中考复习第15课时 二次函数的图象及其性质(二)
九年级数学讲学稿系列(北师大版 )
中考复习第15课时 二次函数的图象及性质（二）
1. 了解二次函数的平移、对称变换规律。
2.了解二次函数与一元二次方程、不等式的关系。
3.能综合应用二次函数的象与性质解决相关问题。
重点：掌握二次函数图象的平移规律，了解二次函数与方程不等式的关系。.
难点：二次函数综合应用.
知识回顾，讲练结合。
培养学生数学建模思想与数学运算的能力。
一、小试身手：
1.二次函数y =ax 2
问题1：根据表格所提供的数据，该二次函数图象的对称轴为直线__________，顶点坐标为__________； 问题2：二次函数的解析式为_____________； 问题3：判断下列说法是否正确； （1）抛物线的开口向上 ( )； (2)二次函数的最大值是?1
4 ( )；
（3）若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围为x >1 ( )；
（4）若点A(?√2,y 1)，B(√2,y 2)，C(2,y 3)在函数图象上，则y 1 考点一 二次函数的平移与对称 1.平移步骤与规律 考查重点必掌握哦！ 练习： （1）将抛物线y=?3x2向下平移1个单位，向左平移1个单位后，得到新的抛物线表达式为，顶点坐标是______ ，对称轴是_____ 。 （2）将抛物线y=?3x2+1向左平移2个单位，向下平移3个单位后，得到新的抛物线表达为，顶点坐标是______ ，对称轴是。 （3）将抛物次函数y=?3(x+1)2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到新的抛物线表达式为，顶点坐标是______ ，对称轴是。 (4）二次函数y=?3x2+6x-1的图象右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到新的抛物线表达式为，顶点坐标是______ ，对称轴是_____ 。 平移规律：口诀“左加右减，上加下减”。 2.二次函数图象的对称 抛物线y=2x2—8x+3关于x轴对称的抛物线的解析式是_____________；关于y轴对称的抛物线的解析式是_____________；关于原点对称的抛物线的解析式是_____________。 对称规律：见P45 考点二二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.已知二次函数y=?x2+(m?1)x+m （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有公共点. （2）若该函数图象与y轴交于点(0,3)，求出顶点坐标，并画出函数图象。 （3）在（2）的条件下，观察图象： ①不等式?x2+(m?1)x+m>3的解集为_______________； ②若一元二次方程?x2+(m?1)x+m=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是___________； ③若一元二次方程?x2+(m?1)x+m?t=0在?1 ___________。 练习：解题帮P46 典例2, 变式2，典例4 三．课后练习 如图，抛物线E经过A（1，0）,B（3，0）,C（0,3）三点 （1）求抛物线E的解析式； （2）点P是抛物线E的对称轴l上的一个动点，当△PAC-的周长最小时，求点P的坐标； （3）在抛物线E的对称轴l上是否存在点M，使△MAC为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 四、师生互动，总结知识 先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 五、布置作业： A B C层：随堂帮P17中1--4 AB 层做作业帮P23第1--7题 D层:随堂帮P17 1,4 作业帮P23第1，2,3,5题 六．教学反思 第12课时 二次函数的图像与性质（一） 【复习目标】 1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律． 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1） 2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数（1）教案 课 题 §第12课时 二次函数（1） 教学时间 教学目标： 1.掌握二次函数的定义、图像和性质 2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性 3.进一步体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在解题中的作用 教学重点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学难点： 二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 教学方法： 自主探究 合作交流 讲练结合 教学媒体： 电子白板 【教学过程】： 一、知识梳理 1.二次函数：一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系：一般式：__________(a≠0，a 、b 、c 为常数)，则称y 为x 的二次函数。 2.二次函数的解析式三种形式。 一般式：y=ax 2 +bx+c(a≠0)；顶点式:_________________；交点式: __________ __ 3.二次函数图像与性质 二次函数y=ax 2 +bx+c(a≠0)的对称轴是___________；顶点坐标是_______________；与y 轴交点坐标_____________ 4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而_____；对称轴右边，y 随x 增大而_____ 5.二次函数图像画法： 勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 6.图像平移步骤：（1）配方2 ()y a x h k =-+，确定顶点（h ，k ）； （2）沿x 轴：左_____右_____；沿y 轴：上_____下_____ 7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 （1）一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ （2）顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. 复 备 栏 2021年高三数学一轮复习集合与函数第12课时二次函数、幂函数一、考纲要求 内容 要求 A B C 二次函数√ 幂函数√ 三、考点梳理 1、一次函数y=ax+b与二次函数在同一坐标系中的图象大致是________.