2017高中数学抽象函数专题

三、值域问题

例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y , f(x+y)二f(x)f(y) 总成立,

且存在& X 2,使得f(xj f(X 2)，求函数f(x)的值域。

解：令 x=y=O,有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0 ，贝卩 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0 恒成立，这与存在实数x i X 2，使得f(X i ) f(X 2)成立矛盾，故

f(0)工0,必有

f(0)=1。由于f(x+y)=f(x)f(y)

对任意实数x 、y 均成立，因此，f(x)

心2 0

,

又因为若 f(x)=0,则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0 与 f(0)工 0 矛盾，所以 f(x)>0. 四、求解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法, 例6、设对满足X 工0,x 工1的所有实数X,函数f(x)满足,f x f —

1 x ,求

f(x)

X

的解析式 ①f(n)>0,n € N;②f(n i +n 2)=f(n i )f(n 2),n 1,n 2 € N*;③f(2)=4 同时成立? 求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.

解：假设存在这样的函数 f(x),满足条件，得f(2)=f(1 + 1)=4,解得f(1)=2.又 f(2)=4=2 2,f(3)=2 3,…,由此猜想:f(x)=2 x (x € N*)

小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用数列中的递推法来探究，如果给出 的关系式具有递推性，也常用 递推法来求解.

练习：1、设y f (x)是实数函数(即x,f(x)为实数),且f (x) 2f (丄)x,求证：|f(x)| — v'2.

x

3

解:用 1 代换 X,得 f (-) 2f (x)丄，与已知得 X 2

3xf (x)

2 0

，由 0 得 9f 2

(x)

4 2

0, |f(x)| ?J 2.

xxx

3

3、函数 f (x )对一切实数 x ,y 均有 f (x +y)- f (y)=( x +2y+1)x 成立，且 f (1)=0， (1)

求f(0)的值；

解：f(x)

f( j 1 x

代换(1)中的

x (x 0 且 x 1

X 得：f(——)

1 - X

1 再以 一

1 - X

例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件：

1), (1) 一--

用口代换X 得：f(_) f (丄)空」，

X X 1 X X

f(x) D.

--- ( 3)由⑴(3)⑵得:f(x)—

1 X

2

2x 2

(2)

1 (x 0

且x 1) 2x

若存在,

X 2 (0丄)，都有

f (X 1)+2

g a X 2成立时，求a 的取值

2

f(y) (x 2y 1)x ，令 x 1，y 0 得 f(1) f(0) 2，又 V f(1)0, ??? f(0) 2.

(2)由 f(x y) f(y) (x 2y 1)x ，令 y 0 得 f(x) f (0) (x 1)x ，由(1)知 f(0) 2 , 二 f (x) 2 X? X . v

X 1 (0, 1) f(x) 2 X ； x (x

-)2 -在 X i (0,-)上单调递增，

2

2 4 2

3

-

-

、

? ?? f(x -) 2 (0, 4).要使任意 x - (0,2), X 2 (0,2)都有 f(X i ) 2 log a X 2 成立，必有

3

log a X 2都成立.当a 1时，log a X 2

，显然不成立.当0 a 1时，

(log a X 2 )log a - 3，解得一4 a 1 ? a 的取值范围是[丄^).

2 4 4

4

五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法解决)

练习：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有 f(x+y)=f(x)f(y) ，求证：f(x)在R 上为增函数。

证明：设 R 上 X 1 1 ,

f(x 2)=f(x 2-X 1+X 1)=f(X 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于 f(x 1)，因为 f(x 1) 的正负还没确定)。

取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1;若((0)=0,令 x>0,y=0 ,则 f(x)=0 与 x>0 时,f(x)>1 矛盾，

所以 f(0)=1 , x>0 时，f(x)>1>0,x<0 时，-x>0 , f(-x)>1, ???由

1

_ 0，故 f(x)>0，从而 f(x 2)>f(x 1).即 f(x)在 R 上是 f ( x)

增函数。(注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性) 练习：已知函数f (x )的定义域为R,且对m n € R,恒有f (n+n )=f (m )+f ( n ) — 1,且 f ( — 1)=0,当x >— 1时，f (x )>0.求证：f (x )是单调递增函数；

2 2

证明：设 X 1< X 2,则 X 2 — X 1— 1 >— 1,由题意 f (X 2 — X 1— - )>0, v f (X 2) — f (X 1)=f [ (X 2

2 2 2

—X 1)+X 」一f (X 1)=f (X 2— X 1)+f (X 1)— 1 — f (X 1)=f (X 2— X 1)— 1=f (X 2 — X 1)+f (—-)—

2

(2)对任意的X 1 (0,1)，

2

范围.

