傅里叶变换光学系统

傅里叶变换光学系统

组号 4 09光信 王宏磊 09327004

（合作人： 刘浩明 杨纯川）

一、实验目的和内容

1、了解透镜对入射波前的相位调制原理。

2、加深对透镜复振幅、传递函数、透过率等参量的物理意义的认识。

3、观察透镜的傅氏变换（FT ）图像，观察4f 系统的反傅氏变换（IFT ）图像，并进行比较。

4、在4f 系统的变换平面（T ）插入各种空间滤波器，观察各种试件相应的频谱处理图像。

二、实验原理

1、透镜的FT 性质及常用函数与图形的关学频谱分析

力。图1 在该点的厚度。设原复振幅分布为(,)L U x y 其复振幅分布受到透镜的位相调制，附加了一个位相因(,)x y ?后变为(,)L U x y '：

图1

(,)(,)exp[(,)]L L U x y U x y j x y ?'= （1） 若对于任意一点（x ，y ）透镜的厚度为(,)D x y ，透镜的中心厚度为0D 。光线由该点通过透镜时在透镜中的距离为(,)D x y ，空气空的距离为0D －(,)D x y ，透镜折射率为n ，则该点的总的位相差为：

00(,)[(,)](,)(1)(,)x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （2）

（2）中的k ＝2π/λ，为入射光波波数。

用位相延迟因子(,)t x y 来表示即为：

0(,)exp()exp[(1)(,)]t x y jkD jk n D x y =- （3） 由此可见只要知道透镜的厚度函数(,)D x y 就可得出其相位调制。在球面镜傍轴区域，用抛物面近似球面，可以得到球面透镜的厚度函数为：

22012

111(,)()()2D x y D x y R R =-+- （4） 其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。引入焦距f ，其定义为： 12

111(1)()n f R R =-- （5） 代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j

x y f =-+ （6） 式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)L U x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。

从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。第二项22exp[()]2k j x y f

-+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。而且与透镜的焦距有关。当考虑透镜孔径后，有： 22(,)exp[()](,)2k t x y j x y p x y f

=-+ （7） 其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为：

1(,)0p x y ?=?? 孔径内 其 它

（8）

2、透镜的傅里叶变换性质

在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。

如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。

图2 透镜的傅里叶变换性质 设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)f f E x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。由于透镜的相位调制特性，输出平面与输入平面出光波场之间的关系由下式决定： 221111E (,)E(,)exp[()]2k x y x y i x y f

'=-+ （9） 而从透镜输出平面到像方焦平面，光波相当于经历一次菲涅耳衍射。夫朗和斐近似下观察到平面上的衍射光场复振幅 ： 2222100111111()()2()0011111(,)E(,)iz iz

ikz x y x y z z i z ux vy e E x y e x y e e dx dy i z λλλ+∞++-+-∞=?? ＝221001()22111111{E(,)exp[()]}iz

ikz x y z e e F x y i x y i z z λπλλ++ （10） 式中u 和v 分别表示1x 和1y 方向的空间频率。于是由（9）和（10）式，透镜像方焦平面上的光波场复振幅(,)f f E x y 分布应具有如下形式： 222221111(,){E (,)exp()}2f f x y ikf ik f f f x y e E x y e F x y ik i f f

λ++'= ＝22211{E(,)}f f x y ikf ik f e e F x y i f λ+ （ ,f f

x y u v f f λλ== ） （11）

在单位振幅的平面波垂直照射下，透镜衍射屏的光波场复振幅分布(,)E x y 即等于衍射屏的透射系数(,)t x y ，故其频谱分布为：

{(,)}{(,)}(,)F E x y F t x y T u v == （12）

该频谱分量从衍射屏传播到透镜的输入平面处，产生一个相位延迟(,,)u v z ?，即有：

(,)(,)exp[(,,)]E u v T u v i u v z ?= （13） 在傍轴条件下(,,)u v z ?具有如下的形式： 222(,,)()2

k u v z kz z u v ?λ=-+ （14） 由此可以得到透镜输入平面处光波场的频谱分布为： 22211{(,)}(,)(,)exp[()]2k F E x y E u v T u v ikz i

z u v λ==-+ （15） 代入（11）得透镜像方焦平面处的广场分布为： 222222(,)exp[()](,)2f f x y ikf ik f f f e k E x y e ikz i

z u v T u v i f λλ+=-+ ＝22()

