物理学教程(马文蔚、周雨青)上册课后答案七

第七章 气体动理论

7 －1 处于平衡状态的一瓶氦气和一瓶氮气的分子数密度相同，分子的平均平动动能也相同，则它们( )

(A) 温度，压强均不相同 (B) 温度相同，但氦气压强大于氮气的压强 (C) 温度，压强都相同 (D) 温度相同，但氦气压强小于氮气的压强

分析与解 理想气体分子的平均平动动能23k /kT =ε，仅与温度有关．因此当氦气和氮气的平均平动动能相同时，温度也相同．又由物态方程nkT p =，当两者分子数密度n 相同时，它们压强也相同．故选(C)．

7－2 三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，方均根速率之比

()()()

4:2:1::2/12C

2/12B

2/12A

=v v v ，则其压强之比C B A ::p p p 为( )

(A) 1∶2∶4 (B) 1∶4∶8 (C) 1∶4∶16 (D) 4∶2∶1 分析与解 分子的方均根速率为

M RT /3=2v ，因此对同种理想气体有

3212C 2B 2A ::::T T T =v v v ，又由物态方程nkT ρ，当三个容器中分子数密度n 相

同时，得16:4:1::::321321==T T T p p p .故选(C)．

7 －3 在一个体积不变的容器中，储有一定量的某种理想气体，温度为0T 时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ ，当气体温度升高为04T 时，气体分子的平均速率v 、平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为( ) (A) 004,4,4λλZ Z ===0v v (B) 0022λλ===,,Z Z 0v v (C) 00422λλ===,,Z Z 0v v (D)

00,2,4λλ===Z Z 0v v

分析与解 理想气体分子的平均速率M RT π/8=v ，温度由0T 升至04T ，则平均速率变为0v 2；又平均碰撞频率v n d Z 2π2=

，由于容器体积不变，即分子数密度n 不变，则平

均碰撞频率变为0Z 2；而平均自由程n

d 2

π21

=

λ，n 不变，则λ也不变．因此正确答案为(B)．

7－4 图示两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子的速率分布曲线.如果2O P )(v 和2H P )(v 分别表示氧气和氢气的最概然速率，则( ) (A) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且

4)()(2

2

H P O P =v v (B) 图中a 表示氧气分子的速率分布曲线且

41)()(2

2

H P O P =v v (C) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且

4

1)()(2

2

H P O P =

v v (D) 图中b 表示氧气分子的速率分布曲线且

4)()(2

2

H

P O P =v v

分析与解 由M

RT

v 2P

=

可知，在相同温度下，由于不同气体的摩尔质量不同，它们的最概然速率P v 也就不同.因2

2

O H M M <，故氧气比氢气的P v 要小，由此可判定图中曲线a

应是对应于氧气分子的速率分布曲线.又因161

2

2

O

H =M M ，所以=2

2H

P O P )()(v v 4

1

2

2

O

H =

M M .故选(B)

．

题 7-4 图

7 －5 有一个体积为35m 1001?.的空气泡由水面下m 050.深的湖底处(温度为C 0

.4o

)

升到湖面上来．若湖面的温度为C 017o .，求气泡到达湖面的体积．(取大气压强为

Pa 10013150?=.p )

分析 将气泡看成是一定量的理想气体，它位于湖底和上升至湖面代表两个不同的平衡状态．利用理想气体物态方程即可求解本题．位于湖底时，气泡内的压强可用公式

gh p p ρ+=0求出， 其中ρ为水的密度( 常取33m kg 100.1-??=ρ)．

解 设气泡在湖底和湖面的状态参量分别为(p 1 ，V 1 ，T 1 )和(p 2 ,V 2 ，T 2 )．由分析知湖底处压强为gh ρp gh ρp p +=+=021，利用理想气体的物态方程

2

2

2111T V p T V p =

可得空气泡到达湖面的体积为

()351

01

20121212m 1011.6-?=+==

T p V T gh p T p V T p V ρ 7 －6 一容器内储有氧气，其压强为Pa 100115?.，温度为27 ℃，求：(1)气体分子的数密度；(2) 氧气的密度；(3) 分子的平均平动动能；(4) 分子间的平均距离．(设分子间均匀等距排列)

