高三数学共线向量与共面向量

共线向量与共面向量-高中数学知识点讲解

共线向量与共面向量 1．共线向量与共面向量 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行 → 向量，记作 ? ∥ → → ?．0与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 → → → → 对于空间任意两个向量 ?、?（? ≠ 0），? ∥ → → → ?的充要条件是存在实数 λ，使得? = ??． （2）共面向量定理 → → → → → → 如果两个向量 ?、?不共线，则向量?与向量?、?共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x ，y ），使得? = ? → → ? +??． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： → → （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数 λ，使? = ??成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具 → → → 体图形，通过化简、计算得出? = ??，从而? ∥ → ?． → （2）? ∥ → → → ?表示?与?所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过 程中注意直线与向量的相互转化． → → →

（2）空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使??=???+???．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内，反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面． 1/ 3

证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 【命题方向】 1，考查空间向量共线问题 →→→ →例：若 ?=（2x，1，3），?=（1，﹣2y，9），如果?与?为共线向量，则（） A．x＝1，y＝1 B．x =1 2 ，y =― 1 2C．x = 1 6 ，y =― 3 2D．x =― 1 6 ，y = 3 2→→ 分析：利用共线向量的条件?=??，推出比例关系求出x，y 的值． →→ 解答：∵?=（2x，1，3）与?=（1，﹣2y，9）共线， 2?故有 1= 1 ―2?= 3 9 ． ∴x =1 6 ，y =― 3 2 ． 故选C． 点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题． 2．考查空间向量共面问题 例：已知A、B、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A、B、C 一定共面的是（） →A．??= → ?? + → ?? + →→→ ??B．??=2??― → ??― → → ?? C．?? = → ?? + 1 2 → ?? + 1 3 → → ?? D．?? = 1 3 → ?? + 1 3 → ?? + 1 3 → ??→ 分析：根据共面向量定理??=?? → ?? +? ? → ?? +? ? → ??，?+?+?=1，说明 M、A、B、C 共面，判断选项的正 误． → 解答：由共面向量定理 ??=?? → ??+? ? → ??+? ? → ??，?+?+?= 1， 说明M、A、B、C 共面，