我所理解的奇异值分解
我所理解的奇异值分解SVD
1、 奇异值与奇异值分解定理 奇异值定理：
设m n A C ?∈，r=rank(A)，则一定存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 和对角矩阵1212(,,
,)(1,2,,)r r i diag i r σσσσσσσ∑=≥≥≥=，且，而 ，使得H A U V =∑，称为A 的奇异值分解。
复数域内的奇异值：
设(0)m n H r A C r A A ?∈>，的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥
≥>===
则称1,2,
,)i i n σ==为A 的正奇异值；当A 为零矩阵时，它的奇异值都是零。易见，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于rank(A)。
2、 奇异值分解的理解
奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r 大的奇异值来近似描述矩阵。 r r r T r r r T v u v u v u V U V U A σσσ+++=∑=∑= 222111即A 可表示为r 个秩为一的举证的和，这是A 得奇异值分解的紧凑格式。
3、 奇异值分解特征
奇异值分解的第一个特征是可以降维。A 表示 n 个 m 维向量 ,通过奇异值分解可表示成 m + n 个 r 维向量 ,若A 的秩 r 远远小于 m 和 n ,则通过奇异值分解可以大大降低 A 的维数。可以计算出 ,当 r 奇异值分解的第二个特征是奇异值对矩阵的扰动不敏感 ,而特征值对矩阵的扰动敏感。在数学上可以证明 ,奇异值的变化不会超过相应矩阵的变化 ,即对任何相同阶数的实矩阵A 、B ,按从大到小排列的奇异值i σ和i ω,有 2B A i i i -≤-∑ ωσ. 奇异值的第三个特征是奇异值的旋转不变性。即若 P 是正交阵 ,PA 的奇异值与A 的奇异值相同。奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图像的旋转、 镜像、 平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用。 奇异值的第四个特征是容易得到矩阵 A 的秩为 k (k ≤r)的一个最佳逼近矩阵。奇异值的这个特征可以应用于信号的分解和重构 ,提取有用信息 ,消除信号噪声。 4、奇异值分解的应用 彩色图像水印的应用 人脸识别中的应用 时间序列分析中的应用 5、问题 在奇异值分解特征一节，奇异值分解的第一个特征降维的相关描述中，将矩阵A 表示n个m维向量 ,通过奇异值分解可表示成m+n个 r维向量。这里的m+n 个如何计算得来。 6、参考文献 [1]罗小桂,何雁. 矩阵奇异值分解在计算技术中的应用[J].计算机与现代化.2006年.第6期：67—68. [2]基于奇异值分解的彩色图像水印算法* 曾文权,熊祥光,余爱民. 基于奇异值分解的彩色图像水印算法[J].计算机应用研究.2013年.第30卷第10期：3114—3116. [3]李慧.奇异值分解在时间序列分析中的应用[C],北京交通大学硕士学位论文,2009年. [4] 张要罗.奇异值分解在人脸识别中的应用. MP1432156 王荣 2014-4-16 特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 奇异值分解定理：设，则存在m 阶正交矩阵U 和n 阶正交矩阵V ，使得 ，其中为矩阵A 的全部非零奇 异值，满足0r 21>≥≥?≥≥，σσσ，前几个值比较大，它们包含了矩阵A 的大部分信息。U 的列向量（左奇异向量）是 的特征向量，V 的列向量（右奇异向量）是的特征 向量。 奇异值分解的性质： 1. 奇异值的稳定性 定理1：假设, A 和 B 的SVD 分别为和 ,其中p =min ( m , n) ,则有。 定理1表明当矩阵A 有微小扰动时,扰动前后矩阵奇异值的变化不会大于扰动矩阵的-2范数。这个性质表明,对于存在灰度变化、噪声干扰等情况的图像,通过SVD 后,图像的特征向量不会出现大的变化。这一性质放宽了对图像预处理的要求, 并使匹配结果的准确性得到了保证。 2. 奇异值的比例不变性 因此，为了消除幅度大小对特征提取的影响，所进行的归一化处理不会从本质改变奇异值的相对大小。 3. 奇异值的旋转不变性 图像奇异值特征向量不但具有正交变换、旋转、位移、镜像映射等代数和几何上的不变性,而且具有良好的稳定性和抗噪性，广泛应用于模式识别与图像分析中。