分析 在题中压强和温度的条件下，氧气可视为理想气体．因此，可由理想气体的物态方程、密度的定义以及分子的平均平动动能与温度的关系等求解．又因可将分子看成是均匀等距排列的，故每个分子占有的体积为30d V =，由数密度的含意可知n V /10=，d 即可求出． 解 (1) 单位体积分子数

325m 1044.2?==

kT

p

n (2) 氧气的密度

3-m kg 30.1/?==

=RT

pM

V m ρ (3) 氧气分子的平均平动动能

J 102162321k -?==./kT ε

(4) 氧气分子的平均距离

m 10453193-?==./n d

通过对本题的求解，我们可以对通常状态下理想气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量的数量级有所了解．

7－7 2.0×10-2 kg 氢气装在4.0×10-3 m 3 的容器内，当容器内的压强为3.90×105 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？

分析 理想气体的温度是由分子的平均平动动能决定的，即23k /kT =ε．因此，根据题中

给出的条件，通过物态方程pV ＝M

m '

RT ，求出容器内氢气的温度即可得k ε．

解 由分析知氢气的温度mR MpV

T

=

，则氢气分子的平均平动动能为 J 1089.3232

322k -?='=

=R

m pVMk

kT ε

7 －8 某些恒星的温度可达到约1.0 ×108K ，这是发生聚变反应(也称热核反应)所需的温度.通常在此温度下恒星可视为由质子组成.求：(1) 质子的平均动能是多少？ (2) 质子的方均根速率为多大？

分析 将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i ＝3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能.此外，由平均平动动能与温度的关系2/32/2

kT m =v ，可得方均根速率2v .

解 (1) 由分析可得质子的平均动能为

J 1007.22/32/152k -?===kT m v ε

(2) 质子的方均根速率为

1-62s m 1058.13??==

m

kT

v 7 －9 日冕的温度为2.0 ×106

K ，所喷出的电子气可视为理想气体.试求其中电子的方均根速率和热运动平均动能. 解 方均根速率16e

2s m 105.93-??==

m kT

v 平均动能J 10142317k -?==./kT ε

7－10 在容积为2.0 ×10-3 m 3 的容器中，有内能为6.75 ×102

J 的刚性双原子分子某理想气体.(1) 求气体的压强；(2) 设分子总数为5.4×1022

个，求分子的平均平动动能及气体的温度. 分析 (1) 一定量理想气体的内能RT i

M m E 2

=

，对刚性双原子分子而言，i ＝5.由上述内能公式和理想气体物态方程pV ＝νRT 可解出气体的压强.(2)求得压强后，再依据题给数据可求得分子数密度，则由公式p ＝nkT 可求气体温度.气体分子的平均平动动能可由

23k /kT ε=求出.

解 (1) 由RT i

E 2

ν=和pV ＝νRT 可得气体压强

Pa 1035.125?==

iV

E

p (2) 分子数密度n ＝N/V ，则该气体的温度

()()K 1062.3//2?===nk pV nk p T

气体分子的平均平动动能为

J 104972321k -?==./kT ε

7 －11 当温度为0

C

时，可将气体分子视为刚性分子，求在此温度下：（1）氧分子的平

均动能和平均转动动能；（2）kg 100.43

-?氧气的内能；（3）kg 100.43-?氦气的内

能.

分析 （1）由题意，氧分子为刚性双原子分子，则其共有5个自由度，其中包括3个平动自

由度和2个转动自由度.根据能量均分定理，平均平动动能kT 2

3

kt =ε，平均转动动能

kT kT ==22kr ε.（2）对一定量理想气体，其内能为RT i

M m E 2

'=

，它是温度的单值函数.其中i 为分子自由度，这里氧气i =5、氦气i =3.而m '为气体质量，M 为气体摩尔质量，其中氧气13mol kg 1032--??=M ；氦气13mol kg 100.4--??=M .代入数据即可求解它们

的内能.