解：(1)由已知等式f(x y)

f (0) f (x) f ( x) 1 得 f (x)

1=f [ (X2—X1)— - ] >0, ? f (x)是单调递增函数.

2

练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)二f(x)f(y), 且f(x)工0,当x>1

时,f(x)<1 。试判断f(x)在(0,+ 乂)上的单调性。 解：对 X R 有 f(x) f(..x?..x) f 2(.x) 0, 又 f (x)

0,故 f(x) 0 ,设 x 1,x 2 R ,且 x 1 x 2,则上 1,则

X 1

六、奇偶性问题

解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑 f(-x)与f(x)的 关系

(2) 已知y=f (2x +1)是偶函数，贝y 函数y=f (2x )的图象的对称轴是(D )

1

1 A.x =1

B.x =2

C.x =——

D.x 二一

2 2

解析：f(2x+1)关于x=0对称，则f(x)关于x=1对称，故f(2x)关于2x=1对称. 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化 繁为简。F (x ) =f(2x+1)为偶函数，则 f(-2x+1)=f(2x+1)

-f(x)关于 x=1 对称

f (l±?xj f (— ?f (x

」

X 1 _________ X 1 ______________________ f ( X 2)

1

f ( X 1 ) f ( X 1 ) X 1

6、.已知函数f(x)的定义域为0,1，且同时满足：

(1)对任意x 2 ； (2) f (1) 3

(3)若 X 1 0,X 2 0 且 ⑴ 求f(0)的值；(II)求f(x)的最大值；(III)

足S n

寺(％ 3),n N * .求证：

解：(I )令 x-i x 2

0 , f (x 2) f (x 1 )

练习 f(x) X

f (X 1) ,所以f(x i )>f(x 2),故f(x)在R f 上为减函数.

x 1 x 2

x i X 2

f?) f(a 2)fO 由(3),则 f(0)

2f(0) 2, f(x)

0 x ,

(III) 2, f(0)

2

x 1， f(X 2 x) 2

QS n

f(a n )吋)

f G

)

3f

(命) f(q) 3f(4J 4 ；(a n 3)(n

f(3

n

4

3

f(X 2)f(X 2 & 1

击)

l )

L

)

1

即 f (a n 尹(可2)3 3

f(a i ) f@2)L

f(a n ) 2n

f (冷 x)

3)( n 2)

a n

0,1，总有 1，则有 f (X 1 X 2) f(X 1) f(X 2) 2. 设数列a n 的前n 项和为S n ，且满

L f (a n ) I 2n 2 3n 1 .

由对任意x 0,1，总有 0,1 且 X 1

X 2，则 f max (x)

f(1) 3

2),Q a 1 1 0 a n

f(0) 2

(II )任意 X 1,X 2

f(E 2 f (幼 首 a n 1

(n

N X 1)

"2 (a

n 1

f (

3n ) f (3n )

2 3f (

3n

)

4

1 f (a

n )

六f(a)

亍

1

L

扌

n

k 即原式成立。

1 1

故 f (a n )

2

3

n1

1

(1)

例15:设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(,0)上是增函数，又

f(2a 2 a 1) f(3a 2 2a 1)。求实数a 的取值范围。

解析：又偶函数的性质知道：f (x)在(0,)上减，而2a 2 a 1 0，3a 2 2a 1 0， 所以由 f(2a 2 a 1) f (3a 2 2a 1)得 2a 2 a 1 3a 2 2a 1，解得 0 a 3。

(设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大， 可以作一些条件变换如：f(a 1) f(1)或f(a 1) f(1 2a)等；也可将定义域作一些 调整) 例16：定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)= log 23且对任意x , y € R 都有

f (x +y )=f (x )+f (y ).