(1)2(,)f f

x y z ik z f ik f f e e T u v i f λ++- （,f

f

x y u v f f λλ==） （16）

从上式可以看到，在单色平面波垂直照射下，透镜像方焦平面处的光场除了一个常数因子外和一个二次因子外，其余的反应了衍射屏透射系数得傅里叶变换。经过进一步的分析我们可以得到在用透镜对二维关学图像进行傅里叶变换时，若将图像放置在透镜的物方焦平面上，则在透镜的像方焦平面上得到输入图像准确的傅里叶变换。若将输入图像放置在透镜与其像方焦平面之间，则像方焦平面上频谱图样的大小可随衍射屏到像方焦平面的距离的变化而改变；并且当输入图像紧贴透镜后放置时可获得最大的频谱图样。而对于球面波照射时，傅里叶变换平面将不是在透镜的像方平面。而是光源的共轭像平面上。

3．透镜孔径的衍射与滤波特性

由于孔径的衍射效应，任何具有有限大小通过光孔径的光学成像系统，均不存在如几何光学中所说的理想像点。所谓共轭像点，实际上是由系统孔径引起的，以物点的几何像点为中心的夫琅和斐衍射图样的中央亮斑——艾里斑。其次，透镜有限大小的通光孔径，也限制了衍射屏函数的较高频率成分（具有较大入射倾角的平面波分量）的传播。这可以从图3可以看出：

图3：透镜孔径引起渐晕效应

透过衍射屏的基频平面波分量1可以全部通过透镜，具有较高（空间）频率的平面波分量2只能部分通过，而高频平面波分量3则完全不能通过。这样，在透镜像方焦平面上的光波场中就缺少了衍射屏透射光场中部分高频成分，因此，所得衍射屏函数的频谱将不完整。这种现象称为衍射的渐晕效应。由此可将，从光信息处理角度来讲，透镜孔径的有限大小，使得系统存在着有限大小的通频宽带和截止频率；从光学成像的角度来讲，则使得系统存在着一个分辨极限。

4．相干光学图像处理系统（4f 系统）

用夫琅和斐衍射来实现图像的频谱分解，最重要的意义是为空间滤波创造了条件，由于衍射场就是屏函数的傅里叶频谱面，空间频率（u ，v ）与衍射场点位置（,ξη）一一对应，使得人们可见从改变频谱入手来改造图像，进行信息处理。为此，设计了图4所示的图像处理系统。

图4 4f 图像处理系统

在此系统中，两个透镜1L 、2L 成共焦组合，1L 的前焦面（x ，y ）为物平面O ，图像由此输入，2L 的后焦面(',')x y 为像平面I ，图像在此输出。共焦平面（,ξη）称为变换平面T ，在此可以安插各种结构和性能的屏（即空间滤波器）。

当平行光照射在物平面上时，整个OTI 系统成为相干成像系统。由于变换平面上空间滤波器的作用，使输出图像得以改造，所以OTI 系统又是一个相干光学信息处理系统。这里先研究它的成像问题。

我们将相干光学系统的成像过程看作两步：第一步，从O 面到T 面，使第一次夫琅和斐衍射，它起分频作用。第二步，从T 面到I 面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合频谱输出图像。在这样的两步中，变换平面T 处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。要想作到图像的严格复原，T 面必须完全畅通无阻。此处的4f 系统每次衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。如果光波能够自由通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号, ),(),(01y x U y x U --∝''即图像倒置。在有源滤波器的情况下,001U t U U T ≠=这里为滤波器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。

5. 空间滤波实验

要从输入图像中提取或排除某种信息，就要事先研究这类信息的频谱特征，然后针对它制备相应的空间滤波器置于变换平面，经过第二次衍射合成后，就可以达到预期的效果，光信息处理的原理也就是基于如此。

三、实验内容与实验步骤:

（一）透镜的FT性质及常用函数与图形的光学频谱分析

图7 4f光学FT系统光路图

傅里叶变换光路装置系统：

实验用具：激光器、准直透镜、傅里叶透镜、傅里叶变换试件、频谱处理器、CMOS光电接收器。

激光经定向孔3，5定向，透镜8，9，11扩束，经30透射29中FT试件。试件可选位于FT透镜26之前后、之后、前焦面等处，在透镜后焦面前后寻找试件频谱，成像显示于计算机上。