对图像进行奇异值分解的目的是：得到唯一、稳定的特征描述；降低特征空间的维数；提高抵抗干扰和噪声的能力。 欧氏距离（Euclidean distance ） 欧氏距离定义：欧氏距离（Euclidean distance）是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。欧氏距离看作信号的相似程度，距离越近就越相似。 设x，y是M× N 维的两幅图像，那么其在图像空间中可以表示为： 式中为图像x，y的第（k，l）个像素点。则图像的欧氏距离定义为 根据上述定义，一幅M×N 的图像可以看作M×N 维欧氏空间中的一点，每个坐标对应于一个像素的灰度值。 特征匹配算法 采用遍历搜索法，计算特征向量两两间的欧氏距离，确定向量之间的最近邻距离（MD）第二近邻距离（SMD），并计算二者的比值：MD/ SMD。设定阈值s，当MD/ SMD 人机交互大作业 ——人脸识别 “人脸识别”系统设计文档 人脸识别的意义及应用 人脸识别是指对视频或图像中的人脸进行发现，追踪，进而识别出是特定个体的一种生物特征技术，也是生物特征识别中最主要的研究方向之一。人脸识别在日常生活中有着非常广泛的应用市场。下面列举了一些人脸识别的主要应用：1.监控系统 监控系统在日常生活中非常常用，是防盗系统的主要组成部分之一。人工智能的监控系统的一大优势就是可以将人类从每天对着监视器的枯燥工作中解脱出来。将监视的工作交给计算机来做，有几个优势。一是可以365天，24小时不间断的工作。二是可以不知疲倦，不会因为时间长而分散注意力。但是人工智能的监控系统仍面临着很多问题，比如漏识别，识别误差等等。2.身份验证 身份验证系统可以应用的范围也很广。比如现有的银行存取款系统，当人的银行卡和密码同时丢失时，卡中的钱就可能被转走。但是如果在取款机上安装一个人脸识别系统，在提供银行卡和密码时，同时需要进行面部认证，这样就会大大降低个人财产损失的风险。 3.考勤系统 考勤系统通常用在公司里。传统的考勤系统需要给每个员工分配一张考勤卡，每天上下班需要去打卡。这样会给员工带来一定的不便。如果员工忘记带卡，或者卡有损坏，就会耽误打卡。而且专门设立打卡地点，不仅上下班打卡不方便，而且还会出现替打卡的情况。使用人脸识别系统，可以在不被觉察的情况下，自然地实现员工的考勤。减少了很多不必要的麻烦。 4.视频、图像检索 随着人们对图像，视频等需求的不断扩展，网络上的图像和视频信息量也在以极快的速度增长。在如此庞大的信息库中快速查找到用户需要的信息成了现在研究的一个重要方向。而现在最主流的方式是在视频和图像上附带描述信息。这种描述信息可以被发布人随意更改，很多时候会对用户产生误导，浪费了时间。而用人脸识别进行图像和视频的检索，在检索某些特定人相关的资源时，会大大提高搜索结果的质量。再配合上描述关键词，能使人更快速寻找到所需信息。 人脸识别的优势和困难 人脸识别相对于传统的身份验证技术，和现有的虹膜识别，指纹识别等技术有一个显著的优势，就是可以自然地获取识别对象的身份信息，而不需要识别对象刻意的配合。虹膜识别和指纹识别都需要识别对象的配合。在这种情况下，识别对象可以有意识的进行伪装和欺骗。而人脸识别是在人们不经意的时候对人们图像的采集和识别，不会引起识别对象的注意。因此从某种意义上更容易获得真实的信息。 虽然人脸识别有着不可比拟的优势，但是在实现方面还有着很大的困难。 第一部分：预备知识 1.1 矩阵的F-范数与矩阵迹的关系 引理：设m n A R ?∈，令()ij m n A a ?=，则2211 ||||||()()m n T T F ij i j A a tr AA tr A A === ==∑∑；其中，()tr ?定义如下： 令方阵11 12121 22212r r r r rr m m m m m m M m m m ?? ??? ?=???? ?? ，则11221 ()r rr ii i tr M m m m m ==+++=∑ ，即矩阵M 的迹。注意，()tr ?只能作用于方阵。 那么，下面来看下为什么有2211 ||||||()()m n T T F ij i j A a tr AA tr A A === ==∑∑？ 首先，22 11 ||||||m n F ij i j A a === ∑∑这个等式是矩阵F-范数的定义，即一个矩阵的F-范数等于矩阵中每个元素的平方和。 其次，因11121212221 2 ()n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ???????