(填序号) 2、若f(x)为二次函数,且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)的解析式为__________. 3、若函数f(x)＝ax2－6x＋2的图象与x轴有且只有一个公共点，则a＝________. 4、下列命题中正确的是_________ ①幂函数的图象都经过点(1，1)和点(0，0)；②幂函数的图象不可能在第四象限； ③ n=0时，函数的图象是一条直线；④幂函数，当n＞0时是增函数； ⑤幂函数，当n＜0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小. 5、若是幂函数,且满足,则___________. 6、已知幂函数f(x)=x，若f(a+1) ②设，且在上单调递增，求实数的取值范围。 （2）设实数，使得不等式对任意的实数恒成立，则满足条件的实 数的范围是__________. 五、反馈练习 1、设α∈{-1，1，，3}，则使函数y=xα的定义域为R，且为奇函数的所有α值为______________ 2、已知函数f(x)＝ax＋b x－b ，其图象关于点(－3,2)对称，则f(2)的值是________． 3、方程在区间上有解，则实数a的取值范围是______________. 4、已知函数若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根，则实数k的取值 范围是__________. 5、若函数，其中。若对于任意的非零实数，存在唯一的实数，使得成立，则的最小值为________________ 6、二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0)，设f(x)=x的两个实根为x 1，x 2 , (1)如果b=2且|x 2-x 1 |=2，求a的值； (2)如果x 1＜2＜x 2 ＜4，设函数f(x)的对称轴为x=x ，求证：x ＞-1. 六、小结反思X 24306 5EF2 廲"!25477 6385 掅21989 55E5 嗥c/37448 9248 鉈40573 9E7D 鹽$=Gg 实用文档 第 12 讲 概述 教学过程 y x O 2019-2020年中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用 一、【知识要点】 1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ； 2. 顶点式的几种特殊形式. ⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） . 3. 二次函数的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 4. 用配方法可化成的形式，其中＝ ， ＝ . 5. 二次函数的图像和图像的关系. 6．二次函数通过配方可得2 24()24b ac b y a x a a -=++，其抛物线关于直线 对称，顶点坐标为（ ， ）. ⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当 时，有 最（“大”或“小”）值是． 7、二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根． （3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c 有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根 8、二次函数的应用： （1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值； （2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 二、【经典例题剖析】 1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求： （1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题： ①方程x2－6x＋8=0的解是什么？ ②x取什么值时，函数值大于0？ ③x取什么值时，函数值小于0？ 2. 已知抛物线y＝x2－2x－8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积． 3.如图所示，直线y=-2x+2与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC，∠BAC=90o， 过C作CD⊥轴，垂足为D （1）求点A、B的坐标和AD的长 （2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式三、当堂检测 D O B A C 课时训练(十五)二次函数的图象和性质(二) |夯实基础| 一、选择题 1．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( ) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3 2．[2017·衡阳模拟]已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2017的值为( ) A．2014 B．2015 C．2016 D．2018 3．[2017·枣庄]已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是( ) A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1) B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点 C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方 D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大 4．[2017·长郡模拟]抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有交点，则m的取值范围是( ) A．m≤2 B．m＜－2 C．m＞2 D．0＜m≤2 5．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图K15－1，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( ) A．－3 B．3 C．－6 D．9 K15－1 K15－2 6．