根据以下步骤操作：

1.开启电脑，运行csylaser软件。

2.将各个光学元件粗略按照光路固定在实验平台上。

3.打开激光器，激光器从低档到高档迅速起辉，待激光光强稳定后，再调制低档，打开压电陶瓷电源。用激光束作为参考，调整好光路，并调整好各个元件距离。

4.在未插入FT插件的情况下，前后移动CCD，使csylaser窗口的光斑最小, 调节衰减器使光强大小适中。

5.插入FT插件。

实验中，可以在屏幕中隐约看见csylaser的窗口上的傅里叶变换图像，但图像比较模糊,如图8所示:

图8 傅立叶变换图像

分析实验的操作过程，我们觉得影响成像质量的原因有：

1、光路是否共轴，还有就是在通过透镜时，是否通过透镜的中心，因为光通过透镜不同

的地方，因为透镜的厚度不同，从而使得位相调制函数不同，而影响成像效果。

2、光通过傅氏透镜的中心后，能够将亮斑完全照射到CCD传感器上，使得图像完整。

3、影响成像质量的另一个原因就是CCD传感器与傅氏透镜的距离了，因为我们在对比后

发现将试件紧贴傅氏透镜放置，这样得到的是最好的频谱图像。但是在实验中由于仪器的原因，CCD传感器不能紧贴傅氏透镜放置，在一定程度上影响图像的清晰度，

4、由于实验仪器的局限，实验中仪器的摆放位置上发生变动，导致不共轴，或者角度或

距离发生改变，导致光路发生改变，实验图像模糊。

5、实验中其他光源的干扰，CMOS的分辨率有限

（二）4f光学IFT系统

图9 4f光学IFT系统光路图

根据以下步骤操作：

1、激光扩束。由透镜8和11组成的光路完成。本实验前已完成激光扩束，因此这一步可

以不作。如激光扩束后明显偏离水平方向传播，则可以通过调节反射镜6，7和10的倾斜度使激光束在水平方向传播。

2、将FT插件插入透镜的物方焦面上。

3、按照图中位置插入两个三角棱镜，插入透镜20（20和26的焦距均为f），使20和26

之间的光程为2f。

4、移动CCD，使CCD位于20的像焦面处，这时在csylaser窗口中出现FT插件上放大的图案。移动FT插件，使图案位于窗口的中间。

光路调制好以后，我们可以在显示屏上较清晰的看到 csylaser窗口的傅里叶反变换图像，但是倒立的,图像如图10所示:

图10 反傅立叶变换图像

5、在看见“小飞机”的情况下，放入空间滤波器，空间滤波器的位置需放在傅里叶变换透镜与傅里叶反变换透镜焦点重合处，否则将不能出现空间滤波情况。结果在电脑上可以看到“小飞机”的图像一些地方变得模糊，一些地方变得更亮。这说明插入的空间滤波器起到了选频的作用，使得一部分输出被抑制了，一部分得到加强。这为我们进行光信息处理提供了实现的可能。实验中，我们分别插入点阵和横条纹作为频谱处理器，得到的反傅立叶变换图像如图11和图12所示：

图11 反傅立叶变换图像（插入低通滤波片）

图12 反傅立叶变换图像（插入高通滤波片）

在进行反傅里叶变换的时候，影响成像好坏的另一个原因就是保证4f 系统的成立，即器件与傅氏透镜 、傅氏透镜与频谱处理器、频谱处理器与反傅氏透镜、反傅氏透镜与CCD 传感器之间的距离相等且等于傅氏透镜的焦距 f 。正是由于实验室仪器在这方面的不足，实验中我们很难找到这个准确的距离f ，所以得到图像都比较模糊。

四、实验思考题

1、 透镜相位调试表达式的物理含义

答：（2）式中的相位调制因子(,)L x y ?的表达式可以单从几何光学简单推出来： 00(,)[(,)](,)(1)(,)L x y k D D x y knD x y kD k n D x y ?=-+=+- （4）