解 根据分析当气体温度为T=273 K 时，可得 （1）氧分子的平均平动动能为

J 107.52

321kt -?==kT ε

氧分子的平均转动动能为

J 108.32

221kr -?==kT ε

（2）氧气的内能为

J 10 7.1J 27331.82

51032100.422

3

3?=?????='=--RT i M m E （3）氦气的内能为

J 10 3.4J 27331.82

3100.4100.423

3

3?=?????='=--RT i M m E 7 －12 已知质点离开地球引力作用所需的逃逸速率为gr v 2=，其中r 为地球半径.(1) 若使氢气分子和氧气分子的平均速率分别与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；(2) 说明大气层中为什么氢气比氧气要少.(取r ＝6.40 ×106

m) 分析 气体分子热运动的平均速率M

RT

π8=

v

，对于摩尔质量M 不同的气体分子，为使v 等于逃逸速率v ，所需的温度是不同的；如果环境温度相同，则摩尔质量M 较小的就容易达到逃逸速率.

解 (1) 由题意逃逸速率gr 2=v ，而分子热运动的平均速率M

RT

π8=

v .当v v = 时，有

R

Mrg

T 4π=

由于氢气的摩尔质量1

3

H mol

kg 10022--??=.M ，氧气的摩尔质量

12O mol kg 10232--??=.M ，则它们达到逃逸速率时所需的温度分别为

K 10891K,101815O 4H 22?=?=..T T

(2) 根据上述分析，当温度相同时，氢气的平均速率比氧气的要大(约为4倍)，因此达到逃逸速率的氢气分子比氧气分子多.按大爆炸理论，宇宙在形成过程中经历了一个极高温过程.在地球形成的初期，虽然温度已大大降低，但温度值还是很高.因而，在气体分子产生过程中就开始有分子逃逸地球，其中氢气分子比氧气分子更易逃逸.另外，虽然目前的大气层温度不可能达到上述计算结果中逃逸速率所需的温度，但由麦克斯韦分子速率分布曲线可知，在任一温度下，总有一些气体分子的运动速率大于逃逸速率.从分布曲线也可知道在相同温度下氢气分子能达到逃逸速率的可能性大于氧气分子.故大气层中氢气比氧气要少.

7－13 容积为1 m 3 的容器储有1 mol 氧气，以v ＝10-1

s m ?的速度运动，设容器突然停止，

其中氧气的80％的机械运动动能转化为气体分子热运动动能.试求气体的温度及压强各升高了多少.

分析 容器作匀速直线运动时，容器内分子除了相对容器作杂乱无章的热运动外，还和容器一起作定向运动.其定向运动动能(即机械能)为

2

2

1mv .按照题意，当容器突然停止后，80％定向运动动能转为系统的内能.对一定量理想气体内能是温度的单值函数，则有关系式：

T R M m v m E Δ2

5%8021Δ2'=?'=成立，从而可求ΔT .再利用理想气体物态方程，可求压强

的增量.

解 由分析知T R M m m E Δ2

5

28.0Δ2?'='=v ，其中m '为容器内氧气质量.又氧气的摩尔质量为12mol kg 1023--??=.M ，解得

ΔT ＝6.16 ×10-2 K

当容器体积不变时，由pV ＝

M

m

RT 得 Pa 51.0ΔΔ==

T V

R

M m p 7－14 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示.(1) 说明曲线与横坐标所包围的面积的含义；(2) 由N 和0v 求a 值；(3) 求在速率0v /2到30v /2 间隔内的分子数；(4) 求分子的平均平动动能.

题 7-14 图

分析 处理与气体分子速率分布曲线有关的问题时，关键要理解分布函数()v f 的物理意义.

()υ

d d N N

f =

v ，题中纵坐标()v v d /d N Nf =，即处于速率v 附近单位速率区间内的分子数.同时要掌握()v f 的归一化条件，即

()1d 0

=?∞

v v f .在此基础上，根据分布函数并运用数学方

法(如函数求平均值或极值等)，即可求解本题.

解 (1) 由于分子所允许的速率在0 到20v 的范围内，由归一化条件可知图中曲线下的面积

()N Nf S v ==?v v d 0

20

即曲线下面积表示系统分子总数N .

(2 ) 从图中可知，在0 到0v 区间内，()0/v v v a Nf =；而在0 到20v 区间，()αNf =v .则利用归一化条件有

v v v v

v ??

