刚体定轴转动定律

例：均质球体对其直径的转动惯量

解：dz r dV 2π=

，dz r dV dm 2ρπρ== 3

34R m

πρ=，dm r dI 221

=， ????===dz r r dm r dI I 22

22121

ρπ

=??--=-R

R R

z R dz z R 0

222222)()(21ρπρπ =?+-=+-R

R R R dz z z R R 05554224)5132

()2(ρπρπ252

mR =

三、两个定理

1、平行轴定理 m h 2

mh I I C O +=，C ：质心

02>mh ，C O I I > O C C I ：最小

均质细杆2121

ml I C = 2/l m 、l

2mh I I C O += O C =22231

)2(121ml l m ml =+

均质圆盘221

mR I C = 2mR I I C O +==22223

21mR mR mR =+， 2、薄板的垂直轴定理

∑?=2

i i z r m I =∑+?)(2

2i i i y x m

=∑∑?+?2

2

i i i i y m x m ， =x y I I +， x

第4节 刚体定轴转动定律

一、 推导

i F +i f =i i a m ?

βi i it i it it r m a m f F ?=?=+ ∑∑∑?=+β)(2i i it i it i r m f r F r ∑=it i F r M 合外力矩 ∑it i f r 合内力矩，∑it i f r 0≡ dt d I I M ωβ==，dt

d I I M ωβ == 刚体定轴转动定律 注意：

1、M ，I 对同一转轴的

2、(1)已知)(t θθ=，求22dt

d I I M θβ== (2)已知M 及初条件求β、ω、)(t θθ= 二、I 的物理意义 βI M =，β I M =?a m F =

当0=M 时C =?=?ωβ0，转动惯性

M 一定，I 大，β小，转动惯性大；I 小，β大，转动惯性小

转动惯量是刚体转动惯性大小的量度

质量是物体平动惯性大小的量度

演示试验：两个刚性柱体，质量和外径相同

例：均质圆盘（m ，R ），1m >2m ，阿特武德机 求：盘的β，1m ，2m 的加速度a 解：a m T g m 111=- （1）

a m g m T 222=- （2） 1

ββ2212

1mR I R T R T ==- （3） 1 βR a = （4） a a

（3）ma mR T T 2

12121==-?β（5） m 2g 1 a m m m g m g m )2

1(2121++=-

g m m m m m a 212121++-=，==R a βR g

m

m m m m 212121++-

讨论：（1）若滑轮质量0=m ，g m m m m a 2

12

1+-=，21T T =

（2）考虑轴承摩擦

βI M R T R T f =--21

（3）若顺时针有一主动力矩

主M +βI M R T R T f =--21

例：均质杆（l ，m ）可绕其一端

的水平轴在竖直平面内转动 求：杆由水平位置无初速释放转过 θ角时的β及ω

解：θcos 2l

mg M =，231

ml I = β

βI M =，θcos 2l mg =β231

ml

θβcos 23l g

=

θω

βcos 23l g

dt d ==，θθθωcos 23l g

dt d d d =

??=ωθ

θθωω00cos 23d l g d ，θωsin 23212l

g =

l g /s i n 3θω=

第5节 一、 力矩的功 dt ds F r d F dA αcos =?=

t F F =αc o s θθMd rd F dA t == 21θθ→ ??==2

1

θθθMd dA A x 如果刚体同时受几个力n F F F

,,,21作用

θθθθMd d M M d M d M dA dA dA n n n

=++=++=++=)(111 说明：(1)力矩的功就是力的功

(2)功率ωθ

M dt Md dt dA P ===

二、刚体的转动动能

2222121ωi i i i r m V m ?=? ∑∑=?=?=222212121ωI r m V m E i i i i k 三、刚体定轴转动动能定理 合外力矩M ，dt ，θd

dt dt

d I d I Md dA ωωθβθ===外 k dE I d d I ===)2

1(2ωωω k dE dA =外：动能定理（微分形式）

k E A ?=外：动能定理（积分形式） 注意：质点系：k E A A ?=+内外，0≠内A

刚体：内A =?=0θd M 内，k E A ?=外

四、刚体的重力势能=全部质量集中在质心时的重力势能

对于刚体或包括刚体的系统，

若只有保守内力作功，机械能守恒

例：求杆由水平位置无初速释放 转过θ角时的ω 解：（一）：机械能守恒 O ：重力势能零点

0=)sin 2

(212θωl mg I -+， θωs i n 2

312122l mg ml =?，l g /s i n 3θω= 解：（二）：动能定理

??=?====θθωθθθθ00

221sin 2cos 2I E l mg d l mg Md A k 同上 例：均质圆盘（M 、R ）可

绕水平轴无摩擦转动 M 求：物体m 下降h 时的速度

解：2222

12121ωMR mV mgh +=，R V ω= =2)4

121(V M m +，m M mgh V 24+=