电子工程数学方法补充题-分离变量法(最新版)

分离变量法

1、求解定解问题：

2000000

00,(01),

||0,

,(0),|(),(),|0,(0).

tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==?≤≤???=?-≤≤?-???=≤≤ 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为

200000000,(0),

(0,)(,)0,

,(0),(,0)(),(),|0.

tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l

u =-=<<==-?<

220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===?-==≤≤???==??=-???

4、求解定解问题

2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π????-=<<>????==?==???===??=?

5、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振

动。[提示：定解问题为

20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====?-=<

] 6、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。[提示：定解问题为

2000000,(0),|0,|0,(,0),|0.tt xx x x x l x x t t u a u x l u u F u u x dx dx x YS u ===?-=≤≤?==????==???=??

??] 7、长为l 的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为0v 时突然停止，求解杆的振动。[提示：定解问题为

2000,(0),(0,)0,(,)|0,(,0),(,0)|0.tt xx x x l t t v a v x l v t v l t v x v v x ==?-=<

] 8、求解细杆导热问题，杆长l ，初始温度均匀为0u ，两端分别保持温度为1u 和2u 。[提示：定解问题为

201,2000,||,|.t xx x x l t u a u u u u u u u ===?-=?==??=?

]

9、在矩形区域0,0x a y b <<<<上求解拉氏方程0u ?=，使满足边界条件

00|(),|0.

|sin ,|0.x x a y y b u Ay b y u x

u B u a π=====-===

10、均匀的薄板占据区域0,0x a y <<<<∞，边界上温度000|0,|0,|x x a y u u u u ======，lim 0y u →∞

=。[提示：泛定方程为：0.xx yy u u +=] 11、矩形膜，边长1l 和2l ，边缘固定，求它的本征振动模式。[提示：定解问题为

1221200()0,(0,0),

|0,|0,

|0,|0.

tt xx yy x x l y x l u a u u x l y l u u u u ====-+=<<<<====]

12、细圆环，半径为R ，初始温度分布已知为()f ?，?是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。求解环内温度变化情况。[提示：其定解问题为 20,02,(),(2)().t t u a u u f u u ???π??π??-=≤

] 13、在圆形域内求解0u ?=使满足边界条件

(1)|cos ,(2)|sin a a u A u A B ρρ??====+。[提示：泛定方程为

201

0,.02a u u u ρρρ??ρ?πρρ<

200110,(0,0),

|0,|0,(0),|,0).R u u u R u u R u u ρρρ????πρρ?πρρρ?π===?++=<<<

] 15、在以原点为心，以1R 和2R 为半径的两个同心圆所围城的环域上求解20u ?=，使满足

边界条件1211|(),|()R R u f u f ρρ??====。[提示：泛定方程为

1221

0,.02R R u u u ρρρ??ρ?πρρ<

2000()sin ,|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u x t u u u u ω====?-=Φ?==??==?

]

17、两端固定弦在点0x 受谐变力0(,)sin f x t f t ρρω=作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度课表为00(,)sin ()f x t f t x x ρρωδ=-，所以定解问题为

200000sin (),|0,|0,|0,|0.tt xx x x l t t t u a u f t x x u u u u ωδ====?-=-?==??==?

] 18、在矩形域0,22

b b x a y <<-<<上求解22u ?=-且u 在边界上的值为零。(P-303)

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。定义域的求法 1、直接定义域问题例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义，而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

数学物理方法习题

第一章分离变量法 1、求解定解问题： 2000 000 00,(01), ||0, ,(0),|(),(),|0,(0). tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==?≤≤??? =?-≤≤?- ???=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为 200 0000 00,(0),(0,)(,)0, ,(0),(,0)(),(), |0. tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T l u =-=<<==-?<???? ==?==? ??===??=?

