课设方差分析的MATLAB实现

东北大学秦皇岛分校

数学软件认识实习报告

方差分析的MATLAB实现

学院数学与统计学院

专业数学与应用数学

学号0

姓名XXX

指导教师林秋张子选

成绩

教师评语：

指导教师签字：

2013年01月07日

1 绪论

方差分析是工农业生产和科学研究中对实验数据或其他观察数据进行统计分析和检验的一种实用、有效的数理统计方法。

方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）：根据不同需要把某变量方差分解为不同的部分，比较它们之间的大小并用F检验进行显著性检验的方法。又称“变异数分析”或“F检验”，是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。F值是两个均方的比值（效应项/误差项），不可能出现负值。F值越大（与给定显著水平的标准F值相比较）说明处理之间效果（差异）越明显，误差项越小说明试验精度越高。

一个复杂的事物往往受到多种因素的影响。例如，一件产品的质量就受到机器、原料、温度等因素的影响；同样，一种农作物的产量也会受到种子、肥料、土质、水分等因素的影响。如何通过实验数据，分析出各个因素的影响，从而抓住事物的主要矛盾，这就是方差分析所要解决的主要问题。本文主要就单因素方差分析和双因素方差分析进行讨论，对于两个以上的因素的方差分析，其解决问题的基本思想与此类似。

方差分析为资料分析中常见的统计模型，主要为探讨连续型（Continuous）资料型态之因变量（Dependent variable）与类别型资料型态之自变量（Independent variable）的关系，当自变量的因子中包含等于或超过三个类别情况下，检定其各类别间平均数是否相等的统计模式，广义上可将T检定中变异数相等（Equality of variance）的合并T检定（Pooled T-test）视为是方差分析的一种，基于T检定为分析两组平均数是否相等，并且采用相同的计算概念，而实际上当方差分析套用在合并T检定的分析上时，产生的F值则会等于T 检定的平方项。

方差分析依靠F-分布为机率分布的依据，利用平方和(Sum of square）与自由度(Degree of freedom）所计算的组间与组内均方（Mean of square）估计出F值，若有显著差异则考量进行事后比较或称多重比较(Multiple comparison)，较常见的为Scheffé's method、Tukey-Kramer method与Bonferroni correction，用于探讨其各组之间的差异为何。

在方差分析的基本运算概念下，依照所感兴趣的因子数量而可分为单因子方差分析、双因子方差分析、多因子方差分析三大类，依照因子的特性不同而有三种型态，固定效应方差分析(fix-effect analysis of variance)、随机效应方差分析(random-effect analysis of variance)与混合效应方差分析(Mixed-effect analysis of variance)，然而第三种型态在后期发展上被认为是Mixed model的分支，关于更进一步的探讨可参考Mixed model的部份。

方差分析优于两组比较的T检定之处，在于后者会导致多重比较（multiple comparisons）

的问题而致使第一型错误（Type one error）的机会增高。因此比较多组平均数是否有差异则是方差分析的主要命题。

在统计学中，方差分析(ANOV A)是一系列统计模型及其相关的过程总称，其中某一变量的方差可以分解为归属于不同变量来源的部分。其中最简单的方式中，方差分析的统计测试能够说明几组数据的平均值是否相等，因此得到两组的t测试。在做多组双变量t测试的时候，错误的几率会越来越大，特别是I型错误。因此，方差分析只在二到四组平均值的时候比较有效。

2 ANOV A的模式型态

方差分析分为三种型态：

固定效应模式（Fixed-effects models）

用于方差分析模型中所考虑的因子为固定的情况，换言之，其所感兴趣的因子是来自于特定的范围，例如要比较五种不同的汽车销售量的差异，感兴趣的因子为五种不同的汽车，反应变量为销售量，该命题即限定了特定范围，因此模型的推论结果也将全部着眼在五种汽车的销售差异上，故此种状况下的因子便称为固定效应。

随机效应模式（Random-effects models）

不同于固定效应模式中的因子特定性，在随机效应中所考量的因子是来自于所有可能得母群体中的一组样本，因子方差分析所推论的并非着眼在所选定的因子上，而是推论到因子背后的母群体，例如，借由一间拥有全部车厂种类的二手车公司，从所有车厂中随机挑选5种车厂品牌，用于比较其销售量的差异，最后推论到这间二手公司的销售状况。因此在随机效应模型下，研究者所关心的并非局限在所选定的因子上，而是希望借由这些因子推论背后的母群体特征。

混合效应模式（Mixed-effects models）

此种混合效应绝对不会出现在单因子方差分析中，当双因子或多因子方差分析同时存在固定效应与随机效应时，此种模型便是典型的混合型模式。

3 ANOV A的模式假设

方差分析之统计分析假设通常会依照各种模式型态不同而有差异，但广义而言，方差分析一共有三大前提假设[1]：

1.各组样本背后所隐含的族群分布必须为常态分布或者是逼近常态分布。

方差分析是用于科学研究的一种重要的统计方法，在实验研究中，我们往往会涉及不同的实验因素，为了判断不同的因素是否对实验结果有差异，我们需要做方差分析。因为实验结果的差异可能是不同的实验因素造成的，或者是外部的环境，随机误差造成的因而方差分析是检验试验处理间是否存在真实差异的有效手段。本节主要介绍利用MATLAB统计工具箱如实现方差分析的操作，包括单因素，双因素和多因素的方差分析。下面具体介绍这些内容。