==?? ???? ，则11 2111222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ????=?? ? ? ?? ，易得2211 ()()||||||m n T T ij F i j tr AA tr A A a A ==== =∑∑。（T AA 或T A A 的第r 个对角元素等于第r 行或列元素的平方和，所有对角元素之和就是矩阵每个元素的平方和，即有上式成立。）此过程如图1和图2所示。 基于奇异值分解的图像压缩及实现 本文利用奇异值分解方法，来对图片进行压缩，过程中我们 利用Matlab 编程来达到这个目的。 一：实验方法及原理 奇异值：矩阵A 的奇异值定义如下：设n *m r C A ?（r>0），且A A T 的特征值分别为 0n 1r r 21==??=≥≥??≥+λλλλλ （1） 则称i i λσ= （i=1，2，…，n ）为A 的奇异值。 奇异值分解定理：设Σ=diag(r 21...σσσ，， ，)，由式（1）可知，i σ（i=1，2，…，r ）为A 的非零奇异值。U 为m 阶酉矩阵（n 阶复 方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵），V 为n 阶酉矩阵，若满足矩阵等式 （2） 则称式（2）为A 的奇异值分解。若U 写成U =[m 21u ......u u ，， ，]的形式，V 写成V=[n 21v ......v v ，， ，]的形式，则式（2）可写成如下形式： （3） 由于大的奇异值对图像的贡献大，小的奇异值对图像的贡献小，所以可以从r 个奇异值生成矩阵中选取前k 个（k （4） 近似表示图像A。 存储图像A需要mn个数值，存储图像k A需（m+n+1）k个数值，若取 （5） 则可达到压缩图像的目的，比率 （6） 称为压缩率 二：实验过程 1.实验数据来源： 本实验所需要的实验原图片是lena.bmp，处理后的图片设置为lena2.bmp。并获取图片的描述矩阵，为512*512阶8位的方阵。 设为A，同时也是原始矩阵，本实验主要是对A进行奇异值分解，用一个更小阶的矩阵来描述A，从而达到实验目的。 2.实验过程： 提取图像lena.bmp数据，将图片读入Matlab中，存储的是数据矩阵并且设置为512*512的矩阵A，将矩阵A中的数据转换为double型，以适应svd函数的要求，运用函数[U,S,V]=svd(A)进行图像的奇异值分解，分别得到对角奇异值矩阵S为512*1阶，以 奇异值分解法计算广义逆 线性最小二乘问题的广义逆求解 (丁梁波 整理) 对于任意的n m ?方程组：b Ax = 其中?? ?? ? ?????=mn m n a a a a A 1111 ???? ? ?????=n x x x 1 ???? ? ?????=m b b b 1 如果n m =，只要n 方阵A 非奇异，就有逆阵1-A ，从而得到解b A x 1-=。然而，对于n m ≠的一般情况，A 是长方阵，就没有通常的逆阵。不过它仍然可以有相应于特定方程类型的几种形式的广义逆矩阵，其中适于任何情况的广义逆叫做Penrose 广义逆，记为+A 。于是，方程的解可以为： b A x += 由奇异值分解（SVD ）可以将A 分解为： T V U A ∑= 其中U ，V 分别为m ,n 阶正交阵 ??? ?????? ? ????? ???? ?=∑001 r σσ 这样A 的广义逆+A 可表示为： T U V A 1-+∑= 其中 ?? ?? ??∑=∑- -0001 1 r ???? ??????=∑---1111r r σσ 这样我们可以看出，完成A 的奇异值分解后，求解A 的广义逆就变得很简单，从 而可以方便地求出方程组的最小二乘解。下面我们说明对矩阵进行奇异值分解的方法和步骤。 通常情况下我们考虑m>n 时矩阵A 的奇异值分解，因为当m C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。 限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献 1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include 现代信号处理 学号： 小组组长： 小组成员及分工： 任课教师： 教师所在学院：信息工程学院 2015年11月 论文题目 基于奇异值分解的MVDR方法及其在信号频率估计领域的 应用 摘要：本文主要是介绍和验证MVDR的算法，此算法应用于信号频率估计的领域中。