高中数学必修一模块综合检 测卷

模块综合检测卷

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)

1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则

?U(A∪B)＝( )

A．{3} B．{4}

C．{3，4} D．{1，3，4}

解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，

所以A∪B＝{1，2，3}．

所以?U(A∪B)＝{4}．

答案：B

2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是( )

答案：A

3．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝( ) A．? B．[－1，1]

C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)

解析：A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．

答案：D

4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜

0，x1＋x2＞0，则( )

A．f(－x1)＞f(－x2)

B．f(－x1)＝f(－x2)

C．f(－x1)＜f(－x2)

D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定

解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，

又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，

所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．

答案：A

5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是( )

A．(3，8) B．(－7，－2)

C．(－2，3) D．(0，5)

解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.

答案：B

6．若x∈[0，1]，则函数y＝－的值域是( )

A．[－1，－1] B．[1， ]

C．[－1， ] D．[0，－1]

解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min＝－1，y max＝.

答案：C

7．下列不等式正确的是( )

A.＜＜

B.＜＜

C.＜＜

D.＜＜

答案：A

8．已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )

A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)

C．[1，3] D．(1，3)

解析：f(x)＝e x－1>－1，g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1≤1，若有f(a)＝f(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b2＋4b－3>－1?2－

答案：B

9．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( )

A．－ B．－ C．－ D．－

解析：当a≤1时，f(a)＝2a－1－2＝－3，

则2a－1＝－1不成立，舍去．

当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3.

所以a＋1＝8，a＝7.

此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－.

答案：A

10．设偶函数f(x)＝log a|x＋b|在(0，＋∞)上是单调减函数，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系是( )

A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)＞f(a＋1)

C．f(b－2)＜f(a＋1) D．不能确定

解析：因为y＝log a|x＋b|是偶函数，b＝0，

所以y＝log a|x|.

又在(0，＋∞)上是单调递减函数，

所以0＜a＜1.

所以f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，f(a＋1)中1＜a＋1＜2.

所以f(2)＜f(a＋1)，因此f(b－2)＜f(a＋1)．

答案：C

11．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足

函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )

A．16小时 B．20小时

C．24小时 D．28小时

解析：由题设得e b＝192，①

e22k＋b＝e22k·e b＝48，②

将①代入②得e22k＝，则e11k＝.

当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·e b＝×192＝24.

所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．

答案：C

12．已知函数f(x)＝在R上单调，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，2] B．[2，＋∞)

C．[4，＋∞) D．[2，4]

解析：当x≥1时，f(x)＝1＋为减函数，

所以f(x)在R上应为单调递减函数，

要求当x＜1时，f(x)＝x2－ax＋5为减函数，

所以≥1，即a≥2，并且满足当x＝1时，f(x)＝1＋的函数值不大于x＝1时f(x)＝x2－ax＋5的函数值，即1－a＋5≥2，解得a≤4.

所以实数a的取值范围[2，4]．

答案：D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．2－3，3与log25三个数中最大的数是________．

解析：因为2－3＜1，3＜2，log25＞2.

所以这三个数中最大的数为log25.

答案：log25

14．函数y＝lg 的定义域是__________．

解析：由题知所以2≤x＜4且x≠3.

答案：[2，3)∪(3，4)

15．已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a ＋b＝________．

解析：因为函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.

又f(0)＝＝＝0，所以b＝1.

故a＋b＝2.

答案：2

16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.

解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.

答案：4

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)

17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.

(1)求f(x)；

(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．

解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，

所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．

所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①

4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②

①－②得b＝a＋8.③

③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，

因为a≠0，

所以a＝－3.

所以b＝a＋8＝5.

所以f(x)＝－3x2－3x＋18.

(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3＋＋18，

图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，

所以f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18.

所以函数f(x)的值域是[12，18]．

18．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0，

(1)求F(x)的表达式；

(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．

解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋1，f(－1)＝0，

所以a－b＋1＝0.

又因为对任意实数x，均有f(x)≥0，

所以Δ＝b2－4a≤0.

所以(a＋1)2－4a≤0.

所以a＝1，b＝2.

所以f(x)＝x2＋2x＋1.

所以F(x)＝

(2)因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1，

在[－2，2]上是单调函数，

所以≥2或≤－2，

解之得k≥6或k≤－2.

所以k的取值范围是{k|k≥6或k≤－2}．

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，其定义域为{x|x≠0}．

(1)用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；

(2)利用(1)所得到的结论，求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最

小值．

(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，则x2－x1＞0.

f(x2)－f(x1)＝－＝.

因为x1＜x2，

所以x2－x1＞0.

又因为x1，x2∈(0，＋∞)，

所以x2x1＞0，f(x2)－f(x1)＞0.

故f(x)＝在区间(0，＋∞)上为增函数．

(2)解：因为f(x)＝在区间(0，＋∞)上为增函数，

所以f(x)min＝f(1)＝＝1，f(x)max＝f(2)＝＝.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x m－，且f(4)＝3.

(1)求m的值；

(2)判断f(x)的奇偶性；

(3)若不等式f(x)－a＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)因为f(4)＝3，

所以4m－＝3，

所以m＝1.

(2)由(1)知f(x)＝x－，

其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．

又f(－x)＝－x－＝－＝－f(x)，

所以f(x)是奇函数．

(3)因为y＝x，y＝－在区间[1，＋∞)上都是增函数，

所以f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(1)＝－3.

因为不等式f(x)－a＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，

即不等式a＜f(x)在区间[1，＋∞)上恒成立，

所以a＜－3，

故实数a的取值范围是(－∞，－3)．

21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4(尾/立方米)时，v的值为2(千克/年)；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v的值为0(千克/年)．

(1)当0＜x≤20时，求函数v(x)的表达式；

(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．

解：(1)由题意：当0＜x≤4时，v(x)＝2；

当4＜x≤20时，设v(x)＝ax＋b，显然该函数在[4，20]是减函数，由已知得解得

故函数v(x)＝

(2)依题意并由(1)可得

f(x)＝

当0≤x≤4时，f(x)为增函数，故f max(x)＝f(4)＝4×2＝8；

当4≤x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，

f max(x)＝f(10)＝12.5.

所以，当0＜x≤20时，f(x)的最大值为12.5.

当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．

22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)设g(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，则a2＝9.

所以a＝－3(舍去)或a＝3，

所以g(x)＝3x，f(x)＝.

又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，

则＝0，所以m＝1，所以f(x)＝.

(2)设x1＜x2，则

f(x1)－f(x2)＝－＝.

因为x1＜x2，

所以3x2－3x1＞0，

所以＞0，

所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以函数f(x)在R上单调递减．

要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，

即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．

因为f(x)为奇函数，

所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．

又因为函数f(x)在R上单调递减，

所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，

即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．

而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.