4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为 20000,(0),||0,2 |2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====?-=<

结合电子技术应用专业说数学课程

结合电子技术应用专业说数学课程尊敬的各位专家，同仁：大家好！电子技术应用专业主要培养在电子整机生产、服务和管理第一线工作的一般电子设备的装配、调试与维修人员。我校电子技术与应用专业是学校优先建设的重点，教学设施完善，是湖北省骨干专业，本专业在读学生153人。下面我从五个方面结合电子技术应用专业谈谈《数学》课程在我校的实施情况，恳请大家提出宝贵的意见。一、课程定位与目标数学是科学和技术的基础，是中等职业学校学生必修的一门基础文化课，对电子专业来说更是为专业课程学习提生产和生活实际问题是“工具课”，对提升学生的职业文化素养极为重要。 1、课程定位（1）基础课：是学习电气技术应用专业课程的基础，为专业课程的学习做必要的准备。（2）工具课：为专业课程提供计算和分析工具，解决生产和生活中的实际问题。（3）文化课：为学生更好地适应社会生活和升入高一级学校学习提供必备和数学文化知识。为了更好地开展课程教学，我们在应届电子专业学生进行了学情调查，结果显示：（4）学生现状：由于大部分中职生对数学的学习兴趣不高，数学基础薄弱，知识储备不足，学习能力偏低，要实现“具备基础理论知识及较高职业技术能力的初、中级应用型专门人才”的专业培养目标，《数学》课程承担着艰巨的教学任务，可以说是决定学生专业成长的引擎。 2、课程目标综合以上情况，为使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础”这一根本任务，我们拟定了以下课程目标：（1）知识目标：通过本课程学习，使学生在九年义务教育的基础上，进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识，即掌握数学的基本概念、基本理论和基本运算。具备高中生的基本运算能力和数学分析方法。（2）能力目标：通过本课程学习，培养学生的计算技能、数据处理技能和数学建模能力，以培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力、自主学习和交流协作能力，全面提升职业核心能力。（3）素质目标：通过本课程学习，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神、踏实细致、严谨科学的学习习惯，和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力及团结合作精神二、课程内容与设计为了实现教学目标，本着数学课程为专业服务的原则，在选取教学见容时有意识的为专业应用打下伏笔， 1、课程内容设计理念（1）、根据专业需求选择教学内容

新版数学物理方程学习指导书第4章分离变量法

第4章分离变量法物理学、力学和工程技术等方面的许多问题都可归结为偏微分方程的定解问题，上一章我们已初步看到怎样把具体的物理问题表达为定解问题.下面一个重要任务是怎样去解决这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解. 从微积分学得知，在计算诸如多元函数的微分及重积分时总是把它们转化为单元函数的相应问题来解决.与此类似，求解偏微分方程的定解问题也是要设法把它们转化为常微分方程问题，分离变量法就是常用的一种转化手法.本章我们将通过实例来说明分离变量法的步骤和实质.在4.2我们讨论了如何处理第三类齐次边界条件（当然也包括第二类边界条件）.在4.3说明如何在极坐标系下使用分离变量法.在4.4及4.5我们讨论了如何处理非齐次方程及非齐次边界条件的问题，本章的最后还安排了两个较为综合性的例子作为总结. 4.1 有界弦的自由振动为了使读者了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题. 根据第3章所得的结论，讨论两端固定的弦的自由振动，就归结为求解下列定解问题 22222 000,0,0; (4.1) 0, 0;(4.2) (),(). (4.3) x x l t t u u a x l t t x u u u u x x t ?ψ====????=<<>???? ==?? ??==??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的，求解这样的问题，可以运用叠加原理.我们知道.在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件.这就启发我们，要解问题(4.1),(4.2),(4.3)，先寻求齐次方程（4.1)的满足齐次边界条件(4.2)的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件(4.3). 现在我们试求方程(4.1)的变量分离形式(,)()()u x t X x T t =的非零解，并要求它满足齐次边界条件(4.2),式中(),()X x T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数. 由 (,)()()u x t X x T t = 得 2222''()(),()''(),u u X x T t X x T t x t ??==??

分离变量法

<<电磁场与电磁波>>读书报告姓名：学院：学号：专业：题目:分离变量法在求静态场的解的应用成绩：二〇一四年四月 Xxx 工程学院电子工程类

一．引言分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。二．内容 1.分离变量法的特点：分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即

(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程：即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数。由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系当α2=0时，则当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则或当α2 >0时，令α=k x ，则或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+

北邮数理方程课件第三章的分离变量法

第三章分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><

其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8）由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。（3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D

