有限元复习问题

1.有限元程序设计的基本原理是什么？

实际上就是最小势能原理，不同之处，即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。

2.有限元程序的具体实现步骤？请以杆系结构为例子进行阐述说明。

Ansys 步骤：1进入ANSYS ；2设置计算类型；3选择单元类型；4定义材料参数；5定义截面；6生成几何模型；7网格划分；8模型施加约束；9分析计算；10结果显示；11退出系统。

3.你所了解的有限元软件都有哪些？

Ansys/abuqe/markd 等

4.计算力学涉及哪些领域？

计算力学的应用范围已扩大到固体力学、岩土力学、水力学、流体力学、生物力学等领域。

5.解决计算固体力学的静力问题都有哪些常用方法？

在固体力学领域应用最广泛的数值方法是有限元法，其他数值方法还有有限差分法、加权残量法、边界元法、有限条法、自由网格法等 。

6.为什么要采用有限元方法来解决工程问题？与常规解析方法有什么不同？

运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。

7.从物理模型到有限元求解结果，中间存在哪些可能误差？

有限元分析是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的)近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件)，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

按位移法求解的有限元法中，应力解答的精度要小于位移解答精度的原因：

应用位移元进行有限元分析时，未知场函数是位移，从系统平衡方程解得的是各个结点的位移值。 {}{}{}{}{}{}{}{}{}e e B D D B αεσαε===,

而应变矩阵{}B 是插值函数{}N 对坐标进行求导后得到的矩阵。求导一次，插值多项式的次数就降低一次。所以通过导数运算得到的应变{}ε和应力{}σ精度较位移{}u 降低了，即利用以上两式得到的应变和应力的解答可能具有较大的误差。应力解的误差表现于：①单元内部不满足平衡方程②单元与单元的交界面上应力一般不连续③在力的边界上一般不满足力的边界条件

用非协调单元反而比协调单元精度高的原因：

单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的{}K 较小。

8.有限元分析的两种典型力学模型是什么？我们目前常用的模型是哪类？

集中参数模型（弹簧—质点体系）、基于连续力学模型（梁、桁架、板壳）

9.杆系结构包括那些类型？哪些结构可以采用杆系结构模拟，请举例说明。

用杆件相互连接组成的几何不变体系。如连续梁、桁架、刚架、拱、悬索结构、网架结构等。

10.有限元法的基本思路？

有限元方法的基本思路：在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。

有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变

的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正； ⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。

11.掌握直接刚度法，掌握单元刚度矩阵合成整体刚度矩阵，掌握子块搬家。

12.能够采用直接刚度法求解简单的桁架结构受力。

作业一（去年考题）P99 P105

13.掌握桁架单元的整体坐标和单元坐标的转换过程。

作业一（去年考题）P99 P105

14.势能，应变能和外力功之间的关系是什么？

势能=应变能-外力功

15.求解数学模型的三种模式？

强形式：偏微分方程+边界条件；

弱形式：加权余量法、迦辽金法；

变分形式：瑞利-里兹法

16.了解加权余量法的基本概念和实现流程，掌握迦辽金法（Galerkin 加权残值法）的计算。

加权余量法求解流程：1.初步选取尝试函数、构造近似解2.结合问题的边界条件对尝试函数进行修正，以简化求解3.写出加权余数表达式（迦辽金方法选取加权函数）4.令权余数表达式在各尝试函数下为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解。

迦辽金法（Galerkin 加权残值法）：作业二第1题，P56。

17.了解变分原理的基本概念。

18.弹性力学对应的变分原理是什么？我们常用的是哪一种？

弹性力学对应的变分原理是能量法，具体有最小势能原理和最小余能原理，其中最小势能原理用于位移法，是以位移作为基本的未知数；最小余能原理用于力法，以应力作为基本未知数求解。目前常用的是最小势能原理。