我们通过使用经典的MVDR算法验证算法的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了改进，在验证这种改进思想的方法可行性时，我们发现基于这种奇异值分解的MVDR方法在信号频率估计上具有提高检测精度的特性，这也说明了这种思想在应用信号频率估计时是可行的。 关键词：MVDR算法奇异值分解信号频率估计 论文题目（English） MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation. Key words: MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimation 基于奇异值分解计算MIMO 信道容量 摘要 无线MIMO 技术是未来无线通信系统中实现高数据速率传输、改善传输质量、提高系统容量的重要途径，它被认为是现代通信技术中的重大突破之一，受到了广泛的研究与关注。信道容量是信道的一个参数，反映了信道所能传输的最大信息量。因此研究MIMO 的信道容量具有巨大的指导意义。本文利用矩阵理论的相关知识，首先建立了MIMO 信道模型，利用信息论理论和奇异值分解的理论详细推导出MIMO 信道容量，并得出重要结论。 关键词： MIMO ；信道容量；奇异值分解 一、 引言 MIMO 系统是能够有效提高无线频谱利用率最重要的方案之一。MIMO 系统使用多根发射天线、多根接收天线, 在系统容量、频谱效率、发射机和接收机的设计上都与传统的单发单收系统有很大差别。然而，MIMO 无线系统大容量的实现和其它性能的提高极大地依赖于MIMO 无线信道的特性，MIMO 无线通信的难点也正在于信道的处理。矩阵理论在通信，自动控制等工程领域里应用广泛，将矩阵理论与无线信道的研究是一个很好的切入点。目前，MIMO 技术的信道容量和空时编码，空时复用等技术都离不开矩阵理论的应用。 二、 奇异值分解的概念 下面介绍一下矩阵奇异值分解的理论。 首先，给出奇异值的概念。 设,m n H r A C A A ?∈的特征值为 121n 0r r λλλλλ+≥≥≥>===…… (2.1) 则称1,2,...,)i i r σ= =为矩阵A 的正奇异值。 进而，奇异值分解理论可以阐述为： 对任意矩阵m n r A C ?∈，12,,...,r σσσ是A 的r 个正奇异值，则存在m 阶酉矩阵U 及n 阶酉矩阵V ，使得 D 0V 00A U ??= ??? (2.2) 其中12D=diag ,,...,),r δδδ（而i δ满足||(1,2,...,)i i i r δσ==的复数。 三、 MIMO 信道模型的建立 为了描述MIMO 信道，考虑考虑基站(BS)天线数R n ，移动台(MS)天线数为T n 的两个均匀线性天线阵列，假定天线为全向辐射天线。每个符号周期内，移动台天线阵列上的发射信号为 12()[(),(),...,()]T n s t s t s t s t =，其中()m s t 表示第m 个天线元上的发射信号。同样地，基站天线阵列上的 地球物理系反演报告 实验一奇异值分解计算广义逆G+ 专业：地球物理学 姓名： 学号： 指导教师：邵广周 实验一 奇异值分解计算广义逆G + 一、基本原理 对于任意的n m ?方程组：b Ax = 其中??????????=mn m n a a a a A 1 111 ?? ?? ? ?????=n x x x 1 ??????????=m b b b 1 如果n m =，只要n 方阵A 非奇异，就有逆阵1-A ，从而得到解b A x 1-=。然而，对于n m ≠的一般情况，A 是长方阵，就没有通常的逆阵。不过它仍然可以有相应于特定方程类型的几种形式的广义逆矩阵，其中适于任何情况的广义逆叫做Penrose 广义逆，记为+A 。于是，方程的解可以为： b A x += 由奇异值分解（SVD ）可以将A 分解为： T V U A ∑= 其中U ，V 分别为m ,n 阶正交阵 ? ????????? ????? ???? ?=∑00 1 r σσ 这样A 的广义逆+A 可表示为： T U V A 1-+∑= 其中 ??????∑=∑--0001 1 r ????????? ?=∑---1111r r σσ 这样我们可以看出，完成A 的奇异值分解后，求解A 的广义逆就变得很简单，从而可以方便地求出方程组的最小二乘解。下面我们说明对矩阵进行奇异值分解的方法和步骤。 通常情况下我们考虑m>n 时矩阵A 的奇异值分解，因为当m 并行计算奇异值分解--Jacobi旋转 鉴于矩阵的奇异值分解SVD在工程领域的广泛应用（如数据压缩、噪声去除、数值分析等等，包括在NLP领域的潜在语义索引LSI核心操作也是SVD），今天就详细介绍一种SVD的实现方法--Jacobi旋转法。