广东省中山市华侨中学2016届高三5月高考模拟考试数学(理)试卷

广东省中山市华侨中学2016届高三5月高考模拟试卷

理科数学

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合M={x|x 2

＞4}，N={x|1＜x ≤3}，则R N C M （）

=（ ） A ．{x|﹣2≤x ≤2} B ．{x|1＜x ≤2} C ． {x|﹣2≤x ＜1} D ． {x|﹣2≤x ≤3} 2.设i 为虚数单位，则复数

12i

i

-=+（ ） A ．1355i + B ．3155i + C ．1355i - D ．3155

i -

3．若2a b a b a +=-=

，则向量a b - 与b 的夹角为（ ）

A ．

6

π

B.

3

π

C.

32π D.

65π

4．某滨海城市计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园，由于资金的原因，打算减少2个海边主题公园，两端海边主题公园不在调整计划之列，相邻的两个海边主题公园不能在同时调整，则调整方案的种数是

A ．12

B ．8

C ．6

D ．4

5．如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）

A ．{}|10x x -<≤

B ．{}|11x x -≤≤

C ．{}|11x x -<≤

D ．{}|12x x -<≤

6．已知点(0,2)A ，点(,)P x y 坐标的(,)x y 满足801406x y x y x --≤??

+-≤??≥?

，则OAP z S =三角形（O 是坐标原

点）的最值的最优解是( )

A ．最小值有无数个最优解，最大值只有一个最优解

B ．最大值、最小值都有无数个最优解

C ．最大值有无数个最优解，最小值只有一个最优解

D ．最大值、最小值都只有一个最优解

7.右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法.执行该程序框图，输入分别为98,63，则输出的结果是（ ）

A ．14

B ．18

C ．9

D ．7

8．在正项数列{}n a 中，且11

2

a =

，对于任意的*n N ∈，1，2n a 的等差中项都是1n a +，则数列{}n a 的前8项的和为( )

A ．16

B ．332

C ．35

2

D ．18

9．某几何图形的三视图和尺寸的标示如图所示，该几何图形的体积或面积分别是( )

A ．316a

2 B ．3

16

a

，(2

32a C

3

2

D

3

，

(2

32

a +

10．在ABC ?中，,,a b c 分别为,,A B C 的对边，如果,,a b c 成等差数列，30B =

，ABC ?的

面积为

3

2

，那么b =（ ） A

．

12 B

．1

．22

D

．211．设函数31,1,()2, 1.x x x f x x -

则满足()

(())2f a f f a =的

a 取值范围是( )

A ．2[,1]3

B ．2[,)3

+∞ C ．[0,1] D ．[1,)+∞

12．过点(4,3)P -作抛物线2

14

y x =

的两切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．230x y -+= B ．230x y ++= C ．230x y --= D ．230x y +-=

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13.已知O 为坐标原点，A ，B ，C 是圆O 上的三点，若

=（

+

），2BC =

，过点(2,0)

D 的直线l 与圆O 相切，则直线l 的方程是 。

14．已知函数(

)2

sin 2x f x x =-．()f x 在区间20,3π??????

上的最小值是 。

15

．91

)x

的二项式展开式中常数项的二项式系数为 （用符号或数字作答）．

16.由函数ln y x =和1y ex -=的图像与直线1x =所围成的封闭图形的面积是 ． 三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)数列{}n a 的前n 项和是n S ，且1

12

n n S a +

=. ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵记23log 4n n a b =，数列2

1

{}n n b b +?的前n 项和为n T ，若不等式n T m <，对任意的正整数

n 恒成立，求m 的取值范围。

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 是棱PD 的中点，点F 是PC 的中点F . （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）若ABCD 为正方形，探究在什么条件下，二面角C AF D --大小为60 ？

19．（本小题满分12分）现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择. 为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.

（Ⅰ）求这4人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记||X Y ξ=-，求随 机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.

20.（本小题满分12分）直角坐标系xOy 平面内，已知动点M 到点(4,0)D -与(1,0)E -的距离

之比为2．

（Ⅰ）求动点M 的轨迹c 的方程；

（Ⅱ）是否存在经过点(1,1)-的直线l ，它与曲线c 相交于A ，B 两个不同点，且满足

12OM OA = （O 为坐标原点）关系的点M 也在曲线c 上，如果存在，求出直线l 的

方程；如果不存在，请说明理由．

21．(本小题满分l2分)已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R ．

(I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1

ln +x x

恒成立，求a 的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则 所做的第一个题目计分．

22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图,已知AD 、BE 、CF 分别是△ABC 三边的高，H 是垂心，AD 的延长线交△ABC 的

外接圆于点G ．

（Ⅰ）求证：CHG ABC ∠=∠； （Ⅱ）求证：AB GD AD HC ?=?．

23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y ??