第四章-分离变量法1上课讲义

第四章分离变量法一、分离变量法的精神和解题要领 1．分离变量法的精神将未知函数按多个单元函数分开，如，令 )()()()(),,,(t T z Z y Y x X t z y x u = 从而将偏微分方程的求解问题转化为若干个常微分方程的求解 2．分离变量法的解题步骤用分离变量法求解偏微分方程分4步（1）分离变量：将未知函数表示为若干单元函数的乘积，代入齐次方程和齐次边界条件，得到相应的特值问题和其它常微分方程。（2）求解特征值问题（3）求解其它常微分方程，并将求得的解与特征函数相乘，得到一系列含有任意常数的分离解（如Λ,2,1,=n u n ）。（4）叠加（如∑= n u u ）用初始条件和非齐次边界条件确定系数（即任意常数），从而得到偏微分方程定解问题的解。 3．特征值问题在用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）组成的定解问题，这类问题中的参数，必须依据附有的边界条件取某些特定的值才能使方程有非零解。这样的参数，称为特征值，相应的方程的解，称为特征函数，求解这类特征值和相应的特征函数的问题，称为特征值问题。常涉及到的几种特征值问题：（1）? ??===-'' 0)()0(0)()(l X X x X x X μ 特征值 222l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1 sin )(==n x l n C x X n n π （2）? ??='='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)( l n πμ-=，特征函数 Λ,2,1,0 cos )(==n x l n C x X n n π （3）?? ?='==-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ 特征值 2)21(πμl n + -=，特征值函数Λ,2,1,0 21 sin )(=+ =n x l n C x X n n π （4）?? ?=='=-'' 0)()0(0 )()(l X X x X x X μ

第三章-行波法与积分变换法Word版

第三章行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1）作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2）利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知

). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。二、特征方程、特征线及其应用考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。注：此方法可以推广的其他类型的问题。三、公式的物理意义由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。

高中数学解题方法之分离变量法(含答案)

分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围：定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴

数学物理方法习题

数学物理方法习题一、复变函数 1、填空题（1）函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。（2）ln1=_________. (3)=ix e _________。（4）求积分 dz z z z ?=1 2sin =______ . (5) 求积分=?=1 cos z dz z z _________。 (6) 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 (7).设级数为)21 1 n n n n z z + ∑∞ =（ ,求级数的收敛区域 _________。 (8) 求积分 ?=1z z dz =___________. (9) 求积分 ? =1 z z dz =____________. （10）设f (z)= 9 cos z z , 求Resf (0)= _________。 2、计算题（1）导出极坐标下的C- R 条件： ?????????-=????=???ρρ ?ρρu v v u 11 (2) 己知解析函数的实部u(虚部v)，求此解析函数：

a 、,cos x e u y -= b 、22y x y v +-= c 、 ()y y y x e v x sin cos +=- （3）设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f (z) 的模 ∣f (z)∣为常数，证明 f (z) 在D 内为常数。 (4) 设 f (z) 是区域D 内的解析函数，且f *(z)也是区域D 内的解析函数，则f (z)必常数。 (5) 求函数 f (z)= ) 1(1 2-+z z z 在下列区域 ⅰ) 0<∣z ∣< 1； ⅱ) 1< ∣z ∣<∞ 的Laurent 展开。 (6)求出下列函数的奇点,并确定它们的类别 a 、z z cos sin 1 + b 、z z e 1 - c 、 n n z z +12 n 为正整数. (7) 求下列积分 a 、 ,)1(sin 0 2dx x x x ?∞ + b 、 ? =? ?? ? ? -2 2 2sin z dz z z π c 、b 且a b a dx x bx ax ≠≥≥-?∞ ,0,0,cos cos 0 2 d 、 ? ∞ ++0 2 2sin cos dx a x x x x a ω

电磁场理论复习题(含答案)

第1~2章矢量分析宏观电磁现象的基本规律 1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A ρ ，则M （1，1，1）处 A ρ= ，=??A ρ 0 。 2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2 +++=ρ，则在M （1，1，1）处=??A ρ 9 。 3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A ρ ），则必须同时给定该场矢量的旋度及散度。 4. 写出线性和各项同性介质中场量D ρ、E ρ、B ρ、H ρ 、J ρ所满足的方程（结构方程）：。 5. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为和。 6. 设理想导体的表面A 的电场强度为E ρ、磁场强度为B ρ ，则（a ）E ρ、B ρ 皆与A 垂直。（b ）E ρ与A 垂直，B ρ 与A 平行。（c ）E ρ与A 平行，B ρ 与A 垂直。（d ）E ρ 、B ρ皆与A 平行。答案：B 7. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H ==r r r r （B ）1212 , n n n n E E H H == (C) 1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C 8. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E e E y -=ρ ，其中0E 、ω、β为常数。则空间位移电流密度d J ρ （A/m 2）为：（a ） )cos(?0βz ωt E e y - （b ） )cos(?0βz ωt ωE e y - ???222x y z e e e ++A ρ ??A ρ??E J H B E D ρ ρρρρρσ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=??ρρt J ?ρ?-=??ρ

用分离变量法解常微分方程

用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.