跟其它SVD算法相比，Jacobi法精度高，虽然速度慢，但容易并行实现。 一些链接 https://www.360docs.net/doc/f914863837.html,/Article/CDMD-10285-1012286387.htm并行JACOBI方法求解矩阵奇异值的研究。本文呈现的代码就是依据这篇论文写出来的。 https://www.360docs.net/doc/f914863837.html,/javanumerics/jama/ Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky 分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。 http://users.telenet.be/https://www.360docs.net/doc/f914863837.html,rmuseau/SVD.htm在线SVD运算器。 http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ bluebit在线矩阵运算器，提供矩阵的各种运算。 https://www.360docs.net/doc/f914863837.html,/Projects/Matrix/C++ Matrix library提供矩阵的加减乘除、求行列式、LU分解、求逆、求转置。本文的头两段程序就引用了这里面的matrix.h。 基于双边Jacobi旋转的奇异值分解算法 V是A的右奇异向量，也是的特征向量; U是A的左奇异向量，也是的特征向量。 特别地，当A是对称矩阵的时候，=，即U=V，U的列向量不仅是的特征向量，也是A 的特征向量。这一点在主成分分析中会用到。 对于正定的对称矩阵，奇异值等于特征值，奇异向量等于特征向量。 U、V都是正交矩阵，满足矩阵的转置即为矩阵的逆。 双边Jacobi方法本来是用来求解对称矩阵的特征值和特征向量的，由于就是对称矩阵，求出的特征向量就求出了A的右奇异值，的特征值开方后就是A的奇异值。 一个Jacobi旋转矩阵J形如： 现代信号处理学号： 小组组长： 小组成员及分工： 任课教师： 教师所在学院：信息工程学院2015年11月 论文题目 基于奇异值分解的MVDR方法及其在信号频率估计领域的 应用 摘要：本文主要是介绍和验证MVDR的算法，此算法应用于信号频率估计的领域中。我们通过使用经典的MVDR算法验证算法的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了改进，在验证这种改进思想的方法可行性时，我们发现基于这种奇异值分解的MVDR方法在信号频率估计上具有提高检测精度的特性，这也说明了这种思想在应用信号频率估计时是可行的。 关键词：MVDR算法奇异值分解信号频率估计 论文题目（English） MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation. Key words: MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimation PCA算法的数学知识---特征值分解和奇异值分解： 1）特征值： 如果说一个向量v是方阵X的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： = Xv vλ 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 1 =∑ X Q Q- 其中Q是这个矩阵X的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。 首先，要明确的是，乘以一个矩阵其实就是一个线性变换，而且将一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于对这个向量进行了线性变换。如果我们想要描述好一个变换，那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。分解得到的Σ矩阵是一个对角阵，里面的特征值是由大到小排列的，这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向（从主要的变化到次要的变化排列）。通过特征值分解得到的前N个特征向量，就对应了这个矩阵最主要的N个变化方向。我们利用这前N个变化方向，就可以近似这个矩阵（变换）。