=+??=?（?为参数，且02?π≤<），曲线l 的极坐标方程为232sin 2cos k k ρθθ-=-（k

是常数，且k R ∈）．

（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和曲线l 直角坐标方程；

（Ⅱ）若曲线l 被曲线C 截的弦是以3

(,1)2

为中点，求k 的值．

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|1|||f x x x a =+-+． （Ⅰ）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；

（Ⅱ）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．

高三5月高考模拟试卷理科数学答案

17.解：

(1)由题设得：11112n n S a +++= ① 1

12n n S a += ② ①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则11

3n n a a +=

当1n =时 11112

S a +=，则123a =，则{}n a 是以23为首项，1

3为公比的等比数列，因

此1

11212()333

n n n n a a q --=?=?=.

(2)

2

233log log 324

n n

n a b n

-===-，所以

2111

111

()22(2)4(2)82

n n b b n n n n n n

+==?=-??+++。

所

以

11(

8

1

n T n =--

。

所以316

m ≥

18．解析：（Ⅰ）连接BD ，设AC BD O = ，连结OE ，

∵ 四边形ABCD 为矩形， ∴ O 是BD 的中点， ∵ 点E 是棱PD 的中点， ∴ PB ∥EO ，

又 PB ?平面AEC ，EO ?平面AEC ， ∴ PB ∥平面AEC 。

另解析：

易知AD ，AB ，AP 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，设2AB a =，

2AD b =，2AP c =则(0,0,0)A ，(2,0,0)B a ，(2,2,0)C a b ，(0,2,0)D b ，(0,0,2)P c 。

设AC BD O = ，连结OE ，则(,,0)O a b ，(0,,)E b c 。

（Ⅰ）因为(2,0,2)PB a c =- ，(,0,)EO a c =-

， 所以2PB EO = ，所以PB ∥EO

，即PB ∥EO 。

PB ?平面AEC ，EO ?平面AEC ，从而得PB ∥平面AEC 。

（Ⅱ）此时，a b =，(0,0,0)A ，(2,0,0)B a ，(2,2,0)C a a ，(0,2,0)D a ，(0,0,2)P c ，(0,,)E a c ，(,,)F a a c ，

因为z 轴?平面CAF ，所以设平面CAF 的一个法向量为(,1,0)x =n ，而(2,2,0)AC a a =

，所以220AC ax a ?=+=n

，得1x =-，所以(1,1,0)=-n 。

因为y 轴?平面DAF ，所以设平面DAF 的一个法向量为(1,0,)z =m ，而(,,)AF a a c =

，所以0AF a cz ?=+=m ，得a z c

=-，

所以(1,0,)a

c =-m ∥(,0,)c a '=-m 。

||cos 60

||||'?=

'n m n m 1

2

==，得a c =。

即当AP 等于正方形ABCD 的边长时，二面角C AF D --的大小为60 ．

19．解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为1

3

，去参加乙项目联欢的概率为

2

3

.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ，(0,1,2,3,4)i =，则4412()()()33

i i i

i P A C -=.

（Ⅰ）这

4

个人中恰好有

2

人去参加甲项目联欢的概率

222

24128()()()3327

P A C ==--------4分

（Ⅱ）设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ，

34B A A =?，故3344

344

41211()()()()()()3339

P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为1

9

.-------8分

(III)ξ的所有可能取值为0,2,4. 28(0)()27

P P A ξ===

，

1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=

0417(4)()(),81

P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是

148

81

E ξ=.-----------------------------------------------------12

20．解析：（Ⅰ）设(

,)M x y ，则||DM ，||EM =

2=，化简整理，得224x y +=，

所以曲线c 的方程为224x y +=．

（Ⅱ）假设直线l 存在，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y

（1）若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为：1(1)y k x -=+。

联立()221140

y k x x y ?=++??