+=00

20

d d v v a a N

(3) 速率在0v /2到30v /2间隔内的分子数为

12/7d d Δ2/30

00

N a a N =+=??

v v v v v v v

(4) 分子速率平方的平均值按定义为

()v v f v v v d /d 0

20

22??∞

∞==N N

故分子的平均平动动能为

2

0220302k 36

31

d d 21210

v v v v v v v v v v m N a N a

m m =??????

+==??ε

7－15 一飞机在地面时，机舱中的压力计指示为Pa 100115?.，到高空后压强降为

Pa 101184?..设大气的温度均为27.0℃.问此时飞机距地面的高度为多少？(设空气的摩尔

质量为2.89 ×10－2

kg·mol －1

)

分析 当温度不变时，大气压强随高度的变化主要是因为分子数密度的改变而造成.气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼分布.利用地球表面附近气压公式

()kT mgh p p /exp 0-=，即可求得飞机的高度h .式中p 0 是地面的大气压强.

解 飞机高度为

()()m 1093.1/ln /ln 300?===

p p Mg

RT p p mg kT h 7 －16 目前实验室获得的极限真空约为1.33×10－11

Pa ，这与距地球表面1.0×104

km 处的压

强大致相等.而电视机显像管的真空度为1.33×10－3

Pa ，试求在27 ℃时这两种不同压强下单位体积中的分子数及分子的平均自由程.(设气体分子的有效直径d ＝3.0×10－8

cm) 解 理想气体分子数密度和平均自由程分别为n ＝

kT

p

；p d kT λ2π2=，压强为 1.33×10

－11

Pa 时，

-39m 1021.3/?==kT p n

m 108.7π28

2

?==

p

d kT λ 从λ的值可见分子几乎不发生碰撞.压强为1.33×10－3

Pa 时，

3-17m 1021.3?==

kT p n ，m 8.7π22==p

d kT λ 此时分子的平均自由程变小，碰撞概率变大.但相对显像管的尺寸而言，碰撞仍很少发生. 7－17 在标准状况下，1 cm 3

中有多少个氮分子？氮分子的平均速率为多大？平均碰撞次数为多少?平均自由程为多大？（已知氮分子的有效直径m 1076.310-?=d ）

分析 标准状况即为压强

Pa 10013.15?=p ，温度K 273=T .则由理想气体物态方程

nkT p =可求得气体分子数密度n ，即单位体积中氮分子的个数.而氮气分子的平均速率、

平均碰撞次数和平均自由程可分别由公式M RT v π8=，n v d Z 2

π2=和n

d 2π21=λ直接求出.

解 由分析可知，氮分子的分子数密度为

325m 1069.2-?==

kT

p

n 即3

cm 1中约有19

1069.2?个.

氮气的摩尔质量为M =28 ×10－3 kg·mol －1

，其平均速率为

M

RT v π8=

=454 1

s m -? 则平均碰撞次数为

-192s 107.7π2?==n v d Z

平均自由程为

m 106π218

2

-?==

n

d λ 讨论 本题主要是对有关数量级有一个具体概念.在通常情况下，气体分子平均以每秒几百米的速率运动着，那么气体中进行的一切实际过程如扩散过程、热传导过程等好像都应在瞬间完成，而实际过程都进行得比较慢，这是因为分子间每秒钟上亿次的碰撞导致分子的自由程只有几十纳米，因此宏观上任何实际过程的完成都需要一段时间.

7－18 在一定的压强下，温度为20℃时，氩气和氮气分子的平均自由程分别为9.9×10－8

m 和27.5×10－8

m.试求：(1) 氩气和氮气分子的有效直径之比；(2) 当温度不变且压强为原值的一半时，氮气分子的平均自由程和平均碰撞频率. 分析 ( 1 ) 气体分子热运动的平均自由程()

p d kT n

d 2

2

π2/π21==

λ

，因此，温度、压强一定时，平均自由程2

/1d λ∝.(2) 当温度不变时，平均自由程p λ/1∝. 解 (1) 由分析可知

67.1//r 22r A N N A ==λλd d

(2) 由分析可知氮气分子的平均自由程在压强降为原值的一半时，有

m 105.527N N

22-?=='λλ 而此时的分子平均碰撞频率 2

222

2N N N N N 2π/8λM RT λZ ='=

v 将T ＝293K ，M N2 ＝2.8×10－2

kg·mol －1

代入，可得

-18N s 1056.82?=Z