高考数学几何体体积计算

标题读题与做题学困生运算改善

第1节：几何体体积计算

题型1：求高解底

在几何体已经拥有底面垂线的情况下，求解体积本质上就是解三角形，寻找高和底面积。

三角形面积公式：海伦公式正弦定理底高

例1 1（2011年高考福建卷文科20)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。

（1）求证：CE⊥平面PAD；

（2）若PA=AB=1，AD=3，CD CDA=45°，求四棱锥P-ABCD体积

变式1：22008广东）如图5，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的

内接四边形，其中BD是圆的直径，60,45,~

∠=∠=??。

ABD BDC ADP BAD

（1）求线段PD的长；

（2）若PC，求三棱锥P-ABC的体积。

变式2：3

AF=，M是线变式3：4如图，已知矩形ACEF所在平面与矩形ABCD所在平面垂直，AB=，AD=1，1段EF的中点.

（1）求证：//

CM平面BDF；

（2）求多面体EFABCD的表面积；

（3）求多面体EFABCD的体积.

【答案】19.解：（1）连接A C交BD于点O ,连接O F , …… 1分

在矩形ACEF中，M为中点，∴//

CM OF, ……… 3 分

E

P B

C

D

A

CM BDF ?平面, OF BDF ?面，

∴ //CM 平面BDF . ………… 4分 （2）由题设和图形易知:

BF DE BE DF EF =====CE ⊥面ABCD ， …………… 5分

∴1222DEF BEF S S ??==?= ………… 6分

1122

ABF CDE S S ??==?=1111,22ADF BCE S S ??==??

==1S 矩形……………8分

∴=S

表12+2122

??=. ……………9分 （3）过点B 在面ABCD 内作BH 垂直于AC 点H ，则BH ⊥面ACEF ， 即BH 的大小为四棱锥B -ACEF 的高，BH

=3 ………11分

∴1213V =??

=3

. ……………………12分

变式4：

5

如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，

点E 在线段AD 上，CE ∥AB 。 （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；

（Ⅱ）若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°， 求四棱锥P －ABCD 的体积

20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象

能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分 （I ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CE ?平面ABCD ，

所以.PA CE ⊥，因为,//,.AB AD CE AB CE AD ⊥⊥所以 又,PA AD A =所以CE ⊥平面PAD 。 （II ）由（I ）可知CE AD ⊥，

在Rt ECD ?中，DE=CD cos 451,sin 451,CE CD ??==??=

又因为1,//AB CE AB CE ==，所以四边形ABCE 为矩形， 所以1151211.222

ECD ADCE ABCD S S S AB AE CE DE ?=+=?+?=?+??=矩形四边形 又PA ⊥平面ABCD ，PA=1，

所以11551.3326

P ABCD ABCD V S PA -=?=??=四边形四边形

变式5：

6

如图所示，直角梯形ACDE 与等腰直角△ABC 所在平面

互相垂直，F 为BC 的中点，90BAC ACD ∠=∠=?，AE

∥CD ，DC=AC=2AE=2.

（Ⅰ）求证：平面BCD ⊥平面ABC （Ⅱ）求证：AF ∥平面BDE ；

（Ⅲ）求四面体B-CDE 的体积. 解：（Ⅰ）∵面ABC ⊥面ACDE ，面ABC 面ACDE=AC ，CD ⊥AC ，∴DC ⊥面ABC ，………………2分 又∵DC ?面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC.……4分 （Ⅱ）取BD 的中点P ，连结EP 、FP ，则PF 12

DC, 又∵EA

1

2

DC ，∴EA PF ，…………6分 ∴四边形AFPE 是平行四边形，∴AF ∥EP ，

又∵EP ?面BDE ，∴AF ∥面BDE.…………………8分 （Ⅲ）∵BA ⊥AC ，面ABC 面ACDE=AC ，∴BA ⊥面ACDE. ∴BA 就是四面体B-CDE 的高，且BA=2. ……………10分 ∵DC=AC=2AE=2，AE ∥CD ，

∴11(12)23,121,22

ACE ACDE S S ?=+?==??=梯形 ∴312,CDE S ?=-=

∴1422.33

E CDE V -=??=……12分

变式6：

7

如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，E

是PD 的中点.

（I ）求证：平面PDC ⊥平面PDA ；

（II ）求几何体P —ABCD 被平面ACE 分得的两部分的体积比ACDE V ：.PABCE V

【答案】19.证明：

（I ）∵⊥PA 平面ABCD ，?CD 平面ABCD.

∴CO PA ⊥…………………………………………………………………………2分

∵四边形ABCD 是矩形.

∴CD AD ⊥ ∴⊥CD 平面PAD ………………………………………………4分 又∵CD ?平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD …………………………………6分

（II ）由已知

()4123

1

2131=????? ????=??--PA S PA S V V ACD ACD ABCD

P ACD E ………………………………………4分 ∴

3

1

=PABCE ACDE V V ………………………………………………………………………12分 变式7：

8

2011·辽宁卷] 如图1－8，四边形ABCD 为正方形，

图1－8

QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝1

2

PD .