19.什么是最小势能原理，其表述？

设有满足位移边界条件BC （u ）的许可位移场，其中真实的位移场i u ^使物体的总势能取最小值，即：])([min ^

)(^W U u i u BC u i -=∏∈ 20.了解最小势能原理的变分基础，掌握杆系以及梁单元的变分原理及其推导过程

P65（作业二）。

1、杆单元，左边固定，右边施加一集中力

考虑到许可位移场的性质，它事先已满足位移边界条件，因此在位移边界上，它的微分增量为零，即

由变分方法，对泛函取极值，令=0δ∏

是变分增量，具有任意性，要是上式恒满足，则有：

由于u

2、受均布外荷载简支梁的平面弯曲问题

该问题的最小势能原理，其数学变分提法为：设有满足位移边界条件的许可位移场函数v’(x)，其中真实的一组v’(x)使得以下泛函取极小值，即

21.了解一般弹性问题的最小势能原理的变分过程。

P67

22.求解弹性问题，采用微分形式和积分形式有哪些不同之处？最常用的是哪种形式？

求解过程、函数的要求及形式、泛函形式、技术关键、难易程度、求解精度、方程的最后形式、方法的规范性、方法的通用性、解题范围不同。由于工程问题非常复杂，要求所采用的方法具有较好的规范性、较低的难度、较低的函数连续性要求、较明确的物理概念、较好的通用性。而基于最小势能原理的积分形式求解方法具有较明显的综合优势。

23.虚功原理的概念？

变形体中满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零，即0=?-?B B A A P P 。

24.纯弯梁的假设？

当杆件受一对方向相反、作用面位于杆的纵向对称平面内的力偶作用时，杆件将发生弯曲变形，受弯杆件常简称为梁。梁发生纯弯时，其横截面上只有弯矩一种内力。根据平截面假定，梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍垂直于挠曲后的梁轴线。

25.什么是铁木辛柯梁，与经典梁的区别？

铁木辛柯梁：位移挠度的一阶导数连续，如果对挠度函数和截面转角进行独立插值，并且考虑剪切变形的影响，这样所构造出来的梁单元。

普通梁未考虑剪切变形的影响，而铁木辛柯梁考虑了剪切变形的影响，并对挠度函数进行独立插值。铁木辛柯梁的挠度值包含了弯曲和剪切引起的变形，且长细比越小，对剪切变形的影响越大。

26.什么叫做剪切闭锁，可以采用什么方法处理和避免？

剪切闭锁：除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则，dw/dx-ψ不会为零。

避免产生剪切闭锁的方法：减缩积分、假设剪切应变、替代插值函数。

27.单元的刚度存储有哪些方法？掌握半带宽的计算。（去年考）

带宽：反应非零数据集中程度的一个指标。

半带宽存贮法 ：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。

半宽带的计算：

=(i +1)i d λ?第个单元中节点编号的最大差值

则整体刚度矩阵的最大半宽带为

=max{} (i=1,2,3,4,)i i

d d n ??? 对于2D 问题，=2λ，对于3D 问题，=3λ

28.平面三节点三角形单元的特性？与四边形相比，其精度如何？

三节点三角形单元：是常应变单元，应变矩阵和应力矩阵为常数，对于应变梯度较大的区域，单元划分应适当密集，否则不能反映出应变的真实变化，从而导致较大的误差。而四节点矩形单元，其应变和应力为一次线形变化，这种单元的位移模式是完备和协调的，因而比三节点常应变单元的精度高。

29.三角形单元刚度矩阵的性质，整体刚度矩阵的性质。

单元刚度矩阵[k]的性质：①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义例如，k ij 表示单元第j 个自由度产生单位位移(j=1)，其他自由度固定（=0）时，在第i 个自由度产生的节点力F i ；②每一行或每一列元素之和为零；③对称矩阵；④奇异矩阵，即[k]的行列式为零；⑤常量矩阵。

K ij 的物理意义是：表示仅第j 个自由度发生单位广义位移时所引起的第i 个自由度广义力，它反应了单元抵抗变形的能力。由于刚体位移不引起内力，因此同一行或同一列的系数之和为零。

整体刚度矩阵[K]的特性：①对称性；②K ii >0；③稀疏；④带状矩阵；⑤奇异；⑥正定；⑦各列相加等于零。

K ij 的物理意义是：结构第j 个自由度发生单位广义位移而其他自由度位移分量皆为零时所引起的第i 个自由度结点位移方向上结点力的大小。

30.掌握三角形单元刚度矩阵的计算，掌握三角形等效节点力的计算。

31.掌握总刚集成。

32.掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。

位移函数u：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。

形函数N：是用单位结点位移分量来描述位移函数的插值函数。

二者关系式：()=()e

u x N x q

33.选择单元位移函数需要满足的条件有哪些？

选择单元位移函数应满足一下条件：

1）反映单元的刚体位移与常量应变。

2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离

34.什么是C0阶和C1阶问题？

C0型单元：指在泛函（势能）中位移函数出现的最高阶导数是1阶，在单元交界面上具有0阶的连续导数，即节点上只要求位移连续。一般的杆单元、平面问题单元、空间问题单元都是C0型单元。