若二次函数y＝x2＋mx图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的解为( ) A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图K15－2所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|＝( ) A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a 图K15－3 8．[2016·枣庄]已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a≠0)的图象如图K15－3所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a ＋b ＋c>0；③a>b；④4ac－b 2 <0.其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 9．若二次函数y ＝x 2 ＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________． 10．[2016·泰安]将抛物线y ＝2(x －1)2 ＋2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的解析式为____________． 图K15－4 11．[2017·株洲]如图K15－4，二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象的对称轴在y 轴的右侧，其图象与x 轴交于点A(－1，0)，点C(x 2，0)，且与y 轴交于点B(0，－2)，小强得到以下结论： ①0＜a ＜2；②－1＜b ＜0；③c＝－1；④当|a|＝|b|时，x 2＞5－1.以上结论中，正确的结论序号是________． 三、解答题 12．已知抛物线y ＝(x －m)2 －(x －m)，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝5 2 . ①求该抛物线所对应的函数表达式； ②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点． |拓 展 提 升| 13．[2017·邵阳]如图K15－5，顶点为(12，－94 )的抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 过点M(2，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)点A 是抛物线与x 轴的交点(不与点M 重合)，点B 是抛物线与y 轴的交点，点C 是直线y ＝x ＋1上一点(处于x 轴下方)，点D 是反比例函数y ＝k x (k>0)图象上一点．若以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，求k 的值． 图K15－5 14．[2017·益阳]如图K15－6①，直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝2x 2 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，M ，N 关于x 轴对称，连接AN ，BN. (1)①求A ，B 的坐标； ②求证：∠ANM＝∠BNM； (2)如图②，将题中直线y ＝x ＋1变为y ＝kx ＋b(b>0)，抛物线y ＝2x 2变为y ＝ax 2 (a>0)，其他条件不变，那么∠ 二次函数 课题：第12课时二次函数（1）教学时间： 教学目标： 1.了解二次函数的解析式及其基本性质； 2.会用待定系数法求二次函数的解析式； 3.能从某些实际问题中抽象出二次函数的解析式。 教学重难点：从实际问题中抽象出二次函数的解析式，及会求二次函数的解析式。 教学方法： 教学过程： 【复习指导】 1.二次函数的图象：在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+ )2+ 的形式,先确定顶点( , ),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质：抛物线的开口方向由a的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y随x的增大而;在对称轴的右侧,y随x的增大而;简记左减右增,这时当x= 时,y最小值= ;反之当a 式为y=a(x-x1)(x-x2)来求解. 4．二次函数的平移问题 平移的口诀：左“+”右“—”；上“+”下“—”。【预习练习】 中考指要的基础演练。 预习检查中对错的较多的问题进行讲解 【新知探究】 例1： 例2： 例3： 【变式拓展】 见中考指要例4 【总结提升】 (1)二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形，充分利用抛物线的轴对称性，是研究利用二次函数的性质解决问题的关键． (2)已知二次函数图象上几个点的坐标，一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式． (3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴，便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标． 【当堂反馈】 见中考指要的自我评估 【课后作业】 见中考直通车 第三章 函数 第13课时 二次函数的图象及性质 (建议时间： 分钟) 能力提升 1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1 D. 直线x ＝－1 3. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2 D. y 2>y 1>2 4. (苏科九下P 13练习第1题改编)抛物线y ＝－3x 2，y ＝13x 2，y ＝5x 2，y ＝－3 4x 2的共同性质是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是y 轴 C. 都有最高点 D. y 随x 的增大而增大 5. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A. y ＝(x －4)2－6 B. y ＝(x －1)2－3 C. y ＝(x －2)2－2 D. y ＝(x －4)2－2 6. (2019荆门)抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 8. (2019陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为( ) A. m ＝57，n ＝－18 7 B. m ＝5，n ＝－6 C. m ＝－1，n ＝6 D. m ＝1，n ＝－2 9. (2019温州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 10. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 11. (2019绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位 12. (2019遂宁)二次函数y ＝x 2－ax ＋b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是( ) 第15课时 二次函数图象和性质 一、选择题 1.抛物线422-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（1，-2） B.（0，-2） C.（1，-3） D.（0，-4） 2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，?则下列结论：①a、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第2题图 第3题图 4．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上两个点，则它的对称轴是 （ ）A.a b x - = B.1=x C.2=x D.3=x 5．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 图象大致为( ) 二、填空题 6．抛物线y ＝2x 2+4x+5的对称轴是x=_________ 7．抛物线432-+=x x y 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 ． 8．把抛物线22 3x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 所得的抛物线的函数关系式为 ． 9．抛物线 y=ax 2 +bx+c 过第一、二、四象限，则a 0, b 0，c 0． 10．已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点 M （a , c ）在第 象限． 11．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示， 则a 0， b 0， c 0，ac b 42 - 0， a ＋ b ＋ c 0，a －b ＋c 0； 三、解答题 12. 已知：二次函数为y=x 2－x+m ， （1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m 为何值时，顶点在x 轴上方， （3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB∥x 轴交抛物线于另一点B ， 当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式． 13．（2008南京）已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的 部分对应值如下表： （1）求该二次函数的关系式； （2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （3）若1()A m y ，，2(1 )B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 第11题图 第1页（共2页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 第15课时 二次函数图象和性质 一、选择题 1.抛物线422-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（1，-2） B.（0，-2） C.（1，-3） D.（0，-4） 2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则点M （b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象如图所示，?则下列结论：①a、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 第2题图 第3题图 4．若（2，5）、（4，5）是抛物线c bx ax y ++=2上两个点，则它的对称轴是 （ ）A.a b x -= B.1=x C.2=x D.3=x 5．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 图象大致为( ) 二、填空题 6．抛物线y ＝2x 2+4x+5的对称轴是x=_________ 7．抛物线432-+=x x y 与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 ． 8．把抛物线22 3x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位， 所得的抛物线的函数关系式为 ． 9．抛物线 y=ax 2 +bx+c 过第一、二、四象限，则a 0, b 0，c 0． 10．已知抛物线 y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点 第2页（共2页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 M （a , c ）在第 象限． 11．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示， 则a 0， b 0， c 0，ac b 42 - 0， a ＋ b ＋ c 0，a －b ＋c 0； 三、解答题 12. 已知：二次函数为y=x 2－x+m ， （1）写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点坐标； （2）m 为何值时，顶点在x 轴上方， （3）若抛物线与y 轴交于A ，过A 作AB∥x 轴交抛物线于另一点B ， 当S △AOB =4时，求此二次函数的解析式． 13．（2008南京）已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的 部分对应值如下表： （1）求该二次函数的关系式； （2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （3）若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． 