+-=??消去y 得，()()222

121230k x k k x k k +++++-=，

由韦达定理得，()122211k k x x k ++=-+22221k k -=-++ ，2122

231k k x x k

+-=+224

11k k -=++， ()22121212(1)(1)y y k x x k k x x k =+++++2

24

31k k +=

-+。

因为点()11,A x y ，()22,B x y 在圆c 上，因此，得22114x y +=，22

224x y +=。

由122OM OA =+

得，1

202x x =

，1202

y y +=。 由于点M 也在圆c

上，则22

1212(

)()422

x y ++=， 整理得，22114x y +22

2234x y ++

+12124x y +=， 即12120x x y y +=，所以22411k k -+

++

2

24

(3)01k k +-=+， 从而得，2

210k k -+=，即1k =，因此，直线l 的方程为11y x -=+，即20x y -+=；

（2）若直线l 的斜率不存在,则A(1-

1-

,

，M

22

44+=≠，故此时点M 不在曲线c 上， 综上所知：1k =,直线方程为20x y -+=．

21.解:(Ⅰ))(x f 的定义域为),,0(+∞x

ax

x f -=

1)('

， 若,0≤a 则'

()0,f x >)(x f ∴在),0(+∞上单调递增；……………2分

若0,a >则由0)('

=x f 得a

x 1=

，当)1,0(a x ∈时，,0)('

>x f 当

),1(+∞∈a x 时，0)('

,0(a

上单调递增，在),1(+∞a 单调递减.

所以当0a ≤时，()f x 在),0(+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在)1

,0(a

上单调递增，

在),1

(+∞a

单调递减.……………4分

(Ⅱ)1

)

1(ln 1ln )(2+--=+-x x a x x x x x f ,令)1)(1(ln )(2≥--=x x a x x x g , ax

x x g 21ln )(-+=',

令

()()ln 12F x g x x ax

'==+-,

12()ax

F x x

-'=

,………………6分 (1)a 0,≤若()0F x '>,[)g (x)1,g (x)g (1)1-2a 0'''+∞≥=>在递增，，

[)0)1()(,,1)(=≥+∞∴g x g x g 递增在,

不符合题意从而,01x lnx

-

f (x)≥+.……………8分 (2)111

0a ,),()0,(()(1,,

)2122x F x g x a a ''<<>∴∈若当在递增, g (x)g (1)1-2a,''>=从而以下论证(1)同一样，所以不符合题意.……………10分

[)1

(3),()01,2

a F x '≥

≤+∞若在恒成立, [)02a -1(1)g (x)g 1,(x)g ≤='≤'+∞'∴递减，在,

[)01

ln )(,0)1()(,,1g(x)≤+-

=≤∴+∞x x

x f g x g 递减在从而, 综上所述，a 的取值范围是??

????+∞,21

………………12分

22．解析：（Ⅰ）∵ AD 、CF 分别是△ABC 三边的高，

∴ AD BC ⊥，CF AB ⊥，

∴ △ADB 和△HFA 都是直角三角形 ， ∴ 90AHF BAG ∠+∠= ，90ABC BAG ∠+∠= ， ∴ AHF ABC ∠=∠，

∵ CHG ∠与AHF ∠是对顶角， ∴ CHG ∠=AHF ∠， ∴ CHG ABC ∠=∠．

（Ⅱ）连结CG ，∵ABC ∠与AGC ∠同弧圆周角，

∴ ABC ∠=AGC ∠，

∵ CHG ABC ∠=∠， ∴ CHG AGC ∠=∠， ∴ GC HC =，

在Rt △ADB 和Rt △GDC 中，

∵ ABC ∠=AGC ∠，即ABD CGD ∠=∠， ∴ Rt △ADB ∽Rt △GDC ， ∴

AB AD

GC GD

=

， ∴ AB GD AD GC ?=?， 又 ∵GC HC =， ∴ AB GD AD HC ?=?．

23．解析：（Ⅰ）由22cos 2sin x y ??=+??=?，得22cos 2sin x y ?

?-=??=?

，则2222(2)(2cos )(2sin )x y ??-+=+，

即曲线C 的普通方程为()2

224x y -+=；

由互换公式，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得2223y kx k -=-， 即曲线l 的直角坐标方程为3

1()2

y k x -=-．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 是圆，曲线l 是直线，且以3

(,1)2

为弦的中点，

则101322

k -?

=--，则1

2k =．

24．解析：（Ⅰ）0a =时，()|1|||f x x x =+-=1,

121,101,0x x x x -<-??

+-≤

，

∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意；

当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得1

02

x -≤<；

当0x ≥时，()10f x =>符合题意． 综上，()0f x ≥的解集为1

[,)2

-+∞．

（Ⅱ）设()|1|||u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图：

易知()

=的图象始终有3 y u x

=的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x

个交点，

从而10

-<<．

a