(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；

(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值． .

变式8：

9

变式9： 10

变式10：

11

变式11： 12

变式12：

13

变式13：

14

题型2： 转移顶点

例215如图，四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PD=DC=4，AD=2，E 为PC 的中点.

（I ）求证：AD ⊥PC ；

（II ）求三棱锥P-ADE 的体积；

11

22

P ADE A PDE P ABCD E ABCD P ABCD P ABCD P ABCD V V V V V V V -------==-=-=

变式1：

16

如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面AA 1B 1B 为正方

形，侧面BB 1C 1C 为菱形，∠CBB 1 =

60°，AB ⊥

B 1

C ．

（1）求证：平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ； （2）若AB ＝2，求三棱柱ABC - A 1B 1C 1

的体积．

变式2：

17

09深一模）．如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面和

1

1

1

B C A C

B

A

C

圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD . （Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；

（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；

（Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -，CBE F V -，求A B C D F V -C B E F V -:．

变式3：

18

在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA a ===，2BC a =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点，且

2CF a =．

（1）求证：1B F ⊥ 平面ADF ； （2）求三棱锥1D AB F -的体积；

变式4：

19

如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F

分别为1DD 、DB

的中点．

（Ⅰ）求证：EF //平面11ABC D ； （Ⅱ）求证：1EF B C ⊥； （Ⅲ）求三棱锥EFC B V -1

的体积．

A

B

C

D

1A

1

B 1C

F

C

D

B

F

E

D 1

C 1

B 1

A

A 1

变式5：

20

如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC ∥平面DEFG ，

⊥AD 平面DEFG ，AC AB ⊥,DG ED ⊥,EF ∥DG ，且1==EF AC ,2====DG DE AD AB ．

（I ）求证：平面⊥BEF 平面DEFG ；

（II ）求证：BF ∥平面ACGD ；

（III ）求三棱锥A BCF -的体积．

变式6：

21

A ．

B ．

C ．

D ．

题型3： 先证后解

例322 [2011·重庆卷] 如图在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC ＝AD ＝2，BC ＝CD ＝1.求四面体ABCD 的体积；

变式1：

23

[2011·安徽卷] 如图，ABCDEF 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，

1,2,OA OD ==OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线BC ∥EF ； （Ⅱ）求梭锥F —OBED 的体积。

变式2：

24

如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB BC ⊥，AD CD =，CAD ∠=30?。若AD =2，

AB BC =2，求四面体ABCD 的体积；

变式3：

25

08山东文科) 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==

，2AB DC ==

（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．

A

B C

M P

D O

A

B C

M P

D

P

A B

C

D

1

A 1

B 1

1

D

第18题图

题型4： 合理分割

例4：26如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 已知底面ABCD 侧棱1D D 垂直于底面

ABCD ，且13D D =．

（1）点P 在侧棱1C C 上，若1CP =， 求证：1A P ⊥平面PBD ；

（2）求三棱锥11A BDC -的体积V ．

变式1：

27

已知在多面体ABCDE 中，⊥AB 平面ACD ，AB DE //，

2====DE CD AD AC ，1=AB ，F

是CD 的中点，

1）求证：；⊥CD 平面ABF ；

2）求多面体ABCDE 的表面积和体积；

变式2：

28

如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1CC 的延长线上， 且12

1

11====AB BC E C CC ． (Ⅰ) 求证：1D E //平面1ACB ； (Ⅱ) 求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ； （Ⅲ）求四面体AC B D 11的体积．

A B

C

D

E

F

G

C

D

A F E

B

变式3：

29

如图，已知多面体ABC －DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1．

（1）试判断CF 是否与平面ABED 平行？并说明理由；

（2）求多面体ABC －DEFG 的体积．

题型5： 点面距离

例53088（ ）

变式1：

31

如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.

（Ⅰ）求证：AB 1⊥平面A 1BD ； （Ⅱ）求点B 到平面A 1B 1D 的距离.

变式2：

32

右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===

（Ⅰ）求证：//BE 平面PDA ； （Ⅱ）求四棱锥B CEPD -的体积； （Ⅲ）求该组合体的表面积．

、

变式3：

33

如图，在五棱锥P —ABCDE 中，PA ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，

AB

BC =2AE =4，三角形PAB 是等腰三角形．

（1）求证：平面PCD ⊥平面PAC ；

（2）求四棱锥P —ACDE 的体积．（高已知，解底面） （4）求点G 到平面PAD 的距离。（点面距离）

变式4：. 34如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.

(1)求证：PC⊥AB；

(2)求点C到平面APB的距离．

变式5：35

A．B．C．D．

题型6：对数换底公式

例63688（）

变式1：37

变式2：38

A．B．C．D．

题型7：对数换底公式

例73988（）

变式1：40

变式2：41

A．B．C．D．

题型8：对数换底公式

例84288（）

变式1：43

变式2：44

A．B．C．D．