也就是：提取这个矩阵最重要的特征。 总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可 少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r 大的奇异值来近似描述矩阵，这里定义一下部分奇异值分解： ****T n p n r r r r p X U V ≈∑ r 是一个远小于n 、p 的数，右边的三个矩阵相乘的结果将会是一个接近于X 的矩阵，在这儿，r 越接近于p ，则相乘的结果越接近于X 。而这三个矩阵的面积之和（在存储观点来说，矩阵面积越小，存储量就越小）要远远小于原始的矩阵X ，我们如果想要压缩空间来表示原矩阵X ，我们存下这里的三个矩阵：U 、Σ、V 就好了。 奇异值与主成分分析（PCA ）： PCA 的全部工作简单点说，就是对原始的空间中顺序地找一组相互正交的坐标轴，第一个轴是使得方差最大的，第二个轴是在与第一个轴正交的平面中使得方差最大的，第三个轴是在与第1、2个轴正交的平面中方差最大的，这样假设在N 维空间中，我们可以找到N 个这样的坐标轴，我们取前r 个去近似这个空间，这样就从一个N 维的空间压缩到r 维的空间了，但是我们选择的r 个坐标轴能够使得空间的压缩使得数据的损失最小。 假设矩阵每一行表示一个样本，每一列表示一个特征，用矩阵的语言来表示，对一个n* p 的矩阵X 进行坐标轴的变化，P 就是一个变换的矩阵，从一个p 维的空间变换到另一个p 维的空间，在空间中就会进行一些类似于旋转、拉伸的变化。 现代佶号处理学号： 小组组长： 小组成员及分工： 任课教师： 教师所疫学院：信息工程学院 2015年11月 基于奇畀值分鮮的MVDR方法及其在信号频率估计领城的 应用 摘要：本丈主要是介绍和验证MVDR的算出，此算岀应用于信号频率估计的领城中。我们通过使用经典的MVDR算去验证算比的可行性，再通过引用了奇异值分解的思想对MVDR方法进行了孜进，准.脸证这种改进思想的方法可行性肘，我们发现基于这种奇异值分鮮的MVDR 方岀在信号频率估计上具有提壽检测赫度的特性，这色说朗了这种思想＞4应用信号频率估计肘是可行的。 论丈题tl (English丿 MVDR method based on singular value decomposition and its application in signal frequency estimation Abstract:In this paper, the algorithm of MVDR is introduced, and the algorithm is applied to the field of signal frequency estimation. By using the classical MVDR algorithm to verify the feasibility of the algorithm, and then through the use of the idea of singular value decomposition to improve the MVDR method, in the verification of the feasibility of the method, we found that the MVDR method based on the singular value decomposition has the characteristics of improving the detection accuracy in signal frequency estimation. It also shows that this idea is feasible in the application of signal frequency estimation. Key words：MVDR method Singular value decomposition Signal frequency estimatio n 奇异值分解及其应用 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 奇异值与特征值基础知识 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 如果说一个向量v是方阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式： 这时候λ就被称为特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式： 其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵，Σ是一个对角阵，每一个对角线上的元素就是一个特征值。