第11题图 2019版中考数学一轮复习第12课时二次函数（1）导学案 姓名班级学号 学习目标： 1.掌握二次函数的定义、图像和性质 2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性 3.进一步体会数形结合，分类讨论，函数与方程等数学思想在解题中的作用 学习重难点：二次函数最值和单调性，二次函数的最值和增减性的应用 学习过程： 一、知识梳理 1.二次函数：一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：__________(a≠0，a、b、c 为常数)，则称y为x的二次函数。 2.二次函数的解析式三种形式。 一般式：y=ax2 +bx+c(a≠0)；顶点式:_________________；交点式: __________ __ 3.二次函数图像与性质 二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的对称轴是___________；顶点坐标是_______________；与y轴交点坐标_____________ 4.增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而_____；对称轴右边，y随x增大而_____ 当a<0时，对称轴左边，y随x增大而_____；对称轴右边，y随x增大而_____ 5.二次函数图像画法： 勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点 6.图像平移步骤：（1）配方2 =-+，确定顶点（h，k）； y a x h k () （2）沿x轴：左_____右_____；沿y轴：上_____下_____ 7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 （1）一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ （2）顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式. （3）交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式. 二、典型例题 1.二次函数的定义 第13课时二次函数(2) 班级：姓名： 学习目标： 1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习难点： 利用二次函数与一元二次方程关系解决综合问题。 学习过程： 一、知识梳理 1.抛物线中符号的确定 (1)的符号由抛物线开口方向决定, 当时,抛物线开口, 当时,?抛物线开口; (2)的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定. 当0时,抛物线交y轴于正半轴；当0时,抛物线交y轴于负半轴； (3)的符号由对称轴来决定. 当对称轴在轴左侧时,的符号与的符号； 当对称轴在轴右侧时,的符号与的符号；?简记左同右异. 2.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线，当时，抛物线转化为一元二次方程, (1)当抛物线与轴有两个交点时,方程有； (2)当抛物线与轴有一个交点,方程有； (3)当抛物线与轴无交点,?方程。 变式：抛物线，当时，抛物线转化为一元二次方程，试说明该方程根的情况。 。 。 二、典型例题 1.抛物线中a、b、c符号的确定 （中考指要例1）（2017?株洲）如图示二次函数的对称轴在轴的右侧，其图象与轴交于点与点，且与y轴交于点，小强得到以下结论：①；②；③；④当时；以上结论中正确结论的序号为． 2. 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 （1）抛物线与坐标轴的交点的个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 （2）若二次函数的图像经过点，则关于的方程实数根为（）A． B． C. D． （3）已知抛物线与轴只有一个交点，则＝. （4）如图，已知的顶点坐标分别为，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． （5）二次函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是( ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数 D．无实数根 （6）已知二次函数的图象如图所示，解决下列问题： ①求关于x的一元二次方程的解； ②求此抛物线的函数表达式； ③当为值时，? 第13课时 二次函数(2) 班级： 姓名： 学习目标： 1.掌握二次函数图象与x 轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系. 2.理解二次函数图象与x 轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系. 3.能用二次函数与一元二次方程的关系解决综合问题. 学习难点： 利用二次函数与一元二次方程关系解决综合问题。 学习过程： 一、知识梳理 1.抛物线2 y ax bx c =++中a b c 、、符号的确定 (1) a 的符号由抛物线开口方向决定, 当0a >时,抛物线开口 , 当0a <时,?抛物线开口 ; (2) c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定. 当c 0时,抛物线交y 轴于正半轴；当c 0时,抛物线交y 轴于负半轴； (3)b 的符号由对称轴来决定. 当对称轴在y 轴左侧时,b 的符号与a 的符号 ； 当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号 ；?简记左同右异. 2.二次函数与一元二次方程的关系 抛物线2y ax bx c =++，当0y =时，抛物线转化为一元二次方程2 0ax bx c ++=, (1)当抛物线与x 轴有两个交点时,方程2 0ax bx c ++=有 ； (2)当抛物线2y ax bx c =++与x 轴有一个交点,方程2 0ax bx c ++=有 ； (3)当抛物线2 y ax bx c =++与x 轴无交点,?方程2 0ax bx c ++= 。 变式：抛物线2 y ax bx c =++，当y k =时，抛物线转化为一元二次方程 ，试说明该 方程根的情况 。 。 。 二、典型例题 1. 抛物线中a 、b 、c 符号的确定 （中考指要例1）（2017?株洲）如图示二次函数2 y ax bx c =++的对称轴在y 轴 2y ax bx c =++ 第27章 《二次函数》小结与复习（1）(第15课时) 一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象性质。 