代数式和整式

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???????无理式分式多项式单项式

整式有理式代数式代数式和整式

代数式

1、代数式的定义

概念：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数及表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。

代数式的写法：

①数的运算律同样适用于代数式。

②单独一个数字或者一个字母也是代数式。 ③代数式中不可含有符号“=”、“≠”、“>”或“<”。 ④代数式的规范写法：字母与字母相乘可省略“?”。例如：y x ?或xy ；遇到除法，除号用分数线表示。例如：y x ÷写成

y

x

；通常数字写在字母前面。例如：x 4；带分数与字母相乘，把带分数写成假分数。例如：y ?31

2写成y 3

7

。 2、代数式的分类

把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。

要点提示：

①再同一个问题中，不同的数量关系必须用不同的字母表示。

②列代数式时，抓住题目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、商、倍、比、增加或减少等。

4、求代数式的值

用具体数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算顺序，计算后得出结果，这就是求代数式的值。

整式的相关概念

单项式与多项式统称为整式。

1、单项式与多项式

单项式

①概念：只含有数与字母的积的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

②单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如：h r 2

3

2的系数是

3

2，r π2的系数是π2，abc -的系数是1-，2

3-m 的系数是3-。 ③单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例

如：c ab 2

的次数是4，

2

24

5yz x 的次数是5，-16的次数是0。

多项式

①概念：几个单项式的和叫做多项式。

②多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。例如：

yz yz x y x 54

1222

2-+中，22yz x 项的次数最高是5，所以这个多项式的次数是5。多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次几项式。例如：c bx ax ++2

（其中c b a 、、是常数，且0≠ab ）是二次三项式。

要点提示：

①单项式的系数包括系数前面的符号。例如：n m 2

-的系数是-1。 ②多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③单项式中分母不含字母。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。例如：在多项式942

+-ab ab 中，2

4ab 、ab -、9是项，其中9是常数项。

3、多项式的排列

①降幂排列：把一个多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做这个多

项式按这个字母的降幂排列。例如：1342

-+x x 叫做按字母x 的降幂排列，++b a a 2

3

2 b ab +22叫做按字母a 的降幂排列。

②升幂排列：把一个多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做这个多

项式按这个字母的升幂排列。例如：2

432-x x ++叫做按字母x 的升幂排列，++ab a 23

323b ab +叫做按字母b 的升幂排列。

整式的加减运算

1、同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。同一多项式中，常数项也是同类项。 要点提示：

同类项的判断只需具备两个“相同”，即所含字母相同，相同字母的指数也相同，与各项的系数无关，与字母的排列顺序也无关。

2、合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

整式的乘除运算

①单项式乘以单项式的法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式中含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

②单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加、

③多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

要点提示：

①几个单项式相乘，最后结果仍是一个单项式。

②单项式乘多项式时注意符号的处理，即括号法则是一致的。 ③单项式乘多项式的结果仍是一个多项式。

④两个多项式相乘，在没有合并同类项前，积的项数应该等于这两个多项式的项数的 积。

2、除法运算

①单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

②多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

③多项式除以多项式的法则：两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法，用竖式进行计算：

第一步：用除式的第一项去除被除式的第一项，所得的商作为商式的第一项。

第二步：用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下边，同类项要对齐，从被除式中减去这个积。

第三步：把余式当做新的被除式，仿照上面的方法计算，直到余式的次数低于除式的次数为止（或余为零）

乘法公式

1、含同一字母的两个一次二项式的乘法法则

①当一次项系数为1时，有

()()()ab x b a x b x a x +++=++2

②当一次项系数不为1时，有

()()()ab x na mb mnx b nx a mx +++=++2

2、平方差公式

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即：()()2

2

b a b a b a -=-+

要点提示：

①公式中的b a 、所代表的内容具有广泛性，它们可以是数字，也可以是单项式或多项式。

②平方差公式具有可以连续使用的特点。

③有时需将多项式进行适当调整和变形，才能使用平方差公式计算。

3、完全平方公式

两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。即：()2

2

2

2b ab a b a +±=±

要点提示：

完全平方公式的变形：()ab b a b a 22

2

2

-+=+

()()ab b a b a 42

2

-+=-

()()

ab b a b a 42

2=--+ ()()

222

2

22b a b a b a +=-++

4、三项和的平方公式：()ac bc ab c b a c b a 2222

2

2

2

+++++=++

5、完全立方公式：()3

2

2

3

3

33b ab b a a b a ±+±=±

6、立方和与立方差公式：()()33

2

2

b a

b

ab a b a ±=+±

整数指数幂的运算法则

1、同底数幂的乘除法则

①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：n

m n

m

a a a +=? （n m 、都是正整数）。

②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：n

m n

m

a a a -=÷

（0≠a ，n m 、都是正整数，且n m >）。

2、幂和积的乘方法则

①幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：()

mn n

m

a a

=（n m 、都是正

整数）。

②积的乘方法则：积的乘方，把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即

()

n n n

b a ab =

3、零指数幂与负整数指数幂

①任何非零数的0次幂都等于1，即10

=a （0≠a ）。

②任何不等于零的数的p -次幂等于这个数的p 次幂的倒数，即：p

p

a a 1

=

-（0≠a ，p 是正整数）。

4、幂的运算法则

幂的运算法则就是指同底数幂的乘、除法则、幂的乘方法则及积的乘方法则，它是整式乘除法运算的基础。

因式分解

1、因式分解的有关概念

①因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（或叫做分解因式）。 要点提示：

因式分解和整式乘法互为逆运算。 因式分解的对象是多项式。

因式分解的结果一定是整式乘积的形式。

因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。

因式分解的结果如果有相同因式，就将相同因式写成幂的形式。

②公因式：一个多项式的各项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式。

2、因式分解的方法和步骤

①提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：()b a n nb na +=+。

②运用公式法：如果把乘法公式从左向右使用，就可以用来把某些符合条件的多项式分解因式，我们把这种分解因式的方法叫做运用公式法。

③分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 要点提示：

分解后能直接提取公因式。 分解后能运用公式。

④关于()pq x q p x +++2

型多项式的因式分解：

()()()q x p x pq x q p x ++=+++2。这种式子的特点：二次项系数为1；常数项是两个数

的积；一次项系数是常数项的两个因数之和。

⑤十字相乘法：借助十字交叉线分解系数，从而帮助把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 要点提示：

十字相乘法步奏：第一步，将二次三项式c bx ax ++2

的二次项系数a 分解为1a 、

2a ，常数项c 分解为1c 、2c ，并且把1a 、2a 、1c 、2c 排列为：

1a 2

a 2

c 1c

第二步，按交叉线相乘，再相加，就得到1221c a c a +。如果1221c a c a b +=，那么

()()22112c x a c x a c bx ax ++=++，其中1a 、1c 位于交叉线的上一行，2a 、2c 位于下一

行。

⑥配方法：先对二次三项式加减某项（单项式或多项式）配出完全平方式，然后对其分解因式的方法叫做配方法。

3、多项式因式分解的步奏

首先提取公因式，然后考虑用公式，分组分解要合适，十字相乘试一试，配方分解不忘记，几种方法灵活用，和差定能化为积。 要点提示：

分解因式必须进行到每一个多项式不能再分解为止。