有菱形的性质。

三、梯形：

1、梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。

2、分类：等腰梯形，直角梯形。

3、等腰梯形的性质：同一底边上的两个角相等；两条对角线相等。判定：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

四、课题学习——重心

线段的重心是线段的中点；平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；三角形的重心是三条中线的交点。

第二十章数据的分析

一、数据的代表：

1、平均数：

加权平均数：（补充）P127

2、中位数和众数：

二、数据的波动

1、极差：一组数据中的最大值与最小值的差叫做这组数据的极差。

2、方差：P139

方差越大，数据的波动越大；方差越小。数据的波动越小。

三、课题学习——体质健康测试中的数据分析

1、收集数据

2、整理数据

3、描述数据

4、分析数据

5、填写调查报告

6、交流

第二十一章 二次根式

一、二次根式

1、二次根式：一般地，我们把形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。

当a>0时，a 表示a 的算术平方根，因此a >0；当a=0时，a 表示0的算术平方根，因此a =0，这就是说a （a ≥0）（是一个非负数）。

2、相关公式：（a ）2=a （a ≥0）；a 2=a （a ≥0）

3、代数式：用基本的运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示

数的字母连接起来的式子称为代数式。

二、二次根式的乘除：

1、a ?b =ab （a ≥0，b ≥0）；b a =b

a （a ≥0，b>0） 2、最简二次根式：被开方数不含有分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

三、二次根式的加减：

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行

合并。

第二十二章 一元二次方程

一、一元二次方程

1、等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的

方程，叫做一元二次方程。

2、一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0），ax 2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次

项系数，c 是常数项。

3、一元二次方程的根：一元二次方程的解。

二、降次——解一元二次方程

1、配方法：

2、公式法：

一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字母?表示

它，即=b 2-4ac 。

求根公式：当≥?0时，方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的实数根可写为x=2a

4ac -b b -2± 3、因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次

式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。

归纳：配方法是先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；

因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.

配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程，总之，解一

元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次。

4、一元二次方程的根与系数的关系：x 1，x 2为方程的两根，a ，b ，c 为方程的系数，则有：

a

c x x a b -x x 2121==+，。 三、实际问题与一元二次方程

第二十三章 旋转

一、图形的旋转

1、旋转、旋转中心、旋转角：

2、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等。

二、中心对称

1、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180o ，如果它能够与另一个图形重合，那么就

说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫

做关于中心的对称点。

归纳：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。

中心对称的两个图形是全等图形。

2、中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180o ，如果旋转后的图形能够与原来的图形

重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

3、关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，

y ）关于原点的对称点P ,(-x ，-y)。

三、课题学习——图案设计

第二十四章 圆

一、圆

1、圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的

图形叫做圆。固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

2、弦：连接圆上任意两点的线段。直径：经过圆心的弦。

3、弧(圆弧)：圆上任意两点间的部分。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每

一条弧都叫做半圆。能够重合的两个圆叫做等圆，同圆或等圆的半径相等，在同圆或等圆中，

能够互相重合的弧叫等弧。

2、垂直于弦的直径：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

3、弧、弦、圆心角

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角

的一半。

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90o 的圆周角所对的弦是直径。

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆就

做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的对角互补。

如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

二、点、直线、圆和圆的位置关系

1、点和圆的位置关系：

（1）点P 在圆外?d>r

点P 在圆上?d=r

点P 在圆内?d

（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆就叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角

形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

（3）反证法：由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。

2、直线和圆的位置关系：

（1）直线l 和⊙O 相交?d

直线l 和⊙O 相切?d=r

直线l 和⊙O 相离?d>r

（2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于切点的半径。

（3）经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线

平分两条切线的夹角。

（4）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线

的交点，叫做三角形的内心。

3、圆与圆的位置关系

相离：外离，内含

相切：内切，外切

相交：

圆心距：

三、正多边形和圆

1、一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的

半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离

叫做正多边形的边心距。

2、弧长和扇形面积

n o 的圆心角所对的弧长：180o R

n l π=，扇形面积：360

o 2n R S π=扇形 母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段。

第二十五章 概率初步

一、随机事件与概率

1、随机事件：在同一条件下，可能发生也可能不发生的事件。

2、概率：一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事

件A 发生的概率。

一般地，如果在一次试验中，有n 中可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A

包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率P(A)=

n

m 。 二、用列举法求概率：

列表法，树形图

三、用频率估计概率

一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率n m 会稳定在某个常数p 附近，那么事件A 发生的概率P(A)=p 。

四、课题学习——键盘上字母的排列规律

第二十六章 二次函数

一、二次函数及其图象

1、二次函数：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数。其中，x 是自变

量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

2、二次函数y=ax 2的图象

3、二次函数y=a （x-h ）2+k 的图象

4、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象

5、用待定系数法求二次函数的解析式

二、用函数观点看一元二次方程

三、实际问题与二次函数

一般地，因为抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当x=-

a

b 2时，二次函数y=ax 2+bx+

c 有最小（大）值

a b ac 442-。

第二十七章 相似

一、图形的相似

1、相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。

2、相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。相似多边形对应边的比为相似比。

二、相似三角形

1、相似三角形的判定：

平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

判定：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么着两个三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2、相似三角形应用举例

3、相似三角形的周长与面积：相似三角形的周长的比等于相似比；对应高的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方。

三、位似

1、多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

第二十八章锐角三角函数

一、锐角三角函数

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；

（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；

（3）得到数学问题的答案；

（4）得到实际问题的答案。

第二十九章投影与视图

一、投影：

一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁）上得到的影子叫做物体的投影。平行投影：由平行光形成的投影。

中心投影：由同一点（电光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。

正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状，大小完全相同。二、三视图

当我们从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图。

主视图，俯视图，左视图：画三视图时，三个视图要放在正确的位置，并且使主视图与俯视图长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。

三、课题学习——制作立体模型