C1型单元：指在泛函（势能）中位移函数出现的最高阶导数是2阶，在单元交界面上具有1阶的连续导数，即节点上除要求位移连续外，还要求1阶导数连续。梁单元、板单元、壳单元都是C1型单元。

35.掌握基于自然坐标的矩形单元形函数的推导。

线性矩形单元，沿着12

线性矩形单元，沿着43,

沿着y轴平行线：

同理：

若原点坐标为，则有：

36.了解基于面积坐标的三角形单元高阶形式的推导。

见书146

37.了解serendipity单元形函数构造。

尽量在边界上增加节点的单元叫做serendipity单元，P257

38.可以采用哪些方法提高有限元的计算精度？不同单元连接时需要注意哪些问题？

1、提高计算分析精度方法：h方法、p方法、r方法、自适应方法及组合方法h-p adaptive。

①、h方法：不改变各单元上基底函数的配置情况，只通过逐步加密有限元网格来使结果向正确解逼近。

②、p方法：保持有限元的网格剖分固定不变，增加各单元上基底函数的阶次，从而改善计算精度。

③、r方法：不改变单元类型和单元数目，通过移动节点来减少离散误差，因而，单元的总自由度保持不变。

④、自适应方法：运用反馈原理，利用上一步的计算结果来修改有限元模型，其计算量较小，计算精度却得到显著提高。

2、不同单元连接时需要注意：

①、单元之间不能没有连接；

②、连接要协调，两节点的边不能与三节点的边相连接；

③、边节点不能与角节点连接。

39.掌握等参单元的基本概念。

等参元：几何形状函数矩阵N中的插值阶次=位移形状函数矩阵N中的插值阶次。（超参元“>”，亚参元“<”）

40.掌握雅可比矩阵的计算，掌握等参单元等效节点力的计算。

作业6（去年考题）

41.掌握等参变换的条件。

对于两个坐标系，即物理坐标系（x，y）和基准坐标系(ξ,η)，若要进行一对一的变换，其条件是雅可比行列式∣J∣≠0，等参单元的变换作为一种坐标变换也必须服从此条件。因为如果∣J∣=0，基准坐标系(ξ,η)中的面积微元将对应于物理坐标系（x，y）的一个点，显然这种变换不是一一对应的。另外因为∣J∣=0，J-1将不成立，所以两个之间偏导数的变换式也就不可能实现。

42.如何确定高斯积分的阶数？为何高斯积分点上的精度最高？

通过数值分析和测试确定合理的高斯积分的阶数。积分的阶数对精确性、计算时间和消耗具有很大影响，选取合理的高斯积分通常基于：精确性和非奇异矩阵non-singular[K]

43.为何有时采用降阶积分？掌握保证刚度矩阵为非奇异矩阵的最小高斯积分阶数的计算。

在以下2种情况下，采用低阶规则（降阶积分）：1）较少的点，较少的计算消耗2）低阶规则可以软化单元。高阶单元给应变能的贡献可以在低阶单元中消除，减轻了基于最小势能原理得到的整体

刚度（整体位移区域内）。

44.什么叫做零能模式？为什么会产生零能模式？

在完全零位移状态下存在的附加变性能，即为零能模式。

既要使得K s e具有奇异性，以解决剪切自锁问题，又要保证整体刚度矩阵K是非奇异的，以避免出现零能模式。

45.常见的钢筋混凝土有限元模拟钢筋和混凝土的组合模式有哪些？各有哪些特点和适用情况？

常用的钢筋混凝土有限元组合模式：分离式模型、组合式模型、整体式模型。

分离式模型：分离式钢筋—混凝土组合模型是目前最常用也是最直接的实现方法。便于考虑钢筋与混凝土之间的粘结滑移，便于考虑非常不规则的配筋，前处理略为复杂，有应力集中问题存在。

组合式模型：分层组合模型（多用于杆件系统），基于平截面假定。组合式单元的精度在分离式和整体式模型之间，并可大大降低结构中单元总数，有时可以减少前处理难度（比分离式模型），对于非规则单元，实现有一定难度，在MARC，ABAQUS等有限元程序中都集成有组合式钢筋单元。

Solid65单元中的破坏准则：采用Willam&Warnke五参数破坏准则；需要参数：单轴抗拉强度，单轴，双轴抗压强度；围压压力，在围压作用下的双轴，单轴抗压强度。