解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，分离变量，解得 c y x =+22 2 ，其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型: 2.1齐次方程形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+，图1

电子科学与数学的关系

电子科学与数学的关系首先呢，作为一名理工科的学生，数学是我们必学的科目。在大学里的数学课分为高等数学和线性代数两部分，同时数学物理方法作为我们这一专业的必修课也与数学密切相关。电子信息工程是一门应用计算机等现代化技术进行电子信息控制和信息处理的学科，主要研究信息的获取与处理，电子设备与信息系统的设计、开发、应用和集成。高等数学是电子信息工程专业的一门重要基础课，该课程由一元微积分、多元微积分、付里叶级数、常微分方程等组成，通过该课程的学习，使学生掌握高等数学的基本理论，计算方法和技巧及解决实际物理问题的能力。专业数学本课程主要为专业课程提供必要的数学工具。内容包括线性代数、概率论、数理统计和积分变换。根据大学课程设置，我们电子学的专业课开课是相当晚的，有的学科大一就有专业课。可是电子的大三还是专业基础课，说明我们的专业基础知识要求较高，这其中当然是数学知识最为重要了。而数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学家们拓展这些概念，为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理。数学属性是任何事物的可量度属性，即数学属性是事物最基本的属性。可量度属性的存在与参数无关，但其结果却取决于参数的选择。例如：时间，不管用年、月、日还是用时、分、秒来量度；空间，不管用米、微米还是用英寸、光年来量度，它们的可量度属性永远存在，但结果的准确性与这些参照系数有关。数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。简单地说，是研究数和形的科学。由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。基础数学的知识与运用总是个人与团体生活中不可或缺的一块。同时

概率论与数理统计在电子专业的应用

概率统计在电子专业的应用姓名：储东明学号：1305062023 专业班级：电子信息工程成绩：教师评语：

论概率统计在电子专业中的应用概率论与数理统计是一门十分重要的大学数学基础课,也是唯一一门研究随机现象规律的学科,它指导人们从事物表象看到其本质.的概率论与数理统计学实际应用背景很广范。正如世界知名概率学家、华裔数学家钟开莱于1974年所说：“在过去半个世纪中，概率论从一个较小的、孤立的课题发展为一个与数学许多其它分支相互影响、内容宽广而深入的学科。”概率论与数理统计学应用于自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理、军事和工农业生产等领域.经过不断的发展,学科本身的理论和方法日趋成熟,在社会生活中,就连面试、赌博、彩票、体育和天气等等也都会涉及到概率学知识。近年来,概率统计知识也越来越多的渗透到诸如物理学、遗传学、信息论等学科当中。尤其在电子信息通信方面尤为重要，甚至是通信原理的基础课程。可以说,概率统计是当今数学中最活跃,应用最广泛的学科之一。在此文中，进一步讨论概率统计在电子信息方面的应用。概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理及实验中有着广泛的应用，通信工程中信号的接收和发射，都需要概率论与数理统计学的理论作为基础。因为，信号是信息的载体。信号源的输出都是随机的，怎样在随机信号中找出我们所需要的信息，就需要使用统计方法来描述。同时，对于接收者来说怎样从一个不缺定或不可预测的信号中获取我们所需要的信息，仍然需要再次利用统计学中的知识。根据概率论与数理统计中的知识所描述，事件的概率就是对于一次随机试验E，S是它的样本空间，那么对于随机试验E中的每一个

用分离变量法解常微分方程

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克* 用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解.

解：(1)变形且分离变量：），，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ，得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1 法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='，

北邮数理方程课件第三章分离变量法

第三章分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为

x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题

数学物理方程第三章行波法与积分变换法

第三章行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1）作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2）利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ，利用(3)第一式可得

.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。例求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(，从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2

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