例：已知函数4 m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 强化练习； 已知函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律。 例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。 强化练习： (1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。 (2)通过配方，求抛物线y ＝12 x 2－4x ＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。 3.用待定系数法确定二次函数解析式． 例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。 (1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。 (2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。 (3)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴。 (4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－2 3x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式。 2021届中考数学一轮复习备考分层集训 第13课时 二次函数的 图象及其性质（一）A 卷 1.在平面直角坐标系中,二次函数()()2 0y a x h a =-≠的图象可能是( ) A. B. C. D. 2.二次函数223y x x =+-的图象的对称轴是( ) A.直线1x = B.直线1x =- C.直线4x = D.直线4x =- 3.对于二次函数21 44 y x x =-+-，下列说法正确的是( ) A.当0x >时，y 随x 的增大而增大 B.当2x =时，y 有最大值3- C.图象的顶点坐标为(2,7)-- D.图象与x 轴有两个交点 4.抛物线2 31352y x ?? =-+- ???的顶点坐标是（ ） A.1,32?? - ??? B.1,32?? -- ??? C.1,32?? ??? D.1,32??- ??? 5.对于函数()2 23y x =--，下列说法不正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是直线3x = C.最大值为0 D.与y 轴不相交 6.已知二次函数2(1)(0)y a x b a =-+≠有最大值2.则,a b 的大小关系为( ) A.a b > B. a b < C.a b = D.不能确定 7.点()111,P y -,()223,P y ,()335,P y 均在二次函数2 2y x x c =-++的图象上,则123,,y y y 的大小 关系是( ) A.321y y y >> B.312y y y >= C.123y y y >> D.123y y y => 8.二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示,有以下结论: ①30a b -=;②240b ac ->;③520a b c -+>;④430b c +>,其中错误结论的个数是( ) A.l B.2 C.3 D.4 9.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表: 下列结论: ①抛物线的开口向下； ②其图象的对称轴为直线1x =； ③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大； ④方程20ax bx c ++=有一个根大于4，其中正确的结论有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下四个结论:①0abc =；②0a b c ++>；③a b >；④240ac b -<.其中正确的结论有( ) 第三单元函数 第13课时二次函数的图象与性质 练习1 二次函数的图象与性质 点对点·课时内考点巩固20分钟 1. (2019衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2019荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. (2019兰州)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2＞y1＞y2 B. 2＞y2＞y1 C. y1＞y2＞2 D. y2＞y1＞2 4. (2019河南)已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，则n的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 5.(2019温州)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( ) 1 A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 6. (2019广安)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②b＜c；③3a＋c＝0；④当y＞0时， 第6题图 －1＜x＜3.其中正确的结论有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. (2019陕师大附中模拟)已知抛物线y＝－x2＋2mx＋m，当－2＜x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 1 中考专项突破课 二次函数 第12课 用待定系数法求二次函数解析式(顶点式或交点式) 一、典例分析 例1：对称轴为2x =-，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点(0,3)的抛物线解析式为 ． 【解析】设抛物线解析式为2(2)y a x =+， 把(0,3)代入可得43a =，解得34a = ， 所以抛物线解析式为23(2)4y x = +， 故答案为：23(2)4 y x =+． 例2：已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(3,0)-、(1,0)，且与y 轴的交点为(0,3)-，求这个函数解析式和抛物线的顶点坐标． 【解析】设抛物线解析式为(3)(1)y a x x =+-， 把(0,3)-代入得3(1)3a -=-g g ，解得1a =， 所以抛物线解析式为2(3)(1)23y x x x x =+-=+-， 而2223(1)4y x x x =+-=+-， 所以抛物线得顶点坐标为(1,4)-． 