我这里引用了一些参考文献中的内容来说明一下。首先，要明确的是，一个矩阵其实就是一个线性变换，因为一个矩阵乘以一个向量后得到的向量，其实就相当于将这个向量进行了线性变换。比如说下面的一个矩阵： 它其实对应的线性变换是下面的形式： 矩阵奇异值分解在图像压缩中的应用 电子科技大学 微固学院 贾旺旺 [摘要]本文首先介绍了矩阵的奇异值分解(SVD)定理，然后讨论了基于矩阵奇异值分解的图像压缩编码原理，最后文中给出了实例，并用matlab 编程实现了图像的压缩和重构，发现随着图像压缩比的减小，图像传输时间增大，但重构后得到的图像失真度减小了。 [关键词]奇异值分解 图像压缩 压缩比 一.引言 随着网络的快速发展，数据量的增长也十分迅速，这使人们必须想办法如何能以最少的存储空间，最大的传输效率来进行数据的存储和传输。如在宇航中，拍摄得到的图像文件一般都比较大且数量也很多，它的存储，传输和处理会受到一定的限制，因此图像压缩就显得格外重要。图像压缩技术就是要减少图像数据中的冗余信息从而以更加高效的格式存储和传输数据。 图像压缩的基本方法包括无损压缩的行程长度编码，熵编码法；有损压缩的色度抽样法，变换编码，分形压缩等。近几年，基于矩阵奇异值分解的图像压缩方法也得到了很多学者的关注[1] 。因为图像的像素点具有矩阵的结构，我们可以利用奇异值分解来对任意阶数的矩阵操作。本文就是利用了矩阵的奇异值分解，达到了图像压缩的目的。 二. 矩阵奇异值分解原理[2] 引理 1 的非零特征值相同 的特征值均为非负实数，则有 设H H H H H H n m r AA A A AA A A AA rank A A rank A rank C A ,)3(,)2()()()()1(==∈? ) ()()()(00)(0 0)()1(:1111111A A rank A rank A A rank A rank Ax Ax Ax Ax A x Ax A x X k n Ax A k A A rank H H H H H H H H H =?≤?=?==?=?-=?=维，记为的解空间为设证明0 ),(),(),(),(0)2(≥?===≤?=λααλλααααααλααA A A A A A H H 我所理解的奇异值分解SVD 1、 奇异值与奇异值分解定理 奇异值定理： 设m n A C ?∈，r=rank(A)，则一定存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V 和对角矩阵1212(,, ,)(1,2,,)r r i diag i r σσσσσσσ∑=≥≥≥=，且，而 ，使得H A U V =∑，称为A 的奇异值分解。 复数域内的奇异值： 设(0)m n H r A C r A A ?∈>，的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥ ≥>=== 则称1,2, ,)i i n σ==为A 的正奇异值；当A 为零矩阵时，它的奇异值都是零。易见，矩阵A 的奇异值的个数等于A 的列数，A 的非零奇异值的个数等于rank(A)。 2、 奇异值分解的理解 奇异值σ跟特征值类似，在矩阵Σ中也是从大到小排列，而且σ的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上了。也就是说，我们也可以用前r 大的奇异值来近似描述矩阵。 r r r T r r r T v u v u v u V U V U A σσσ+++=∑=∑= 222111即A 可表示为r 个秩为一的举证的和，这是A 得奇异值分解的紧凑格式。 3、 奇异值分解特征 奇异值分解的第一个特征是可以降维。A 表示 n 个 m 维向量 ,通过奇异值分解可表示成 m + n 个 r 维向量 ,若A 的秩 r 远远小于 m 和 n ,则通过奇异值分解可以大大降低 A 的维数。可以计算出 ,当 r 第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得特征值分解与奇异值分解
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第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法