4.1 单因素方差分析

当实验仅有一个因素，即单因素试验，我们仅需要研究单因素的不同水平是否对实验结果的差异有显著的影响，此时我们需要做单因素方差分析。

4.1.1单因素方差分析概念理解步骤

单因素方差分析是用来研究一个控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素方差分析。例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇女的生育率，研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。单因素方差分析的第一步是明确观测变量和控制变量。例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入；控制变量分别为施肥量、地区、学历。

单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为：观测变量值得变动会受控制变量和随机变量两方面的影响。据此，单因素方差分析将观测变量总的离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分，用数学形式表述为：SST=SSA+SSE。单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总离差平方和各部分所占的比例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。

4.1.2单因素方差分析原理及基本步骤

容易理解：在观测变量总离差平方和中，如果组间离差平方和所占比例较大，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平方和所占比例小，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。

1.提出原假设：H0——无差异；H1——有显著差异。

2.选择检验统计量：方差分析采用的检验统计量是F统计量，即F值检验。

3.计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。

4.给定显著性水平，并做出决策。

4.1.3 用MATLAB做单因素方差分析例子

MATLB程序：

Score=[75 62 71 58 73;81 85 68 92 90;73 79 60 75 81];

P=anova1(Score)

图 4.1 正确运行

图 4.2 正确输出结果

4.2 双因素方差分析

上面讲解了单因素试验的方差分析问题，但在科研和实际生产中，常常需要同时研究两个以上因素对实验结果的影响情况。若同时研究两个因素对实验结果的影响，就要对两个实验因素进行方差分析。对于双因素方差分析，其基本思想和方法与单因素方差分析相似，前提条件仍然是要满足独立，方差具有齐性、正态。不同的是，在双因素试验中，有可能出现交互作用。按照是否进行重复试验，双因素方差分析又分为两种，即有重复和无重复，下面主要来介绍双因素重复试验的方差分析。

4.2.1 求解双因素方差分析的MATLAB工具

在试验设计中如果涉及两个实验因素，需要进行双因素的方差分析。MATLAB统计工具箱中还提供了函数anova2()用于双因素的方差分析。

图 4.3 方差分析表

其调用格式如下；

P=anova2(X，reps)

p=anova2(X，reps，’displayopt’)

[p,table]=anova2(...)

[p,table,stats]=anova2(...)

其中，双因素方差分析是一种两因素，多水平析因试验数据的统计分析方法。其目的在于确认来自不同组的数据是否具有相同的均值。

4.2.2 双因素方差分析例子[2]

双因素方差分析：

>>load popcorn

p=anova2(popcorn,3)

运行程序,输出如下(效果见图 4.5）popcorn =

5.5000 4.5000 3.5000

5.5000 4.5000 4.0000

6.0000 4.0000 3.0000

6.5000 5.0000 4.0000

7.0000 5.5000 5.0000

7.0000 5.0000 4.5000

p =

0.0000 0.0001 0.7462，

图 4.4 运行程序

图4.5双因素方差分析、

4.3 多因素方差分析

多因素方差分析可以用于确定根据多个因素划分的不同组数据的均值是否不同。如果它们不同，还可以进一步确定这种差异是由哪一个或几个因素引起的。

对涉及两个以上因素的试验需要进行多因素方差分析，在MATLAB中进行多因素方差分析的函数为anovan(),其调用格式为：

定各因素的分组情况，返回值p用于检验各因素的水平是否具有显著差异，向量p的大小为试验的因素数。

P=anaovan（x，group，’Param1’,val1,’Pram2’,val2,...):设置参数param1的值为val1，参数param2的值为val2，可以设置的多重比较的参数具体参考MATLA B的帮助文档。

[p,table]=anovan(...):参数table返回方差分析表。

[p,table,stats]=anovan(...):返回的结构体stats用于多重比较。

结论

假设检验和方差分析是数理统计计算中重要的内容，但由于他们在实际计算与应用中，经常会遇到一些复杂繁琐的计算，这往往是我们力所不能及的。面对这些难题，我们可以借助于MATLAB进行实现。

通过对假设检验以及方差分析问题的MATLAB求解，我们可以清晰的看到，对于假设检验和方差分析中一些复杂繁琐的数据计算问题，可以通过MATLAB简便直观的处理，给予我们学习和工作带来极大的方便。

参考文献

[1]薛定宇,陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解（第二版）.清华大学出版社.

[2]张德丰等编著. MATLAB概率与数理统计分析. 机械工业出版社.