二、知识点小结： 三、知识点检测 1．抛物线的顶点为(1,4)-，与y 轴交于点(0,3)-，则该抛物线的解析式为( ) A ．223y x x =-- B ．223y x x =+- C ．223y x x =-+ D ．2233y x x =-- 【解析】设抛物线的解析式为2(1)4y a x =--， 将(0,3)-代入2(1)4y a x =--，得：23(01)4a -=--， 解得：1a =， ∴抛物线的解析式为22(1)423y x x x =--=--． 故选：A ． 2．已知抛物线的顶点为(1,3)--，与y 轴的交点为(0,5)-，求抛物线的解析式． 【解析】根据题意设2(1)3y a x =+-， 将(0,5)-代入得：35a -=-， 解得：2a =-， 则抛物线解析式为222(1)3245y x x x =-+-=---． 故抛物线的解析式为2245y x x =---． 3．已知二次函数2 286y x x =-+． （1） 把它化成2()y a x h k =-+的形式为： 22(2)2y x =-- ． （2） 直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ． （3） 求该抛物线于坐标轴的交点坐标 ． 【解析】 （1）2222862(44)862(2)2y x x x x x =-+=-+-+=--； （2）22(2)2y x =--Q ， ∴抛物线的顶点坐标是：(2,2)-；对称轴是：2x =； （3）2 286y x x =-+Q ， ∴当0y =时，22860x x -+=，解得11x =，23x =， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)； 当0x =时，6y =， ∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)． 故答案为2 2(2)2y x =--；(2,2)-，2x =． 4．已知抛物线2y ax bx c =++顶点坐标为(4,1)-，与y 轴交于点(0,3)，求这条抛物线的解析式． 【解析】设这条抛物线的解析式为2(4)1y a x =--， 第三单元 函数 第十三课时 二次函数的图像与性质 基础达标训练 1. (2017哈尔滨)抛物线y ＝－(x ＋)2－3的顶点坐标是( ) 3 51 2A. (，－3) B. (－，－3) C. (，3) D. (－，3) 1 21 21 21 22. (2017金华)对于二次函数y ＝－(x －1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是( ) A. 对称轴是直线x ＝1，最小值是2 B. 对称轴是直线x ＝1，最大值是2 C. 对称轴是直线x ＝－1，最小值是2 D. 对称轴是直线x ＝－1，最大值是 2 第3题图 3. (2017长沙中考模拟卷五)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( )A. 0 B. －1C. 1 D. 2 4. (2017连云港)已知抛物线y ＝ax 2(a >0)过A (－2，y 1)，B (1，y 2)两点，则下列关 系式一定正确的是( ) A. y1>0>y2 B. y2>0>y1 C. y1>y2>0 D. y2>y1>0 第5题图 5. (2017六盘水)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( ) A. b>0，c>0 B. b>0，c<0 C. b<0，c<0 D. b<0，c>0 6. 将抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为( ) A. y＝3(x－3)2－3 B. y＝3x2 C. y＝3(x＋3)2－3 D. y＝3x2－6 7. (2017宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第二象限 D. 第三象限 第8题图 8. (2017鄂州)已知二次函数y＝(x＋m)2－n的图象如图所示，则一次函数2015届九年级数学中考一轮复习教学案：第12课时二次函数的图像与性质(一)
2019版中考数学一轮复习 第12课时 二次函数(1)教案
2021年高三数学一轮复习 集合与函数 第12课时 二次函数、幂函数
第12讲：二次函数综合-教案
讲
二次函数综合
适用学科 初中数学
适用区域 知识点 教学目标
北师版区域
1.二次函数与平行四边形 2.二次函数与等腰三角形 3.二次函数与相似三角形 1.掌握二次函数综合 2.掌握二次函数中的数学模型
教学重点 能熟练掌握二次函数综合问题
适用年级 课时时长（分钟）
初中三年级 120
教学难点 能熟练掌握二次函数综合问题
【教学建议】 本节课的内容属于二次函数综合，是中考中的必考内容。在教学中教师要通过典型例题帮助学生整
理、归纳并反思这些问题的常用处理方法，学会怎么把非特殊问题转换成特殊问题的，形成有效的解题策 略。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 二次函数中平行四边形的存在性问题； 2. 二次函数中等腰三角形的存在性问题； 3.二次函数中相似三角形的存在性问题。 【知识导图】
一、导入
【教学建议】 二次函数是中考数学中最重要的内容之一，对于学生来说也是最难的内容。属于中考数学的必考内容，函 数可与几何图形很好地综合，可以全面考察学生多方面的知识和能力，在中考数学试卷中，二次函数试题 往往都扮演着压轴题的角色。本节在中考数学中的地位非常重要，在教学中，教师要帮助学生形成正确地 处理这三种类型试题的策略。
二、知识讲解
知识点 1 二次函数与平行四边形
平行四边形动点问题一般分为三个定点一个动点（简称三定一动）和两个定点两个动点（两定两动）这两种 题型,可以利用对角线或边的变化而进行分类讨论；求解的方法主要有代数方法（利用解析式,两点间距离 公式,中点坐标）,几何方法（构造全等三角形,相似三角形）等。
知识点 2 二次函数与等腰三角形
处理二次函数中的等腰三角形，常用的模型有两种：一种是“两圆一线”，另一种是“暴力法”（用两点 间距离公式硬算）
知识点 3 二次函数与相似三角形
常需要分类讨论，一般是固定一个三角形，让另外一个三角形动来处理。常用处理方式有两种： 1.导边处理（“SAS”法） 第一步:先找到一组关键的等角,有时明显,有时隐蔽； 第二步,以这两个相等角的邻边分两种情况对应比例列方程. 2.导角处理（“AA”法） 第一步:先找到一组关键的等角； 第二步,另两个内角分两类对应相等.中考数学培优复习 第13课时 二次函数及其应用
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