浙教版七年级数学培优竞赛微专题训练(无答案)：求不定方程整数解几种方法

不定方程整数解（七，八年级） 一次不定方程“ax+by=c ”的非负整数解

————倍数分析

1、**思考：5x+7y=50有多少组解？整数解呢？正整数解呢？

2、*方程5x+7y=49的正整数解有_____个。

3、**方程6x+22y=90非负整数解有_____个。

4、**方程3x+21y=231的正整数解有_____个。

5、***方程17x+27y=530的正整数解有_____个。

6、***若a,b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=80,则满足条件的b 的值有____个。

7、***已知x,y 是非负整数，且使13

921--=-y x 的解是整数，那么这样的数对

（x,y）有_____个。

小结：用倍数方式分析，事半功倍。找到合适的倍数主要看a，b，c特点。

8、***陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，一共用了216元，则陈老师买了钢笔____支，词典_____册。

9、****某人用2018元钱买了甲，乙，丙三种物品，甲每个7元，乙每个5元，丙每个6元。三种物品一共有320个，而且每种物品至少一个，不同的买法一共有_____种。

小结：处理方程组，一般都是运用转化思想消元成方程，变陌生为熟悉。但是选择消哪个元，对后续的操作有很大的影响。对原始模型结构特点的认知非常重要。

高次不定方程的整数解①

-------因式分解法1、**若x,y是正整数且xy+x+y=54,则x+y=_______。

2、**设正整数x,y满足xy-4x-4y+21=0,则x2+y2=_______.

3、***已知整数x,y 满足15xy=21x+20y-13,则xy=_______。

4、***方程42=+-y x xy 的整数解有_______个。

5、***若正整数a,b,c 满足a+2bc=

a

48,则a+b+c 的最大值=_______.

6、****整数x,y 满足方程2xy+x+y=83,则x+y=______。

7、****整数x,y 满足方程3xy+x+2y=5,则x+y=______。

小结：运用转化思想变成一次，因式分解是一种重要手段。以上基本采用分组分解法，同样对模型“axy+bx+cy ”这种结构的熟悉，能够快速形成解题策略，加快你的解题速度和命中率。

8、***已知a,b.c 都是正整数并且a+b+c=55,a-bc=-8,则abc 的最大值等于___。

9、****若整数x,y,z 满足方程组?

??=+=+54yz x z xy ，则xyz=______.

10、****若整数x,y,z 满足方程组?

??=+=+952942yz x z xy ，则xyz=_____.

小结：消元不一定顺利，即使消了也不一定有用。不忘初心：因式分解

高次不定方程的整数解②

-------平方差公式法1、**方程a2=16+b2的正整数解有_____个。

2、***方程x2-y2=105的正整数解有_____个。

3、***若x,y都是正整数，x是6的倍数，且x2-y2=2016,这样的x,y共有___组。

4、***将2013表示成两个三位的正整数的平方差，这两个三位数中较大的一个数是___.

5、***若x是自然数，x+13和x-76都是完全平方数，求x的值。

小结：用平方差公式因式分解，你知道操作过程中与分组分解有什么不同吗？

6、****2018能表示成两整数的平方差形式吗？2019呢？

你知道哪些正整数不能表示成两个整数平方差形式吗？

7、***1—100这100个数中，能表示成两个整数平方差形式的数有____个，它们的和为___.

8、****某校举行春季运动会，由若干名同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列，问原长方形队列有多少同学。

9、*****我们把能表示成两个正整数平方差形式的正整数从小到大排列，例如a1=22-11=3，a2=32-21=5，a3=42-31=7，则a1+a2+a3+……+a100=_______

10、*****非负整数x,y满足（xy-7）2=x2+y2,写出所有非负整数对(x,y)。

小结：平方差公式求整数解，这个考点贯穿整个初中，后续会更复杂。

分式不定方程的整数解

-------分离整系数法

1、**若正整数x,y 满足：1x 5y +=

，则符合条件的x 的值有______个。

2、***若分式

1-226x x +是整数，则满足条件的整数x 有______个。

3、***若分式

1

-26x -2x 是整数，则满足条件的整数x 有______个。

4、***已知x 为非负整数，且分式4

8422-+x x x 的值是整数，则x 可取的值有____个。

5、****已知m,n 都是正整数，且

n 3-m 6m 5是整数，则n

m 的最大值为_______。

小结：不定方程整数解，分离整系数这种方法强大到令人发指。但是对于运算能力不足的学生而已，此法很容易算错。方程的变形能力，变形方式，搞清楚为什么要这样变尤为重要，死记硬背效果肯定不好。

6、***若整数x,y 满足4xy+3y-8x=0，则x+y=_______。

7、****若正整数x,y 满足：128++=

x x y ，则符合条件的x,y 的值有______组。

8、****设分式

)13(6

513≠+-n n n 不是最简分数，那么正整数n 的最小值=_________

9、****使372++n n 是自然数的正整数n 有______个。

小结：把以上题型弄清楚，尤其是为什么要这样变，对你以后学习有很大帮助。 9、***设正整数x ≠y ，且满足7

111=+y x ，则x+y 的值是______。

10、***方程132=+y

x 的非负整数解共有______组。

11、****方程2

11-y 11-x 1=+的整数解共有______组。

总结：去分母后，刚好符合分组分解的格式。 含参数方程（组）的整数解

-------参数综合法

1、**已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，求所有满足条件整数k 的值的和。

2、***已知关于x 的方程ax+3=2(x-a)的解是正整数，求整数a 的值。

3、***若方程

12112

5425+=-x m x 有一个正整数解，则m 取的最小正数是______。

4、***若k 为整数，则使方程(k-1999)x=2016-2000x 的解也是整数的k 的值有_____个。

小结：当你把整参数看成另一个未知数时，就变成不定方程整数解类型了。倍数关系，因式分解法，分离整系数法爱用哪种用哪种。 5、***已知二元一次方程组??

???-=+=++310035100m y x m y x 解为正整数，求正整数m 的值。

6、***m 为正整数，已知二元一次方程组???=-=+0

23102y x y mx 有整数解，即x,y 均为整数，求m 的值。

7、***已知关于x,y 的二元一次方程组???+=+=+5

235m y x m y x 的解都是正整数，求整数m 的值^_^。

8、****m 为整数，已知二元一次方程组???=++=+-9

)2(202)(3y m x y m x 有整数解，请写出所有整数解。

小结：想要准确，快速的解题，决策与运算相辅相成，缺一不可。平时的学习中要注意细节，经常类比，注重自己错误的研究和改正，决策能力会越来越好。清晰的决策能帮助你更轻松的运算，从而减少粗心算错的事情发生。