(1)求证f (x )为奇函数；(2)若f (k ? 3x )+f (3x -9x -2) v 0对任意x € R 恒成立, 求实数k 的取值范围.

解答：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x , y € R)---- ①令 y=-x ，代入①式，得

f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)

,令 x=y=0,代入①式，得 f(O+O)=f(O)+f(O)

,即

f(0)=0 .即f(-x)=-f(x) 对任意x € R 成立，二f(x)是奇函数.

⑵解：f(3)=log 2 3>0,即f(3) >f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x) 在 R 上是增函数，又由(1)f(x) 是奇函数.f(k -3x ) v -f(3 x -9x -2)=f(-3 x +9x +2),

k ? 3x v -3 x +9x +2, 32x -(1+k) ? 3x +2> 0 对任意 x € R 成立.令 t=3 x > 0,即

说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在x € R 上是增函 数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2 对于任意t > 0恒成立.对二次函 数f(t)进行研究求解.本题还有更简捷的解法：分离系数由 k ? 3x v -3x +9x +2得

k 3x 1,而u 3x 岂1 2、2 1,要使对x R 不等式k 3x 占1.恒成立，只需

3

3 3 ?

k<2 2 1

令f (t) t 2

(1 k)t 2,其对称轴

1 k

x

2

当1 k

2 当1+k ■ 0即k

0时，

1 时，f(0)

2 0,符合题意； 故：k

2 1 k

对任意 t 0, f (t)

0恒成立

0 2

(1 k)2

8 0

1 2 2^t,f(k 3^) f(3x 93 2) 0对任意 x € R 恒成

12-(1+k)t+2 > 0对任意t > 0恒成立.

解得-1 k 1 2 -.2

o

七、周期性与对称性问题(由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称)

? ? ?

结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a, x=b对称，贝卩函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|

(2) 函数图象关于点M(a,O)和点N(b,O)对称，贝卩函数y=f(x)是周期

函数，且T=2|a-b|

(3) 函数图象关于直线x=a,及点M(b,O)对称，贝卩函数y=f(x)是周期函

数，且T=4|a-b|

(4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别：

y=f(a+x)与y=f(b-x)关于x 对称；y=f(a+x)与y=-f(b-x)关于点(？于,0)对

称

(可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称

轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0,解得的x

为对称轴)

3、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(」x) f(- x),则f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) 2 2

解析：法一：因f(x)为奇函数且关于x 2对称，T=2，可借助图象解答，得结果为

0.小结：此方法为数形结合法

法二：因f(x)为奇函数且关于x 1对称，类比f (x) sin x联想函数f (x) sin x f(i) f(2) f(3) f(4) f(5) 0, 小

结：此方法为抽象函数具体化法

4、已知函数y f(2x 1)是定义在R上的奇函数，函数y g(x)是y f(为的反函数，若

x 冷0则g(X i) g(X2)()

A) 2 B )0 C )1 D )-2

解析：法一：(函数具体化)设f(x)x 1符合题意，则ax? x 1则g(xj g(x2)(x1 1) (x2 1)(为畑 2 2,

法二：y=f(2x-1) 是R 上的奇函数—f(-2x-1)=-f(2x-1) ,即

f(-2x-1)+f(2x-1)=0 ，由反函数的关系就可以取X1二 f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以

g(X1)+g(x 2)=-2X-1+(2X-1)=-2.

函数综合

1. 奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致 (在整个定义域内未必单调)，推广: 函数在其对称中心两侧单调性相同。偶函数在关于原点对称的区间内单调性相反，推广：函数在其对称轴两侧的单调性相反；此时函数值的大小取决于离对称轴的远近。解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性，但必须注意定义域。关注具体函数“抽象化”。

举例2］设函数f(x) x3x，若0 < 时，f (msin ) f (1 m) 0恒成立，则实数

m的取值范围是—

解析：此题不宜将msin及1-m代入函数f(x)x3x的表达式，得到一个“庞大”

的不等式，因为运算量过大，恐怕很难进行到底。注意到：函数f(x)为奇函数，