其中k 是某频率光波的波矢量，n 是透镜折射率，0D 是透镜中心厚度，(,)D x y 是透镜上各个点的厚度。上式有很明显的物理含义，由于透镜的厚度是位置（x,y ）的函数，使得通过透镜平面不同点的光经过的光程是不同的。我们计算光线通过以0D 为厚度的圆柱体时通过的光程，这个光程分为两个部分：一部分是在透镜玻璃中的光程，即上式中的(,)nD x y ；另一部分则是光线在空气中的光程，即上式中的

0(,)

D D x y

（设空气折射率为1）。这两个光程之和乘以波矢k就是透镜各个点造成光波的相位延迟。

2、光信息处理的大概原理是什么？为何用白光做光源却能得到彩色图象？如何实验物

像的反衬度反转？

答：阿贝在研究显微镜成像问题时，提出了一种不同于几何光学的新观点，他将物看成是不同空间频率信息的集合，相干成像过程分两步完成，第一步是入射光场经物平面发生夫琅禾费衍射，在透镜后焦面上形成一系列衍射斑；第二步是各衍射斑作为新的次波源发出球面次波，在波面上互相叠加，形成物体的像．将显微镜成像过看成上述两步成像过程，这称为阿贝成像原理。它不仅用傅里叶变换阐述了显微镜成像的机理，更重要的是首次引入频谱的概念，启发人们用改造频谱的手段来改造信息。

根据阿贝成像原理，我们要对一个物体进行光信息处理，首先是要得到它的空间频谱图。这一步可以利用透镜的傅立叶变换性质，构造一个或者多个透镜系统，然后在第一个透镜的物方焦平面上放置衍射屏（要处理的图像），在它的像方焦平面上会得到源图像频谱分布图。我们可以通过在变换频谱面T上放置各种滤波器来改变原来图象，并再一次通过另一个同样的傅立叶透镜系统，在第二个透镜的像方焦平面上就会出现经过改造后的图象了。同样的，我们可以将要进行处理的光信息进行快速傅立叶变换得到信息的频率分布，通过对频谱进行改造来改造信息，这就是是信息光学处理的大概原理。

因为白光是由各种频率的光合成的，经过衍射屏产生衍射时，不同频率的光分量在屏上同一个点产生的衍射是不同的。于是，经过透镜的变换作用，最后屏上显现的物体的倒像上的各个点并不是具有所有的频率分量，而是因为缺乏某些频率分量而无法维持原来的白色，从而就会出现彩色图像了。

用不插入频谱处理器得到的图像作为频谱处理器，在4f系统中即可得到物象的反衬度的反转。

3、为什么透镜对通过的光波具有相位调制能力？

答：波动方程、复振幅、光学传递函数透镜由于本身厚度变化，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程不同，即所受时间延迟不同，因而具有相位调节能力。

4、什么较渐晕效应，怎样消除渐晕？

答：渐晕效应是指由于透镜的孔径大小有限，从而造成空间频率高频分量的丢失的

现象。理论上来说，只有透镜的孔径无限大才能完全消除渐晕效应。所以实际系统 总是存在渐晕效应的。从光信息处理角度来说，系统存在有限大小的通频带宽和截至频率；从光学成像上说，系统存在一个极限分辨率。

5、什么叫光学4f 系统？如何使用这一系统作光学信息处理？

答：相干光学图像处理系统即4f 系统。

相干光学系统的成像过程看作两步在图四中：第一步，从O 面到T 面，使第一次夫琅和斐衍射，它起分频作用。第二步，从T 面到I 面，再次夫琅和斐衍射，起合成作用，即综合频谱输出图像。在这样的两步中，变换平面T 处于关键地位，若在此处设置光学滤波器，就能起到选频作用。要想作到图像的严格复原，T 面必须完全畅通无阻。此处的4f 系统每次衍射都是从焦面到焦面，这就保证了复振幅的变换是纯粹的傅里叶变换。如果光波能够自由通过变换平面，即连续两次的傅里叶变换，函数的形式基本复原，只是自变量变号,~~

10(',')(,)U x y U x y ∝--即图像倒置。在有源滤波器的情况下： ~~~100T U U t U =≠.这里为滤波器的透过率函数，这也是我们进行滤波实验的依据。